动态图的价值将算术/几何平均值和等号唯一性连成可变矩形。

正数 a、b 的算术平均值为 (a+b)/2，几何平均值为与 a×b 矩形等面积正方形的边长。算术平均不小于几何平均，且仅 a=b 时等号成立。这里固定 a+b=8：改变两边，观察面积差如何精确由平方项控制。

教材位置：bx1-2-3-b4。覆盖本节原prose第4块：将算术/几何平均值和等号唯一性连成可变矩形。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值用参数曲线代替指数函数两类图像、单调性与性质表的重复说明。

a>0、a≠1 时，指数函数定义域为全体实数，值域为正实数，恒过 (0,1)，趋近 x 轴但永不相交。a>1 严格增；0<a<1 严格减。比较 x 正负两侧的函数值，观察底数在 1 两侧时整条曲线如何交换增长方向。

教材位置：bx1-4-2-b12。覆盖本节原prose第12块：用参数曲线代替指数函数两类图像、单调性与性质表的重复说明。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值联动同底指数、对数及交换坐标，浓缩对数正负、单调性、渐近线和性质表。

对数函数仅在 x>0 有定义，值域为全体实数，过 (1,0)，趋近 y 轴而不相交。a>1 时严格增，x>1 为正而 0<x<1 为负；0<a<1 时上述结论反向。相同底数的指数与对数交换横纵坐标，关于 y=x 对称；底数互为倒数的对数图像则关于 x 轴对称。

教材位置：bx1-4-3-b12。覆盖本节原prose第12块：联动同底指数、对数及交换坐标，浓缩对数正负、单调性、渐近线和性质表。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值通过反例和有序两点比较区分局部点对观察与全区间单调定义。

在区间 I 内，任意 x₁<x₂ 若总有 f(x₁)≤f(x₂)，称增函数；改为≥称减函数，改为严格不等号称严格增/减。平方函数负半轴严格减、正半轴严格增；常函数同时增且减而均不严格。正半轴幂函数指数正则严格增、负则严格减；指数和对数的方向取决于底数在 1 的哪侧。拖动两点用于发现区间与反例，不替代“任意两点”的证明。

教材位置：bx1-5-2-b19。覆盖本节原prose第19块：通过反例和有序两点比较区分局部点对观察与全区间单调定义。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值用交换坐标和定义域分支解释反函数图像的对称性及求解步骤。

反函数先以原函数值域为定义域，解出原自变量，再交换横纵坐标。点 (a,b) 与 (b,a) 关于 y=x 对称：不重合时，连线中点在 y=x 上且连线斜率为 -1。一般反函数图像因此关于 y=x 对称。平方函数须先限制为非负或非正半轴，才得到对应平方根分支；这里由同一动点看这一限制。

教材位置：bx1-5-4-b11。覆盖本节原prose第11块：用交换坐标和定义域分支解释反函数图像的对称性及求解步骤。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值将终边点的坐标与四种三角比联动，解释跨象限符号和不存在的比值。

将角顶点放在原点、始边放在 x 正半轴，终边任取非原点 P(x,y)，r 为到原点距离。锐角三角比推广为带符号坐标与 r 的比；取单位圆 r=1 后，横纵坐标直接成为 cos 与 sin。终边同向伸缩不改比值，转过整周也不改值；tan、cot 必须分别排除分母为零的情形。

教材位置：bx2-6-1-b25。覆盖本节原prose第25块：将终边点的坐标与四种三角比联动，解释跨象限符号和不存在的比值。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值将可能的三角形个数转化为有效交点数，辨别相切、反向交点及退化解。

教师拓展，不将完整SSA分类提升为全体学生必学。固定AC=b=3及角A，令C=(3cosA,3sinA)，B=(c,0)，其中c>0。由BC=a得(c−3cosA)²+h²=a²，h=3sinA。圆与直线的候选交点还须剔除c≤0者。因此a=h虽为相切，却仅在A为锐角时产生一个有效三角形；直角时B=A退化，钝角时切点在反向延长线上。a=b时同样须剔除B=A。动态探索解释分类依据，不能以有限次拖动替代上述方程和有效性验证。

教材位置：bx2-6-3-b3。正弦定理后加入教师拓展，呈现SSA多解依据，不替换原定理推导。

动态图的价值让圆上点的纵坐标逐步映射为正弦曲线上的点，代替多张静态描点图。

对每个角，把弧度数作为新点的横坐标，把单位圆点的纵坐标作为新点的纵坐标，得到正弦曲线。角转一周，函数图像完成一个周期；五个关键点给出零点、峰和谷，用光滑曲线连接后按 2π 平移可扩展至全体实数。描五点是作图方法，不表示曲线由折线组成。

教材位置：bx2-7-1-b6。覆盖本节原prose第6块：让圆上点的纵坐标逐步映射为正弦曲线上的点，代替多张静态描点图。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值用一条可调曲线同时呈现振幅、周期、频率、相位及正确横移量。

振动模型中 A>0 为振幅，ω>0 为圆频率，周期 T=2π/ω，频率 f=1/T=ω/(2π)；相位为 ωx+φ，初相为 φ。A 改变纵向幅度，ω 改变周期；水平位移是 -φ/ω 而非 -φ。负 A 或负 ω 可由诱导公式化归。时钟顺时针的负角速度情境和弹簧照片保留在原文。

教材位置：bx2-7-3-b2。覆盖本节原prose第2块：用一条可调曲线同时呈现振幅、周期、频率、相位及正确横移量。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值通过跨越被排除角度的读数和不连通曲线解释正切分支、周期及渐近线。

正切值可由终边所在直线与 x=1 的交点纵坐标表示；终边与 x=1 平行时没有交点。先作 (-π/2,π/2) 一支，再按 π 的整数倍平移。定义域排除 π/2+kπ；这些直线隔开不同分支，禁止跨线连点。每支内严格增不等于整个定义域上严格增。

教材位置：bx2-7-4-b4。覆盖本节原prose第4块：通过跨越被排除角度的读数和不连通曲线解释正切分支、周期及渐近线。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值用夹角跨越90度解释投影向量、数量投影和数量积正负，减少多图叙述。

点的投影是向目标直线作垂线的垂足；向量投影由起终点的投影之差组成。以非零 a 为方向，b 的数量投影为 |b|cosθ，投影向量为这一数乘 a 的单位向量，模为数量投影的绝对值。锐角同向、钝角反向、直角为零；b=0 也投影为零但不定义夹角。数量积进一步乘 |a|，得到数量而不是向量；这也是力做功的方向分量解释。

教材位置：bx2-8-2-b4。覆盖本节原prose第4块：用夹角跨越90度解释投影向量、数量投影和数量积正负，减少多图叙述。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值用旋转伸缩把复数乘除公式与两角和展开联系起来。

复数相乘，模相乘、辐角相加；相除时除数非零，模相除、辐角相减。公式由两角和的正弦余弦公式展开得到；商的公式可乘回除数验证。辐角模 2π 确定；零复数没有辐角，但乘非零复数后仍为零。本模块用模和转角控制同一变换。

教材位置：bx2-9-4-b11。覆盖本节原prose第11块：用旋转伸缩把复数乘除公式与两角和展开联系起来。；原文含定义、证明或表格，完整保留在可展开区，核心条件与结论在摘要/公式中常显。

动态图的价值用旋转视角分离屏幕交叉与空间相交，观察公垂线段。

空间直线有相交、平行和异面等情形。异面直线不共面，所成角按平移方向确定；其距离为唯一公垂线段长度。图中高度为零或方向平行时不再是异面状态。

教材位置：bx3-10-2-b12。接替异面直线的实景与空间位置长段解释。

动态图的价值让两个方向合并，直接展示丢失一个条件的反例。

直线垂直于平面，须与平面内的任意直线垂直。判定时只需检查平面内两条相交直线；不能用两条重合方向的线替代。与法向量平行的非零方向向量对应线面垂直。 线不在平面上时，其方向向量垂直法向量，当且仅当线面平行；两个不同平面的法向量平行当且仅当两平面平行，法向量垂直当且仅当两平面垂直。

教材位置：bx3-10-3-b18。接替书脊、桌面与两条相交线判定的长解释。

动态图的价值分开视角与数学角度，观察平面内各方向对应的真实夹角及最小值。

设直线单位方向u=(cosθ,0,sinθ)，平面内单位方向v=(cosφ,sinφ,0)。两直线夹角β取0°至90°，则cosβ=|u·v|=cosθ|cosφ|≤cosθ，故β≥θ。θ<90°时沿射影方向等号成立；θ=90°时射影为点，所有平面方向均与直线垂直。θ=0°时本模型中直线在平面内。三维图是正交投影，不保角；真实读数与右侧变化曲线均由数量积计算。必修阶段先观察与几何解释，选修阶段联系向量证明，原文及原证明不折叠。

教材位置：bx3-10-3-b26。射影与线面角定义后解释最小性，保留原定义及几何论证。

动态图的价值开合两个半平面，在垂直截面中测量平面角。

二面角由一条棱和两个半平面组成。分别在半平面内过棱上同一点作垂直于棱的射线，所得平面角才是二面角的平面角；整平面夹角与选定半平面张角需区分。

教材位置：bx3-10-4-b12。接替门开合、二面角定义与平面角构造的长解释。

动态图的价值用旋转视角分离屏幕交叉与空间相交，观察公垂线段。

空间直线有相交、平行和异面等情形。异面直线不共面，所成角按平移方向确定；其距离为唯一公垂线段长度。图中高度为零或方向平行时不再是异面状态。

教材位置：bx3-10-5-b2。接替公垂线与异面直线距离的构造说明。

动态图的价值水平推移柱顶，同时拖动截面比较直柱与斜柱。

祖暅原理要求两个几何体同高，且任意等高处截面面积相等；由此可推得两者体积相等。柱体的平行于底面的截面均与底面全等，因此体积为底面积乘高，而不是乘侧棱长。

教材位置：bx3-11-1-b14。接替祖暅原理与斜柱体积的文字比较。

动态图的价值综合拓展：用真实平面与棱求交，解释三至六边形、临界状态与正确连线。

立方体取各坐标在[-1,1]。切平面与各棱求交并去重，按截平面内的顺序连接交点，得到截面。切平面不与任何面重合时，一个面至多贡献一条截面边，因此至多六边；与某面重合时得到正方形。平面经过顶点时截线可能换边，但边数不一定改变。右侧按截平面自身的正交坐标等比例显示，避免将空间投影误认作真实形状。六边形不一定是正六边形。

教材位置：bx3-11-1-b6。在棱柱、多面体定义后以综合探究解释截面边数和临界变化；不取代正文定义或体积推导。

动态图的价值沿高度移动截面，观察面积二次缩小和顶点平移的不变量。

平行于底面的棱锥截面与底面相似，距底高度比例为t时线性比为1−t，面积比为其平方。同底等高的锥体体积相等，均为同底等高柱体体积的三分之一；原体积推导完整保留供展开和打印。

教材位置：bx3-11-2-b21。接替锥体体积推导的图形过程解释，证明不删去。

动态图的价值转动矩形或直角三角形，看不同高度的圆怎样组成柱或锥。

平面封闭图形绕其所在平面内一条定直线旋转一周，形成旋转体。矩形绕一边旋转形成圆柱；直角三角形绕一直角边旋转形成圆锥；母线的扫掠表面与封闭图形的扫掠实体应区分。

教材位置：bx3-11-3-b6。接替生成图形、旋转轴、母线与旋转面的长文字解释。

动态图的价值移动截平面，观察截面半径与球心垂距的勾股关系。

半圆面绕直径旋转一周生成球，半圆弧生成球面，球面上各点到球心距离均为R。任何过球心的直线都可作为球的旋转轴。平面截球，在平面到球心距离小于球半径时得到圆形截面。其圆心是球心到平面的垂足；经过球心的是大圆，其余为小圆；相切于一点与无交不属于圆截面。

教材位置：bx3-11-4-b4。接替平面截球、垂足圆心与大圆小圆的构造长解释。

动态图的价值同步升降截面，比较圆盘与圆环的面积。

半径R的半球与同半径、同高R的圆柱挖去倒锥，在任意高度h的截面积同为π(R²−h²)。由祖暅原理得半球体积等于柱减锥，进而球体积为4πR³/3。

教材位置：bx3-11-4-b12。接替半球、圆柱减倒锥的截面面积推导。

动态图的价值重复进行固定概率试验，观察逐次累积频率的随机波动轨迹。

每次试验结果随机，累积频率通常会波动；大数定律讨论样本量增大时接近概率的规律，不表示每一步单调靠近或有限样本必然逼近。

教材位置：bx3-12-3-b2。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。 原段还含具体题设、数据表或其它推导，当前可视化仅替代其中对应解释，不得将整段默认折叠；正文常显。

动态图的价值单位正方形内两个坐标独立均匀，矩形交集面积表达乘法关系。

当两个坐标独立且分别均匀时，P(X≤a,Y≤b)=ab=P(X≤a)P(Y≤b)。图形是概率模型示意，不自动适用于相关变量。

教材位置：bx3-12-4-b3。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。

动态图的价值改变两层总体比例与抽样配额，显示样本构成偏差。

按比例分配时 nᵢ/Nᵢ=n/N，样本层比例匹配总体。对不同层使用不同比例抽样时，简单样本平均可能需加权，不能直接当总体比例。

教材位置：bx3-13-3-b16。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。

动态图的价值调整组距，令柱高为频率密度，保持柱面积与频率相等。

频率分布直方图中，柱高=该组频率/组距，因此柱面积=频率；等宽组可以比较柱高，不等宽组不能只看高度比较频数。

教材位置：bx3-13-4-b4。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。 原段还含具体题设、数据表或其它推导，当前可视化仅替代其中对应解释，不得将整段默认折叠；正文常显。

动态图的价值从U(0,1)总体重复抽取80个独立样本，观察样本均值的抽样波动，区别于单一样本的均值/中位数。

本实验是对样本均值概念的延伸：从均匀总体 U(0,1) 重复抽样，观察不同样本的均值分布；总体均值为 1/2，独立抽样时理论标准误为 σ/√n。它不解释中位数、众数或加权平均的全部定义，因此原段正文仍是必要阅读，不将其折叠替代。

教材位置：bx3-13-5-b12。补充抽样波动，不覆盖本段样本平均数、中位数、众数、加权均值的定义与讨论；需保留原文常显。

动态图的价值用相切与相离状态区分必要条件和充分条件，解释轨迹端点为何不取。

固定椭圆x²/4+y²=1，平行弦所在直线为y=x+t。联立得5x²+8tx+4t²−4=0，两个不同交点存在当且仅当t²<5。由两根和可得弦中点M=(−4t/5,t/5)，故y=−x/4且|x|<4/√5。反过来，对此开线段内任意一点，取t=−5x/4均可构造非退化弦。因此轨迹恰为开线段，而不是消元所得整条直线；t=±√5时相切，端点不取。本模块为选学探究，保留原文的双向验证。

教材位置：x1-2-5-b5。在轨迹方程双向验证步骤后增设选学探究，保留全部原文。

动态图的价值压低第三个向量，看立体张成空间退化为平面。

三个不共面的向量构成空间的一组基底，任何空间向量都可唯一表示为它们的线性组合。若第三方向落入前两方向张成的平面，就失去对全空间的表示能力与唯一性；不共面条件不可省略。

教材位置：x1-3-2-b7。接替空间基底存在、唯一表示与不共面条件的立体解释。

动态图的价值让两个方向合并，直接展示丢失一个条件的反例。

直线垂直于平面，须与平面内的任意直线垂直。判定时只需检查平面内两条相交直线；不能用两条重合方向的线替代。与法向量平行的非零方向向量对应线面垂直。 线不在平面上时，其方向向量垂直法向量，当且仅当线面平行；两个不同平面的法向量平行当且仅当两平面平行，法向量垂直当且仅当两平面垂直。

教材位置：x1-3-4-b6。在现有线面垂直资产之外提供退化条件反例，接替向量条件长段说明。

动态图的价值分开视角与数学角度，观察平面内各方向对应的真实夹角及最小值。

设直线单位方向u=(cosθ,0,sinθ)，平面内单位方向v=(cosφ,sinφ,0)。两直线夹角β取0°至90°，则cosβ=|u·v|=cosθ|cosφ|≤cosθ，故β≥θ。θ<90°时沿射影方向等号成立；θ=90°时射影为点，所有平面方向均与直线垂直。θ=0°时本模型中直线在平面内。三维图是正交投影，不保角；真实读数与右侧变化曲线均由数量积计算。必修阶段先观察与几何解释，选修阶段联系向量证明，原文及原证明不折叠。

教材位置：x1-3-4-b22。在线面角与方向向量关系后联动数量积解释，保留原文。

动态图的价值把倒序条形移到正序条形上，观察每列总和相同。

等差数列正序与倒序逐项相加，每列之和都是首尾项和。共有n列，总和是原和的两倍，故前n项和为n倍首尾和的一半。图形示例取非负公差，代数方法不受此限制。

教材位置：x1-4-1-b14。接替高斯算法、倒序相加与公式推导的逐行重复解释。

动态图的价值对齐同幂次项，再消去中间项，保留q=1的边界。

将等比数列前n项和乘公比q，幂次整体错开一位。两式相减消去中间项，得到(1−q)S=a₁(1−qⁿ)。q≠1时才能除以1−q；q=1时前n项和为na₁。

教材位置：x1-4-2-b12。接替乘公比、错位、相减与q=1分类的冗长文字过程。

动态图的价值切换三个等价变形，用蛛网逐步比较迭代轨迹与误差。

求√2可把方程变成不动点迭代，但等价变形不保证收敛。正初值下巴比伦算法先到√2上方再下降；1+1/(x+1)交替逼近；2/x一般两值循环，仅初值恰是√2时固定。有限步图像不是收敛证明。

教材位置：x1-4-5-b2。接替三种迭代算法及多张数表的反复比较。

动态图的价值把平均变化率随步长趋零的过程转成可拖动几何变化。

在固定点 a=0.5，对平方函数取第二点 a+h。h≠0 时割线斜率为 [f(a+h)-f(a)]/h=2a+h，随 h 从正负两侧趋零而趋于 2a=1；h=0 时差商本身未定义，不能把极限值当作差商定义值。

教材位置：x2-5-1-b13。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。

动态图的价值同时看函数图像和导数符号，区分极大、极小与非极值驻点。

极值是邻域内的局部性质，不等于整个定义域上的最值。在连续且两侧可导的邻域，导数由正变负则取得极大值，由负变正则取得极小值；驻点仅是候选，导数为零并不充分。比较 x³、x⁴、sin x，观察导数的符号如何决定函数的升降。

教材位置：x2-5-3-b14。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。

动态图的价值拖动水平线，解释不同实根数为什么只在极值高度发生变化，而不只是数当前屏幕上的交点。

设 f(x)=x³−3x，则 f′(x)=3(x−1)(x+1)。因此 f 在 (−∞,−1)、(1,+∞) 上严格增，在 (−1,1) 上严格减；将驻点端点并入，考虑三段 (−∞,−1]、[−1,1]、[1,+∞)。由 f(−1)=2、f(1)=−2 及两端趋势，这三段的值域依次为 (−∞,2]、[−2,2]、[−2,+∞)。当 −2<a<2 时各段各有一个交点；当 a=±2 时相邻交点合并，只剩两个不同实根；|a|>2 时仅一个实根。临界值还可直接验证：x³−3x−2=(x+1)²(x−2)，x³−3x+2=(x−1)²(x+2)，相切的根均为二重根。重数不是不同交点个数；非临界状态的数值根仅作近似显示。图中的横纵单位刻度不同，不据图估计切线角度。

教材位置：x2-5-3-b14。在极值定义后的方法深化；保留极值、驻点及原例题正文，不以探索替代论证。

动态图的价值选择一个最终结果，反查它对应的全部有序过程；比较统一重复与不统一重复，判断何时可以整体相除。

场景一：从1至6六个不同元素中依次等可能地不放回取两个，共6×5=30个有序结果。忽略顺序后，每组{i,j}（i≠j）恰对应(i,j)、(j,i)，故共30÷2=15组。场景二：两枚可区分的公平骰子独立投掷，36个有序结果等可能；忽略顺序后，同点数组各有1个来源，异点数组各有2个来源，共6+15=21组。因此不能统一用36÷2计数，更不能把21个无序结果视为等可能：同点数组概率1/36，异点数组概率2/36。这里统一相除的依据是每个最终结果被计次数相同。选取重复项在不放回场景中无效，界面诚实保留该选择并标明结果不存在。

教材位置：x2-6-3-b10。在排列与组合对应表后深化重复计数的条件，原公式推导和例题保持可见。

动态图的价值用格点路径说明从n个因子中选k个b的组合数。

展开 (a+b) 的 n 次方时，从 n 个因子中恰选 k 个 b 的方式数决定相应项的系数；图中每一步向两种方向分支，等于从上两邻节点累积路径数。合法范围为 0≤k≤n；k>n 不可能选取，系数按零计。节点数构成杨辉三角，不把超范围滑块偷偷改为另一个 k。

教材位置：x2-6-5-b3。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。 原段还含具体题设、数据表或其它推导，当前可视化仅替代其中对应解释，不得将整段默认折叠；正文常显。

动态图的价值用有限等可能样本空间展示条件发生后保留区域及概率分母变化。

在 P(A)>0 时，条件概率把分母改为条件事件 A 的概率：只在 A 区域内计算 B 所占比例。橙色交集表示 P(A∩B)，A 外的蓝色部分影响 P(B) 却不计入 P(B|A)。条件化不改变原有的 P(B)，而是提出一个不同的问题。

教材位置：x2-7-1-b6。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。 原段还含具体题设、数据表或其它推导，当前可视化仅替代其中对应解释，不得将整段默认折叠；正文常显。

动态图的价值用10000人的期望频数追踪真正的分母，区分检出率与阳性者中实际患病的概率。

教师选学拓展。记 D 为患病，+ 为阳性，患病率为 p，模型检出率为 s，模型误报率为 q。10000人模型中，真阳性期望数为10000ps，假阳性为10000(1−p)q。只看阳性者时，分母为两者之和；因此在 ps+(1−p)q>0 时，P(D|+)=ps/[ps+(1−p)q]。这由条件概率和全概率公式得到，不是把P(+|D)直接倒过来。P(+|D)=s 还要求 p>0；p=0时该条件概率未定义，s仅保留为模型参数；p=1时误报率的条件群体同样为空。频数全部为模型期望数，可能不是整数，非一次实测人数。树形框与连线不按人数比例，底部阳性构成条按真实比例绘制；结论不依赖画面面积的猜测。

教材位置：x2-7-1-b23。衔接逆向条件的教材段落与选学贝叶斯公式；保留原文，明确教师拓展属性。

动态图的价值移动离散分布各概率质量，观察期望和方差如何联动。

E(X)=Σxᵢpᵢ 是概率加权中心；D(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ 衡量围绕中心的平方离散。

教材位置：x2-7-2-b11。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。

动态图的价值改变成功率和试验次数，观察二项分布的概率质量如何重排。

只有n次相互独立且成功概率均为p的伯努利试验时，X~B(n,p)，P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。

教材位置：x2-7-3-b3。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。

动态图的价值拖动一个离群点，比较最小二乘直线斜率变化和数据关联。

最小二乘回归线随所有观测点变化；离群点可能显著改变斜率和相关系数。相关不证明因果，异常点需先核查来源。

教材位置：x2-8-2-b3。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。 原段还含具体题设、数据表或其它推导，当前可视化仅替代其中对应解释，不得将整段默认折叠；正文常显。

动态图的价值调节边际分布，看到独立假设下每个格子的期望频数。

在独立假设下，每格期望比例等于对应行与列边际比例之积，期望频数再乘总数 n。面积格图显示边际比例怎样决定期望值；期望频数允许非整数，且不等于观察频数。完整独立性检验还需观察值、检验统计量、适用条件和错误风险，不从检验结论推出因果。

教材位置：x2-8-3-b2。该长段正文含本概念的定义/解释链；模块呈现变化关系，原文仍可展开供核对。 原段还含具体题设、数据表或其它推导，当前可视化仅替代其中对应解释，不得将整段默认折叠；正文常显。