例题 1
例 1 掷一颗骰子并观察出现的点数. 已知出现的点数不超过 3 ，求出现的点数是奇数的概率.
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解 设事件 表示“出现的点数不超过 3 ”，事件 表示“出现的点数是奇数”. 题目所求概率是事件 发生的条件下,事件 发生的概率,也就是求 . 因为 ,所以 ,从而 . 因此
如果已知相应的条件概率, 那么就可以计算两事件同时发生的概率: 事件 同时发生的概率等于 发生的概率与在 发生的条件下 发生的概率的乘积,即
这个公式称为概率的乘法公式.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 7.1
教师整合版 / 沪教版高中数学
条件概率与相关公式.
选择性必修第二册
第7章概率初步(续) · 保留教材主线与原题
条件概率与相关公式
教材与正式教参整合
概率初步(续)
本章作为概率初步 (必修课程第 12 章) 的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式. 条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率, 是概率论中的一个重要概念. 由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式, 它们是计算概率的重要方法, 并进一步展示了概率的直观含义. 本章还将介绍随机变量的概念及其分布, 以及它们的期望与方差, 最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布.
1 条件概率
假设一个袋子里装有大小与质地相同的 2 个黑球、 3 个白球, 两人依次随机不放回地摸 1 个球, 可知第一个人摸到白球的概率为 ,那么第二个人摸到白球的概率是多少呢? 第二个人摸到白球的概率是否与第一个人相同？有的人会认为:如果第一个人摸到的是白球, 那么剩下的白球还有 2 个, 第二个人摸到白球的概率应是 ; 而如果第一个人摸到的是黑球,那么剩下的白球还有 3 个,第二个人摸到白球的概率应是 . 人们必然会产生疑惑:第二个人摸到白球的概率究竟是多少？
其实, 我们刚才所说的是两个不同意义的概率: 一个是以前讨论过的概率, 一个则是本章要介绍的条件概率. 我们知道, 一个事件发生的概率是该事件的一个属性, 它不会因为其他事件是否发生而改变. 但是我们可以谈论在其他事件发生的条件下, 该事件发生的概率. 这时候谈论的就是条件概率, 而不是原本的概率.
从上面这个例子看,设事件 是第一个人摸到白球,事件 是第二个人摸到白球. 当 发生之后,袋子里剩下 4 个球,其中 2 个白球、 2 个黑球. 这样, 对第二个摸球的人来说, 相应的随机现象就与第一个人摸球之前不同, 样本空间也不同了. 这时 发生的概率是 ,这是条件概率.
注意“求事件 发生且事件 发生的概率”与“已知事件 发生,求事件 发生的概率”两者的不同.
例题 2
例 2 一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球, 不放回地摸球. 求:
(1)在第一次没有摸到黑球的条件下，第二次也没有摸到黑球的概率;
(2)两次都没有摸到黑球的概率.
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解 用 分别表示第一次、第二次没有摸到黑球的事件.
(1)第一个问题是计算条件概率. 发生之后,罐子中还有
前一个公式适用于古典概率模型, 后一个公式适用于所有的情况.
两个球, 且其中一个是黑球, 所以
(2)第二个问题是计算 同时发生的概率. 已知 ,由概率的乘法公式,有
如果事件 与 独立,那么就有 , 从而条件概率
这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率. 反之, 若条件概率等于概率, 则两个事件是独立的.
练习 7.1(1)
练习7.1(1) · 1
- 一个家庭有两个孩子.
(1)已知年龄大的是女孩，求年龄小的也是女孩的概率；
(2)已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率.
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- (1) . (2) .
练习7.1(1) · 2
- 掷一颗骰子,令事件 . 求 、 及 .
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练习7.1(1) · 3
- 在一个盒子中有大小与质地相同的 20 个球, 其中 10 个红球, 10 个白球. 两人依次不放回地各摸 1 个球, 求:
(1)在第一个人摸出 1 个红球的条件下，第二个人摸出 1 个白球的概率；
(2)第一个人摸出 1 个红球，且第二个人摸出 1 个白球的概率.
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- (1) . (2) .
2 全概率公式
全概率公式是指一个事件发生的概率是其在不同条件下发生概率的加权平均, 这是一个简单直观的重要公式.
例题 3
例 3 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是 ,而它们的良品率分别是 0.96、0.90、0.93 . 问:该部件的总体良品率是多少？
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解 总体良品率显然不是三个良品率的简单平均, 而是与部件供应商的供货占比有关. 因此, 总体良品率为
即为这三个供应商良品率的加权平均, 而其中的权重就是供货占比.
这正应用了全概率公式的思想. 设某个随机试验的结果可以分成 种情况,即设样本空间 可分成 个两两不同时发生 (两两互斥)的事件 ,即
且当 时有 . 因此有
一个事件 的发生可以看作是在不同情况下分别发生,即成立
因此, 由概率的可加性和乘法公式, 得
于是我们得到全概率公式
所以 实际上是条件概率 的加权平均,而条件概率 的权重为 .
全概率公式是计算概率的一种重要方法. 现在我们用它来回答抽签时抽到好签的概率是否与抽签顺序有关的问题.
例题 4
例 4 证明: 在抽签的时候, 抽到好签的概率与抽签顺序没有关系.
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解 抽签的方式有两种:放回与不放回. 放回的情况很简单, 因为每次的结果是相互独立的, 所以当然与顺序无关. 对于不放回的情况, 我们用前面不放回摸球的例子来说明.
假设一个袋子中装有大小与质地相同的 3 个白球、 2 个黑球, 5 个人依次不放回地摸球, 下面证明每个人摸到白球的概率都是 .
用事件 表示第一个人摸到白球,事件 表示第二个人摸到白球. 显然, . 第二个人摸球的时候有两种可能的情况:一种是 发生，即第一个人摸到白球，这时袋子中剩有 2 白2黑; 另一种是 没有发生，即第一个人摸到黑球，这时袋子中剩有 3 白 1 黑. 在第一种情况下,条件概率为 ; 而在第二种情况下,条件概率为 . 由于上述两种情况发生的概率分别是 和 ,因此可以直观地看出 发生的概率应该是两个条件概率的加权平均, 即
全概率公式是概率的可加性与乘法公式的组合.
我们经常简单地说“抽签与顺序无关”，实际上是指抽到什么签的可能性与顺序无关.
其值与 相等.
第三个人摸球，记他摸到白球的事件为 ，其概率是多少呢? 前面两个人摸球会产生四种可能的情况:
用乘法公式, 这四种情况发生的概率分别是
例如,
其余同理. 在这四种情况下, 袋子中剩下的黑、白球的个数分别是: 1 白 2 黑、 2 白 1 黑、 3 白 0 黑,因此事件 的条件概率分别是 . 再应用全概率公式,就推出
其值仍与 相等.
类似地,第四、第五个人摸到白球的概率仍然是 ,也就是说, 摸到白球的概率与摸球的顺序无关.
例题 5
例 5 设有两个罐子, 罐中放有 2 个白球、 1 个黑球, 罐中放有 3 个白球,这些球的大小与质地相同. 现在从两个罐子中各摸 1 个球并交换,求这样交换 2 次后,黑球还在 罐中的概率.
请详细证明第四、 第五个人摸到白球的概率仍然是 .
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解 用 分别表示事件交换 1 次、 2 次后黑球还在 罐中. 易见 相当于第一次摸球的时候没有摸到黑球,其概率为 ,即 . 第一次交换之后,有两种可能的情况: 一种是黑球在 罐中,其概率是 ; 另一种是黑球在 罐中,其概率是 . 由全概率公式
其中 是已知黑球在 罐中、再次交换后还在 罐中的条件概率,它等于第二次没有摸到黑球的概率,是 ; 类似地, 是已知黑球在 罐中、再次交换后又回到 罐中的条件概率,它等于第二次摸到黑球的概率,是 . 因此
练习 7.1(2)
练习7.1(2) · 1
- 公司库房中的某个零件的 70% 来自 A 公司，30% 来自 B 公司，两个公司的正品率分别是 和 . 从库房中任取一个零件,求它是正品的概率.
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- 0.935.
练习7.1(2) · 2
- 盒子中有大小与质地相同的 5 个红球和 4 个白球, 从中随机取 1 个球, 观察其颜色后放回, 并同时放入与其相同颜色的球 3 个, 再从盒子中取 1 个球. 求第二次取出的球是白色的概率.
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- 设事件 表示第一次取出的是白球,事件 表示第二次取出的是白球,则
练习7.1(2) · 3
- 从一个放有大小与质地相同的 3 个黑球、2 个白球的袋子里摸出 2 个球并放入另外一个空袋子里, 再从后一个袋子里摸出 1 个球. 求该球是黑色的概率.
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3 贝叶斯公式
全概率公式是利用条件概率 与权重 来计算事件发生的概率 . 在某些场合下, 我们也需要计算在 发生的条件下 发生的概率 .
例题 6
例 6 已知人群中有 5%的人患有一种严重的疾病，而已有的检测方法很繁琐, 也很昂贵. 某公司自称发明了一种方便且成本低廉的医学检测方法, 已知这种方法对患有这种疾病的人检测时, 90%呈阳性反应, 而对不患有这种疾病的人检测时, 有 5%的人呈阳性反应. 从这两个数据看, 这种方法似乎是不错的, 管理部门该怎么评价它的准确率？
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解 首先要清楚什么是一个检测方法的准确率. 检测方法的准确率是指当一个人被检测呈阳性反应时, 他的确患有这种疾病的概率. 用事件 表示一个人患有此疾病, 就是患病率,并用事件 来表示其检测呈阳性. 我们要计算条件概率 . 由已知条件,患病率 ,患病者检测呈阳性的概率 ,非患病者检测呈阳性的概率 . 由全概率公式, 有
再由条件概率公式及概率的乘法公式, 就得到
这说明其准确率不到 ,管理部门可由此断定这不是一个有效的检测方案.
上面计算概率 的公式的一般形式称为贝叶斯公式, 即对 ,成立
实际上, 由乘法公式得
因此
再对分母应用全概率公式即推出贝叶斯公式.
对于任意给定的 来说, 称为事件 的先验概率 (prior probability). 一个已经发生了的事件 可以看作一个新的信息. 在 发生的条件下, 的概率 可以看作对原概率 的一个矫正,称为后验概率 (posterior probability).
贝叶斯公式提供了一种通过不断学习经验来认识随机现象的思想, 是机器学习的理论基础之一.
贝叶斯公式诱导出一种统计学观点, 也是哲学观点: 事件的概率可以根据出现的新信息进行修正.
练习 7.1(3)
练习7.1(3) · 1
- 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2 :1,货车中途停车修理的概率为 0.02，客车中途停车修理的概率为 0.01 . 今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率.
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练习7.1(3) · 2
- 已知在所有男子中有 5% 患有色盲症，在所有女子中有 0.25% 患有色盲症. 现随机抽取一人发现患有色盲症，问:其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等)
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习题 7.1
A 组
习题7.1A · 1
- 掷一颗骰子所得的样本空间为 . 令事件 , 5,6}. 求 .
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习题7.1A · 2
- 将一枚质地均匀的硬币抛掷 2 次，设事件 为 “第一次出现正面”，事件 为 “第二次出现正面”. 求 与 .
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习题7.1A · 3
- 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的产量分别占总产量的 15%、20%、30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05、0.04、0.03 和 0.02 从该厂的这一产品中任取一件, 抽到不合格品的概率是多少?
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- 0.031 5.
习题7.1A · 4
- 假设有两箱同种零件, 第一箱内装有 50 件, 其中 10 件为一等品; 第二箱内装有 30 件, 其中 18 件为一等品(两箱外观相同). 现从两箱中随意挑出一箱, 然后从该箱中先后随机地取出两个零件 (取出的零件不放回). 求先取出的零件是一等品的概率.
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B 组
习题7.1B · 1
- 设某种动物活到 20 岁的概率为 0.8 ，活到 25 岁的概率为 0.4 。现有一只 20 岁的该种动物, 它活到 25 岁的概率是多少?
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1.0.5.
习题7.1B · 2
- 袋中装有编号为 1 到 的 个球. 先从袋中任取一个球,若该球不是 1 号球,则放回袋中; 若是 1 号球, 则不放回, 然后再摸一次. 求第二次摸到 2 号球的概率.
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- 设事件 表示第 1 次摸到 1 号球,事件 表示第 2 次摸到 2 号球.