# 概率初步(续) ## 7.1 条件概率与相关公式 ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_0_0_3_1654_1170_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_0_0_3_1654_1170_0.jpg) 本章作为概率初步 (必修课程第 12 章) 的续篇，将重点介绍条件概率、概率的乘法公式以及全概率公式. 条件概率表示所考察的事件在其他事件发生的条件下的概率, 是概率论中的一个重要概念. 由条件概率可以得到全概率公式和贝叶斯公式等重要公式, 它们是计算概率的重要方法, 并进一步展示了概率的直观含义. 本章还将介绍随机变量的概念及其分布, 以及它们的期望与方差, 最后简单地介绍几个重要而基本的概率模型与正态分布. ### 1 条件概率 假设一个袋子里装有大小与质地相同的 2 个黑球、 3 个白球, 两人依次随机不放回地摸 1 个球, 可知第一个人摸到白球的概率为 $\frac{3}{5}$ ,那么第二个人摸到白球的概率是多少呢? 第二个人摸到白球的概率是否与第一个人相同？有的人会认为:如果第一个人摸到的是白球, 那么剩下的白球还有 2 个, 第二个人摸到白球的概率应是 $\frac{1}{2}$ ; 而如果第一个人摸到的是黑球,那么剩下的白球还有 3 个,第二个人摸到白球的概率应是 $\frac{3}{4}$ . 人们必然会产生疑惑:第二个人摸到白球的概率究竟是多少？ 其实, 我们刚才所说的是两个不同意义的概率: 一个是以前讨论过的概率, 一个则是本章要介绍的条件概率. 我们知道, 一个事件发生的概率是该事件的一个属性, 它不会因为其他事件是否发生而改变. 但是我们可以谈论在其他事件发生的条件下, 该事件发生的概率. 这时候谈论的就是条件概率, 而不是原本的概率. 从上面这个例子看,设事件 $A$ 是第一个人摸到白球,事件 $B$ 是第二个人摸到白球. 当 $A$ 发生之后,袋子里剩下 4 个球,其中 2 个白球、 2 个黑球. 这样, 对第二个摸球的人来说, 相应的随机现象就与第一个人摸球之前不同, 样本空间也不同了. 这时 $B$ 发生的概率是 $\frac{1}{2}$ ,这是条件概率. 什么是条件概率 (conditional probability)? 在古典概率模型中,事件 $A$ 发生之后,随机现象的结果就剩下事件 $A$ 中的基本事件,所以事件 $A$ 变成了由这些基本事件所构成的新的样本空间. 这个样本空间仍然是等可能的,这时事件 $B$ 发生的概率称为事件 $B$ 基于条件 $A$ 的概率,或在事件 $A$ 发生的条件下,事件 $B$ 发生的概率,或已知事件 $A$ 发生,事件 $B$ 发生的概率,记为 $P\left( {B \mid A}\right)$ . 事实上,这等于是在一个样本空间为 $A$ 的随机试验中,求事件 $A \cap B$ 发生的概率,即 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{\left| A \cap B\right| }{\left| A\right| }. $$ --- 注意“求事件 $A$ 发生且事件 $B$ 发生的概率”与“已知事件 $A$ 发生,求事件 $B$ 发生的概率”两者的不同. --- 将上式的分子、分母同时除以 $\left| \Omega \right|$ ,就得到条件概率公式: 在事件 $A$ 发生的条件下,事件 $B$ 发生的概率是 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{P\left( {A \cap B}\right) }{P\left( A\right) }. $$ 例 1 掷一颗骰子并观察出现的点数. 已知出现的点数不超过 3 ，求出现的点数是奇数的概率. 解 设事件 $A$ 表示“出现的点数不超过 3 ”，事件 $B$ 表示“出现的点数是奇数”. 题目所求概率是事件 $A$ 发生的条件下,事件 $B$ 发生的概率,也就是求 $P\left( {B \mid A}\right)$ . 因为 $A = \{ 1,2,3\} , B = \; \{ 1,3,5\}$ ,所以 $A \cap B = \{ 1,3\}$ ,从而 $P\left( {A \cap B}\right) = \frac{2}{6}$ . 因此 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{P\left( {A \cap B}\right) }{P\left( A\right) } = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{3}. $$ 如果已知相应的条件概率, 那么就可以计算两事件同时发生的概率: 事件 $A\text{ 、 }B$ 同时发生的概率等于 $A$ 发生的概率与在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生的概率的乘积,即 $$ P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( {B \mid A}\right) . $$ 这个公式称为概率的乘法公式. 例 2 一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球, 不放回地摸球. 求: (1)在第一次没有摸到黑球的条件下，第二次也没有摸到黑球的概率; (2)两次都没有摸到黑球的概率. 解 用 $A\text{ 、 }B$ 分别表示第一次、第二次没有摸到黑球的事件. (1)第一个问题是计算条件概率. $A$ 发生之后,罐子中还有 --- 前一个公式适用于古典概率模型, 后一个公式适用于所有的情况. --- 两个球, 且其中一个是黑球, 所以 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{1}{2}. $$ (2)第二个问题是计算 $A\text{ 、 }B$ 同时发生的概率. 已知 $P\left( A\right) = \frac{2}{3}, P\left( {B \mid A}\right) = \frac{1}{2}$ ,由概率的乘法公式,有 $$ P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( {B \mid A}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}. $$ 如果事件 $A$ 与 $B$ 独立,那么就有 $P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right)$ , 从而条件概率 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{P\left( {A \cap B}\right) }{P\left( A\right) } = \frac{P\left( A\right) P\left( B\right) }{P\left( A\right) } = P\left( B\right) . $$ 这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率. 反之, 若条件概率等于概率, 则两个事件是独立的. ### 练习 7.1(1) 1. 一个家庭有两个孩子. (1)已知年龄大的是女孩，求年龄小的也是女孩的概率； (2)已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率. 2. 掷一颗骰子,令事件 $A = \{ 2,3,5\} , B = \{ 1,2,4,5,6\}$ . 求 $P\left( A\right) \text{ 、 }P\left( B\right)$ 、 $P\left( {A \cap B}\right)$ 及 $P\left( {A \mid B}\right)$ . 3. 在一个盒子中有大小与质地相同的 20 个球, 其中 10 个红球, 10 个白球. 两人依次不放回地各摸 1 个球, 求: (1)在第一个人摸出 1 个红球的条件下，第二个人摸出 1 个白球的概率； (2)第一个人摸出 1 个红球，且第二个人摸出 1 个白球的概率. ### 2 全概率公式 全概率公式是指一个事件发生的概率是其在不同条件下发生概率的加权平均, 这是一个简单直观的重要公式. 例 3 假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是 $\frac{1}{2}\text{ 、 }\frac{1}{6}\text{ 、 }\frac{1}{3}$ ,而它们的良品率分别是 0.96、0.90、0.93 . 问:该部件的总体良品率是多少？ 解 总体良品率显然不是三个良品率的简单平均, 而是与部件供应商的供货占比有关. 因此, 总体良品率为 $$ {0.96} \times \frac{1}{2} + {0.90} \times \frac{1}{6} + {0.93} \times \frac{1}{3} = {0.48} + {0.15} + {0.31} = {0.94}, $$ 即为这三个供应商良品率的加权平均, 而其中的权重就是供货占比. 这正应用了全概率公式的思想. 设某个随机试验的结果可以分成 $n$ 种情况,即设样本空间 $\Omega$ 可分成 $n$ 个两两不同时发生 (两两互斥)的事件 ${\Omega }_{1},{\Omega }_{2},\cdots ,{\Omega }_{n}$ ,即 $$ \Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2} \cup \cdots \cup {\Omega }_{n}, $$ 且当 $i \neq j$ 时有 ${\Omega }_{i} \cap {\Omega }_{j} = \varnothing$ . 因此有 $$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}P\left( {\Omega }_{k}\right) = 1. $$ 一个事件 $A$ 的发生可以看作是在不同情况下分别发生,即成立 $$ A = \left( {A \cap {\Omega }_{1}}\right) \cup \left( {A \cap {\Omega }_{2}}\right) \cup \cdots \cup \left( {A \cap {\Omega }_{n}}\right) . $$ 因此, 由概率的可加性和乘法公式, 得 $$ P\left( A\right) = P\left( {A \cap {\Omega }_{1}}\right) + P\left( {A \cap {\Omega }_{2}}\right) + \cdots + P\left( {A \cap {\Omega }_{n}}\right) $$ $$ = P\left( {A \mid {\Omega }_{1}}\right) P\left( {\Omega }_{1}\right) + P\left( {A \mid {\Omega }_{2}}\right) P\left( {\Omega }_{2}\right) + \cdots + P\left( {A \mid {\Omega }_{n}}\right) P\left( {\Omega }_{n}\right) . $$ 于是我们得到全概率公式 $$ P\left( A\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}P\left( {A \mid {\Omega }_{k}}\right) P\left( {\Omega }_{k}\right) . $$ 所以 $P\left( A\right)$ 实际上是条件概率 $P\left( {A \mid {\Omega }_{k}}\right)$ 的加权平均,而条件概率 $P\left( {A \mid {\Omega }_{k}}\right)$ 的权重为 $P\left( {\Omega }_{k}\right) , k = 1,2,\cdots , n$ . 全概率公式是计算概率的一种重要方法. 现在我们用它来回答抽签时抽到好签的概率是否与抽签顺序有关的问题. 例 4 证明: 在抽签的时候, 抽到好签的概率与抽签顺序没有关系. 解 抽签的方式有两种:放回与不放回. 放回的情况很简单, 因为每次的结果是相互独立的, 所以当然与顺序无关. 对于不放回的情况, 我们用前面不放回摸球的例子来说明. 假设一个袋子中装有大小与质地相同的 3 个白球、 2 个黑球, 5 个人依次不放回地摸球, 下面证明每个人摸到白球的概率都是 $\frac{3}{5}$ . 用事件 $A$ 表示第一个人摸到白球,事件 $B$ 表示第二个人摸到白球. 显然, $P\left( A\right) = \frac{3}{5}$ . 第二个人摸球的时候有两种可能的情况:一种是 $A$ 发生，即第一个人摸到白球，这时袋子中剩有 2 白2黑; 另一种是 $A$ 没有发生，即第一个人摸到黑球，这时袋子中剩有 3 白 1 黑. 在第一种情况下,条件概率为 $P\left( {B \mid A}\right) = \; \frac{2}{4}$ ; 而在第二种情况下,条件概率为 $P\left( {B \mid \bar{A}}\right) = \frac{3}{4}$ . 由于上述两种情况发生的概率分别是 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{2}{5}$ ,因此可以直观地看出 $B$ 发生的概率应该是两个条件概率的加权平均, 即 $$ P\left( B\right) = \frac{2}{4} \times \frac{3}{5} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}, $$ --- 全概率公式是概率的可加性与乘法公式的组合. 我们经常简单地说“抽签与顺序无关”，实际上是指抽到什么签的可能性与顺序无关. --- 其值与 $P\left( A\right)$ 相等. 第三个人摸球，记他摸到白球的事件为 $C$ ，其概率是多少呢? 前面两个人摸球会产生四种可能的情况: $$ {\Omega }_{1} = A \cap B,{\Omega }_{2} = A \cap \bar{B},{\Omega }_{3} = \bar{A} \cap B,{\Omega }_{4} = \bar{A} \cap \bar{B}. $$ 用乘法公式, 这四种情况发生的概率分别是 $$ \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20},\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20},\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20},\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}. $$ 例如, $$ P\left( {\Omega }_{2}\right) = P\left( {A \cap \bar{B}}\right) = P\left( A\right) P\left( {\bar{B} \mid A}\right) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}, $$ 其余同理. 在这四种情况下, 袋子中剩下的黑、白球的个数分别是: 1 白 2 黑、 2 白 1 黑、 3 白 0 黑,因此事件 $C$ 的条件概率分别是 $\frac{1}{3}\text{ 、 }\frac{2}{3}\text{ 、 }\frac{2}{3}\text{ 、 }1$ . 再应用全概率公式,就推出 $$ P\left( C\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{4}P\left( {C \mid {\Omega }_{k}}\right) P\left( {\Omega }_{k}\right) $$ $$ = \frac{1}{3} \times \frac{6}{20} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{20} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{20} + 1 \times \frac{2}{20} $$ $$ = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}, $$ 其值仍与 $P\left( A\right)$ 相等. 类似地,第四、第五个人摸到白球的概率仍然是 $\frac{3}{5}$ ,也就是说, 摸到白球的概率与摸球的顺序无关. 例 5 设有两个罐子, $A$ 罐中放有 2 个白球、 1 个黑球, $B$ 罐中放有 3 个白球,这些球的大小与质地相同. 现在从两个罐子中各摸 1 个球并交换,求这样交换 2 次后,黑球还在 $A$ 罐中的概率. --- 请详细证明第四、 第五个人摸到白球的概率仍然是 $\frac{3}{5}$ . --- 解 用 ${A}_{1}\text{ 、 }{A}_{2}$ 分别表示事件交换 1 次、 2 次后黑球还在 $A$ 罐中. 易见 ${A}_{1}$ 相当于第一次摸球的时候没有摸到黑球,其概率为 $\frac{2}{3}$ ,即 $P\left( {A}_{1}\right) = \frac{2}{3}$ . 第一次交换之后,有两种可能的情况: 一种是黑球在 $A$ 罐中,其概率是 $\frac{2}{3}$ ; 另一种是黑球在 $B$ 罐中,其概率是 $\frac{1}{3}$ . 由全概率公式 $$ P\left( {A}_{2}\right) = P\left( {{A}_{2} \mid {A}_{1}}\right) P\left( {A}_{1}\right) + P\left( {{A}_{2} \mid {\bar{A}}_{1}}\right) P\left( {\bar{A}}_{1}\right) , $$ 其中 $P\left( {{A}_{2} \mid {A}_{1}}\right)$ 是已知黑球在 $A$ 罐中、再次交换后还在 $A$ 罐中的条件概率,它等于第二次没有摸到黑球的概率,是 $\frac{2}{3}$ ; 类似地, $P\left( {{A}_{2} \mid {\bar{A}}_{1}}\right)$ 是已知黑球在 $B$ 罐中、再次交换后又回到 $A$ 罐中的条件概率,它等于第二次摸到黑球的概率,是 $\frac{1}{3}$ . 因此 $$ P\left( {A}_{2}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9}. $$ ### 练习 7.1(2) 1. 公司库房中的某个零件的 70% 来自 A 公司，30% 来自 B 公司，两个公司的正品率分别是 ${95}\%$ 和 ${90}\%$ . 从库房中任取一个零件,求它是正品的概率. 2. 盒子中有大小与质地相同的 5 个红球和 4 个白球, 从中随机取 1 个球, 观察其颜色后放回, 并同时放入与其相同颜色的球 3 个, 再从盒子中取 1 个球. 求第二次取出的球是白色的概率. 3. 从一个放有大小与质地相同的 3 个黑球、2 个白球的袋子里摸出 2 个球并放入另外一个空袋子里, 再从后一个袋子里摸出 1 个球. 求该球是黑色的概率. ### 3 贝叶斯公式 全概率公式是利用条件概率 $P\left( {A \mid {\Omega }_{k}}\right)$ 与权重 $P\left( {\Omega }_{k}\right) \; \left( {k = 1,2,\cdots , n}\right)$ 来计算事件发生的概率 $P\left( A\right)$ . 在某些场合下, 我们也需要计算在 $A$ 发生的条件下 ${\Omega }_{k}$ 发生的概率 $P\left( {{\Omega }_{k} \mid A}\right) \; \left( {k = 1,2,\cdots , n}\right)$ . 例 6 已知人群中有 5%的人患有一种严重的疾病，而已有的检测方法很繁琐, 也很昂贵. 某公司自称发明了一种方便且成本低廉的医学检测方法, 已知这种方法对患有这种疾病的人检测时, 90%呈阳性反应, 而对不患有这种疾病的人检测时, 有 5%的人呈阳性反应. 从这两个数据看, 这种方法似乎是不错的, 管理部门该怎么评价它的准确率？ 解 首先要清楚什么是一个检测方法的准确率. 检测方法的准确率是指当一个人被检测呈阳性反应时, 他的确患有这种疾病的概率. 用事件 $B$ 表示一个人患有此疾病, $P\left( B\right)$ 就是患病率,并用事件 $A$ 来表示其检测呈阳性. 我们要计算条件概率 $P\left( {B \mid A}\right)$ . 由已知条件,患病率 $P\left( B\right) = {0.05}$ ,患病者检测呈阳性的概率 $P\left( {A \mid B}\right) = {0.9}$ ,非患病者检测呈阳性的概率 $P\left( {A \mid \bar{B}}\right) = {0.05}$ . 由全概率公式, 有 $$ P\left( A\right) = P\left( {A \mid B}\right) P\left( B\right) + P\left( {A \mid \bar{B}}\right) P\left( \bar{B}\right) $$ $$ = {0.9} \times {0.05} + {0.05} \times {0.95} = {0.0925}\text{ . } $$ 再由条件概率公式及概率的乘法公式, 就得到 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{P\left( {A \cap B}\right) }{P\left( A\right) } = \frac{P\left( {A \mid B}\right) P\left( B\right) }{P\left( A\right) } = \frac{{0.9} \times {0.05}}{0.0925} = \frac{18}{37}. $$ 这说明其准确率不到 $\frac{1}{2}$ ,管理部门可由此断定这不是一个有效的检测方案. 上面计算概率 $P\left( {B \mid A}\right)$ 的公式的一般形式称为贝叶斯公式, 即对 $i = 1,2,\cdots , n$ ,成立 $$ P\left( {{\Omega }_{i} \mid A}\right) = \frac{P\left( {A \mid {\Omega }_{i}}\right) P\left( {\Omega }_{i}\right) }{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}P\left( {A \mid {\Omega }_{k}}\right) P\left( {\Omega }_{k}\right) }. $$ 实际上, 由乘法公式得 $$ P\left( {A \mid {\Omega }_{i}}\right) P\left( {\Omega }_{i}\right) = P\left( {A \cap {\Omega }_{i}}\right) = P\left( A\right) P\left( {{\Omega }_{i} \mid A}\right) , $$ 因此 $$ P\left( {{\Omega }_{i} \mid A}\right) = \frac{P\left( {A \mid {\Omega }_{i}}\right) P\left( {\Omega }_{i}\right) }{P\left( A\right) }, $$ 再对分母应用全概率公式即推出贝叶斯公式. 对于任意给定的 $i$ 来说, $P\left( {\Omega }_{i}\right)$ 称为事件 ${\Omega }_{i}$ 的先验概率 (prior probability). 一个已经发生了的事件 $A$ 可以看作一个新的信息. 在 $A$ 发生的条件下, ${\Omega }_{i}$ 的概率 $P\left( {{\Omega }_{i} \mid A}\right)$ 可以看作对原概率 $P\left( {\Omega }_{i}\right)$ 的一个矫正,称为后验概率 (posterior probability). 贝叶斯公式提供了一种通过不断学习经验来认识随机现象的思想, 是机器学习的理论基础之一. --- 贝叶斯公式诱导出一种统计学观点, 也是哲学观点: 事件的概率可以根据出现的新信息进行修正. --- ### 练习 7.1(3) 1. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2 :1,货车中途停车修理的概率为 0.02，客车中途停车修理的概率为 0.01 . 今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 2. 已知在所有男子中有 5% 患有色盲症，在所有女子中有 0.25% 患有色盲症. 现随机抽取一人发现患有色盲症，问:其为男子的概率是多少？(设男子和女子的人数相等) ### 习题 7.1 #### A 组 1. 掷一颗骰子所得的样本空间为 $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$ . 令事件 $A = \{ 2,3,5\} , B = \{ 1,2,4$ , 5,6\}. 求 $P\left( {B \mid A}\right)$ . 2. 将一枚质地均匀的硬币抛掷 2 次，设事件 $A$ 为 “第一次出现正面”，事件 $B$ 为 “第二次出现正面”. 求 $P\left( {A \mid B}\right)$ 与 $P\left( {B \mid A}\right)$ . 3. 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的产量分别占总产量的 15%、20%、30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为 0.05、0.04、0.03 和 0.02 从该厂的这一产品中任取一件, 抽到不合格品的概率是多少? 4. 假设有两箱同种零件, 第一箱内装有 50 件, 其中 10 件为一等品; 第二箱内装有 30 件, 其中 18 件为一等品(两箱外观相同). 现从两箱中随意挑出一箱, 然后从该箱中先后随机地取出两个零件 (取出的零件不放回). 求先取出的零件是一等品的概率. #### B 组 1. 设某种动物活到 20 岁的概率为 0.8 ，活到 25 岁的概率为 0.4 。现有一只 20 岁的该种动物, 它活到 25 岁的概率是多少? 2. 袋中装有编号为 1 到 $N$ 的 $N$ 个球. 先从袋中任取一个球,若该球不是 1 号球,则放回袋中; 若是 1 号球, 则不放回, 然后再摸一次. 求第二次摸到 2 号球的概率. ## 7.2 随机变量的分布与特征 ### 1 随机变量与分布 在许多情况下, 我们可以使用数来表示随机现象的结果. 生活中就有很多例子: (1)掷一颗骰子，用 $X$ 表示点数， $X = 6$ 表示掷出 6 点， $X = 1$ 表示掷出 1 点； (2)抛掷一枚硬币 10 次，用 $X$ 表示得到正面的次数，例如, $X = 5$ 表示 5 次是正面; (3)从一个放有大小与质地相同的 10 个白球、 10 个黑球的罐子中摸出 5 个球,用 $X$ 表示其中白球的个数; (4)用 $X$ 表示明天的降雨量(单位:mm)； (5)用 $X$ 表示保险公司某客户一年中的车辆损失(单位:元). 在这些例子中, 我们都是用数来表示随机现象的结果, 这引出随机变量这个重要的概念. 在本章中, 除 7.3 节外, 我们总是假设样本空间是有限的. 这时,以样本空间作为定义域的一个函数 $X$ 称为一个随机变量 (random variable),即对样本空间 $\Omega$ 中任意给定的元素 $\omega$ ,都有唯一的实数 $X\left( \omega \right)$ 与之对应. 尽管随机变量的名字中用了“变量”这两个字，但实际上它是一个函数. 随机变量的取值在随机现象发生前是随机的, 且其取某一具体值这一事件的概率是该随机变量在该值上的分布. 分布是日常生活中经常使用的一个词, 如收入分布、人口分布、年龄分布、成绩分布等. 在数学中, 分布的定义如下: 随机变量所有可能的取值以及相应的概率, 称为随机变量的分布. 注意,在上述定义中,随机变量 $X$ 的所有可能取值 (以 $X$ 作为观察角度的所有结果) 的概率的和等于 1 . 分布的表示方法很多, 常用图表来表示, 这比较直观易懂. 例如, 下面例 1 中的分布, 第一行表示随机变量的取值, 第二行表示相应取值的概率. 例 1 分别抛掷 1、2、3 枚硬币，计算其中正面朝上枚数 $X$ 的分布. 解(1)先考虑抛掷 1 枚硬币的情形. 此时 $X$ 的可能取值是 0、1，且 $P\left( {X = 0}\right) = P\left( {X = 1}\right) = \frac{1}{2}$ ，所以 $X$ 的分布是 $$ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right) $$ (2)再考虑抛掷 2 枚硬币的情形. 此时 $X$ 的可能取值是 0 、 1、2，分别表示两个反面、一正一反、两个正面这三个事件，因为 $P\left( {X = 0}\right) = P\left( {X = 2}\right) = \frac{1}{4}, P\left( {X = 1}\right) = \frac{1}{2}$ ,所以 $X$ 的分布是 $$ \left( \begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}\right) $$ 让我们用这个例子来详细解释一下随机变量. 用 $H$ 及 $T$ 分别表示正反面, 那么样本空间 $$ \Omega = \{ {HH},{HT},{TH},{TT}\} $$ 是等可能的. 随机变量 $X$ 是正面朝上的个数,故 $$ X\left( {HH}\right) = 2, X\left( {HT}\right) = 1, X\left( {TH}\right) = 1, X\left( {TT}\right) = 0, $$ 且 $$ \{ X = 0\} = \{ {TT}\} , $$ $$ \{ X = 1\} = \{ {HT},{TH}\} , $$ $$ \{ X = 2\} = \{ {HH}\} $$ 分别包含 1、2 及 1 个元素，因此概率分别是 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{2}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ . (3)若抛掷 3 枚硬币，则 $X$ 的可能取值是 0、1、2、3，分别表示三个反面、一正两反、两正一反、三个正面这四个事件, 而 $$ P\left( {X = 0}\right) = P\left( {X = 3}\right) = \frac{1}{8}, $$ $$ P\left( {X = 1}\right) = P\left( {X = 2}\right) = \frac{3}{8}, $$ 所以 $X$ 的分布是 $$ \left( \begin{array}{llll} 0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} & \frac{1}{8} \end{array}\right) $$ 例 2 掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数 $X$ 的分布； (2)只关心点数 6 是否出现. 若出现,则记 $Y = 1$ ,否则记 $Y = 0$ . 求 $Y$ 的分布. 解(1)因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数 $X$ 的分布为 $$ \left( \begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{array}\right) . $$ ( 2 )因为 $P\left( {Y = 1}\right) = \frac{1}{6}$ ，而 $P\left( {Y = 0}\right) = \frac{5}{6}$ ，所以 $Y$ 的分布为 $$ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \end{matrix}\right) $$ --- 一般要求概率值是正数, 因为 0 概率值在分布中所处的这一列总可以删去. --- 当随机变量取所有值的概率均相等时, 称它是等可能分布或均匀分布的, 如例 1 (1) 与例 2 (1). 另外, 只取两个值的随机变量称为伯努利型, 其分布称为伯努利分布, 如例 1(1) 与例 2(2). 一个如下形式的图表被称为一个分布: $$ \left( \begin{array}{llll} {x}_{1} & {x}_{2} & \cdots & {x}_{n} \\ {p}_{1} & {p}_{2} & \cdots & {p}_{n} \end{array}\right) $$ Q --- 分布直观上表示总值为 1 的量是怎么分布在一些数上的. --- 其中 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$ 是互异的实数, ${p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}$ 是非负数, 作为概率值, 其总和为 1 , 即成立 $$ {p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n} = 1. $$ 例 3 统计某地历史上近两百年的年降水量，得到以下数据:
年降水量/mm0~100100~200200~300300~400400 以上
年数1055853515
请据此构造一个随机变量并求其分布. 解 用 $X$ 表示年降水量级别, $X = 1\text{ 、 }2\text{ 、 }3\text{ 、 }4\text{ 、 }5$ 分别表示年降水量为 0~100、100~200、200~300、300~400 和 400 以上. $X$ 是一个随机变量,其分布为 $$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \frac{2}{40} & \frac{11}{40} & \frac{17}{40} & \frac{7}{40} & \frac{3}{40} \end{matrix}\right) . $$ 分布通常可用更直观的图像来表示, 如下面的条形图 (图 7-2-1)所示. ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_12_283_365_698_358_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_12_283_365_698_358_0.jpg) 图 7-2-1 ### 练习 7.2(1) 1. 掷两颗骰子，用 $X$ 表示两点数差的绝对值. 求 $X$ 的分布. 2. 以下是分布的为 ( ) A. $\left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$ ; B. $\left( \begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{matrix}\right)$ ; C. $\left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \end{array}\right)$ ; D. $\left( \begin{matrix} 1 & {1.2} & 2 & {2.4} \\ - {0.5} & {0.5} & {0.3} & {0.7} \end{matrix}\right)$ . ### 2 期望 --- 期望是概率论中的一个重要概念, 它的全称是数学期望, 简称期望, 也称均值. 因为期望实际上是由某个分布所确定的. 所以也称为该分布的期望. --- 随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布. 把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值， 称为随机变量的期望 (expectation): 定义 如果随机变量 $X$ 的分布是 $$ \left( \begin{array}{llll} {x}_{1} & {x}_{2} & \cdots & {x}_{n} \\ {p}_{1} & {p}_{2} & \cdots & {p}_{n} \end{array}\right) $$ 那么它的期望定义为如下的加权平均: Q $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = {x}_{1}{p}_{1} + {x}_{2}{p}_{2} + \cdots + {x}_{n}{p}_{n}. $$ --- 数学期望是一个加权平均, 其中的权是随机变量取值对应的概率. --- 例 4 (1)掷一颗骰子，求掷得点数的期望； (2)掷两颗骰子，求掷得点数和的期望. 解(1)掷一颗骰子，掷得点数 $X$ 的期望是 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} $$ $$ = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = {3.5}. $$ (2)掷两颗骰子，掷得点数和 $X$ 的分布为 $$ \left( \begin{matrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & {10} & {11} & {12} \\ \frac{1}{36} & \frac{2}{36} & \frac{3}{36} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{5}{36} & \frac{4}{36} & \frac{3}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36} \end{matrix}\right) , $$ 其期望为 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = 2 \times \frac{1}{36} + 3 \times \frac{2}{36} + 4 \times \frac{3}{36} + 5 \times \frac{4}{36} + 6 \times \frac{5}{36} + 7 \times \frac{6}{36} + $$ $$ 8 \times \frac{5}{36} + 9 \times \frac{4}{36} + {10} \times \frac{3}{36} + {11} \times \frac{2}{36} + {12} \times \frac{1}{36} $$ $$ = 7\text{ . } $$ 例 5 抛掷 $n$ 枚硬币,用 $X$ 表示正面朝上的硬币数. 求它的分布及期望. 解 抛掷 $n$ 枚硬币是一个古典概率模型,其基本事件是 $$ \left( \frac{n\text{ 枚 }}{*,*,\cdots , * }\right) \text{ , } $$ 其中,括号里的每一个 * 表示每一枚硬币抛掷的结果: 正面朝上 $\left( H\right)$ 或者反面朝上 $\left( T\right)$ . 所以,抛掷 $n$ 枚硬币的随机试验的样本空间中有 ${2}^{n}$ 个元素. 事件 $X = k$ 表示 “出现 $k$ 个正面朝上”,即其中有 $k$ 个 $H$ 、 $\left( {n - k}\right)$ 个 $T$ 的基本事件全体. 用选择性必修课程第 6 章介绍的排列组合方法, $X = k$ 这个事件含有的基本事件数为在 $n$ 个位置上取 $k$ 个位置放置 $H$ 的组合数 ${\mathrm{C}}_{n}^{k}$ . $X$ 的取值范围是 $k = 0,1,2,\cdots , n$ ,有 $$ P\left( {X = k}\right) = \frac{{\mathrm{C}}_{n}^{k}}{{2}^{n}}. $$ 有了 $X$ 的分布,就可以得到 $X$ 的期望,为 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{k{\mathrm{C}}_{n}^{k}}{{2}^{n}}. $$ 当 $k \geq 1$ 时,有 $$ k{\mathrm{C}}_{n}^{k} = \frac{{kn}!}{k!\left( {n - k}\right) !} = \frac{n!}{\left( {k - 1}\right) !\left( {n - k}\right) !} $$ $$ = n\frac{\left( {n - 1}\right) !}{\left( {k - 1}\right) !\left( {n - k}\right) !} = n{\mathrm{C}}_{n - 1}^{k - 1}, $$ 由选择性必修课程 6.5 节中所介绍的二项式定理, 得所求的期望为 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\frac{k{\mathrm{C}}_{n}^{k}}{{2}^{n}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{n{\mathrm{C}}_{n - 1}^{k - 1}}{{2}^{n}} $$ $$ = \frac{n}{{2}^{n}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{C}}_{n - 1}^{k - 1} = \frac{n}{{2}^{n}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\mathrm{C}}_{n - 1}^{k} $$ $$ = \frac{n}{{2}^{n}} \times {2}^{n - 1} = \frac{n}{2}. $$ 掷一颗骰子，掷得点数的期望是 3.5 ，甚至不是一个整数， 那么，期望到底有什么意义呢？实际上，期望的意义在多次重复试验中可以明显地体现出来. 例如,重复掷一颗骰子 $n$ 次,所得到的点数分别记为 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$ ,那么,当 $n$ 很大时,平均点数必定逼近于期望, 即成立 $$ \frac{{X}_{1} + {X}_{2} + \cdots + {X}_{n}}{n} \approx {3.5}. $$ 这个结果类似于在必修课程 12.3 节中所述的伯努利大数定律. 随机变量的期望是一个确定的数, 它满足下面两个性质. --- 请同学们尝试完成性质 1 的证明. --- #### 期望的线性性质 1. 如果 $X$ 是一个随机变量, $a$ 是一个实数,那么 $$ E\left\lbrack {aX}\right\rbrack = {aE}\left\lbrack X\right\rbrack . $$ 2. 如果 $X\text{ 、 }Y$ 是两个随机变量,那么 $$ E\left\lbrack {X + Y}\right\rbrack = E\left\lbrack X\right\rbrack + E\left\lbrack Y\right\rbrack . $$ 性质 1 的证明是容易的, 性质 2 的证明超出所学的知识范围. 这两个性质的证明这里均略去, 只列出它们的结论. 为了方便, 我们把一个确定的常数也看作一个随机变量, 称为常数随机变量. 常数随机变量是确定的, 没有随机性, 它的期望等于它本身. 例 4(2)中求得点数之和的期望是 7 ，这是通过分布来计算的. 更方便的方法是利用期望的性质来计算. 用 ${X}_{1}$ 、 ${X}_{2}$ 分别表示掷第一颗及第二颗骰子得到的点数,那么 ${X}_{1} + {X}_{2}$ 就是两颗骰子的点数之和. 这样, 根据期望的线性性质, 并利用例 4(1) 的结果, 就得到 $$ E\left\lbrack {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack = E\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack + E\left\lbrack {X}_{2}\right\rbrack = {3.5} + {3.5} = 7. $$ ### 练习 7.2(2) 1. 抛掷 4 枚硬币,用 $X$ 表示正面朝上的枚数. 求 $X$ 的期望. 2. 从一个放有大小与质地相同的 5 个白球、4 个黑球的罐子中不放回地摸 3 个球, 用 $X$ 表示摸到的白球数. 求 $X$ 的期望. 通过前面的学习，我们不仅能够时刻感知无处不在的随机性， 还能够感知随机性的大小. 一般来说, 如果某件事发生的可能性很大或者很小, 它的随机性就相对较小. 例如, 抛掷一枚硬币, 正面和反面朝上的概率都是 $\frac{1}{2}$ ,而掷一颗骰子得到 “ 6 ”与 “非 6 ”两个结果的概率则是 $\frac{1}{6}$ 与 $\frac{5}{6}$ . 相比之下,抛掷硬币的结果更不确定,所以随机性更大. 与之比较, 买彩票中奖的概率要小很多, 因此随机性更小. 人们经常把随机性很小 (概率接近 0 或 1 ) 的事件近似为确定的事件，即近似确定不发生或近似确定发生，此时，就模糊了确定性和随机性的界限，把“确定”当作是随机性非常小的代名词. 期望大体上表示一个随机变量的“中间”态. 随机变量的取值虽不确定, 但总是分布在期望的两侧, 可能远也可能近. 通俗地说, 如果一个随机变量分布在期望两侧比较远的地方, 就说这个随机变量比较分散. 反过来, 如果一个随机变量分布在期望两侧比较近的地方, 就说这个随机变量比较集中. 数学上用什么指标来衡量随机变量的分散度呢? 按照上面的分析,对随机变量 $X$ 而言,我们用 $X$ 与其期望的偏差的平方的期望, 即 $$ E\left\lbrack {\left( X - E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}\right\rbrack $$ 来衡量随机变量 $X$ 的分散度,称为 $X$ 的方差 (variance),记为 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ . Q 定义 随机变量 $X$ 的方差 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ 定义为 $$ D\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {\left( X - E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}\right\rbrack . $$ 考虑一个极端的情况. 如果 $X$ 是一个常数随机变量,那么就有 $D\left\lbrack X\right\rbrack = 0$ . 这说明一个确定的量的分散度为零. 反之,如果 $D\left\lbrack X\right\rbrack = 0$ ,那么 $X$ 就是一个常数随机变量. 这说明分散度为零的量必是一个确定的量. 下面推导一个更方便使用的方差公式. 事实上, 根据期望的线性性质,并注意到 $E\left\lbrack X\right\rbrack$ 是一个常数,就有 $$ D\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {{X}^{2} - {2XE}\left\lbrack X\right\rbrack + {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}}\right\rbrack $$ $$ = E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack - {2E}\left\lbrack {{XE}\left\lbrack X\right\rbrack }\right\rbrack + E\left\lbrack {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}\right\rbrack $$ $$ = E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack - 2{\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2} + {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2} $$ $$ = E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack - {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}. $$ --- 事件可以看成是一个随机变量:发生定义为 1 , 不发生定义为 0 . 这样, 随机性大小与分散度大小实际上是统一的. 方差是 $X - E\left\lbrack X\right\rbrack$ 平方之后的期望, 它与期望 $E\left\lbrack X\right\rbrack$ 的尺度不同. 统计中经常使用标准差 $\sqrt{D\left\lbrack X\right\rbrack }$ 来代替方差. --- 这样，就得到方差的如下计算公式: $$ D\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack - {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}. $$ 例 6 掷一颗骰子,用 $X$ 表示掷得的点数. 求 $X$ 的方差. 解 由本节例 4 可知 $X$ 的期望 $E\left\lbrack X\right\rbrack = {3.5}$ ,现在需要计算 $E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack$ ,为此先计算 ${X}^{2}$ 的分布. 显然, ${X}^{2}$ 的取值是 ${1}^{2}\text{ 、 }{2}^{2}$ 、 ${3}^{2}\text{ 、 }{4}^{2}\text{ 、 }{5}^{2}\text{ 、 }{6}^{2}$ ,且 $$ P\left( {{X}^{2} = {k}^{2}}\right) = P\left( {X = k}\right) = \frac{1}{6}, k = 1,2,\cdots ,6. $$ 于是 $$ E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack = {1}^{2} \times \frac{1}{6} + {2}^{2} \times \frac{1}{6} + {3}^{2} \times \frac{1}{6} + {4}^{2} \times \frac{1}{6} + {5}^{2} \times \frac{1}{6} + {6}^{2} \times \frac{1}{6} $$ $$ = \frac{{1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + {4}^{2} + {5}^{2} + {6}^{2}}{6} $$ $$ = \frac{91}{6}\text{ . } $$ 因此 $$ D\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack - {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2} = \frac{91}{6} - {3.5}^{2} = \frac{35}{12}. $$ 例 6 中 $E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack$ 的计算实际上无需求助于 ${X}^{2}$ 的分布,只要知道 $X$ 自身的分布就够了. 事实上,若 $X$ 的取值为 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots$ , ${x}_{n}$ ,而相应的概率为 ${p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}$ ,就有 $$ E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack = {x}_{1}^{2}{p}_{1} + {x}_{2}^{2}{p}_{2} + \cdots + {x}_{n}^{2}{p}_{n}. $$ 方差有以下两个性质: #### 方差的性质 1. 如果 $x$ 是一个随机变量, $a$ 是一个实数,那么 $$ D\left\lbrack {aX}\right\rbrack = {a}^{2}D\left\lbrack X\right\rbrack . $$ 2. 如果 $X\text{ 、 }Y$ 分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量, 那么 $$ D\left\lbrack {X + Y}\right\rbrack = D\left\lbrack X\right\rbrack + D\left\lbrack Y\right\rbrack . $$ 性质 1 的证明是容易的, 但性质 2 的证明超出所学的知识范围. 这两个性质的证明这里均略去, 只列出它们的结论. 例 7 掷两颗骰子,掷得的点数分别为 $X\text{ 、 }Y$ . 求点数和 $X + Y$ 与点数差 $X - Y$ 的期望与方差. 解 本节例 4 说明 $E\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack Y\right\rbrack = {3.5}$ ,本节例 6 说明 $D\left\lbrack X\right\rbrack \; = D\left\lbrack Y\right\rbrack = \frac{35}{12}.$ --- 请同学们尝试完成性质 1 的证明. --- 由期望的线性性质, 可得 $$ E\left\lbrack {X + Y}\right\rbrack = E\left\lbrack X\right\rbrack + E\left\lbrack Y\right\rbrack = 7, $$ $$ E\left\lbrack {X - Y}\right\rbrack = E\left\lbrack X\right\rbrack + E\left\lbrack {-Y}\right\rbrack = E\left\lbrack X\right\rbrack - E\left\lbrack Y\right\rbrack = 0. $$ 因为掷两颗骰子是两个独立的随机试验,而 $X\text{ 、 }Y$ 分别是这两个独立试验所对应的随机变量, 所以由方差的性质可得 $$ D\left\lbrack {X + Y}\right\rbrack = D\left\lbrack X\right\rbrack + D\left\lbrack Y\right\rbrack = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}, $$ $$ D\left\lbrack {X - Y}\right\rbrack = D\left\lbrack {X + \left( {-Y}\right) }\right\rbrack = D\left\lbrack X\right\rbrack + D\left\lbrack {-Y}\right\rbrack $$ $$ = D\left\lbrack X\right\rbrack + {\left( -1\right) }^{2}D\left\lbrack Y\right\rbrack = D\left\lbrack X\right\rbrack + D\left\lbrack Y\right\rbrack $$ $$ = \frac{35}{6}\text{ . } $$ 综上所述, 一个随机变量是以其样本空间为定义域的函数, 期望描述它的中心位置, 而方差描述此随机变量对其期望的偏离度, 即其随机程度. 期望与方差是随机变量最重要的两个特征. 它们是通过数字来描述的, 也称为数字特征. ### 练习 7.2(3) 1. 设 $X$ 是一个随机变量, $c$ 是常数. 求证: $X + c$ 的方差与 $X$ 的方差相等. 2. 已知随机变量 $X$ 的分布为 $$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ {0.4} & {0.2} & {0.4} \end{matrix}\right) , $$ 求 $X$ 的方差. ### 习题 7.2 ## A 组 1. 一袋中装有 6 个大小与质地相同的白球,编号为 1、2、3、4、5、6. 从该袋内随机取出 3 个球,记被取出球的最大号码数为 $X$ . 写出随机变量 $X$ 的分布. 2. 掷两颗骰子，用 $X$ 表示较大的点数 (在点数相同时， $X$ 表示共同的点数). 求 $X$ 的分布与期望. 3. 设某射手打靶环数 $X$ 的分布为 $$ \left( \begin{matrix} 7 & 8 & 9 & {10} \\ a & {0.1} & {0.3} & b \end{matrix}\right) $$ 已知期望 $E\left\lbrack X\right\rbrack = {8.9}$ . 求 $a\text{ 、 }b$ 的值. 4. 一袋中装有大小与质地相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)从中有放回地依次摸出 2 个球，求 2 球颜色不同的概率； (2)从中不放回地依次摸出 2 个球，记 2 球中白球的个数为 $X$ . 求 $X$ 的期望和方差. #### B 组 1. 编号为 1、2、3、4 的四名学生随机入座编号为 1、2、3、4 的座位，每个座位坐一人. 座位编号和学生编号一样时称为一个配对. 用 $X$ 表示配对数,求 $E\left\lbrack X\right\rbrack$ . 2. 已知一个随机变量 $X$ 的分布为 $$ \left( \begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{matrix}\right) $$ 若 $a + c = {2b}$ ,且 $E\left\lbrack X\right\rbrack = \frac{1}{3}$ ,求 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ 的值. 3. 一袋中装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小与质地相同的球. 依次摸两个球, 用 ${X}_{1}\text{ 、 }{X}_{2}$ 分别表示第一个及第二个球的编号. 在以下两种情况下分别求 ${X}_{1}\text{ 、 }{X}_{2}$ 以及两编号之和 ${X}_{1} + {X}_{2}$ 的分布,再分别验证等式 $E\left\lbrack {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack = E\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack + E\left\lbrack {X}_{2}\right\rbrack$ 与 $D\left\lbrack {{X}_{1} + {X}_{2}}\right\rbrack \; = D\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack + D\left\lbrack {X}_{2}\right\rbrack$ 是否成立. (1)放回; (2)不放回. 4. 先掷一颗骰子,记朝上的点数为 $X$ . 再抛掷 $X$ 枚硬币,记 $Y$ 为正面朝上的硬币数. 求 $Y$ 的分布、期望与方差. ### 课后阅读 ## 随机商品的定价与风险 商品是大家熟悉的东西，生活离不开商品. 除了通常的商品外，还有随机商品. 所谓随机商品, 就是其价值在购买的时候不确定, 在未来的某个时刻才会确定的商品, 如彩票、股票、保险等. 不确定性意味着风险(risk). 因为人们对于风险的需求或者偏好不同, 所以随机商品可以用来实现风险的转移. 有的人喜欢风险, 喜欢碰运气, 他就会买彩票, 也就是用不多的钱购买一个中大奖的微小机会; 相反, 有的人不喜欢风险, 他就会买保险, 保险源于人们对于未知风险的恐惧, 把自己未来不确定的损失换成确定的付出, 或者说付费让保险公司来分担风险. 一个基本的常识是，潜在收益越大，风险就越大，风险和收益是成正比的. 简单地说,随机商品的未来价值是一个随机变量 $X$ ,它在购买时的价格 (不计其他成本)应该就是它的期望. 为什么？因为由大数定律，在有很多人购买时，它的平均价值趋向于期望. 这就是说, 随机商品的定价通常是它的期望值. 但是随机商品的另外一个特征是风险,这通常由方差来衡量. 例如,比较一个中奖率为 $\frac{1}{100}$ ,奖金 100 元的彩票 $X$ ,与一个中奖率为 $\frac{1}{10000}$ ,奖金 10000 元的彩票 $Y$ ,两个彩票的期望是一样的,但是风险收益有很大的差别,比起彩票 $X$ ,彩票 $Y$ 中奖的可能性小,但是奖金却高得多,其实就是风险大, 但潜在的收益高. 风险是不确定性, 而方差是不确定性的一个度量指标, 因此方差可以看成是风险的一个指标. 例如,通过简单的计算可以知道,彩票 $Y$ 的方差大约百倍于彩票 $X$ 的方差. 要注意,风险是个内涵丰富的词,没有公认的数学定义,方差只是风险的一个指标, 体现风险的某种特征, 银行与企业经常使用另外一个指标: 损失超过某个警戒值的概率, 称为在险价值. ## 心理期望与数学期望 从中文字义看, 期望是内心的期待, 是涉及人的心理的, 可以说是心理期望, 概率中所说的期望是数学期望, 这个概念在费马和帕斯卡讨论分奖金问题时就产生了. 心理期望和数学期望两者有什么关系呢? 拿一个随机商品来说, 它的期望值是不是与人们的心理期望重合呢？在多数情况下的确如此，因为期望是随机商品在大样本条件下的平均价值. 但是在一些极端情况下, 两者明显是背离的. 考虑如下的游戏:请你抛掷 20 枚硬币，如果 20 枚都是正面朝上，那么你将得到 10 亿元，否则得 0 元. 这是一个随机产品，它的价值记为 $X$ ， $X$ 以大约一百万分之一的概率取值为 10 亿,剩余的概率取值为 0,因此数学期望 $E\left\lbrack X\right\rbrack$ 约等于 1000 . 问题是你愿意花多少钱玩这个游戏, 也就是问它的心理期望是多少. 我想在大多数人的心目中，它的价值是远远小于 1000 元的. 如果这还不能说服你, 那我们来看经典的圣彼得堡悖论. 考虑这样一个游戏: 不断地抛掷一枚硬币直到出现正面朝上为止,如果正面朝上出现在第 $n$ 次,那么你得到 ${2}^{n}$ 元. 记这个游戏的价值是 $X$ . 因为第 $n$ 次首次出现正面朝上这个事件发生的概率是 $\frac{1}{{2}^{n}}$ ,得到的钱数是 ${2}^{n}$ ,所以由 Q 期望公式可以看出 $X$ 的数学期望是无穷大. 按照数学期望来看,无论你花多少钱玩这个游戏都是值得的. 但根据调查, 很少有人愿意花 25 元去参加一次这样的游戏. 现在你可以抛掷一枚硬币试一下，然后考虑一下，你愿意花多少钱玩这个游戏呢？或者说它在你的心里价值几何? --- 圣彼得堡悖论是尼古拉・伯努利(N. Bernoulli, 他是证明大数定律的雅各布。 伯努利的侄子) 于 1738 年提出的. --- ## 7.3 常用分布 ### 1 二项分布 考虑如下问题: 一次测验共有 10 道选择题, 每题备有 4 个选项, 其中只有 1 个正确. 如果某学生随意猜测答题, 问其答对一半以上的概率有多大. 这样的概率计算具有普遍性, 现在就来讨论这种题型的概率计算. 设有一个伯努利试验,其成功概率为 $p\left( {0 < p < 1}\right)$ ,失败概率为 $q$ ,且 $p + q = 1$ . 独立地重复该伯努利试验 $n$ 次,用 $X$ 表示成功的次数. 把 $n$ 次试验看作具有 $n$ 个标号的位置,其中每个位置都有两种可能:成功或者失败，分别标记为 1 和 0 . “成功次数为 $k$ ” 的事件 $X = k$ 可以看作从 $n$ 个位置里选择 $k$ 个位置标记为 1,而其他标记为 0,这样的选择共有 ${\mathrm{C}}_{n}^{k}$ 种. 因为每次试验都是独立地进行,由独立性,每种标记发生的概率是 ${p}^{k}{q}^{n - k}$ . 由概率的可加性,成功次数为 $k$ 的概率为 $$ P\left( {X = k}\right) = {\mathrm{C}}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k}, $$ 其中 $k = 0,1,2,\cdots , n$ . 因为 ${\mathrm{C}}_{n}^{0} = {\mathrm{C}}_{n}^{n} = 1$ ,所以 $X$ 的分布可表示为 $$ \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & k & \cdots & n \\ {q}^{n} & {\mathrm{C}}_{n}^{1}p{q}^{n - 1} & {\mathrm{C}}_{n}^{2}{p}^{2}{q}^{n - 2} & \cdots & {\mathrm{C}}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k} & \cdots & {p}^{n} \end{matrix}\right) . $$ 从这个角度可以证明二项式定理 $$ \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{p}^{k}{q}^{n - k} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}P\left( {X = k}\right) = 1. $$ 这是这个分布被称为二项分布的理由. 定义 独立地重复一个成功概率为 $p$ 的伯努利试验 $n$ 次,其成功次数的分布称为二项分布 (binomial distribution),亦称成功次数 $X$ 服从二项分布 $B\left( {n, p}\right)$ . 独立重复伯努利试验是一个非常重要的概率模型, 在实际中经常出现. 例 1 独立地重复 $n$ 次成功概率为 $p$ 的伯努利试验,求至少有一次成功的概率. 解 用 $X$ 表示成功次数. 至少有一次成功相当于 $X > 0$ ,它的对立事件是 $X = 0$ . 由概率的性质,至少有一次成功的概率为 $$ P\left( {X > 0}\right) = 1 - P\left( {X = 0}\right) = 1 - {\left( 1 - p\right) }^{n}. $$ 当成功概率 $p$ 很小时,通常说成功是小概率事件. 虽然在一次试验中,小概率事件几乎不可能发生,但因为 $0 < p < 1$ ,有 $0 < 1 - p < 1$ ,当试验次数 $n$ 充分大时, ${\left( 1 - p\right) }^{n}$ 接近于零,即 $1 - {\left( 1 - p\right) }^{n}$ 接近于 1,所以至少一次成功的概率就会很大. 直观地说, 做一件事情, 不管成功概率多小, 只要执着地努力，重复的次数足够多，就有很大可能会成功. 如同俗语所说:失败是成功之母. 反过来说, 如果不断地重复, 小概率的坏事也终有可能发生. 例如, 开车一次发生事故的概率 $p$ 很小,但是如果每天开车,长期下去还是很有可能发生事故的. 所以，不仅每次开车都要格外小心，减小事故发生的概率 $p$ ,而且要尽可能地减少开车次数 $n$ ,这样就能使发生事故的概率尽量减小. 例 2 设 $X$ 服从二项分布 $B\left( {n, p}\right)$ ,求 $X$ 的期望与方差. 解 用 ${X}_{k}$ 表示第 $k$ 次随机试验的结果: 若成功,则 ${X}_{k} = 1$ ; 若失败,则 ${X}_{k} = 0$ . 总的成功次数 $X$ 可以表示为 $$ X = {X}_{1} + {X}_{2} + \cdots + {X}_{n}. $$ 按照定义, ${X}_{k}$ 的期望是 $$ E\left\lbrack {X}_{k}\right\rbrack = 1 \times p + 0 \times \left( {1 - p}\right) = p. $$ 所以, 由期望的线性性质, 得 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack + E\left\lbrack {X}_{2}\right\rbrack + \cdots + E\left\lbrack {X}_{n}\right\rbrack = {np}. $$ 用同样的方法可以计算 $X$ 的方差. 先计算 $D\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack$ . 因为 $E\left\lbrack {X}_{1}^{2}\right\rbrack = p$ ,所以 $$ D\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack = E\left\lbrack {X}_{1}^{2}\right\rbrack - {\left( E\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack \right) }^{2} = p - {p}^{2} = p\left( {1 - p}\right) . $$ 因为每次试验是独立地重复,所以 ${X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n}$ 是相互独立的,且 $D\left\lbrack {X}_{k}\right\rbrack = p\left( {1 - p}\right) , k = 1,2,\cdots , n$ . 由方差的性质, 有 $$ D\left\lbrack X\right\rbrack = D\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack + D\left\lbrack {X}_{2}\right\rbrack + \cdots + D\left\lbrack {X}_{n}\right\rbrack = {np}\left( {1 - p}\right) . $$ 由上式可见,方差关于概率 $p$ 是一个其图像开口向下的二次函数,且它在 $p = \frac{1}{2}$ 时达到最大值. 这说明,在成功概率是 $\frac{1}{2}$ 时, $X$ 的分散度最大; 而当 $p$ 与 $\frac{1}{2}$ 相差较大时, $X$ 的分散度较小. 这就从数学上诠释了前面所说的随机性大小与概率大小的直观关系. --- 如果不断地重复, 那么一个小概率事件终究会发生. --- ### 练习 7.3(1) 1. 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B\left( {n, p}\right)$ ,若 $E\left\lbrack X\right\rbrack = {30}, D\left\lbrack X\right\rbrack = {20}$ ,求 $p$ 的值. 2. 一批产品的二等品率为 0.3 . 从这批产品中每次随机取一件, 并有放回地抽取 20 次. 用 $X$ 表示抽到二等品的件数,求 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ . ## 2 超几何分布 再看另外一个常见的概率模型. 例 3 设袋中装有大小与质地相同的 6 个白球、 4 个黑球. 现在依次不放回地摸 5 个球,用 $X$ 表示摸出的白球个数. 求 $X$ 的分布. 解 首先, 因为所考虑的是白球的个数, 与摸球的顺序无关, 而且是不放回地摸球, 所以从随机性的角度讲, 依次摸出 5 个球和一次摸出 5 个球是一样的. 其次, 由于是不放回地摸球, 前面摸球的结果会影响后面摸球的结果, 因此考虑问题的方法应该不同于放回摸球的情况. 因为黑球只有 4 个,所以变量 $X$ 的取值范围是 $1\text{ 、 }2\text{ 、 }3\text{ 、 }4$ 、 5. 从 10 个球中取 5 个球的所有可能的取法, 不计顺序, 共有 ${\mathrm{C}}_{10}^{5}$ 种. 举例来说,事件 $X = 3$ 可以分为从 6 个白球中取 3 个,并从 4 个黑球中取 2 个这样两个步骤, 即 $$ P\left( {X = 3}\right) = \frac{{\mathrm{C}}_{6}^{3}{\mathrm{C}}_{4}^{2}}{{\mathrm{C}}_{10}^{5}}. $$ 所以, 一般地说, $$ P\left( {X = k}\right) = \frac{{\mathrm{C}}_{6}^{k}{\mathrm{C}}_{4}^{5 - k}}{{\mathrm{C}}_{10}^{5}}, k = 1,2,3,4,5. $$ 因此,如果一袋中装有大小与质地相同的 $a$ 个白球、 $b$ 个黑球,依次随机且不放回地取 $n$ 个球,用 $X$ 表示其中的白球数, 那么 $X$ 的分布可由下式给出: $$ P\left( {X = k}\right) = \frac{{\mathrm{C}}_{a}^{k}{\mathrm{C}}_{b}^{n - k}}{{\mathrm{C}}_{a + b}^{n}}. $$ 其中, $k$ 的取值范围由以下几个条件决定: 取得的白球个数不能超过 $n$ ,也不能超过 $a$ ; 同时,取得的黑球个数不能超过 $b$ ,即成立 $$ k \leq n, k \leq a, n - k \leq b. $$ 如果简单地约定: 当 $k < 0$ 或者 $k > n$ 时,组合符号 ${\mathrm{C}}_{n}^{k} = 0$ , 这样, $P\left( {X = k}\right)$ 式中的 $k$ 原则上就可以取任意的整数值. 定义 从一个装有大小与质地相同的 $a$ 个白球、 $b$ 个黑球的袋中随机且不放回地取 $n$ 个球,其中的白球数的分布称为超几何分布 (hyper-geometric distribution). 例 4 计算例 3 中 $X$ 的期望. 解 我们将利用期望的性质来进行计算. 从装有大小与质地相同的 $a$ 个白球、 $b$ 个黑球的袋子中不放回地随机取 $n$ 个球, $n$ 不能超过总个数 $a + b$ . 用 $X$ 表示其中的白球个数. 这可以想象成依次取球,用 ${X}_{k}$ 表示第 $k$ 次取球的结果: 如果是白球, ${X}_{k} = 1$ ; 如果是黑球, ${X}_{k} = 0$ . 那么 $$ X = {X}_{1} + {X}_{2} + \cdots + {X}_{n}. $$ 本章 7.1 节中例 4 已经证明, 抽签概率与顺序无关, 所以 $$ P\left( {{X}_{k} = 1}\right) = \frac{a}{a + b}, P\left( {{X}_{k} = 0}\right) = \frac{b}{a + b}. $$ 因此 $$ E\left\lbrack {X}_{k}\right\rbrack = \frac{a}{a + b}, $$ 从而 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {X}_{1}\right\rbrack + \cdots + E\left\lbrack {X}_{n}\right\rbrack = \frac{na}{a + b}, $$ 即 $X$ 的期望为取球的个数乘白球的比例. 这与放回摸球情况下取得白球个数的期望是一样的. 从二项分布的期望计算到超几何分布的期望计算, 可以看出, 虽然期望和方差是用分布来定义的, 但是其计算过程实际上不一定要用到分布, 而只要使用期望和方差的性质即可. 二项分布和超几何分布的区别, 实质上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的区别. 当 $a + b$ 远大于 $n$ 时,放回与不放回两种情况下的分布之间差别不大,即二项分布与超几何分布之间差别不大. --- 根据定义, $X$ 的期望为 $E\left\lbrack X\right\rbrack = \mathop{\sum }\limits_{k}k \cdot \frac{{\mathrm{C}}_{a}^{k}{\mathrm{C}}_{b}^{n - k}}{{\mathrm{C}}_{a + b}^{n}},$ $k$ 取遍它的取值范围. 此式的直接计算比较困难. 注意, 虽然期望是一样的, 但它们的分布是不同的, 一个是二项分布, 另一个是超几何分布. --- ## 练习 7.3(2) 1. 盒子中有大小与质地相同的 3 个白球、 1 个黑球, 若从中随机地摸出 2 个球, 求它们颜色不同的概率. 2. 从放有 6 黑 2 白共 8 颗珠子的袋子中抓 3 颗珠子,分别求黑珠颗数 $X$ 与白珠颗数 $Y$ 的分布、期望与方差. 3. 从一副去掉大小王牌的 52 张扑克牌中任取 5 张牌，求: (1)至少有一张黑桃的概率； (2)至少有一个对子(两张牌的数字一样)的概率. ## 3 正态分布 现今的信息时代，各媒体都充斥着数据，因此正确地理解数据成为非常重要的事. 正态分布已经是生活中一个常用的词了. 例如, 我们常提起学生的考试成绩是不是正态分布, 某个城市的家庭收入是不是正态分布，等等. 那么，究竟什么是正态分布呢? 平日所说的正态分布, 大体上是指数据对称地分布在某个中心值两边, 且离中心值越远, 分布得越少. 一包米的外包装上标示的质量是 5000 g,但实际上是有误差的. 假设包装米的公司没有故意偷工减料，计量员精确地检测所有在售的该种米, 把米包质量的频率分布直方图画出来, 会是一个什么形状呢? 图 7-3-1 中是一条峰值在 ${5000}\mathrm{\;g}$ 左右的曲线, 它具有一个单峰, 粗略展示了一个正态分布的形状. 实际上, 很多测量数据的分布都呈现出这样的形状. ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_24_198_1599_863_422_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_24_198_1599_863_422_0.jpg) 图 7-3-1 数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布: $$ {\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{{2\pi }{\sigma }^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}}, - \infty < x < + \infty , $$ 其中有两个参数: (1) $\mu$ 是该分布的期望或均值； (2) ${\sigma }^{2}$ 是该分布的方差，且总是假设 $\sigma > 0$ . 这个函数的图像如同钟形, 如图 7-3-2 所示. 该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线. ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_25_642_744_759_386_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_25_642_744_759_386_0.jpg) 图 7-3-2 为了理解“一个函数所表达的分布”，要说明两点:第一，分布是指总数为 1 的量以某种方式分布在直线上; 第二, 该函数图像与 $x$ 轴所夹部分的面积等于 1,但这个事实需要用到高等数学的知识才能证明. 定义 设 $X$ 是一个取实数值的随机变量. 如果对任何给定的实数 $a$ 与 $b\left( {a < b}\right) , X$ 落在区间 $\left( {a, b}\right)$ 上的概率 $P\left( {a < X < b}\right)$ 等于三条直线: $y = 0\text{ 、 }x = a\text{ 、 }x = b$ 与正态密度函数图像 $y = \; {\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( x\right)$ 所围的区域面积 (或者简称作此函数在该区间上的面积, 如图 7-3-3 所示),那么 $X$ 服从正态分布 (normal distribution), 或更准确地说, $X$ 服从参数为 $\mu \text{ 、 }{\sigma }^{2}$ 的正态分布,记为 $$ X \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right) . $$ ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_25_774_1776_488_309_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_25_774_1776_488_309_0.jpg) 图 7-3-3 当 $\mu = 0\text{ 、 }{\sigma }^{2} = 1$ 时,相应的正态分布称为标准正态分布,记作 $X \sim N\left( {0,1}\right)$ ,其密度函数 $$ y = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}, - \infty < x < + \infty $$ 称为标准正态分布的密度函数,简记作 $y = \varphi \left( x\right)$ . 实际上,一般的正态分布的密度函数总是标准正态分布的密度函数的某种平移和伸缩变换, 其形状保持钟形不变. 用 $\Phi \left( x\right)$ 表示标准正态分布的密度函数 $y = \varphi \left( x\right)$ 从 $- \infty$ 到 $x$ 的累计面积, 如图 7-3-4 所示, 称为标准正态分布函数. ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_26_370_850_519_249_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_26_370_850_519_249_0.jpg) 图 7-3-4 这个函数没有简单的表达式, 其函数值可通过近似计算得到. 我们也可以通过某些型号的计算器来查它或者它的反函数的值, 如 $$ \Phi \left( 1\right) \approx {0.8413},\Phi \left( 2\right) \approx {0.9772},\Phi \left( 3\right) \approx {0.9987},\cdots . $$ 容易验证 $y = \varphi \left( x\right)$ 是一个偶函数,所以该函数在区间 $\left( {-\infty , - x}\right)$ 上的面积等于其在区间 $\left( {x, + \infty }\right)$ 上的面积,如图 7-3-5 所示. 此外,由于 $y = \varphi \left( x\right)$ 与 $x$ 轴所围面积为 1,因此 $y = \Phi \left( x\right)$ 满足 $$ \Phi \left( {-x}\right) = 1 - \Phi \left( x\right) . $$ ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_26_371_1782_520_250_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_26_371_1782_520_250_0.jpg) 图 7-3-5 如果 $X \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ ,那么将 $X$ 平移再伸缩后将服从标准正态分布, 即成立 $$ \frac{X - \mu }{\sigma } \sim N\left( {0,1}\right) . $$ 这样,正态分布 $X \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ 的密度函数的图像是一条钟形曲线,它关于直线 $x = \mu$ 对称,其最大值在 $x = \mu$ 处达到. 在 $x = \mu$ 的左侧,函数严格增,而在 $x = \mu$ 的右侧,函数严格减,从而它是一条单峰曲线. 当区间 $\left( {a, b}\right)$ 在 $x$ 轴上平移时,显然当 $\mu$ 处于该区间的中心时,概率 $P\left( {a < X < b}\right)$ 即函数在区间 $\left( {a, b}\right)$ 上的面积达到最大. 因此,我们通常说正态分布集中在其期望 $\mu$ 的附近,即参数 $\mu$ 表示分布集中的位置. 另外一个参数 $\sigma$ 描述的是分布的集中程度. 从图 7-3-2 中可以看出,密度函数的最大值在 $x = \mu$ 处达到,其最大值为 $$ {\varphi }_{\mu ,{\sigma }^{2}}\left( \mu \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }, $$ 它与 $\sigma$ 成反比. 由于图像与 $x$ 轴之间的区域的总面积是一个固定值 1,因此当 $\sigma$ 变小时,最大值变大,钟形变 “高瘦”,分布向中心 $x = \mu$ 处集中; 反之,当 $\sigma$ 变大时,最大值变小,钟形变 “矮胖”,分布向 $x = \mu$ 的两边分散. 出于种种原因, 在测量的过程中总有误差存在. 通常我们总假设误差是一个服从正态分布的随机变量. 例 5 某公司生产的糖果每包标识质量是 ${500}\mathrm{\;g}$ ,但公司承认实际质量存在误差. 已知每包糖果的实际质量服从 $\mu = {500}$ 、 ${\sigma }^{2} = {2.5}^{2}$ 的正态分布. 问: 随意买一包糖果,其质量误差超过 $5\mathrm{\;g}$ (即 1%) 的可能性有多大?(结果精确到 0.1%) 解 用 $X$ 表示糖果质量,由题意,可知 $X \sim N\left( {{500},{2.5}^{2}}\right)$ . 要求 $\left| {X - {500}}\right| > 5$ 的概率,即求 $P\left( {\left| {X - {500}}\right| > 5}\right)$ 的值. 令 $Y = \frac{X - {500}}{2.5}$ ,则 $Y \sim N\left( {0,1}\right)$ . 因此,有 $$ P\left( {\left| {X - {500}}\right| > 5}\right) = P\left( {\left| Y\right| > 2}\right) = P\left( {Y > 2}\right) + P\left( {Y < - 2}\right) $$ $$ = {2\Phi }\left( {-2}\right) = 2\left( {1 - \Phi \left( 2\right) }\right) $$ $$ \approx 2 \times \left( {1 - {0.9772}}\right) = 2 \times {0.0228} $$ $$ = {0.0456} \approx {4.6}\% \text{ , } $$ 即误差超过 $5\mathrm{\;g}$ 的可能性约是 ${4.6}\%$ . 例 6 设 $X$ 为任取的某袋有包装误差的产品的质量, $X \sim N\left( {\mu ,{\sigma }^{2}}\right)$ . 分别求 $\left| {X - \mu }\right| < \sigma ,\left| {X - \mu }\right| < {2\sigma }$ 及 $\left| {X - \mu }\right| < {3\sigma }$ 的概率. (结果精确到 0.1%) 解 令 $$ Y = \frac{X - \mu }{\sigma }. $$ 那么 $P\left( {\left| {X - \mu }\right| < \sigma }\right) = P\left( {\left| Y\right| < 1}\right)$ . 而 $P\left( {\left| Y\right| < 1}\right)$ 是标准正态分布的密度函数在区间 $\left( {-1,1}\right)$ 上的面积,它等于函数在区间 $\left( {-\infty ,1}\right)$ 上的面积减去在区间 $\left( {-\infty , - 1}\right)$ 上的面积. 这样,就有 $$ P\left( {\left| Y\right| < 1}\right) = \Phi \left( 1\right) - \Phi \left( {-1}\right) = \Phi \left( 1\right) - \left( {1 - \Phi \left( 1\right) }\right) $$ $$ = {2\Phi }\left( 1\right) - 1 \approx 2 \times {0.8413} - 1 $$ $$ = {0.6826} \approx {68.3}\% \text{ . } $$ 同样， $$ P\left( {\left| Y\right| < 2}\right) = {2\Phi }\left( 2\right) - 1 \approx 2 \times {0.9772} - 1 = {0.9544} \approx {95.4}\% ; $$ $$ P\left( {\left| Y\right| < 3}\right) = {2\Phi }\left( 3\right) - 1 \approx 2 \times {0.9987} - 1 = {0.9974} \approx {99.7}\% . $$ 因此，随意购买一袋该产品，约有 68.3% 的可能性其质量在 $\mu$ 左右 $\sigma$ 的范围内; 约有 95.4% 的可能性其质量在 $\mu$ 左右 ${2\sigma }$ 的范围内; 约有 99.7% 的可能性其质量在 $\mu$ 左右 ${3\sigma }$ 的范围内,如图 7-3-6 所示. 这称为正态分布的 ${3\sigma }$ (sigma) 原则. ![bo_d4slos3ef24c73be0qug_28_283_1249_691_346_0.jpg](images/bo_d4slos3ef24c73be0qug_28_283_1249_691_346_0.jpg) 图 7-3-6 ## 练习 7.3(3) 1. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left( {-2,{\sigma }^{2}}\right)$ ,且 $P\left( {X \leq - 1}\right) = k$ . 求 $P\left( {X \leq - 3}\right)$ 的值. 2. 某校高中三年级 1600 名学生参加了区第一次高考模拟统一考试, 已知数学考试成绩 $X$ 服从正态分布 $N\left( {{100},{\sigma }^{2}}\right)$ (试卷满分为 150 分). 统计结果显示,数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的 $\frac{3}{4}$ ，则此次统考中成绩不低于 120 分的学生人数约为 ( ) A. 80 ; B. 100 ; C. 120 ; D. 200. ## 习题 7.3 ## A 组 1. 一名学生每天骑车上学, 从家到学校的途中经过 6 个路口. 假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 $\frac{1}{3}$ . (1)用 $X$ 表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求 $X$ 的分布； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 2. 从有 7 名男生的 15 名学生中任意选择 10 名,用 $X$ 表示其中的男生人数. 求 $P\left( {X = 4}\right)$ 的值. 3. 某学生参加一次考试, 已知在备选的 10 道试题中, 能答对其中的 6 道题. 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试,求该生答对试题数 $X$ 的分布. #### B 组 1. 从一副去掉大小王牌的 52 张扑克牌中任取 5 张牌，用 $X$ 表示其中黑桃的张数. 求 $X$ 的分布、期望与方差. 2. 对于本节例 4 中所定义的 ${X}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots , n}\right)$ ,设 $n = 2$ . 求: (1) $E\left\lbrack {{X}_{1}{X}_{2}}\right\rbrack$ ； (2) $E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack$ 与 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ . 3. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left( {3,{\sigma }^{2}}\right)$ ，且 $P\left( {1 \leq X \leq 5}\right) = {0.6}$ . 求 $P\left( {X > 5}\right)$ 的值. ## 内容提要 1. 条件概率公式 $$ P\left( {B \mid A}\right) = \frac{P\left( {B \cap A}\right) }{P\left( A\right) }. $$ 2. 全概率公式 $$ P\left( A\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}P\left( {A \mid {\Omega }_{k}}\right) P\left( {\Omega }_{k}\right) . $$ 3. 分布的形式 $$ \left( \begin{array}{llll} {x}_{1} & {x}_{2} & \cdots & {x}_{n} \\ {p}_{1} & {p}_{2} & \cdots & {p}_{n} \end{array}\right) $$ 4. 设随机变量 $X$ 的分布如上，那么其期望定义为 $$ E\left\lbrack X\right\rbrack = {x}_{1}{p}_{1} + {x}_{2}{p}_{2} + \cdots + {x}_{n}{p}_{n}; $$ 其方差定义为 $$ D\left\lbrack X\right\rbrack = E\left\lbrack {\left( X - E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}\right\rbrack = E\left\lbrack {X}^{2}\right\rbrack - {\left( E\left\lbrack X\right\rbrack \right) }^{2}. $$ 5. 期望的线性性质 (1)如果 $X$ 是一个随机变量， $a$ 是一个实数，那么 $$ E\left\lbrack {aX}\right\rbrack = {aE}\left\lbrack X\right\rbrack . $$ (2)如果 $X$ 、 $Y$ 是两个随机变量，那么 $$ E\left\lbrack {X + Y}\right\rbrack = E\left\lbrack X\right\rbrack + E\left\lbrack Y\right\rbrack . $$ 6. 二项分布:独立地重复一个成功概率为 $p$ 的伯努利试验 $n$ 次， $X$ 表示成功次数， 那么 $X$ 的分布为 $$ P\left( {X = k}\right) = {\mathrm{C}}_{n}^{k}{p}^{k}{\left( 1 - p\right) }^{n - k}, k = 0,1,2,\cdots , n, $$ 该分布称为二项分布. 7. 超几何分布:从一个装有大小与质地相同的 $a$ 个白球、 $b$ 个黑球的袋子中依次随机且不放回地取 $n$ 个球. 用 $X$ 表示其中白球的个数，则 $X$ 的分布称为超几何分布. 8. 正态分布* : 由钟形曲线 $$ y = \frac{1}{\sqrt{{2\pi }{\sigma }^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left( x - \mu \right) }^{2}}{2{\sigma }^{2}}} $$ 所刻画的分布称为正态分布. ## 复习题 ## A 组 1. 掷黄、白两颗骰子, 当黄色骰子的点数为 4 或 6 时, 求两颗骰子的点数之积大于 20 的概率. 2. 连续掷一颗骰子两次, 已知第一次掷出的是偶数点. 求第二次也掷出偶数点的概率. 3. 在 5 道题中有 3 道数学题和 2 道语文题. 如果不放回地依次抽取 2 道题，求: (1)第 1 次抽到数学题的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到数学题的概率； (3)在第 1 次抽到数学题的条件下，第 2 次也抽到数学题的概率. 4. 已知随机变量 $X$ 的分布为 $$ \left( \begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{matrix}\right) $$ 若 $E\left\lbrack X\right\rbrack = \frac{1}{3}, D\left\lbrack X\right\rbrack = \frac{5}{9}$ ,求 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 的值. 5. 同时抛掷两枚相同的均匀硬币,设随机变量 $X = 1$ 表示结果中有正面朝上, $X = 0$ 表示结果中没有正面朝上. 求 $E\left\lbrack X\right\rbrack$ 及 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ . 6. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 $X$ 表示所选 3 人中女生的人数. 求: (1) $X$ 的分布； (2) $X$ 的期望与方差； (3)“所选 3 人中女生人数 $X \leq 1$ ”的概率. 7. 一批产品的二等品率为 0.02 从这批产品中每次随机取一件, 有放回地抽取 100 次. 用 $X$ 表示抽到的二等品件数,求 $D\left\lbrack X\right\rbrack$ . 8. 袋中有 10 个大小与质地相同的球, 其中 7 个是红球. 从中任取 5 个球, 求取出的球中红球个数 $X$ 的分布. #### B 组 1. 某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为 0.4 . 若甲答错，则由乙答，乙答对的概率为 0.5 . 求该问题由乙答对的概率. 2.100 件产品中有 5 件次品, 不放回地抽取两次, 每次抽 1 件. 已知第一次抽出的是次品, 求第二次抽出正品的概率. 3. 盒中有大小与质地相同的 25 个球, 其中 10 个白球、 5 个黄球、 10 个黑球. 从盒中任意取出 1 个球, 已知它不是黑球, 求它是黄球的概率. 4. 在 1、2、3、...、9 这 9 个自然数中，任取 3 个数. (1)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率； (2)设 $X$ 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如，若取出的数为 1、2、3，则有两组相邻的数 1、2 和 2、3，此时 $X$ 的值为 2)，求随机变量 $X$ 的分布及期望. 5. 口袋里装有大小与质地相同的 4 个红球和 8 个白球, 甲、乙两人依下面的规则从袋中有放回地摸球, 每次摸 1 个球. 规则如下: 若一方摸出 1 个红球, 则此人继续下一次摸球; 若一方摸出 1 个白球, 则由对方接替下一次摸球. 假设每次摸球相互独立, 且由甲进行第一次摸球. 求在前三次摸球中,甲摸得红球的次数 $X$ 的分布及期望. ## 拓展与思考 1. 在一个游戏中,每次输赢的概率都是 $\frac{1}{2}$ . 甲的策略是: 第一次押 1 元,如果赢,就结束; 如果输, 押 2 元再来一次, 无论输赢都结束. 乙的策略是: 押 1 元, 无论输赢都结束. (1)求甲赢的概率与乙赢的概率; (2)用 $X\text{ 、 }Y$ 分别表示甲、乙最终赢得的金额(即所押金额)，求它们的分布与期望； (3)比较甲与乙的策略. 2. 设有两个罐子, $A$ 罐中放有 2 个白球、 1 个黑球, $B$ 罐中放有 3 个白球,这些球的大小与质地相同. 现在从两个罐子中各摸 1 个球进行交换, 求这样交换 3 次后, 黑球还在 $A$ 罐中的概率. 交换 $n$ 次后呢? 3. 有一种骰子游戏，某人掷两颗骰子，若掷出的点数之和是 7 或 11，则赢；若掷出的点数之和是 2、3 或 12，则输；若掷出其他的点数和，则记下这个数，继续掷这两颗骰子, 直到掷出这个记下的数或者 7 为止, 若是这个记下的数, 则赢, 若是 7, 则输. 求此人赢的概率是多少.