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11.2 锥体
教学重点
理解锥体的概念及其基本性质, 掌握锥体的体积和表面积公式并能够运用这些公式解决相关的实际问题.
了解锥体与柱体之间的区别与联系, 进一步积累研究空间几何体的一般思路.
以锥体为背景研究空间点、线、面的位置关系, 进一步发展空间观念、直观想象与逻辑推理的素养.
内容分析
锥体的概念可以通过与柱体的概念类比得到, 其研究的思路也类似. 此外, 还可以把棱锥与平面几何中的三角形进行联系与类比. 首先, 棱锥的侧面都是三角形, 计算棱锥的体积与表面积时常用到三角形的相关知识. 其次, 三角形是平面几何中的基本图形, 一般的平面多边形都可以分割为若干个三角形, 同样, 一般的多面体也都可以分割为若干个棱锥; 三角形的一些性质 (如中位线性质) 也可以类比地推广到棱锥的情形.
本章的难点是锥体体积公式的推导, 即锥体体积是等底等高的柱体体积的三分之一. “二期课改”教材给出了完整的推导过程:先是用祖暅原理证明“等底同高的三棱锥体积相等”, 然后将一个三棱锥补成一个同底等高的三棱柱得到三棱锥的体积公式, 再通过将一般的棱锥分割为若干个三棱锥的方法得出一般棱锥的体积公式. 这一过程不仅体现了数学的化归思想, 建立了棱锥与棱柱的联系, 而且突出了三棱锥的重要地位以及求三棱锥体积的灵活性. 但由于对学生的空间想象能力要求较高, 把其作为 “探索与实践”的内容, 供学有余力的学生学习.
锥体这一节,教材共安排了七道例题,其意图是:
练习 11.2(3)的第 3 题推导正棱台的侧面积公式, 是一道开放性习题, 可以推导正三棱台、正四棱台或一般的正 棱台的表面积, 已知条件也是不确定的, 可以自行给出. 若给出的是上、下底面的周长 和斜高 ,则侧面积公式为 .
注意事项
与棱柱不同的是, 我们这里区分了一般的棱锥与正棱锥. 棱锥的体积公式对一般的棱锥都成立, 但表面积公式只是针对正棱锥的. 由于棱锥的表面积的计算实际上是平面多边形的面积的计算, 因此即使没有一般的公式, 也可以解决一些非正棱锥的简单多面体的表面积问题.
在讲了锥体的体积和表面积之后,“二期课改”教材是不讲台体的. 国家课程标准要求讲台体的概念、体积和表面积. 我们没有单独讲解台体,而是从锥体的角度,把台体看成是用平行于锥体底面的截面截得的两个几何体, 去掉小的那个锥体, 余下的那个几何体即为台体, 这样台体的体积就可以用原来的锥体体积减去小的锥体体积得到. 其公式为本节例 5 , 我们仅作为例题, 不作为学生强行识记的公式. 其侧面积安排在练习 11.2(3) 的第 3 题, 其表面积只需在侧面积的基础上加上上、下底面的面积即可. 这样的处理, 减轻了学生的记忆负担, 使得知识的“生成”性更强.
四面体是一种特殊的棱锥, 也是一般多面体的基本图形, 其作用可类比平面几何中的三角形. 就像三角形一样, 计算四面体的体积时可以把任意一个面看作是“底面”. 在解决具体问题时, 有一定的灵活性.
在求棱锥的体积时, 容易出现的困难主要是求棱锥的高. 由于点到平面的距离可以转化为直线到平行平面的距离以及两个平行平面之间的距离, 有一定的技巧, 一定要控制好难度. 对于比较困难的问题, 可以放到选择性必修的内容学习之后, 利用空间向量求高.
教学建议
证明锥体的体积是等底等高的柱体体积的三分之一, 教材是作为探究与实践的内容展开的, 不能只讲结论, 重在探究与思考, 可以通过数学猜想或通过实验验证, 得出结论, 再用补体或割体的方法进行证明, 通过等积变换得到锥体的体积公式.
锥体体积是等底等高的柱体体积的三分之一, 既是教材的难点, 也是教材的亮点. 这部分教学不能匆匆得出结论, 重在探索研究, 可以把这部分内容作为探究实践的内容实施教学.
