导数的应用.

解 先求函数的驻点: . 令 ,解得 . 此函数只有一个驻点.

当 时, ,函数 严格增;

当 时, ,函数 严格减.

对一些你熟悉的函数, 借助信息技术工具，从数值和图像两个角度进行尝试， 获得的结论一致吗?

因此,函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 .

解 对函数求导,得 . 令 , 解得 . 此函数有两个驻点.

当 或 时, ,函数 严格增;

当 时, ,函数 所格减.

因此，函数 的单调增区间为 及 , 单调减区间为 .

注意, 有时驻点并不是单调增区间与单调减区间的分界点.

解 对函数求导,得 . 令 ,解得 ,所以此函数在 时有唯一的驻点. 但是,由于永远成立 ,驻点两侧导数值的正负没有发生变化,因此该驻点不是单调区间的分界点. 此函数的单调增区间为 .

在讨论中, 我们也要注意函数没有定义的点. 这样的点也可能成为单调增区间与单调减区间的分界点.

解 该函数在 处没有定义. 当 时, ,因为方程 无解,所以函数 没有驻点. 但当 时, 严格减; 当 时, , 严格增. 可见,函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 ,而其分界点恰是该函数没有定义的点.

上面我们用导数值的正负来判断函数在某区间上的单调性. 除此之外，导数值还可用以判断函数变化速度的快慢:导数 是函数 在点 处的切线的斜率,它描述了曲线 在点 附近相对于 轴的倾斜程度: 当 时, 越大,曲线 在点 附近相对于 轴倾斜程度越大,函数值 递增得越快; 而当 时, 越小,曲线 在点 附近相对于 轴倾斜程度越大,函数值 递减得越快. 总之,导数的绝对值越大,函数图像就越“陡峭”，也就是函数值的变化速度越快.

用已经学过的二次函数知识验证这个结果.

利用信息技术工具绘制这个函数的图像以验证结果.

此例表明, >0 并不是函数在一个区间上严格增的必要条件.

解 在区间 上,因为 ,所以函数图像中每一点处切线的斜率都应大于 1 . 在图 5-3-1 中，由观察可知:

图(1)中的曲线越来越“陡峭”，在区间 上各点处的切线斜率始终大于 1 ;

图(2)中的曲线由“陡峭”变得“平缓”，在区间 的右半段的切线斜率小于 1 ;

图(3)中的曲线由 “平缓” 变得 “陡峭”，在区间 的左半段的切线斜率小于 1 ;

图(4)中的曲线越来越“平缓”，在区间 上各点处的切线斜率始终小于 1 .

因此,只有图 5-3-1(1) 中的图像有可能表示函数 .

1. (1)单调增区间为 . (2)单调增区间为 . (3)当 时,单调减区间为 ,单调增区间为 ; 当 时,单调增区间为 ,单调减区间为 .

2. (1)单调减区间为 ,单调增区间为 . 间为 及 ,单调减区间为 .

解 对函数求导,得 . 令 ,解得 ,从而 为函数 的唯一驻点. 把该驻点与其两侧的区间列表如下:

表 5-3

因此, 在区间 内严格增,在区间 内严格减，在 处取得极大值 .

解 这是一个周期为 的周期函数. 记 ,求导可得 . 令 ,解得 . 将不同驻点及其所划分出的区间在一个周期上的情况列表如下:

表 5-4

因此,对任意给定的 ,正弦函数 在区间 内严格增，在区间 内严格减，在 时取得极小值 -1 ，在 时取得极大值 1 .

解 对函数求导,得 . 令 ,解得两个驻点 . 列表如下:

表 5-5

把驻点与驻点所划分的区间列表, 可以简明清晰地呈现函数的增减情况和极值点.

因此,函数 的单调增区间为 及 , 单调减区间为 在 处取得极大值 ,在 处取得极小值 .

1. 单调减区间为 ,单调增区间为 ,其中 ； 在 处取得极大值 1,在 处取得极小值 -1 .

2. 单调增区间为 及 ,单调减区间为 ; 在 处取得极大值 2,在 处取得极小值 -2 .

解 由本节例 6 可知,函数 的驻点为 , 比较 ,可知该函数在 上的最大值是 8 , 最小值是 -8 , 如图 5-3-3 所示.

为什么只要比较这几个点的函数值(甚至不必分析驻点是不是极值点), 就可以求出最值?

在例 9 中, 我们对驻点处与区间两端点处的函数值进行比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 在导数存在的前提下, 闭区间上的连续函数的最值原则上都可以按照这样的方法求出.

解 由本节例 8 可知,函数 的两个驻点为 .

由于驻点 不在区间 内,因此只需比较 ,可知函数 在 上的最大值是 8,最小值是 .

1. 由最大值的定义可知, (2) 正确; (1) (3) (4)不正确, 理由略. 提示: 可借助函数图像举反例.

2. .

3. 最大值是 2 , 最小值是 0 .

解 由题意, 得

求导可得

为求驻点,令 ,得 与 ,后者不在定义域内，舍去.

容易算出，当 时， ；当 时， . 因此,当 在 0 到 之间变化时,容积 随着 的增大而增大; 当 在 到 之间变化时,容积 随着 的增大而减小; 而当 时,容积 是极大值,也是最大值.

解(1)因为 ,所以 , 有 .

代表当产量为 时,增加单位产量需付出的成本增加量为 5 ; 而 代表当产量为 时,增加单位产量需付出的成本增加量为 10 .

(2)平均成本 .

令 ,得 ,根据实际意义,可知 ,因此, 是其驻点.

当 时, ,函数 严格减; 而当 20 时, ,函数 严格增. 因此,当产量 时, 平均成本最少.

【编辑复核】当 、 时，抗弯强度最大，最大值为 。

解 设当船速为 时,每小时所需燃料费为 元.

根据题意,当 时, ,从而解得 . 因此,船在 航程中的总费用为

求导,得 ,令 ,得 是唯一驻点. 当 时, ,函数 严格减; 而当 时, ,函数 严格增. 因此,函数 在 处取得最小值.

所以,在 的航程中,保持约 的船速可使航行总费用最少.

【编辑补写】产量取 时利润最大，最大利润为 （与题设成本、售价使用同一货币单位）。

2. .

1. (1)单调减区间为 . (2)单调减区间为 .

2. 单调减区间为 ,单调增区间为 ,在 处取得极小值 1 .

3. 在 处取得最大值,不是极大值点; 在 处取得最小值,是极小值点.

4.(1)单调减区间为 ,单调增区间为 ,在极小值点 处取得极小值 2 .

(2)单调增区间为 及 ,单调减区间为 及 ,在极大值点 处取得极大值 -2,在极小值点 处取得极小值 2 .

(3)单调减区间为 及 ,单调增区间为 ,在极小值点 处取得极小值-2,在极大值点 处取得极大值 2 .

(4)单调增区间为 及 ,单调减区间为 ,在极大值点 处取得极大值 ,在极小值点 处取得极小值 0 .

1. 提示: 在 上导数恒大于零.

2. 单调减区间为 及 .

3. 提示: 函数在其定义域内导数恒大于零.

4. .

1. (1) 时,无驻点,无极值点； 是大于 1 的正奇数时, 是驻点,无极值点.

(2) 是正偶数, 是驻点,也是极小值点.

1. -7 .

2. 当长为 、宽为 、高为 时,体积最大,最大体积是 .

3. 9 元.