曲线与方程.

在本章 2.1 节中我们给出了曲线方程的定义. 根据此定义, 要确认一个二元方程 是一条平面曲线 的方程,必须验证如下两个条件都满足:

(1)曲线 上的点的坐标都是方程 的解;

(2)以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点.

现在大家对这个过程应该比较熟悉了, 因为在上一章和本章中给出直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线时, 都强调过这样的验证. 例如, 在本章 2.1 节中圆的方程的推导过程中我们就详细写出了正反两个方向的推导过程. 但在椭圆、双曲线和抛物线方程的推导过程中, 为了避免行文的累赘, 在强调反方向验证时, 我们只说“将上述推理过程反过来推演即可”. 希望同学们能自行补充“反过来推演”的过程 (见本章习题 2.5A 组第 1 题).

下面的例 1 用反例再次说明上述条件(1)和条件(2)缺一不可.

试在平面直角坐标系中作出例 1 (1) 和 (2)中 所表示的曲线.

这里的步骤 2 与步骤 3 分别对应曲线方程的条件(1)与条件(2).

在求轨迹的方程时, 有时根据条件很难直接建立曲线上的动点坐标 所满足的方程,但如果引入合适的第三个变量,分别建立 与第三个变量的联系,问题常常会比较容易得到解决.

我们先来看一个熟悉的问题: 假设空气阻力忽略不计,求炮弹被击发后的运动轨迹的方程.

即使建立平面直角坐标系, 炮弹的运动规律也难以直接用炮弹位置的坐标 与 的方程表示出来. 在物理学中,我们知道, 当发射角 、发射时的初速度 确定后,炮弹位置只与运行时间 有关,所以可以考虑引入时间 作为第三个变量来求运动轨迹的方程.

以炮口所在位置 为坐标原点,水平方向为 轴,铅垂方向为 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-5-2 所示. 设炮弹发射 s后的位置在点 处. 炮弹的初速度 可分解为水平方向和铅垂方向的两个速度,其中在水平方向上的初速度为 , 在铅垂方向上的初速度为 . 由于忽略了空气阻力,炮弹在运动过程中只在铅垂方向受到重力作用. 容易求得, 炮弹的位置坐标 与时间 之间的关系:

图 2-5-2

其中 是重力加速度的值, 是炮弹击中目标的时刻.

我们把上述方程组中的变量 消去后,观察它表示的是什么曲线. 由第一个方程得 ,代入第二个方程,消去参数 ,得到炮弹运动的轨迹方程为

由于 都是定值,因此炮弹运动的轨迹是一条抛物线.

在这个实际问题中, 炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线. 首先,因为炮弹被击发前是静止的,必须 . 又因为炮弹击中目标后也不再按原有轨迹运动，所以我们所讨论的炮弹运动轨迹只是 与炮弹击中目标前的一段抛物线. 例如，设目标点与发射点在同一水平线上,则恒有 ,从而由 求得 . 因此,炮弹运动轨迹是上述抛物线在 之间的部分.

由上述讨论可以看到, 在求曲线方程时, 我们可以先分别求出 与某个随动点变化的变量 所满足的方程 , ,得到方程组:

其中 在某个范围内变动.

但在不少情况下, 由曲线的参数方程并不一定能够化为曲线的普通方程. 举一个通俗的例子. 假设有一只小虫在平面直角坐标系中爬行,小虫的位置坐标 是时间 的函数:

这揭示了小虫随时间 变化的运动规律,就是小虫运动轨迹的一个参数方程. 由于小虫爬行的轨迹不似炮弹那样一直向前, 而是可以倒退及与自身相交, 不可能化为普通方程, 这时, 用参数方程来表示这一复杂的运动轨迹就成了唯一合理的选择了.

由此可见, 用参数方程表示一个曲线, 不仅可能有具体的物理或几何意义, 也更具有一般性, 应用起来有时也更为简便.

图 2-5-3

图 2-5-4

但是, 在平面直角坐标下要建立等速螺线的方程是一件比较复杂的事:把两点的距离用点的坐标写出, 需要用到二次根式; 而把旋转角用坐标表示出来, 更要借助于反三角函数. 因此, 研究等速螺线及其他类似曲线, 需要另辟蹊径.

图 2-5-5

事实上, 确定平面上点的位置, 采用平面直角坐标系并不是唯一的方法. 现实生活中, 人们也常用方向 (实际上是角) 和距离来确定平面上点的位置. 例如, 图 2-5-6 所示的是雷达上发现北偏东 方向 处有不明飞行物体. 这样表示平面上点的位置就是我们将要研究的另外一种坐标系 —— 极坐标系的基本思想.

图 2-5-6

图 2-5-7

与平面直角坐标系不一样的是, 在极坐标系中, 点的极坐标不唯一,如果 是一点的极坐标,那么 都可以作为它的极坐标. 我们还允许 取负值,当 时,规定 对应的点为 . 此外,规定极点的坐标为 , 其中 可以是任意角.

不难发现,在极坐标系中,点 与 关于极点对称,点 与 关于极轴对称.

尽管在极坐标系中点的坐标不唯一, 但是在极坐标系中, 除了极点外，平面上的所有点所成的集合和实数对集合 是一一对应的. 也就是说,如果规定极

径 取正值,极角 取小于 的非负值,那么极点以外的任何点的极坐标也就唯一确定了.

图 2-5-12

极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系, 有时需要在它们之间进行互相转化.

如图 2-5-12,把直角坐标系的原点作为极点, 轴的正半轴作为极轴,并且取相同的单位长度. 设平面内任意一点 的直角坐标为 ,极坐标为 .

当 时,由三角函数的定义,可以得到如下的关系式:

①

当 时,①式仍然成立.

图 2-5-13

当 时,如图 2-5-13,点 的极坐标也可用 表示,这时由于 ,因此由三角函数的定义,可得

这说明 时,①式也成立.

综上所述，关系式①对于点 的任一种表示法表示的极坐标都成立.

关系式①可以作为已知点的极坐标求该点的直角坐标的公式.

从关系式①中解出 、 ,则有

②

关系式②可以作为已知点的直角坐标求该点的极坐标的公式.

通常取 为正数,即 ; 由 确定角度 时,一般根据此点所在的象限取最小正角,满足 .

在极坐标系中可以给出圆锥曲线的一个简洁的统一方程. 不过, 圆不能被这个统一方程包括, 所以本阅读材料中的圆锥曲线及椭圆均不包括圆.

先讨论一下圆锥曲线的统一定义.

回忆一下抛物线的定义: 给定平面上的一个定点和一条定直线, 抛物线是该平面上到此定点和到此定直线距离相等的点的轨迹, 也就是说, 抛物线是该平面上到此定点和到此定直线距离之比等于 1 的点的轨迹. 我们知道, 给定的定点是抛物线的焦点, 给定的定直线是抛物线的准线.

我们希望模仿抛物线的这一定义给出椭圆的定义. 暂时在直角坐标系中讨论. 设椭圆的一个焦点为 ,长半轴长为 ,则一点 在椭圆上当且仅当

由于圆不在考虑范围内, ,上式经变形化为等价条件

由类似的推导过程可知,双曲线是到焦点 与到准线 的距离之比等于离心率 的点的轨迹,此时离心率 .

由此,可以得到圆锥曲线的一个统一定义: 圆锥曲线是到一个定点 和到一条定直线 距离之比为定值 的点的轨迹. 其中,当 时,轨迹为椭圆; 当 时,轨迹为抛物线; 当 时,轨迹为双曲线.

据此定义可以建立圆锥曲线的统一极坐标方程.

图 2-5-14

设定点 到定直线 的距离为 ,过定点 作定直线 的垂线,垂足为 . 如图 2-5-14,以定点 为极点 ,以 的反向延长线 为极轴,建立极坐标系.

设动点 的极坐标为 ,则点 到定直线 的距离为

而 ,由圆锥曲线的统一定义,有 ,可得 ,整理可得

这就是圆锥曲线的统一极坐标方程. 如图 2-5-15,当 时, 方程表示左焦点在极点的椭圆; 当 时,方程表示焦点在极点,开口向右的抛物线; 当 时,方程表示右焦点在极点的双曲线的右支.

图 2-5-15