# 圆锥曲线 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_0_2_7_1652_1166_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_0_2_7_1652_1166_0.jpg) 在上一章中，我们初步领略了解析几何的一些基本特点，知道通过建立平面直角坐标系得到直线的方程, 然后利用方程讨论点与直线、直线与直线的位置关系. 在这一章中, 通过对圆锥曲线的研究, 我们进一步深入解析几何的核心领域并体验解析几何的思想和作用. 对圆锥曲线的研究虽然可以追溯到两千多年前的古希腊时代，但直到笛卡儿坐标系的引入, 才找到更一般且统一的处理方法. 在直角坐标平面上, 所有圆锥曲线都可以用二元二次方程来表示，从而可以用方程的思想去解决与这些曲线有关的问题. 由于圆锥曲线是日常生活中常见的曲线，在航天、航海、光学等领域都有广泛的应用，这使得解析几何成为数学的一个重要分支. 除了直线和圆以外, 椭圆、双曲线和抛物线已经与平面几何所涉及的内容有本质的区别, 但却与函数有了联系, 如反比例函数的图像是双曲线、二次函数的图像是抛物线等. ## 2.1 圆 ## 1 曲线方程的概念 在上一章 1.2 节中, 我们针对具体的例子解释了什么是 “直线的方程”, 从而引导了全章的学习. 通过上一章的学习, 我们对“直线方程”有了更多认识. 在此基础上我们不难总结出“直线方程”的严格定义:在一个平面直角坐标系中给定一条直线和一个关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程,如果给定直线上的每一个点的坐标都是该给定方程的解, 而且以给定方程的解为坐标的点都在该给定直线上, 那么称这个给定的方程是给定直线的方程. 如果考虑更为一般的平面曲线 (直线是它的特例), 可以直接把这个定义推广而给出曲线方程的概念: 在一个平面直角坐标系中给定一条曲线和一个关于 $x$ 与 $y$ 的二元方程,如果给定曲线上的每一个点的坐标都是该给定方程的解, 而且以给定方程的解为坐标的点都在该给定曲线上, 那么称这个给定的方程是给定曲线的方程, 也称这条给定的曲线是给定方程的曲线. ## 2 圆的标准方程 在各种非直线的平面曲线中, 我们最熟悉的是圆. 在平面几何中已经知道, 圆 (circle) 是到一个定点的距离等于定长 (大于零) 的点的轨迹. 这个定点就是圆心 (center), 定长就是圆的半径 (radius). 如果一个圆在直角坐标平面上, 我们该如何确定这个圆的位置, 并且建立圆的方程呢? 显然, 只要圆心的位置及圆的半径确定, 一个圆在平面上的位置就完全确定了. 假设在平面直角坐标系中,已知圆 $C$ 的圆心是 $C\left( {a, b}\right)$ ,半径是 $r\left( {r > 0}\right)$ ,如图 2-1-1 所示. 我们来考察这个圆上的动点 $P\left( {x, y}\right)$ 的坐标所满足的方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_2_1142_260_290_291_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_2_1142_260_290_291_0.jpg) 图 2-1-1 因为 $\left| {PC}\right| = r$ ,即 $\sqrt{{\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2}} = r$ ,两边平方后得 $$ {\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2} = {r}^{2}, $$ ① 所以圆 $C$ 上任意一点 $P\left( {x, y}\right)$ 的坐标都满足方程①. 反之,若平面上有一点 $M$ 的坐标 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)$ 是方程①的解,则 ${\left( {x}_{1} - a\right) }^{2} + {\left( {y}_{1} - b\right) }^{2} = {r}^{2}$ ,即 ${\left| MC\right| }^{2} = {r}^{2}$ ,可得 $\left| {MC}\right| = r$ . 所以,点 $M$ 在以 $C$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆上. 因此,方程①是圆 $C$ 的方程. 我们把它叫做圆的标准方程. 特别地,当 $a = b = 0$ ,即圆心在原点 $O\left( {0,0}\right)$ 时,圆的标准方程为 $$ {x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2}. $$ --- 若设 $N\left( {x, y}\right)$ 为圆 $C$ 上任意一点,能否由 $\overrightarrow{NP} \bot \overrightarrow{NQ}$ 求得圆 $C$ 的方程? --- 例 1 已知两点 $P\left( {3,4}\right) \text{ 、 }Q\left( {-5,6}\right)$ ,求以 ${PQ}$ 为直径的圆 $C$ 的方程. 解 由已知,圆心 $C$ 为线段 ${PQ}$ 的中点,可得圆心 $C$ 的坐标为 $\left( {-1,5}\right)$ . 又半径 $r$ 为直径 ${PQ}$ 长度的一半,即 $$ r = \frac{1}{2}\left| {PQ}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{{\left( -5 - 3\right) }^{2} + {\left( 6 - 4\right) }^{2}} = \sqrt{17}. $$ 因此,所求圆的标准方程为 ${\left( x + 1\right) }^{2} + {\left( y - 5\right) }^{2} = {17}$ . 例 2 设平面上有一条长度为 4 的线段 ${AB}$ ,试建立适当的平面直角坐标系,求到线段 ${AB}$ 两端点的距离的平方和为 16 的点的轨迹方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_2_1132_1557_311_275_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_2_1132_1557_311_275_0.jpg) 图 2-1-2 解 如图 2-1-2,取 ${AB}$ 的中点 $O$ 为原点, ${AB}$ 所在直线为 $x$ 轴,射线 ${OB}$ 方向为它的正方向,以过点 $O$ 且垂直于 ${AB}$ 的直线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,则有 $A\left( {-2,0}\right) \text{ 、 }B\left( {2,0}\right)$ . 设点 $P\left( {x, y}\right)$ 到 $A\text{ 、 }B$ 两点的距离的平方和为 16,就有 $$ \left\lbrack {{\left( x + 2\right) }^{2} + {y}^{2}}\right\rbrack + \left\lbrack {{\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2}}\right\rbrack = {16}, $$ 化简,得 $$ {x}^{2} + {y}^{2} = 4 $$ 因此,所求轨迹方程为 ${x}^{2} + {y}^{2} = 4$ ,其轨迹是以 $O\left( {0,0}\right)$ 为圆心、以 ${AB}$ 为直径的圆. 例 3 造船时, 为了船体放样, 要画出甲板圆弧线. 由于这条圆弧线的半径很大, 无法直接在钢板上用圆规画出, 需要先建立这条圆弧线的方程, 再用描点法画出圆弧线. 如图 2-1-3, 已知圆弧 $\overset{\text{ ⏜ }}{AB}$ 的半径 $r$ 为 ${29}\mathrm{\;m}$ ,圆弧 $\overset{\text{ ⏜ }}{AB}$ 所对的弦长 $l$ 为 ${12}\mathrm{\;m}$ , 以 $\mathrm{m}$ 为单位,建立适当的平面直角坐标系,并求圆弧 $\overset{\text{ ⏜ }}{AB}$ 的方程. (结果精确到 ${0.001}\mathrm{\;m}$ ) ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_3_225_412_268_403_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_3_225_412_268_403_0.jpg) 图 2-1-3 解 以弦 ${AB}$ 所在直线为 $x$ 轴 (射线 ${AB}$ 方向为 $x$ 轴正方向), 弦 ${AB}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系. 可知弦的端点坐标分别为 $A\left( {-6,0}\right) \text{ 、 }B\left( {6,0}\right)$ . 设圆弧的圆心为 $C$ ,连接 ${AC}$ ,则 $$ \left| {AO}\right| = \frac{1}{2}\left| {AB}\right| = 6\left( \mathrm{\;m}\right) ,\left| {AC}\right| = r = {29}\left( \mathrm{\;m}\right) , $$ 从而 $$ \left| {OC}\right| = \sqrt{{\left| AC\right| }^{2} - {\left| AO\right| }^{2}} = \sqrt{{29}^{2} - {6}^{2}} \approx {28.373}\left( \mathrm{\;m}\right) , $$ 即圆心的坐标为 $C\left( {0, - {28.373}}\right)$ . 所以,圆弧 $\overset{\text{ ⏜ }}{AB}$ 的方程为 ${x}^{2} + {\left( y + {28.373}\right) }^{2} = {841}( - 6 \leq x \leq 6$ , $y \geq 0)$ . 例 4 已知一个圆与 $y$ 轴相切,其圆心在直线 $x - {3y} = 0$ 上,且直线 $y = x$ 被该圆截得的弦长为 $2\sqrt{7}$ . 求此圆的方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_3_201_1100_324_295_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_3_201_1100_324_295_0.jpg) 图 2-1-4 解 如图 2-1-4,设所求圆的圆心为 $C\left( {a, b}\right)$ ,半径为 $r$ ,则由圆心在直线 $x - {3y} = 0$ 上,得 $a = {3b}$ ,又圆与 $y$ 轴相切,得半径 $r = \left| a\right|$ . 圆心到直线 $x - y = 0$ 的距离 $$ d = \frac{\left| a - b\right| }{\sqrt{2}} = \frac{\left| 3b - b\right| }{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\left| b\right| , $$ 由勾股定理,可得 ${r}^{2} - {d}^{2} = {\left( \sqrt{7}\right) }^{2}$ ,即 $$ {\left| a\right| }^{2} - {\left( \sqrt{2}\left| b\right| \right) }^{2} = 9{b}^{2} - 2{b}^{2} = 7{b}^{2} = 7, $$ 解得 $$ b = \pm 1\text{ . } $$ 当 $b = 1$ 时, $a = 3, r = 3$ ,圆的方程为 ${\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 9$ ; 当 $b = - 1$ 时, $a = - 3, r = 3$ ,圆的方程为 ${\left( x + 3\right) }^{2} + {\left( y + 1\right) }^{2} = 9$ . 因此,所求圆的方程为 ${\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 9$ 或 ${\left( x + 3\right) }^{2} + \; {\left( y + 1\right) }^{2} = 9.$ ## 练习 2.1(1) 1. 求以 $C\left( {3,4}\right)$ 为圆心,且过点 $M\left( {1, - 3}\right)$ 的圆的方程. 2. 求以 $C\left( {-1,2}\right)$ 为圆心,且与直线 ${2x} - {3y} - 5 = 0$ 相切的圆的方程. 3. 一个圆与 $y$ 轴相切于点 $\left( {0,4}\right)$ ,且在 $x$ 轴正半轴上截得长为 6 的弦. 求此圆的方程. ## 3 圆的一般方程 我们知道直线的一般式方程是 ${ax} + {by} + c = 0$ ( $a\text{ 、 }b$ 不同时为零). 下面来建立圆的一般方程. 把圆的标准方程 ${\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2} = {r}^{2}$ 展开并整理,可得 $$ {x}^{2} + {y}^{2} - {2ax} - {2by} + {a}^{2} + {b}^{2} - {r}^{2} = 0. $$ 由此可见, 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式: $$ {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0. $$ ② 其中, $D\text{ 、 }E\text{ 、 }F$ 均为实常数. 反过来,如果给定实常数 $D\text{ 、 }E\text{ 、 }F$ ,方程②是否都表示一个圆呢? 将方程②左边配方并整理, 可得 $$ {\left( x + \frac{D}{2}\right) }^{2} + {\left( y + \frac{E}{2}\right) }^{2} = \frac{{D}^{2} + {E}^{2} - {4F}}{4}. $$ 由此可以看出: (1)当 ${D}^{2} + {E}^{2} - {4F} > 0$ 时，方程②表示以(-2、b，-3 b) 心、以 $\frac{\sqrt{{D}^{2} + {E}^{2} - {4F}}}{2}$ 为半径的圆； ( 2 )当 ${D}^{2} + {E}^{2} - {4F} = 0$ 时，方程②表示一个点 $\left( {-\frac{D}{2}, - \frac{E}{2}}\right)$ ； (3)当 ${D}^{2} + {E}^{2} - {4F} < 0$ 时，方程②没有实根，此时方程 ②不表示任何图形. 因此,当 ${D}^{2} + {E}^{2} - {4F} > 0$ 时,方程②叫做圆的一般方程. 例 5 求经过 $A\left( {1,0}\right) \text{ 、 }B\left( {3,0}\right) \text{ 、 }C\left( {2,2}\right)$ 三点的圆的方程. 解 设所求圆的方程为 $$ {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0, $$ 其中 $D\text{ 、 }E\text{ 、 }F$ 是待定常数. 因为点 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 在所求圆上,所以有方程组 $$ \left\{ \begin{array}{l} D + F + 1 = 0, \\ {3D} + F + 9 = 0, \\ {2D} + {2E} + F + 8 = 0. \end{array}\right. $$ --- ${D}^{2} + {E}^{2} - {4F}$ 可以称为方程②的判别式. --- 解得 $$ \left\{ \begin{array}{l} D = - 4, \\ E = - \frac{3}{2}, \\ F = 3. \end{array}\right. $$ 此时 $$ {D}^{2} + {E}^{2} - {4F} = \frac{25}{4} > 0. $$ 因此,所求圆的方程为 ${x}^{2} + {y}^{2} - {4x} - \frac{3}{2}y + 3 = 0$ . 例 6 若圆 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2x} + t = 0$ 与直线 ${2x} + y = 0$ 相交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,且 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = - 1$ (其中点 $O$ 为坐标原点). 求 $t$ 的值和圆的方程. 解 由圆的一般方程,知 ${\left( -2\right) }^{2} + {0}^{2} - {4t} > 0$ ,即 $t < 1$ . 设两个交点 $A\text{ 、 }B$ 的坐标分别为 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ ,它们应满足如下方程组 $$ \left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} + {y}^{2} - {2x} + t = 0, \\ {2x} + y = 0, \end{array}\right. $$ ① ② 将②代入①，整理得 $$ 5{x}^{2} - {2x} + t = 0. $$ ③ 因为方程③有两个相异实根 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ ,所以 $$ \Delta = {\left( -2\right) }^{2} - 4 \times 5 \times t > 0, $$ 即 $t$ 的值应满足 $t < \frac{1}{5}$ ,此时 $t < 1$ ,满足圆方程的条件. 由根与系数的关系,得 ${x}_{1}{x}_{2} = \frac{t}{5}$ . 再由方程②，得 ${y}_{1} = - 2{x}_{1},{y}_{2} = - 2{x}_{2}$ . 所以, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = {x}_{1}{x}_{2} + {y}_{1}{y}_{2} = {x}_{1}{x}_{2} + \left( {-2{x}_{1}}\right) \left( {-2{x}_{2}}\right) = \; 5{x}_{1}{x}_{2} = t$ . 再由 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = - 1$ ,得 $t = - 1$ ,满足条件 $t < \frac{1}{5}$ . 因此,所求圆的方程为 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2x} - 1 = 0$ . ## 练习 2.1(2) 1. 求经过 $A\left( {3,2}\right) \text{ 、 }B\left( {1,1}\right) \text{ 、 }C\left( {2, - 1}\right)$ 三点的圆的方程. 2. 讨论方程 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2y} + \lambda \left( {{x}^{2} + {y}^{2} - {2x}}\right) = 0\left( \lambda \right.$ 为实数 $)$ 所表示的曲线. 3. 已知两点 $A\left( {-5,0}\right) \text{ 、 }B\left( {5,0}\right)$ ,动点 $P$ 到点 $A$ 的距离是它到点 $B$ 的距离的 3 倍. 求点 $P$ 的轨迹方程. ## 4 直线与圆的位置关系 在平面几何中, 我们已经知道直线与圆的三种位置关系: 有两个不同的公共点时二者相交, 有且只有一个公共点时二者相切, 没有公共点时二者相离. 本节我们将借助圆和直线的方程, 利用代数方法来讨论直线与圆的位置关系. --- 把圆的方程写成 ${\left( x - s\right) }^{2} + {\left( y - t\right) }^{2} = \; {r}^{2}$ ,依据平面几何知识,直线 $l : {ax} + {by} + \; c = 0$ 与圆的位置关系取决于圆心 $\left( {s, t}\right)$ 到 $l$ 的距离和半径 $r$ 的大小关系, 请用上一章所学的点到直线距离的知识, 把各种不同的位置关系描述出来. --- 如果给定圆 $C : {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0$ 和直线 $l : {ax} + \; {by} + c = 0$ ，与上一章讨论两条直线交点类似，平面上一点是直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点的充要条件是这一点的坐标是如下方程组的解: $$ \left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0, \\ {ax} + {by} + c = 0. \end{array}\right. $$ 从而, 可以通过讨论上述方程组的解的不同情形来判断直线与圆的位置关系. 例 7 已知圆 $C$ 的方程是 ${x}^{2} + {y}^{2} = 9$ . 当 $b$ 为何值时,直线 $l : {2x} - y + b = 0$ 与圆 $C$ 分别有两个不同的公共点？有一个公共点? 没有公共点? 解 解方程组 $$ \left\{ \begin{array}{l} {2x} - y + b = 0, \\ {x}^{2} + {y}^{2} = 9. \end{array}\right. $$ ① ② 把①化为 $y = {2x} + b$ ，代入②式，得 $$ {x}^{2} + {\left( 2x + b\right) }^{2} = 9, $$ 即 $$ 5{x}^{2} + {4bx} + {b}^{2} - 9 = 0. $$ ③ 方程③的判别式是 $$ \Delta = {\left( 4b\right) }^{2} - 4 \times 5\left( {{b}^{2} - 9}\right) = - 4\left( {{b}^{2} - {45}}\right) . $$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_6_1142_1743_290_292_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_6_1142_1743_290_292_0.jpg) 图 2-1-5 当 $\Delta > 0$ ,即 $- 3\sqrt{5} < b < 3\sqrt{5}$ 时,方程③有两个不相等的实根,从而原方程组有两组不同的实数解,所以直线 $l$ 与圆 $C$ 有两个不同的公共点. 当 $\Delta = 0$ ,即 $b = - 3\sqrt{5}$ 或 $b = 3\sqrt{5}$ 时,方程③有两个相等的实根,从而原方程组有两组相同的实数解,所以直线 $l$ 与圆 $C$ 只有一个公共点(图 2-1-5). 当 $\Delta < 0$ ,即 $b < - 3\sqrt{5}$ 或 $b > 3\sqrt{5}$ 时,方程③没有实根,从而原方程组没有实数解,所以直线 $l$ 与圆 $C$ 没有公共点. 解 (1) 因为 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 是 $l$ 与圆 $O$ 的切点,可知 ${x}_{0}^{2} + {y}_{0}^{2} = 4$ ,且过点 $M$ 的半径 ${OM}$ 与 $l$ 垂直,即 $\overrightarrow{OM} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 是 $l$ 的一个法向量,于是可得切线 $l$ 的点法式方程为 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_7_218_436_288_290_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_7_218_436_288_290_0.jpg) 图 2-1-6 例 8 (1)如图2-1-6，已知 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 为圆 $O$ : ${x}^{2} + {y}^{2} = 4$ 上一点,求过点 $M$ 的圆 $O$ 的切线 $l$ 的方程; (2)求过点 $N\left( {2,2\sqrt{3}}\right)$ 且与圆 $O : {x}^{2} + {y}^{2} = 4$ 相切的直线的方程. $$ {x}_{0}\left( {x - {x}_{0}}\right) + {y}_{0}\left( {y - {y}_{0}}\right) = 0. $$ 整理, 得 $$ {x}_{0}x + {y}_{0}y = {x}_{0}^{2} + {y}_{0}^{2}. $$ ? 所以,过点 $M$ 的圆 $O$ 的切线 $l$ 的方程为 ${x}_{0}x + {y}_{0}y = 4$ . --- 请将例 8(1) 的结论加以推广, 使之成为推广后命题的一个特例. --- (2)由 $\left| {ON}\right| = \sqrt{{2}^{2} + {\left( 2\sqrt{3}\right) }^{2}} = 4$ ,知点 $N$ 在已知圆 $O$ 外. 先考虑过点 $N$ 且具有斜率 $k$ 的直线,可设其方程为 $$ y - 2\sqrt{3} = k\left( {x - 2}\right) \text{ ,即 }{kx} - y - {2k} + 2\sqrt{3} = 0. $$ 此直线与圆 $O$ 相切当且仅当圆心 $O\left( {0,0}\right)$ 到该直线的距离为 2 , 所以 $$ \frac{\left| -2k + 2\sqrt{3}\right| }{\sqrt{{k}^{2} + 1}} = 2\text{ ,即 }{\left( k - \sqrt{3}\right) }^{2} = {k}^{2} + 1\text{ , } $$ 解得 $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . ? 因此,得到过点 $N$ 的圆 $O$ 的一条切线,它的方程为 $$ \frac{\sqrt{3}}{3}x - y - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 2\sqrt{3} = 0\text{ ,即 }x - \sqrt{3}y + 4 = 0\text{ . } $$ --- 我们还可以验证圆心到直线 $x - 2 = 0$ 的距离等于半径 2 . 想一想, 这个验证是否必须? --- 过点 $N$ 可以作圆 $O$ 的两条切线,故另一条切线的斜率不存在,则其方程只能是 $x = 2$ ,即 $x - 2 = 0$ . ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_7_216_1745_289_293_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_7_216_1745_289_293_0.jpg) 图 2-1-7 因此,所求直线的方程为 $x - \sqrt{3}y + 4 = 0$ 或 $x - 2 = 0$ . 例 9 过圆 $O : {x}^{2} + {y}^{2} = {16}$ 外一点 $M\left( {2, - 6}\right)$ 任意作一条割线交圆 $O$ 于 $A\text{ 、 }B$ 两点,求弦 ${AB}$ 的中点 $C$ 的轨迹. 解 如图 2-1-7,设弦 ${AB}$ 的中点 $C$ 的坐标为 $\left( {x, y}\right)$ ,连接 ${OC}$ . 可得 $\overrightarrow{OC} \bot \overrightarrow{AB}$ ,即 $\overrightarrow{OC} \bot \overrightarrow{MC}$ ,从而 $$ \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{MC} = 0. $$ 又因为 $\overrightarrow{OC} = \left( {x, y}\right) ,\overrightarrow{MC} = \left( {x - 2, y + 6}\right)$ , 所以 $x\left( {x - 2}\right) + y\left( {y + 6}\right) = 0$ ,即 $$ {\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y + 3\right) }^{2} = {10}. $$ 因此,点 $C$ 的轨迹是以 $\left( {1, - 3}\right)$ 为圆心、以 $\sqrt{10}$ 为半径,且位于圆 $O$ 内的一段圆弧 $\overset{\text{ ⏜ }}{PQ}$ (图 2-1-7). --- 例 9 还有其他解法吗? --- ## 练习 2.1(3) 1. ( 1 )求经过点 $\left( {-3,4}\right)$ 且与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = {25}$ 相切的直线的方程； (2)求经过点 $\left( {2,4}\right)$ 且与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = 4$ 相切的直线的方程. 2. 当 $a$ 为何值时,直线 $x + y - a = 0$ 与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = 2$ 分别有如下位置关系: (1)相交； (2)相切； (3)相离. 3. 已知直线 $l$ 经过点 $P\left( {6, - 4}\right)$ 且被圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = {20}$ 截得长为 $6\sqrt{2}$ 的弦,求 $l$ 的方程. ## 5 圆与圆的位置关系 圆是常见的平面几何图形, 两个或多个圆之间不同位置关系的合理使用, 会对装置的功能或艺术品的美感产生不同的作用. 如图 2-1-8 中的自行车双轮、滚珠轴承、奥运五环、花布图案, 都是圆的位置关系应用的实例. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_8_255_1285_712_477_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_8_255_1285_712_477_0.jpg) 图 2-1-8 我们只讨论两个圆的位置关系. 从初中的平面几何学习中, 我们知道两个圆之间有内含(包括同心)、内切、相交、外切和外离五种位置关系. 在平面直角坐标系中, 如果给出两个圆的标准方程 $$ {C}_{1} : {\left( x - {a}_{1}\right) }^{2} + {\left( y - {b}_{1}\right) }^{2} = {r}_{1}^{2}, $$ $$ {C}_{2} : {\left( x - {a}_{2}\right) }^{2} + {\left( y - {b}_{2}\right) }^{2} = {r}_{2}^{2}, $$ 我们就可以从方程中读出两个圆的圆心坐标 $\left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right) \text{ 、 }\left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right)$ , 半径 ${r}_{1}\text{ 、 }{r}_{2}$ ,进而由圆心坐标求得圆心距 $$ d = \sqrt{{\left( {a}_{1} - {a}_{2}\right) }^{2} + {\left( {b}_{1} - {b}_{2}\right) }^{2}}. $$ 所以 当 $d < \left| {{r}_{1} - {r}_{2}}\right|$ 时,两圆内含; 当 $d = \left| {{r}_{1} - {r}_{2}}\right|$ 时,两圆内切; 当 $\left| {{r}_{1} - {r}_{2}}\right| < d < {r}_{1} + {r}_{2}$ 时,两圆相交; 当 $d = {r}_{1} + {r}_{2}$ 时,两圆外切; 当 $d > {r}_{1} + {r}_{2}$ 时,两圆外离. 如果给出两个圆的一般方程 $$ {C}_{1} : {x}^{2} + {y}^{2} + {D}_{1}x + {E}_{1}y + {F}_{1} = 0, $$ $$ {C}_{2} : {x}^{2} + {y}^{2} + {D}_{2}x + {E}_{2}y + {F}_{2} = 0, $$ 我们当然可以把它们都化成标准方程, 然后用上述圆心距与半径的关系判断这两个圆的位置关系. 此外, 我们也可以像判断两条直线的位置关系与判断直线和圆的位置关系那样, 通过解联立方程组判断两个圆有几个公共点, 从而得知它们是相交、相切(包括内切与外切)还是相离 (包括内含与外离). 因此, 我们解方程组 $$ \left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} + {y}^{2} + {D}_{1}x + {E}_{1}y + {F}_{1} = 0, \\ {x}^{2} + {y}^{2} + {D}_{2}x + {E}_{2}y + {F}_{2} = 0. \end{array}\right. $$ 如果上述方程组有两组不同的解,那么圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 相交; 如果上述方程组只有一组解 (实际上应该理解为两组相同的解, 因为它们是由一元二次方程两个相同的根得出的),那么圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 内切或外切; 如果上述方程组无解,那么圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 内含或外离. 上述方程组由两个二元二次方程组成, 只要把这两个方程相减, 一般情况下可以得到一个二元一次方程 $$ \left( {{D}_{1} - {D}_{2}}\right) x + \left( {{E}_{1} - {E}_{2}}\right) y + \left( {{F}_{1} - {F}_{2}}\right) = 0. $$ 因此, 求解上述方程组, 只要把这个二元一次方程和上述方程组中的任何一个方程联立求解就可以了. 例 10 判断圆 ${C}_{1} : {x}^{2} + {y}^{2} - {2x} = 0$ 与圆 ${C}_{2} : {x}^{2} + {y}^{2} - {4y} = 0$ 的位置关系. 解 联立方程组 $\left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} + {y}^{2} - {2x} = 0, \\ {x}^{2} + {y}^{2} - {4y} = 0. \end{array}\right.$ 将两方程相减并化简, 得 $x = {2y}$ . 把它代入第一个方程得到 $5{y}^{2} - {4y} = 0$ ,解得 ${y}_{1} = 0$ , ${y}_{2} = \frac{4}{5}$ ,从而 ${x}_{1} = 0,{x}_{2} = \frac{8}{5}$ . --- 当 ${D}_{1} - {D}_{2}$ 与 ${E}_{1} - {E}_{2}$ 不同时为零时，二元一次方程 $\left( {{D}_{1} - {D}_{2}}\right) x + \left( {{E}_{1} - }\right. \; \left. {E}_{2}\right) y + \left( {{F}_{1} - {F}_{2}}\right) = 0$ 所表示的直线有什么几何意义吗? 当 ${D}_{1} - {D}_{2}$ 与 ${E}_{1} - {E}_{2}$ 同时为零时, 两圆有什么样的位置关系? --- 所以,圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 相交于两点 $\left( {0,0}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{8}{5},\frac{4}{5}}\right)$ . 我们介绍了两种判断两个圆的位置关系的方法: 一是化成标准方程后利用两圆圆心距和半径的关系来判断; 二是用解方程法求出公共点坐标后再判断. 两种方法各有利弊, 前者能够准确区分内切与外切、内含与外离, 但无法给出公共点坐标; 后者可以给出公共点坐标, 但无法区分内切与外切、内含与外离. 解题时应根据需要采用适当的方法, 或者两者并用, 求出所有需要的信息. 例 11 证明圆 ${C}_{1} : {x}^{2} + {y}^{2} - {4x} + {6y} + 5 = 0$ 与圆 ${C}_{2}$ : ${x}^{2} + {y}^{2} - {6x} + {4y} + {11} = 0$ 内切,并求切点坐标. 解 把两个方程都化成圆的标准方程: $$ {C}_{1} : {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y + 3\right) }^{2} = 8, $$ $$ {C}_{2} : {\left( x - 3\right) }^{2} + {\left( y + 2\right) }^{2} = 2. $$ 这两个圆的圆心坐标分别是 $\left( {2, - 3}\right)$ 与 $\left( {3, - 2}\right)$ ,从而它们的圆心距是 $d = \sqrt{{\left( 2 - 3\right) }^{2} + {\left( -3 + 2\right) }^{2}} = \sqrt{2}$ . 两个圆的半径分别是 ${r}_{1} = 2\sqrt{2}$ 与 ${r}_{2} = \sqrt{2}$ . 于是 $d = \left| {{r}_{1} - {r}_{2}}\right|$ ,所以圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 内切. 把两个圆的方程相减并整理得 $x = 3 - y$ . 代入圆 ${C}_{1}$ 的方程并化简得 ${y}^{2} + {2y} + 1 = 0$ . 这个一元二次方程有两个相同的根 $y = - 1$ ,从而 $x = 4$ . 由此得到圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 的切点是 $\left( {4, - 1}\right)$ . 例 12 如图 2-1-9(1),圆 ${O}_{1}$ 与圆 ${O}_{2}$ 的半径都是 1, ${O}_{1}{O}_{2} = 4$ ,过动点 $P$ 分别作圆 ${O}_{1}$ 、圆 ${O}_{2}$ 的切线 ${PM}\text{ 、 }{PN}(M$ 、 $N$ 分别为切点),使得 $\left| {PM}\right| = \sqrt{2}\left| {PN}\right|$ . 试通过建立适当的平面直角坐标系,求动点 $P$ 的轨迹. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_10_210_1678_843_343_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_10_210_1678_843_343_0.jpg) 图 2-1-9 解 如图 2-1-9(2),以 ${O}_{1}{O}_{2}$ 的中点 $O$ 为原点, ${O}_{1}{O}_{2}$ 所在直线为 $x$ 轴,以线段 ${O}_{1}{O}_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,则 ${O}_{1}$ 的坐标为 $\left( {-2,0}\right) ,{O}_{2}$ 的坐标为 $\left( {2,0}\right)$ . 由 $\left| {PM}\right| = \sqrt{2}\left| {PN}\right|$ ,得 ${\left| PM\right| }^{2} = 2{\left| PN\right| }^{2}$ . 又因为两圆的半径均为 1,所以由勾股定理,得 ${\left| PM\right| }^{2} = \; {\left| P{O}_{1}\right| }^{2} - 1,{\left| PN\right| }^{2} = {\left| P{O}_{2}\right| }^{2} - 1$ ,从而 ${\left| P{O}_{1}\right| }^{2} - 1 = 2\left( {{\left| P{O}_{2}\right| }^{2} - 1}\right)$ . 设点 $P$ 的坐标为 $\left( {x, y}\right)$ ,则 $$ {\left( x + 2\right) }^{2} + {y}^{2} - 1 = 2\left\lbrack {{\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} - 1}\right\rbrack , $$ 整理, 得 $$ {x}^{2} + {y}^{2} - {12x} + 3 = 0, $$ Q 化为标准方程, 得 $$ {\left( x - 6\right) }^{2} + {y}^{2} = {33}. $$ --- 注意轨迹与轨迹的方程二者的区别与联系. --- 因此，所求的轨迹是以(6，0)为圆心、以 $\sqrt{33}$ 为半径的圆. ## 练习 2.1(4) 1. 已知圆 ${C}_{1} : {\left( x - 2\right) }^{2} + {\left( y - 2\right) }^{2} = 1$ 和圆 ${C}_{2} : {x}^{2} + {\left( y - m\right) }^{2} = {m}^{2}\left( {m > 0}\right)$ ,当 $m$ 为何值时,圆 ${C}_{1}$ 与圆 ${C}_{2}$ 分别内切、相交? 2. 求与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = {25}$ 外切于点 $P\left( {4, - 3}\right)$ 且半径为 1 的圆的方程. 3. 已知圆 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2x} + {2y} - 3 = 0$ 和圆 ${x}^{2} + {y}^{2} + {4x} - 1 = 0$ 相交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,求公共弦 ${AB}$ 的长. ## 习题 2.1 ## A 组 1. 根据下列条件,分别求圆的方程: (1)圆心为 $C\left( {-\frac{3}{2},3}\right)$ ,半径 $r = \sqrt{3}$ ； (2)圆心为 $C\left( {\sqrt{2},1}\right)$ ，过点 $A\left( {-1,\sqrt{2}}\right)$ ； (3)与 $x$ 轴相交于 $A\left( {1,0}\right)$ 、 $B\left( {5,0}\right)$ 两点，且半径等于✓5. 2. 已知圆 ${\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2} = {r}^{2}\left( {r > 0}\right)$ ,求在下列情况下,实数 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }r$ 应分别满足什么条件: (1)圆过原点； (2)圆心在 $x$ 轴上； (3)圆与 $x$ 轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切. 3. 求过点 $M\left( {5,2}\right) \text{ 、 }N\left( {3,2}\right)$ ,且圆心在直线 $y = {2x} - 3$ 上的圆的方程. 4. 已知 ${a}^{2}{x}^{2} + \left( {a + 2}\right) {y}^{2} + {2ax} + a = 0$ 表示圆,求实数 $a$ 的值. 5. 直线 $l$ 与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} + {2x} - {4y} + a = 0\left( {a < 3}\right)$ 相交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,且弦 ${AB}$ 的中点为 $\left( {0,1}\right)$ . 求直线 $l$ 的方程. 6. 已知圆过原点，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点的坐标分别为 $\left( {a,0}\right)$ 、 $\left( {0, b}\right)$ ，其中 ${ab} \neq 0$ . 求这个圆的方程. 7. 判断直线 $x\cos \theta + y\sin \theta = r$ 与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2}$ 的位置关系. 8. 已知直线 ${2x} + {3y} + 1 = 0$ 和圆 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2x} - 3 = 0$ 相交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,求弦 ${AB}$ 的垂直平分线的方程. 9. 求与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = {25}$ 内切于点 $P\left( {3, - 4}\right)$ 且半径为 1 的圆的方程. 10. 已知圆 $C$ 过点 $\left( {-4,0}\right)$ 且与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} - {4x} - {6y} = 0$ 相切于原点,求圆 $C$ 的方程. 11. 圆拱桥的一个圆拱如图所示,该圆拱的跨度 ${AB}$ 为 ${20}\mathrm{\;m}$ ,拱高 ${OP}$ 为 $4\mathrm{\;m}$ ,在建造过程中每隔 $4\mathrm{\;m}$ 需用一个支柱支撑. 求支柱 ${A}_{2}{B}_{2}$ 的高度. (结果精确到 ${0.01}\mathrm{\;m}$ ) ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_12_558_940_501_171_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_12_558_940_501_171_0.jpg) (第 11 题) ## B 组 1. 给定点 $A\left( {2,3}\right)$ 与圆 $C : {x}^{2} + {y}^{2} = {25}$ ,求圆 $C$ 的过点 $A$ 最短弦所在直线的方程. 2. 一个圆过点 $\left( {2, - 1}\right)$ ,圆心在直线 ${2x} + y = 0$ 上,且与直线 $x - y - 1 = 0$ 相切. 求这个圆的方程. 3. 已知圆 ${x}^{2} + {y}^{2} + {6x} - {8y} + {25} = {r}^{2}$ 与 $x$ 轴相切，求这个圆截 $y$ 轴所得的弦长. 4. 求圆 $C : {x}^{2} + {y}^{2} + {4x} + {2y} - 3 = 0$ 关于点 $M\left( {1,1}\right)$ 对称的圆的方程. 5. 已知动直线 ${kx} - y + 1 = 0$ (其中 $k \in \mathbf{R}$ ) 和圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = 4$ 相交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,求弦 ${AB}$ 的中点的轨迹方程. 6. 求经过点 $\left( {5, - 5}\right)$ 且与圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = {25}$ 相切的直线的方程. 7. 已知直线 $y = x + m$ 和曲线 $y = \sqrt{1 - {x}^{2}}$ 有两个不同的交点,求实数 $m$ 的取值范围. 8. 已知直线 $l : x - y + 4 = 0$ 与圆 $C : {\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2} = 2$ ,求圆 $C$ 上各点到直线 $l$ 的距离的最大值. 9. 已知实数 $x\text{ 、 }y$ 满足 ${\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} = 3$ ,求 $\frac{y}{x}$ 的取值范围. 10. ${400}\mathrm{\;m}$ 标准跑道的内圈如图所示( ${400}\mathrm{\;m}$ 标准跑道最内圈的长度为 ${400}\mathrm{\;m}$ )，其中左右两端均是半径为 ${36}\mathrm{\;m}$ 的半圆弧. (1)求每条直道的长度; (π 取 3.14，结果精确到 $1\mathrm{\;m}$ ) (2)建立适当的平面直角坐标系，写出上半部分跑道所对应的函数表达式. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_13_607_335_455_170_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_13_607_335_455_170_0.jpg) (第 10 题) ## 探究与实践 ## 追捕走私船 如图 2-1-10,设直线 $l$ 为公海与领海的分界线,一巡逻艇在 $A$ 处发现北偏东 ${60}^{ \circ }$ 海面 $B$ 处有一艘走私船,此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮 $C$ 航行,以便上海轮后逃窜. 已知巡逻艇的航速是走私船航速的 2 倍, $A$ 与公海相距约 12 海里,走私船可能向任一方向逃窜. 请回答下列问题: ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_13_584_1092_501_302_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_13_584_1092_501_302_0.jpg) 图 2-1-10 (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”； (3)如果走私船在非截获区域就进入公海，那么巡逻艇追捕失败. 要保证在领海内捕获,就应保证 “非截获区域” 与公海区域不相交 (即交集为空集). 此时, $A\text{ 、 }B$ 相距最远是多少海里? ### 2.2 椭圆 ## 1 椭圆的标准方程 椭圆是一类重要的曲线. 早在 1609 年, 德国天文学家开普勒(J. Kepler)就提出了行星运动定律: 每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳转动, 而太阳则处在椭圆的一个焦点上. 生活中我们还可以在许多地方看到椭圆的形状, 如篮球在地面上的影子边界, 圆柱 (台) 形水杯倾斜时液面的边界线, 等等. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_14_1111_1096_348_230_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_14_1111_1096_348_230_0.jpg) 图 2-2-1 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_14_203_976_844_239_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_14_203_976_844_239_0.jpg) --- 当点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 重合时,点集 $P$ 表示一个圆, 所以圆可以看作是椭圆的特殊情形. 但在本章中，除非特殊指出, 所说的椭圆均不包含圆这一特殊情形. --- 作为一条平面曲线，椭圆有多种定义方式，我们这里只给出其中的一种. 为此,先做一个简单的实验: 取一段长为 ${2a}$ 的绳子, 如果把这段绳子的两个端点分别固定在画图板上不同的两点 ${F}_{1}$ 和 ${F}_{2}$ 处,当绳长 ${2a} > \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ 时,将铅笔尖套在绳子里并拉紧绳子,使笔尖 $M$ 顺势移动一周,笔尖 $M$ 画出来的图形就是一个椭圆 (图 2-2-1). 从上面的画图过程可以看出, 椭圆是由到两定点距离之和为定值的点所组成的集合. Q 我们把平面上到两个定点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的距离之和等于常数 ${2a} \; \left( {{2a} > \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| }\right)$ 的点的轨迹叫做椭圆 (ellipse). 用集合的记号表示, 椭圆就是下述点集: $$ P = \left\{ {M\left| \right| M{F}_{1}\left| +\right| M{F}_{2}\left| { = {2a},{2a} > }\right| {F}_{1}{F}_{2} \mid }\right\} . $$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_14_1144_1779_286_264_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_14_1144_1779_286_264_0.jpg) 图 2-2-2 定点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 叫做椭圆的焦点 (focus),两个焦点之间的距离 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ 叫做椭圆的焦距. 下面推导椭圆的方程. 以线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 的中点为原点,以 $\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向, 建立如图 2-2-2 所示的平面直角坐标系. 设椭圆的焦距为 ${2c}$ ,则点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的坐标分别为 $\left( {-c,0}\right) \text{ 、 }\left( {c,0}\right)$ . 设点 $M\left( {x, y}\right)$ 是椭圆上的任意一点,由定义有 $$ \left| {M{F}_{1}}\right| + \left| {M{F}_{2}}\right| = {2a}\left( {a > c > 0}\right) . $$ 因为 $\left| {M{F}_{1}}\right| = \sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}},\left| {M{F}_{2}}\right| = \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}$ ,所以 $$ \sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} + \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} = {2a}, $$ 即 $$ \sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} = {2a} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}. $$ 将上式两边平方, 得 $$ {\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2} = 4{a}^{2} - {4a}\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} + {\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}. $$ 整理, 得 $$ {a}^{2} - {cx} = a\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}. $$ 两边再平方, 得 $$ {a}^{4} - 2{a}^{2}{cx} + {c}^{2}{x}^{2} = {a}^{2}{x}^{2} - 2{a}^{2}{cx} + {a}^{2}{c}^{2} + {a}^{2}{y}^{2}. $$ 整理, 得 $$ \left( {{a}^{2} - {c}^{2}}\right) {x}^{2} + {a}^{2}{y}^{2} = {a}^{2}\left( {{a}^{2} - {c}^{2}}\right) . $$ 因为 $a > c > 0$ ,所以 ${a}^{2} - {c}^{2} > 0$ . 设 ${b}^{2} = {a}^{2} - {c}^{2}$ ,且 $b > 0$ . 我们得到 $$ {b}^{2}{x}^{2} + {a}^{2}{y}^{2} = {a}^{2}{b}^{2}, $$ 即 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right) . $$ ① 上面的推导表明,椭圆上任意一点 $M$ 的坐标 $\left( {x, y}\right)$ 都是方程①的解；反过来，可以证明以方程①的解为坐标的点都在这个椭圆上(只需将上述推理过程反过来推演即可). 所以，方程①就是这个椭圆的方程,它表示的是焦点在 $x$ 轴上的椭圆. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_15_234_1547_250_292_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_15_234_1547_250_292_0.jpg) 图 2-2-3 如果所建立的平面直角坐标系使焦点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 在 $y$ 轴上,设点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的坐标分别为 $\left( {0, - c}\right) \text{ 、 }\left( {0, c}\right)$ ,仍然设 ${b}^{2} = {a}^{2} - {c}^{2}\left( {b > 0}\right)$ , 只要将方程①的 $x\text{ 、 }y$ 互换，那么所得椭圆(图 2-2-3)的方程为 $$ \frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right) . $$ ② 方程①和②都叫做椭圆的标准方程. 例 1 已知椭圆的焦距是 6 , 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于 10 . 求椭圆的标准方程. 解 因为 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| = {2c} = 6,{2a} = {10}$ ,即 $c = 3, a = 5$ ,所以 $$ {b}^{2} = {a}^{2} - {c}^{2} = {25} - 9 = {16}. $$ 当焦点在 $x$ 轴上时,得椭圆的标准方程为 $$ \frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{16} = 1 $$ 当焦点在 $y$ 轴上时,得椭圆的标准方程为 $$ \frac{{y}^{2}}{25} + \frac{{x}^{2}}{16} = 1 $$ 故椭圆的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{{y}^{2}}{25} + \frac{{x}^{2}}{16} = 1$ . 例 2 求焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $2\sqrt{6}$ ，且过点 $\left( {\sqrt{3},\sqrt{2}}\right)$ 的椭圆的标准方程. 解 因为椭圆焦点在 $x$ 轴上,所以设其方程为 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right) . $$ 由 ${2c} = 2\sqrt{6}$ ,得 $c = \sqrt{6}$ ,因此 $$ {a}^{2} = {b}^{2} + 6\text{ . } $$ 又由于椭圆过点 $\left( {\sqrt{3},\sqrt{2}}\right)$ ,因此 $$ \frac{3}{{a}^{2}} + \frac{2}{{b}^{2}} = 1 $$ 求解上述二式组成的联立方程组,得 ${a}^{2} = 9,{b}^{2} = 3$ . 因此，所求椭圆的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{9} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ . ## 练习 2.2(1) 1. 分别写出满足下列条件的动点 $P$ 的轨迹方程: (1)点 $P$ 到点 ${F}_{1}\left( {-3,0}\right)$ 、 ${F}_{2}\left( {3,0}\right)$ 的距离之和为 10 ； (2)点 $P$ 到点 ${F}_{1}\left( {0, - 2}\right)$ 、 ${F}_{2}\left( {0,2}\right)$ 的距离之和为 12； (3)点 $P$ 到点 ${F}_{1}\left( {-4,0}\right)$ 、 ${F}_{2}\left( {4,0}\right)$ 的距离之和为 8 . 2. 分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 $y$ 轴上，焦距为 $2\sqrt{15}$ ，且经过点 $\left( {0, - 4}\right)$ ； (2)焦距为 4，且经过点 $\left( {\sqrt{5},0}\right)$ . ## 2 椭圆的性质 在解析几何中, 可利用曲线的方程研究曲线的几何性质. 我们从椭圆的标准方程 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right) $$ ① 出发, 可以得到椭圆的下列性质. --- 例 1 为什么有两种椭圆的标准方程? --- ## (1) 对称性 从椭圆的形状上看, 椭圆有两条相互垂直的对称轴. 这里, 也可以通过方程①讨论椭圆的对称性. 容易验证,如果点 ${M}_{1}\left( {x, y}\right)$ 的坐标满足方程①，那么它关于 $y$ 轴的对称点 ${M}_{2}\left( {-x, y}\right)$ 、关于 $x$ 轴的对称点 ${M}_{3}\left( {x, - y}\right)$ 及关于坐标原点的对称点 ${M}_{4}\left( {-x, - y}\right)$ 的坐标也都满足方程① (图 2-2-4). 所以椭圆关于 $y$ 轴、 $x$ 轴和坐标原点对称. 因此, 椭圆既是轴对称图形, 有两条互相垂直的对称轴; 也是中心对称图形, 其唯一的对称中心叫做椭圆的中心. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_17_216_409_290_293_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_17_216_409_290_293_0.jpg) 图 2-2-4 ## (2)顶点 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_17_200_859_320_269_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_17_200_859_320_269_0.jpg) 图 2-2-5 如图 2-2-5, 椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点 (vertex). 在方程①中，令 $y = 0$ ，得 $x = \pm a$ ；令 $x = 0$ ，得 $y = \pm b$ . 所以椭圆与两条坐标轴的交点分别是 ${A}_{1}\left( {-a,0}\right) \text{ 、 }{A}_{2}\left( {a,0}\right)$ 、 ${B}_{1}\left( {0, - b}\right) \text{ 、 }{B}_{2}\left( {0, b}\right)$ . 这四个点都是椭圆的顶点. 因为 $a > b > 0$ ,我们把线段 ${A}_{1}{A}_{2}$ 叫做椭圆的长轴 (long axis), 长轴的长等于 ${2a}$ ; 线段 ${B}_{1}{B}_{2}$ 叫做椭圆的短轴 (short axis),短轴的长等于 ${2b}$ . 方便起见,把 $a$ 和 $b$ 分别称为椭圆的长半轴的长和短半轴的长. 椭圆的焦距为 ${2c}$ ,椭圆的半焦距为 $c$ . 椭圆的两个焦点都在它的长轴上. 由于 ${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2}$ ,焦点和短半轴顶点的距离就等于长半轴的长 (图 2-2-5). 由椭圆的对称性知, 椭圆的长轴和短轴分别所在的直线就是椭圆的两条对称轴. ## (3)范围 由方程①可知，椭圆上每一点的坐标 $\left( {x, y}\right)$ 都满足不等式 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \leq 1,\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \leq 1, $$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_17_217_1662_290_296_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_17_217_1662_290_296_0.jpg) 图 2-2-6 即 $$ - a \leq x \leq a, - b \leq y \leq b. $$ 这说明椭圆位于直线 $x = \pm a$ 和直线 $y = \pm b$ 所围成的矩形内(图 2-2-6). ## (4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 $e = \frac{c}{a}$ ,叫做椭圆的离心率 (eccentricity). 因为 $a > c > 0$ ,所以 $0 < e < 1$ . 在 $a$ 确定的条件下, $e$ 越接近于 1,则 $c$ 越接近于 $a$ ,从而 $b = \sqrt{{a}^{2} - {c}^{2}}$ 越小,因此椭圆越扁; 反之, $e$ 越接近于 0,则 $c$ 越接近于 0,从而 $b$ 越接近于 $a$ ,这时椭圆就越接近于圆. --- $a = b$ 时, $c = 0$ , 这时两个焦点重合于椭圆的中心, 椭圆变为圆,其方程为 ${x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}.$ --- 例 3 求椭圆 $9{x}^{2} + {25}{y}^{2} = {225}$ 的长轴和短轴的长、离心率以及焦点和顶点的坐标. 解 将给定的椭圆方程化成标准方程 $$ \frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{9} = 1 $$ 这里 $a = 5, b = 3, c = \sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}} = 4$ . 所以，椭圆的长轴和短轴的长分别是 10 和 6，离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ ， 两个焦点在 $x$ 轴上,它们的坐标分别是 $\left( {-4,0}\right)$ 和 $\left( {4,0}\right)$ ,四个顶点的坐标分别是 $\left( {-5,0}\right) \text{ 、 }\left( {5,0}\right) \text{ 、 }\left( {0, - 3}\right) \text{ 、 }\left( {0,3}\right)$ . ## 练习 2.2(2) 1. 已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标: (1) $\frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ (2) ${25}{x}^{2} + 4{y}^{2} = {100}$ . 2. 用离心率作为指标衡量, 下列每组两个椭圆中哪一个更接近圆? (1) $\frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{9} = 1$ 与 $\frac{{x}^{2}}{16} + \frac{{y}^{2}}{12} = 1$ ；___ (2) ${x}^{2} + 9{y}^{2} = {36}$ 与 $5{x}^{2} + 3{y}^{2} = {30}$ . 3. 若一椭圆以原点为中心，一个焦点的坐标为 $\left( {\sqrt{2},0}\right)$ ，且长轴长是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍. 求该椭圆的标准方程. 例 4 我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心 ${F}_{2}$ 为一个焦点的椭圆,椭圆长轴的两个端点 $A$ 、 $B$ 分别为近地点和远地点,如图 2-2-7 所示. 卫星在近地点 $A$ 与地球表面的距离约为 ${440}\mathrm{\;{km}}$ ,在远地点 $B$ 与地球表面的距离约为 ${2384}\mathrm{\;{km}}$ ,地球中心与 $A\text{ 、 }B$ 在同一直线上. 已知地球的半径 $R$ 约为 ${6371}\mathrm{\;{km}}$ . 以 $\mathrm{{km}}$ 为单位,建立适当的平面直角坐标系, 求卫星轨道的方程. (结果精确到 $1\mathrm{\;{km}}$ ) ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_18_1151_1721_237_310_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_18_1151_1721_237_310_0.jpg) 图 2-2-7 解 如图 2-2-8,以卫星轨道的中心 $O$ 为原点,线段 ${AB}$ 所在的直线为 $x$ 轴, $\overrightarrow{OA}$ 方向为 $x$ 轴的正方向,建立平面直角坐标系. 因焦点 ${F}_{2}$ 在 $x$ 轴正半轴上,可设地球的中心为 ${F}_{2}\left( {c,0}\right)$ , 所求卫星轨道的方程为 ? $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right) . $$ --- 为什么近地点和远地点分别在椭圆的长轴的两个端点处? --- ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_19_202_471_318_293_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_19_202_471_318_293_0.jpg) 图 2-2-8 设 ${A}^{\prime }\text{ 、 }{B}^{\prime }$ 是 ${AB}$ 与地球表面的两个交点. 因为 $$ a - c = \left| {A{F}_{2}}\right| = \left| {A{A}^{\prime }}\right| + R = {440} + {6371} = {6811}, $$ $$ a + c = \left| {B{F}_{2}}\right| = \left| {B{B}^{\prime }}\right| + R = {2384} + {6371} = {8755}, $$ 所以 $$ a = {7783}, c = {972}. $$ 从而 $$ b = \sqrt{{a}^{2} - {c}^{2}} \approx {7722}. $$ 因此,所求卫星轨道的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{7783}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{7723}^{2}} = 1$ . ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_19_200_949_316_444_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_19_200_949_316_444_0.jpg) 图 2-2-9 例 5 设直线与椭圆的方程分别为 ${2x} - y = b$ 与 $\frac{{x}^{2}}{75} + \frac{{y}^{2}}{25} = 1$ ,当 $b$ 为何值时,它们满足下列关系: (1)直线与椭圆有且只有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆没有公共点. 解 如图 2-2-9,当 $b$ 变化时,方程 ${2x} - y = b$ 表示的是斜率为 2 的一组平行线. 由直线的方程得 $y = {2x} - b$ ,代入椭圆的方程后整理得 $$ {13}{x}^{2} - {12bx} + 3{b}^{2} - {75} = 0. $$ 此一元二次方程根的判别式 $$ \Delta = {\left( {12}b\right) }^{2} - 4 \times {13}\left( {3{b}^{2} - {75}}\right) = {12}\left( {{325} - {b}^{2}}\right) . $$ 由此可知: (1)当 $\Delta = 0$ ，即 $b = \pm \sqrt{325} = \pm 5\sqrt{13}$ 时，直线与椭圆只有一个公共点. (2)当 $\Delta > 0$ ，即 $- 5\sqrt{13} < b < 5\sqrt{13}$ 时，直线与椭圆有两个公共点. Q --- 椭圆的切线具有下面的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线在到达椭圆上后, 被经过到达点的切线反射后必经过椭圆的另一个焦点. 椭圆的这一光学性质在医学等领域有广泛的应用。 --- (3)当 $\Delta < 0$ ，即 $b > 5\sqrt{13}$ 或 $b < - 5\sqrt{13}$ 时，直线与椭圆没有公共点. 例 5 中的 (1), 直线与椭圆有且只有一个公共点. 一般地, 如果一条直线与一个椭圆有且只有一个公共点, 就说这条直线与这个椭圆相切, 这条直线称为这个椭圆的切线. 显然, 如果椭圆的标准方程是 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ ,那么直线 $x = \pm a, y = \pm b$ 都是这个椭圆的切线, 其切点分别为椭圆的四个顶点. ## 练习 2.2(3) 1. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{{x}^{2}}{36} + \frac{{y}^{2}}{20} = 1$ 上一个动点, ${F}_{1}$ 是椭圆的左焦点. 求 $\left| {P{F}_{1}}\right|$ 的最大值和最小值. 2. 点 $P$ 在焦点为 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的椭圆 $\frac{{x}^{2}}{45} + \frac{{y}^{2}}{20} = 1$ 上,且 $\angle {F}_{1}P{F}_{2} = {90}^{ \circ }$ . 求 $\left| {P{F}_{1}}\right| \cdot \left| {P{F}_{2}}\right|$ 的值. 3. 已知直线 $l : y = {mx} - 2$ 与椭圆 $C : \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ 相交于两个不同的点，求实数 $m$ 的取值范围. ## 习题 2.2 ## A 组 1. 若方程 ${16}{x}^{2} + k{y}^{2} = {16k}$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆,求实数 $k$ 的取值范围. 2. 设 $F$ 是椭圆的一个焦点, ${B}_{1}{B}_{2}$ 是椭圆的短轴, $\angle {B}_{1}F{B}_{2} = {60}^{ \circ }$ . 求椭圆的离心率. 3. 已知椭圆的一个焦点是 ${F}_{1}\left( {-3,0}\right)$ ,且经过点 $P\left( {2,\sqrt{2}}\right)$ . 求这个椭圆的标准方程. 4. 直线 $y = {2x} + b$ 被椭圆 $4{x}^{2} + {y}^{2} = {16}$ 所截得的弦长为 $\sqrt{35}$ ，求实数 $b$ 的值. 5. 若对于任意实数 $k$ ,直线 $y = {kx} + 1$ 与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{5} + \frac{{y}^{2}}{m} = 1$ 恒有公共点. 求实数 $m$ 的取值范围. B 组 1. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{{x}^{2}}{25} + \frac{{y}^{2}}{9} = 1$ 上的点， ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 是椭圆的两个焦点. (1)若 $\angle {F}_{1}P{F}_{2} = {60}^{ \circ }$ ，求 $\bigtriangleup P{F}_{1}{F}_{2}$ 的面积； (2)若 $\bigtriangleup P{F}_{1}{F}_{2}$ 的面积为 9，求 $\angle {F}_{1}P{F}_{2}$ 的大小. 2. 水星的运行轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆, 轨道上离太阳中心最近的距离约为 ${4.7} \times {10}^{8}\mathrm{\;{km}}$ ,最远的距离约为 ${7.05} \times {10}^{8}\mathrm{\;{km}}$ . 以这个轨道的中心为原点,以太阳中心及轨道中心所在直线为 $x$ 轴,建立平面直角坐标系. 求水星运行轨道的方程. (长半轴的长和短半轴的长精确到 ${0.1} \times {10}^{8}\mathrm{\;{km}}$ ) ### 2.3 双曲线 ## 1 双曲线的标准方程 如图 2-3-1,给定两个定点 ${F}_{1}$ 与 ${F}_{2}$ ,将一条拉链先拉开一部分,并将拉开的一支的一端固定在 ${F}_{2}$ 处,在另一支上选择一点固定在 ${F}_{1}$ 处,在拉链头 $M$ 处放上一支铅笔,然后逐渐拉开拉链,让铅笔尖 $M$ 顺势移动,则笔尖 $M$ 画出的图形 (图 2-3-2 中实线所示的曲线在直线 ${F}_{1}{F}_{2}$ 上方的部分) 就是使 $\left| {M{F}_{2}}\right| - \left| {M{F}_{1}}\right|$ 为常数 $\left| {P{F}_{1}}\right|$ 的点 $M$ 的轨迹的一部分. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_21_213_728_293_258_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_21_213_728_293_258_0.jpg) 图 2-3-1 我们知道平面上到两个定点的距离之和等于常数 (此常数大于两定点之间的距离) 的点的轨迹是椭圆, 那么平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹是怎样的曲线呢? ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_21_216_1139_290_242_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_21_216_1139_290_242_0.jpg) 图 2-3-2 如果把拉链想象成无限长,那么得到的点 $M$ 的轨迹就向上方无限伸展了; 如果把拉链翻转 ${180}^{ \circ }$ ,又可以画出图 2-3-2 中实线所示的曲线在直线 ${F}_{1}{F}_{2}$ 下方的部分. 交换 $M{F}_{1}$ 与 $M{F}_{2}$ 的长度, 图中用虚线表示的曲线也可用类似方法画出. 我们把平面上到两个定点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的距离之差的绝对值等于常数 ${2a}\left( {0 < {2a} < \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| }\right)$ 的点的轨迹叫做双曲线 (hyperbola). 双曲线也可表示为如下点集: ? $$ P = \left\{ {M\left| \right| \left| {M{F}_{1}}\right| - \left| {M{F}_{2}}\right| \mid = {2a},0 < {2a} < \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| }\right\} . $$ --- 为什么要加条件: “绝对值”? 为什么要加条件: $0 < {2a} < \; \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ? --- 定点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ 叫做双曲线的焦距. 下面根据双曲线的定义, 参照求椭圆的方程的方法推导双曲线的方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_21_201_1783_319_256_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_21_201_1783_319_256_0.jpg) 图 2-3-3 取线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 的中点为原点, $\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向, 建立平面直角坐标系, 如图 2-3-3 所示. 设两个焦点之间的距离 $\left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| = {2c}\left( {0 < a < c}\right)$ ,则点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的坐标分别是 $\left( {-c,0}\right) \text{ 、 }\left( {c,0}\right)$ . 设 $M\left( {x, y}\right)$ 是双曲线上的任意一点,由定义,有 $$ \left| \right| M{F}_{1}\left| -\right| M{F}_{2}\left| \right| = {2a}\left( {c > a > 0}\right) . $$ 因为 $\left| {M{F}_{1}}\right| = \sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}},\left| {M{F}_{2}}\right| = \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}$ , 所以 $$ \left| {\sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} - \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}}\right| = {2a}, $$ 即 $$ \sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} = \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} \pm {2a}. $$ 将上式两边平方, 并整理后可得 $$ {cx} - {a}^{2} = \pm a\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}. $$ 再将上式两边平方, 并整理后可得 $$ \left( {{c}^{2} - {a}^{2}}\right) {x}^{2} - {a}^{2}{y}^{2} = {a}^{2}\left( {{c}^{2} - {a}^{2}}\right) . $$ 因为 $c > a > 0$ ,所以 ${c}^{2} - {a}^{2} > 0$ . 从而可令 ${b}^{2} = {c}^{2} - {a}^{2}\left( {b > 0}\right)$ , 并将上式改写为 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right) . $$ ① 因此,双曲线上任意一点 $M$ 的坐标 $\left( {x, y}\right)$ 都是方程①的解. 反过来, 可以证明以方程①的解为坐标的点都在这个双曲线上(只需将上述推理过程反过来推演即可). 方程①所表示的双曲线的焦点在 $x$ 轴上,且坐标分别为 ${F}_{1}\left( {-c,0}\right) \text{ 、 }{F}_{2}\left( {c,0}\right)$ ,而 ${c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}$ . 如图 2-3-3,双曲线由两支分开的曲线组成. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_22_1169_1290_238_289_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_22_1169_1290_238_289_0.jpg) 图 2-3-4 如果以连接两个焦点 ${F}_{1}$ 和 ${F}_{2}$ 的直线为 $y$ 轴,线段 ${F}_{1}{F}_{2}$ 的垂直平分线为 $x$ 轴,如图 2-3-4 所示,那么两个焦点可分别设为 ${F}_{1}\left( {0, - c}\right) \text{ 、 }{F}_{2}\left( {0, c}\right)$ ,此时只要将方程①的 $x\text{ 、 }y$ 互换,就可得双曲线的方程是 $$ \frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right) , $$ ② 其中, $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 的关系仍是 ${c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}$ . 方程①和②都叫做双曲线的标准方程. 例 1 已知双曲线的焦距是 6 , 双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于 4 . 写出双曲线的标准方程和焦点的坐标. 解 因为 ${2c} = 6,{2a} = 4$ ,即 $c = 3, a = 2$ ,所以 $$ {b}^{2} = {c}^{2} - {a}^{2} = 9 - 4 = 5. $$ 于是,焦点在 $x$ 轴上的双曲线的标准方程是 $\frac{{x}^{2}}{4} - \frac{{y}^{2}}{5} = 1$ ,它的两个焦点的坐标是 $\left( {-3,0}\right)$ 和 $\left( {3,0}\right)$ . 焦点在 $y$ 轴上的双曲线的标准方程是 $\frac{{y}^{2}}{4} - \frac{{x}^{2}}{5} = 1$ ,它的两个焦点的坐标是 $\left( {0, - 3}\right)$ 和 $\left( {0,3}\right)$ . 例 2 已知点 $M\left( {x, y}\right)$ 到点 ${F}_{1}\left( {-3,0}\right)$ 的距离减去它到点 ${F}_{2}\left( {3,0}\right)$ 的距离之差是 $m$ ,分别求下列条件下点 $M$ 的轨迹方程: ? (1) $m = 4$ ； (2) $m = 6$ . --- 例 2(1) 中,点 $M$ 的轨迹为什么只是双曲线的右支? --- 解(1)依题意， $$ \left| {M{F}_{1}}\right| - \left| {M{F}_{2}}\right| = 4. $$ 而 $4 < \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| = 6$ ,所以点 $M$ 的轨迹是以 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 为焦点的双曲线的右支,且 $c = 3, a = 2$ . 因为 ${b}^{2} = {c}^{2} - {a}^{2} = 5$ ,所以点 $M$ 的轨迹方程为 $\frac{{x}^{2}}{4} - \frac{{y}^{2}}{5} = 1\left( {x > 0}\right)$ . (2)当 $m = 6$ 时, $\left| {M{F}_{1}}\right| - \left| {M{F}_{2}}\right| = \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right|$ ,此时点 $M$ 的轨迹是以 ${F}_{2}$ 为端点在 $x$ 轴上向正方向的射线,轨迹方程为 $y = 0\left( {x \geq 3}\right)$ . ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_23_214_1012_296_273_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_23_214_1012_296_273_0.jpg) 图 2-3-5 例 3 在相距 2000 m 的两个观察站 $A$ 、 $B$ 先后听到远处传来的爆炸声,已知 $A$ 站听到的时间比 $B$ 站早 $4\mathrm{\;s}$ ,声速是 ${340}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}$ . 建立适当的平面直角坐标系,判断爆炸点可能分布在什么样的轨迹上, 并求该轨迹的方程. 解 设爆炸点为 $P$ ,由题意知 $$ \left| {PB}\right| - \left| {PA}\right| = {340} \times 4 = {1360}. $$ Q 又 $$ \left| {AB}\right| = {2000} > {1360}, $$ 所以点 $P$ 分布在以 $A\text{ 、 }B$ 为焦点的双曲线且靠近 $A$ 处的一支上. --- 双曲线具有很好的定位功能. 航海中使用的就是一种双曲线定位系统. 这一系统是由设置在岸上的两个发射台以及船上的接收机(定位仪)等组成, 通过测定两个发射台发射的电磁波传播到船上的时差来确定船舶的位置. --- 如图 2-3-5,以 ${AB}$ 的中点为原点,以 $\overrightarrow{AB}$ 的方向为 $x$ 轴正方向,且以 $\mathrm{m}$ 为单位,建立平面直角坐标系. 由 $\left| {AB}\right| = {2c} = {2000},\left| {PB}\right| - \left| {PA}\right| = {2a} = {1360}$ ,得 $$ c = {1000}, a = {680}, $$ $$ {b}^{2} = {c}^{2} - {a}^{2} = {1000}^{2} - {680}^{2} = {537600}. $$ 所以,点 $P$ 所在的轨迹的方程为 $\frac{{x}^{2}}{462400} - \frac{{y}^{2}}{537600} = 1\left( {x < 0}\right)$ . ## 练习 2.3(1) 1. 已知 ${F}_{1}\left( {-5,0}\right) \text{ 、 }{F}_{2}\left( {5,0}\right)$ 两点,根据下列条件,写出动点 $M$ 的轨迹方程: (1) $\left| {M{F}_{1}}\right| - \left| {M{F}_{2}}\right| = {10}$ ； (2) $\left| {M{F}_{1}}\right| - \left| {M{F}_{2}}\right| = 8$ ； (3) $\left| {\left| {M{F}_{1}}\right| - \left| {M{F}_{2}}\right| }\right| = 6$ . 2. 已知双曲线 $\frac{{x}^{2}}{9} - \frac{{y}^{2}}{m} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上,焦距为 10 . 求实数 $m$ 的值. 3. 已知双曲线 $\frac{{x}^{2}}{16} - \frac{{y}^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点分别为 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}, P$ 为双曲线上一点,且 $\angle {F}_{1}P{F}_{2} = \frac{\pi }{2}$ . 求 $\bigtriangleup P{F}_{1}{F}_{2}$ 的面积. ## 2 双曲线的性质 下面利用双曲线 $C$ 的标准方程 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right) $$ ① 研究它的性质. ## (1) 对称性 与探讨椭圆的对称性类似, 可知双曲线既是轴对称图形, 有两条互相垂直的对称轴, 也是中心对称图形, 其唯一的对称中心叫做双曲线的中心. ## (2) 顶点 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_24_1156_1298_259_287_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_24_1156_1298_259_287_0.jpg) 图 2-3-6 双曲线与它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点. 在方程①中,令 $y = 0$ ,得 $x = \pm a$ ,所以 ${A}_{1}\left( {-a,0}\right)$ 、 ${A}_{2}\left( {a,0}\right)$ 是双曲线的两个顶点. 当 $x = 0$ 时, $y$ 没有实数解,所以双曲线与 $y$ 轴没有交点,但我们也把点 ${B}_{1}\left( {0, - b}\right) \text{ 、 }{B}_{2}\left( {0, b}\right)$ 画在 $y$ 轴上,如图 2-3-6 所示. 线段 ${A}_{1}{A}_{2}$ 和 ${B}_{1}{B}_{2}$ 分别在双曲线的两条对称轴上,我们把线段 ${A}_{1}{A}_{2}$ 叫做双曲线的实轴 (real axis),实轴的长是 ${2a}$ ; 线段 ${B}_{1}{B}_{2}$ 叫做双曲线的虚轴 (imaginary axis),虚轴的长是 ${2b}.a$ 和 $b$ 分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长. 双曲线的焦距为 ${2c}$ , 半焦距为 $c$ ,且满足 ${c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}$ . 显然,双曲线的两个焦点都在它的实轴上. 在方程 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 中,如果 $a = b$ ,那么这种双曲线的实轴和虚轴的长都等于 ${2a}$ . 我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ## (3)范围 由方程①可知 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - 1 = \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \geq 0$ ,所以 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} \geq 1$ ,也即 $\left| x\right| \geq a$ , 且随着 $\left| x\right|$ 不断增大, $\left| y\right|$ 也相应地不断增大. 因此,双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 在不等式 $x \geq a$ 和 $x \leq - a$ 所表示的区域内 (图 2-3-7), 且由两支组成: 一支双曲线在直线 $x = - a$ 的左侧,向左上、左下两方无限延伸; 另一支双曲线在直线 $x = a$ 的右侧,向右上、 右下两方无限延伸. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_25_216_371_290_262_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_25_216_371_290_262_0.jpg) 图 2-3-7 ## (4) 渐近线 双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 在第一象限内部分的方程是 $$ {y}_{M} = \frac{b}{a}\sqrt{{x}_{0}^{2} - {a}^{2}} < \frac{b}{a}{x}_{0} = {y}_{P}, $$ $$ y = \frac{b}{a}\sqrt{{x}^{2} - {a}^{2}}\left( {x > a}\right) . $$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_25_216_959_284_268_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_25_216_959_284_268_0.jpg) 图 2-3-8 如图 2-3-8,设直线 $x = {x}_{0}\left( {{x}_{0} > a > 0}\right)$ 与双曲线和射线 $y = \; \frac{b}{a}x\left( {x > 0}\right)$ 分别交于点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{M}}\right) \text{ 、 }P\left( {{x}_{0},{y}_{P}}\right)$ ,可得 即在第一象限内,双曲线总在射线 $y = \frac{b}{a}x\left( {x > 0}\right)$ 的下方,且 $$ \left| {MP}\right| = \frac{b}{a}{x}_{0} - \frac{b}{a}\sqrt{{x}_{0}^{2} - {a}^{2}} $$ $$ = \frac{b}{a}\left( {{x}_{0} - \sqrt{{x}_{0}^{2} - {a}^{2}}}\right) $$ $$ = \frac{ab}{{x}_{0} + \sqrt{{x}_{0}^{2} - {a}^{2}}}. $$ 因此,当 ${x}_{0}$ 逐渐增大时, $\left| {MP}\right|$ 的值趋近于零. 这样,双曲线的右支向右上方无限延伸时,它总在直线 $y = \frac{b}{a}x$ 的下方,与直线 $y = \frac{b}{a}x$ 无限趋近,但永不相交. 根据对称性,双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 和两条直线 $y = \frac{b}{a}x, y = - \frac{b}{a}x$ 在其他象限也有类似性质. Q --- 这是双曲线与其他圆锥曲线不同的特有性质. --- 我们把直线 $y = \frac{b}{a}x$ 和 $y = - \frac{b}{a}x$ 叫做双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 的渐 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_26_1142_276_290_289_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_26_1142_276_290_289_0.jpg) 图 2-3-9 近线(asymptote)，可以证明，双曲线位于以两条渐近线为边界的左、右平面区域内(图 2-3-9). ## (5) 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 $e = \frac{c}{a}$ ,叫做双曲线的离心率. 因为 $c > a > 0$ ,所以双曲线的离心率 $e > 1$ . 由等式 ${c}^{2} - {a}^{2} = {b}^{2}$ ,可得 $$ \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{{c}^{2} - {a}^{2}}}{a} = \sqrt{{\left( \frac{c}{a}\right) }^{2} - 1} = \sqrt{{e}^{2} - 1}. $$ 因此,离心率 $e$ 越大, $\frac{b}{a}$ 也越大,即渐近线 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 的斜率的绝对值越大, 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 这说明, 双曲线的离心率越大, 它的开口就越开阔; 反之, 离心率越小,双曲线的开口就越狭窄. 例 4 求双曲线 ${16}{x}^{2} - 9{y}^{2} = {144}$ 的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程. 解 把给定的双曲线的方程化成标准方程 $$ \frac{{x}^{2}}{9} - \frac{{y}^{2}}{16} = 1 $$ 因此实半轴的长 $a = 3$ ,虚半轴的长 $b = 4$ . 于是 $$ c = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} = 5, $$ 从而双曲线的两个顶点的坐标分别是 $\left( {-3,0}\right) \text{ 、 }\left( {3,0}\right)$ ,两个焦点的坐标分别是 $\left( {-5,0}\right) \text{ 、 }\left( {5,0}\right)$ ,离心率为 $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$ ,两条渐近线的方程是 $y = \frac{4}{3}x$ 和 $y = - \frac{4}{3}x$ . ## 练习 2.3(2) 1. 分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程: (1) $9{x}^{2} - {16}{y}^{2} = {144}$ ； (2) $\frac{{y}^{2}}{4} - \frac{{x}^{2}}{3} = 1$ . 2. 在下列双曲线中,以 $y = \pm \frac{1}{2}x$ 为渐近线的是 ( ) A. $\frac{{x}^{2}}{16} - \frac{{y}^{2}}{4} = 1$ ; B. $\frac{{x}^{2}}{4} - \frac{{y}^{2}}{16} = 1$ ; C. $\frac{{x}^{2}}{2} - {y}^{2} = 1$ ; D. ${x}^{2} - \frac{{y}^{2}}{2} = 1$ . 3. 判断双曲线 $\frac{{x}^{2}}{4} - \frac{{y}^{2}}{5} = 1$ 与双曲线 $\frac{{y}^{2}}{5} - \frac{{x}^{2}}{4} = 1$ 的四个焦点是否共圆. 例 5 已知双曲线过点 $P\left( {4,3}\right)$ ,它的一条渐近线的方程为 $y = \frac{1}{2}x$ . 求双曲线的标准方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_27_178_574_361_253_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_27_178_574_361_253_0.jpg) 图 2-3-10 解 因为双曲线的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2}x$ ,当 $x = 4$ 时, 渐近线上对应点的纵坐标为 $y = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ ,小于点 $P$ 的纵坐标 3 (图 2-3-10),所以双曲线的焦点在 $y$ 轴上. 设双曲线的标准方程为 $$ \frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right) . $$ 由 $y = \frac{1}{2}x$ ,可知 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ . 若令 $a = k$ ,则 $b = {2k}$ . ? 又因为点 $P\left( {4,3}\right)$ 在双曲线上,所以 $$ \frac{9}{{k}^{2}} - \frac{16}{4{k}^{2}} = 1 $$ --- 如果双曲线的渐近线方程是 $y = \pm \frac{m}{n}x \; \left( {m > 0, n > 0}\right)$ ,即 ${mx} \pm {ny} = 0$ ,那么双曲线的方程应具有什么形式? --- 解得 ${k}^{2} = 5$ . 因此，所求双曲线的标准方程为 $\frac{{y}^{2}}{5} - \frac{{x}^{2}}{20} = 1$ . 例 6 设直线与双曲线的方程分别为 $y = {kx}$ 和 ${x}^{2} - {y}^{2} =$ 1,当实数 $k$ 取何值时,直线与双曲线分别有两个公共点? 有一个公共点? 没有公共点? 解 将直线方程 $y = {kx}$ 代入双曲线方程 ${x}^{2} - {y}^{2} = 1$ ,得 $$ \left( {1 - {k}^{2}}\right) {x}^{2} = 1. $$ ① ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_27_232_1734_259_281_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_27_232_1734_259_281_0.jpg) 图 2-3-11 当 $1 - {k}^{2} > 0$ ,即 $\left| k\right| < 1$ 时,方程①有两个不同的实根 $x = \; \pm \sqrt{\frac{1}{1 - {k}^{2}}}$ ,从而直线与双曲线有两个不同的公共点; 当 $1 - \; {k}^{2} \leq 0$ ,即 $\left| k\right| \geq 1$ 时,方程①无实根,从而直线与双曲线没有公共点; 直线与双曲线只有一个公共点的情况不存在. 例 6 的结果从图像上(图 2-3-11)看也是显然的，因为此双曲线夹在两条渐近线 $y = \pm x$ 之间的左右平面区域内,所以只有当直线也经过这个区域时, 它与双曲线才有公共点. 例 7 双曲线型自然冷却通风塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面, 如图 2-3-12 所示. 已知它的最小半径为 ${12}\mathrm{\;m}$ ,上口半径为 ${13}\mathrm{\;m}$ ,下口半径为 ${25}\mathrm{\;m}$ ,高为 ${55}\mathrm{\;m}$ . 建立适当的平面直角坐标系,求此双曲线的方程. (结果精确到 ${0.1}\mathrm{\;m}$ ) ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_28_1130_255_317_220_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_28_1130_255_317_220_0.jpg) ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_28_335_579_213_279_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_28_335_579_213_279_0.jpg) 图 2-3-12 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_28_719_572_222_296_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_28_719_572_222_296_0.jpg) 图 2-3-13 解 图 2-3-13 是通风塔过中轴的剖面. 以剖面最窄处的水平线为 $x$ 轴,则 $x$ 轴与双曲线的交点 ${A}^{\prime }$ 与 $A$ 是双曲线的顶点; 又以通风塔的中轴为 $y$ 轴. 在这样的平面直角坐标系中,设双曲线的标准方程是 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right) . $$ 点 $B\text{ 、 }C$ 的坐标可分别设为 $\left( {{25},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }\left( {{13},{y}_{2}}\right)$ ,其中 ${y}_{1} < 0$ , ${y}_{2} > 0$ . 又因为塔高为 ${55}\mathrm{\;m}$ ,所以 ${y}_{2} - {y}_{1} = {55}$ . 由 $A{A}^{\prime }$ 是双曲线的实轴,得 $a = {12}$ . 因为点 $B\text{ 、 }C$ 在双曲线上,所以 $$ \frac{{25}^{2}}{{12}^{2}} - \frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}} = 1,\frac{{13}^{2}}{{12}^{2}} - \frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}} = 1. $$ 解得 $$ {y}_{1} = - \frac{\sqrt{481}b}{12},{y}_{2} = \frac{5b}{12}. $$ 代入 ${y}_{2} - {y}_{1} = {55}$ ,得 $$ \frac{5b}{12} + \frac{\sqrt{481}b}{12} = {55} $$ 解得 $b \approx {24.5}$ . 因此，所求双曲线的方程为 $$ \frac{{x}^{2}}{{12}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{24.5}^{2}} = 1. $$ ## 练习 2.3(3) 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)顶点在 $x$ 轴上，两顶点间的距离是 10，且经过点 $\left( {{10},3}\right)$ ； (2)一个焦点的坐标为 $\left( {5,0}\right)$ ，一条渐近线方程为 ${3x} - {4y} = 0$ . 2. 给定一对直线 $y = \pm \frac{b}{a}x\left( {a > 0, b > 0}\right)$ ,写出所有以这对直线为渐近线的、实轴在 $x$ 轴上的双曲线的方程. 3. 联系双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right)$ 的性质,讨论并叙述双曲线 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1(a > 0$ , $b > 0$ )的性质. (不要求推理过程) ## 习题 2.3 ## A 组 1. 双曲线 $\frac{{x}^{2}}{64} - \frac{{y}^{2}}{36} = 1$ 上一点 $P$ 到焦点 ${F}_{1}$ 的距离等于 6,求点 $P$ 到另一焦点 ${F}_{2}$ 的距离. 2. 已知双曲线以坐标轴为对称轴, 两个顶点间的距离为 2 , 焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ . 求该双曲线的方程. 3. 如果双曲线关于原点对称, 它的焦点在坐标轴上, 实轴的长为 8 , 焦距为 10 . 写出此双曲线的方程. 4. 如果方程 $\frac{{x}^{2}}{m + 2} - \frac{{y}^{2}}{m + 1} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线,求实数 $m$ 的取值范围. 5. 已知双曲线经过点 $\left( {1,1}\right)$ ,其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2}x$ . 求此双曲线的方程. ## B 组 1. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 $y$ 轴上，并且双曲线上两点 ${P}_{1}\text{ 、 }{P}_{2}$ 的坐标分别为 $\left( {3, - 4\sqrt{2}}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{9}{4},5}\right)$ . 求该双曲线的方程. 2. 已知离心率为 $\frac{5}{3}$ 的双曲线与椭圆 $\frac{{x}^{2}}{40} + \frac{{y}^{2}}{15} = 1$ 有公共焦点,求此双曲线的方程. 3. $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 是我方三个炮兵阵地. $A$ 地在 $B$ 地的正东,相距 $6\mathrm{\;{km}};C$ 地在 $B$ 地的北偏西 ${30}^{ \circ }$ ,相距 $4\mathrm{\;{km}}.P$ 为敌方炮兵阵地. 某时刻 $A$ 地发现 $P$ 地某种信号, ${12}\mathrm{\;s}$ 后 $B\text{ 、 }C$ 两地才同时发现这种信号 (该信号的传播速度为 ${0.333}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{s}$ ). 若从 $A$ 地炮击 $P$ 地,求准确炮击的方位角. (结果精确到 ${1}^{ \circ }$ ) ### 2.4 抛物线 ## 1 抛物线的标准方程 抛物线是一种常见的曲线, 例如喷泉中喷出的水珠、投出的篮球所经过的轨迹都是抛物线. 抛物线的用途很广泛, 在太阳灶、探照灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜、工程建筑等工程技术中都有它的身影, 体现了抛物线在光学、力学等方面的独有特性. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_30_226_982_808_322_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_30_226_982_808_322_0.jpg) 与椭圆、双曲线一样, 我们也通过操作先画出一段抛物线, 然后建立平面直角坐标系推导抛物线方程. 如图 2-4-1, 将一把直尺在一个平面上固定不动. 另取一块三角板,设直角顶点为 $C$ ,并在它的一条直角边上取定点 $A$ . 再取一条细线使它的长度正好等于 ${AC}$ 的长. 将这条细线的一端固定在三角板的点 $A$ ,另一端固定在同一平面上的点 $F$ . 用一支铅笔靠着细线将它绷紧，当三角板的另一条直角边靠着直尺滑动时,铅笔尖 $P$ 画出了一段曲线. 观察这段曲线的生成过程可以发现,如果把直尺看作一条定直线 $l$ ,那么动点 $P$ 到直线 $l$ 的距离始终等于它到定点 $F$ 的距离. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_30_1161_1327_248_297_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_30_1161_1327_248_297_0.jpg) 图 2-4-1 一般地,平面上到一个定点 $F$ 和到一条定直线 $l(F$ 不在 $l$ 上)距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (parabola),点 $F$ 叫做抛物线的焦点,定直线 $l$ 叫做抛物线的准线 (directrix). 过点 $F$ 作准线 $l$ 的垂线,设垂足为 $K$ ,则线段 ${KF}$ 的中点称为此抛物线的顶点. 因为这一点到点 $F$ 和到直线 $l$ 的距离相等,所以这是抛物线上的一点. ? --- 为什么需加条件 “ $F$ 不在 $l$ 上”? --- 下面根据抛物线的定义来求它的方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_31_242_253_234_285_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_31_242_253_234_285_0.jpg) 图 2-4-2 如图 2-4-2,取抛物线的顶点为原点 $O$ ,以向量 $\overrightarrow{KF}$ 的方向为 $x$ 轴的正方向,建立平面直角坐标系. 设焦点到准线的距离 $\left| {KF}\right| = p\left( {p > 0}\right)$ ,则焦点 $F$ 的坐标是 $\left( {\frac{p}{2},0}\right)$ ,准线 $l$ 的方程为 $x = - \frac{p}{2}$ . 设 $P\left( {x, y}\right)$ 是抛物线上任意一点,点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$ ,则 $$ \left| {PF}\right| = \sqrt{{\left( x - \frac{p}{2}\right) }^{2} + {y}^{2}}, d = \left| {x + \frac{p}{2}}\right| . $$ ? --- 这里, 还可以怎样建立平面直角坐标系? 相应的抛物线方程又具有怎样的形式? --- 由抛物线定义知 $\left| {PF}\right| = d$ ,于是有 $$ \sqrt{{\left( x - \frac{p}{2}\right) }^{2} + {y}^{2}} = \left| {x + \frac{p}{2}}\right| . $$ 将上式两边平方, 并化简, 得 $$ {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right) . $$ 从这个推导过程可以知道,抛物线上任意一点 $M$ 的坐标 $\left( {x, y}\right)$ 都是上述方程的解. 反过来, 可以证明以上述方程的解为坐标的点, 都在这条抛物线上 (只需将上述推理过程反过来推演即可). --- 我们学过二次函数 $y = a{x}^{2} + {bx} + c(a \neq$ 0)的图像, 可以看出, 当 $b = c = 0$ 时,此图像是一个具有方程 ${x}^{2} = {2py}\left( {\text{ 此时 }p = \frac{1}{2a}}\right)$ 的抛物线. 当 $b\text{ 、 }c$ 不全为零时, 二次函数的图像是这个抛物线的平移. --- 形如 ${y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ 的方程叫作抛物线的标准方程,它所表示的抛物线的顶点置于坐标原点,且具有焦点 $F\left( {\frac{p}{2},0}\right)$ 和准线 $l : x = - \frac{p}{2}$ . 我们还注意到,这条抛物线上任何一点的横坐标 $x \geq 0$ , 所以抛物线位于 $y$ 轴及其右侧; 当 $x$ 增大时,抛物线上相应点的纵坐标 $y$ 的绝对值也随着增大. 可见,此抛物线从顶点出发的上下两部分随着 $x$ 的增大,在 $x$ 轴的正方向 (即坐标系的右方) 形成了不再封闭的开口(我们形象地称此抛物线的“开口向右”). 仿照上述过程, 如果将抛物线的顶点仍置于坐标原点, 但将焦点分别置于 $x$ 轴的负半轴、 $y$ 轴的正半轴和负半轴,就可以相应地得到抛物线的另外三种标准方程: ${y}^{2} = - {2px},{x}^{2} = {2py}$ 与 ${x}^{2} = - {2py}$ . 其中,后两种形式稍作变形就是我们所熟知的二次函数的表达式. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_31_238_1783_243_256_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_31_238_1783_243_256_0.jpg) 图 2-4-3 例 1 求顶点在坐标原点, 焦点在坐标轴上且经过点 $M\left( {-2, - 4}\right)$ 的抛物线的方程. 解 由于抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 因此抛物线的方程是上述四种标准方程之一. 若抛物线的焦点在 $x$ 轴上,由于它过第三象限的点 $M\left( {-2, - 4}\right)$ , 可知此抛物线开口向左 (图 2-4-3)，因此可设其方程为 $$ {y}^{2} = - {2px}\left( {p > 0}\right) . $$ 把点 $M$ 的坐标代入,得到 $$ {\left( -4\right) }^{2} = - {2p} \cdot \left( {-2}\right) . $$ 解得 $p = 4$ . 从而抛物线的方程为 ${y}^{2} = - {8x}$ . 若抛物线的焦点在 $y$ 轴上,由于它过第三象限的点 $M\left( {-2, - 4}\right)$ , 可知此抛物线开口向下(图 2-4-3)，因此可设其方程为 $$ {x}^{2} = - {2py}\left( {p > 0}\right) . $$ 把点 $M$ 的坐标代入,得到 $$ {\left( -2\right) }^{2} = - {2p} \cdot \left( {-4}\right) . $$ 解得 $p = \frac{1}{2}$ . 从而抛物线的方程为 ${x}^{2} = - y$ . 因此,所求抛物线的方程为 ${y}^{2} = - {8x}$ 或 ${x}^{2} = - y$ . 例 2 证明: 以抛物线 ${y}^{2} = {2px}$ 的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_32_1147_985_285_301_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_32_1147_985_285_301_0.jpg) 图 2-4-4 证明 如图 2-4-4,设 ${AB}$ 是此抛物线过焦点 $F$ 的一条弦, 取 ${AB}$ 的中点 $M$ ,设点 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }M$ 在抛物线的准线 $l$ 上的射影依次是点 ${A}^{\prime }\text{ 、 }{B}^{\prime }\text{ 、 }{M}^{\prime }$ ,则 $M{M}^{\prime }$ 是直角梯形 $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ 的中位线. 因为点 $A\text{ 、 }B$ 在抛物线上,所以 $$ \left| {A{A}^{\prime }}\right| = \left| {AF}\right| ,\left| {B{B}^{\prime }}\right| = \left| {BF}\right| \text{ . } $$ 于是 $$ \left| {M{M}^{\prime }}\right| = \frac{1}{2}\left( {\left| {A{A}^{\prime }}\right| + \left| {B{B}^{\prime }}\right| }\right) = \frac{1}{2}\left( {\left| {AF}\right| + \left| {BF}\right| }\right) = \frac{1}{2}\left| {AB}\right| . $$ 即点 $M$ 到准线的距离等于圆的半径. 由此可见,以 ${AB}$ 为直径的圆与准线 $l$ 相切. ## 练习 2.4(1) 1. 填写下表:
图示
标准方程${y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$${x}^{2} = {2py}\left( {p > 0}\right)$
焦点坐标$\left( {\frac{p}{2},0}\right)$$\left( {0, - \frac{p}{2}}\right)$
准线方程$x = - \frac{p}{2}$$y = \frac{p}{2}$
2. 分别写出满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点是 $F\left( {-2,0}\right)$ ； (2)准线方程是 $y = 1$ . 3. 求抛物线 ${y}^{2} = {4x}$ 上到焦点的距离等于 9 的点的坐标. ## 2 抛物线的性质 下面，我们以顶点在原点、焦点在 $x$ 轴正半轴上的抛物线为例, 讨论抛物线的性质. 此时抛物线的标准方程为: $$ {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right) . $$ ## (1) 对称性 因为抛物线上任意一点 $M\left( {x, y}\right)$ 关于 $x$ 轴的对称点 ${M}^{\prime }\left( {x, - y}\right)$ 也满足方程,所以抛物线 ${y}^{2} = {2px}$ 关于 $x$ 轴对称. 抛物线有且只有一条对称轴. 对称轴与抛物线的交点就是抛物线的顶点. ## (2)范围 因为 $p > 0$ ,由方程 ${y}^{2} = {2px}$ 可知 $x \geq 0$ ,抛物线的开口向右. 除原点外,这条抛物线上的点都在 $y$ 轴的右侧,且当 $x$ 无限增大时, $\left| y\right|$ 也无限增大. 这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸. 从抛物线方程可知,对于同一个 $x$ 值,当 $p$ 越大, $\left| y\right|$ 就越大. 这说明 $p$ 越大,抛物线的开口就越大. 例 3 过抛物线 ${y}^{2} = {4x}$ 的焦点且斜率为 2 的直线与抛物线相交于 $A\text{ 、 }B$ 两点,求线段 ${AB}$ 的长. 解 由题意可知,抛物线的焦点为 $F\left( {1,0}\right)$ ,则直线的方程为 $$ y = 2\left( {x - 1}\right) . $$ ① 将方程①代入抛物线方程 ${y}^{2} = {4x}$ ，并化简得 $$ {x}^{2} - {3x} + 1 = 0. $$ 设两个交点 $A\text{ 、 }B$ 的坐标分别为 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ ,则有 ${x}_{1} + {x}_{2} = 3.$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_34_1168_259_236_277_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_34_1168_259_236_277_0.jpg) 图 2-4-5 由抛物线定义可知, $\left| {AF}\right| \text{ 、 }\left| {BF}\right|$ 分别等于点 $A\text{ 、 }B$ 到准线 $x = - 1$ 的距离 $\left| {A{A}_{1}}\right| \text{ 、 }\left| {B{B}_{1}}\right|$ ,如图 2-4-5 所示. 又因为 $\left| {A{A}_{1}}\right| = {x}_{1} + 1,\left| {B{B}_{1}}\right| = {x}_{2} + 1$ ,所以 $$ \left| {AB}\right| = \left| {AF}\right| + \left| {BF}\right| = \left| {A{A}_{1}}\right| + \left| {B{B}_{1}}\right| = {x}_{1} + {x}_{2} + 2 = 5. $$ 例 4 求过定点 $M\left( {0,1}\right)$ 且与抛物线 ${y}^{2} = {2x}$ 只有一个公共点的直线的方程. 解 先考虑过点 $M\left( {0,1}\right)$ 且不垂直于 $x$ 轴的直线,可设其方程为 $y = {kx} + 1$ . 由方程组 $\left\{ \begin{array}{l} y = {kx} + 1, \\ {y}^{2} = {2x}, \end{array}\right.$ $$ {k}^{2}{x}^{2} + 2\left( {k - 1}\right) x + 1 = 0. $$ ① 当 $k = 0$ 时,方程①为一元一次方程,其解为 $x = \frac{1}{2}$ ,此时直线 $y = 1$ 与抛物线只有一个公共点 $P\left( {\frac{1}{2},1}\right)$ . 当 $k \neq 0$ 时,方程①为一元二次方程,它只有一个解的充要条件是其判别式 $\Delta = 4{\left( k - 1\right) }^{2} - 4{k}^{2} = 0$ ,解得 $k = \frac{1}{2}$ . 由此得到直线 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 与抛物线也只有一个公共点. --- 例 4 中, 判别式为零是直线与抛物线仅有一个公共点的什么条件? --- ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_34_1159_1305_249_248_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_34_1159_1305_249_248_0.jpg) 图 2-4-6 此外,过点 $M\left( {0,1}\right)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $x = 0$ 也满足题意 (图 2-4-6). 因此,所求直线的方程为 $y = 1$ 或 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 或 $x = 0$ . 在前面学习圆和椭圆时, 我们曾经介绍过圆和椭圆的切线, 可以发现, 当直线与圆或椭圆有且仅有一个公共点时, 直线与圆或椭圆相切. 这仅仅是对圆或椭圆而言的情况. 由例 4 知, 在抛物线的情况下没有这样的结论. 例如, 当一条直线平行于一条抛物线的对称轴时 (如例 4 中的直线 $y = 1$ ),这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点, 但它不是抛物线的切线 (切线的确切含义见选择性必修课程 5.1 节). 例 5 如图 2-4-7, 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口直径是 24 cm， 灯深10 cm，求灯泡与反射镜顶点的距离. Q ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_35_751_278_177_238_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_35_751_278_177_238_0.jpg) 图 2-4-7 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_35_1058_266_225_253_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_35_1058_266_225_253_0.jpg) 图 2-4-8 --- 抛物线具有如下的光学性质: 所有从抛物线焦点发出的光线经过抛物线反射后都与这条抛物线的对称轴平行或重合. 制作探照灯、汽车远光灯时正是依据这个原理, 把光源放在抛物线的焦点处, 使得光线经过抛物面的反射后都变成平行光束, 照得又亮又远. --- 解 以抛物线的对称轴为 $x$ 轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系, 如图 2-4-8 所示. 由题意，得点 $A$ 的坐标为 $\left( {{10},{12}}\right)$ . 设抛物线的方程为 $$ {y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right) . $$ 因为点 $A$ 在抛物线上,所以 $$ {12}^{2} = {2p} \cdot {10}, $$ 解得 $p = {7.2}$ . 因此,抛物线焦点 $F$ 的坐标为 $\left( {{3.6},0}\right)$ . 所以，灯泡与反射镜顶点的距离为 ${3.6}\mathrm{\;{cm}}$ . ## 练习 2.4(2) 1. 过点 $P\left( {2,4}\right)$ 且与抛物线 ${y}^{2} = {8x}$ 有且只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1 条; B. 2 条; C. 3 条; D. 4 条. 2. 求抛物线 ${y}^{2} = {4x}$ 上的点到直线 ${4x} + {3y} + 7 = 0$ 的最短距离. 3. 由抛物线的标准方程知,函数 $y = \sqrt{x}$ 的图像是某条抛物线的一部分. 求这条抛物线的焦点坐标和准线方程. ## 习题 2.4 ## A 组 1. 求抛物线 ${y}^{2} = {ax}\left( {a \neq 0}\right)$ 的焦点坐标和准线方程. 2. 若抛物线 ${y}^{2} = {2x}$ 上的 $A\text{ 、 }B$ 两点到焦点 $F$ 的距离之和是 5,求线段 ${AB}$ 的中点的横坐标. 3. 求以坐标原点为顶点,以 $y$ 轴为对称轴,并经过点 $P\left( {-6, - 3}\right)$ 的抛物线的标准方程. 4. 已知直线 $y = {kx} - 4$ 与抛物线 ${y}^{2} = {8x}$ 有且只有一个公共点,求实数 $k$ 的值. 5. 已知一隧道的顶部是抛物拱形,拱高是 $5\mathrm{\;m}$ ,跨度为 ${10}\mathrm{\;m}$ . 建立适当的平面直角坐标系, 求此拱形所在的抛物线方程. ## B 组 1. 已知动点 $P$ 与定点 $\left( {1,0}\right)$ 的距离比点 $P$ 到 $y$ 轴的距离大 1,求动点 $P$ 的轨迹方程. 2. 过抛物线 ${y}^{2} = {2px}\left( {p > 0}\right)$ 焦点的一条直线与抛物线相交于两个不同的点,求证: 这两个点的纵坐标 ${y}_{1}\text{ 、 }{y}_{2}$ 满足 ${y}_{1}{y}_{2} = - {p}^{2}$ . 3. 过抛物线 ${y}^{2} = {2px}$ 的焦点且倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，求证: $\left| {AB}\right| = \frac{2p}{{\sin }^{2}\alpha }.$ ## 课后阅读 ## 章名“圆锥曲线”释义 本章的前面几节分别学习了圆、椭圆、双曲线和抛物线, 但这一章的章名却叫“圆锥曲线”, 这是为什么呢? 这些曲线与圆锥有什么关系呢? 下面就来探讨这些问题. 如图 2-4-9, 我们取两个相同的圆锥, 把其中一个倒置后组成一个共顶点、共轴的旋转体, 想象这个旋转体可上下无限延伸. 设圆锥的旋转轴与母线所成的角为 $\alpha$ ,用一不过圆锥顶点的平面截这个圆锥,设这个平面与圆锥旋转轴所成的角为 $\theta$ ,则平面与圆锥的侧面相截得到的平面曲线有以下几种情况: --- 这个旋转体也可以看作是由两条相交直线绕其角平分线旋转而成. --- (1)当 $\alpha < \theta \leq \frac{\pi }{2}$ 时，平面与圆锥的侧面相截所得的是一个椭圆，如图 2-4-9(1)所示； 特别地,当 $\theta = \frac{\pi }{2}$ 时,得到的是一个圆. (2)当 $\alpha = \theta$ ，即平面与圆锥的一条母线平行时，所截得的是一条抛物线，如图 2-4-9(2) 所示. (3)当 $0 \leq \theta < \alpha$ ，且这个平面不经过圆锥的顶点时，所截得的是一条双曲线，如图 2-4-9(3)所示. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_37_443_257_770_467_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_37_443_257_770_467_0.jpg) 图 2-4-9 可见, 椭圆 (包括圆)、抛物线、双曲线都可以看作是由不同的平面截同一个圆锥得到的, 所以它们统称为圆锥曲线 (conic sections). 这是本章章名的由来. ### 2.5 曲线与方程 ## 1 求轨迹的方程 在本章 2.1 节中我们给出了曲线方程的定义. 根据此定义, 要确认一个二元方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 是一条平面曲线 $C$ 的方程,必须验证如下两个条件都满足: (1)曲线 $C$ 上的点的坐标都是方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 的解; (2)以方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 的解为坐标的点都是曲线 $C$ 上的点. 现在大家对这个过程应该比较熟悉了, 因为在上一章和本章中给出直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线时, 都强调过这样的验证. 例如, 在本章 2.1 节中圆的方程的推导过程中我们就详细写出了正反两个方向的推导过程. 但在椭圆、双曲线和抛物线方程的推导过程中, 为了避免行文的累赘, 在强调反方向验证时, 我们只说“将上述推理过程反过来推演即可”. 希望同学们能自行补充“反过来推演”的过程 (见本章习题 2.5A 组第 1 题). 下面的例 1 用反例再次说明上述条件(1)和条件(2)缺一不可. 例 1 (1)方程 $x = \sqrt{1 - {y}^{2}}$ 是圆心在坐标原点、半径为 1 的圆的方程吗? 为什么? (2)方程 ${x}^{2} - {y}^{2} = 0$ 是过点 $\left( {0,0}\right)$ 与 $\left( {1,1}\right)$ 的直线的方程吗? 为什么? 解(1)不是. 条件(1)不满足，如点 $\left( {-1,0}\right)$ 在此圆上，但 $\left\{ \begin{array}{l} x = - 1, \\ y = 0 \end{array}\right.$ 不是给定方程的解. (2)不是. 条件(2)不满足，如 $\left\{ \begin{array}{l} x = - 1, \\ y = 1 \end{array}\right.$ 是给定方程的解， 但点 $\left( {-1,1}\right)$ 不在给定的直线上. 在解析几何中, 曲线经常是用满足一些条件的动点轨迹给出的, 如本章的椭圆就定义为到两个定点距离之和等于一个给定常数 (此常数大于两定点之间的距离)的点的轨迹. 双曲线、抛物线也是类似地定义. 根据曲线方程的定义, 并通过本章的学习, 我们把求轨迹方程的基本步骤总结如下: --- 试在平面直角坐标系中作出例 1 (1) 和 (2)中 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 所表示的曲线. --- 步骤 1 根据轨迹的特征, 建立适当的平面直角坐标系 (如果平面直角坐标系在轨迹定义中已经给出, 一般就采用给定的平面直角坐标系); 步骤 2 轨迹上动点的坐标设为 $\left( {x, y}\right)$ ,将动点满足的条件表示为关于 $x\text{ 、 }y$ 的一个方程; 步骤 3 验证以该方程的解为坐标的点都在给定的轨迹上. 这里的步骤 2 与步骤 3 分别对应曲线方程的条件(1)与条件(2). 例 2 已知点 $A\text{ 、 }B$ 是距离为 4 的两个定点,动点 $M$ 满足 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 5$ . 建立适当的平面直角坐标系,求动点 $M$ 的轨迹方程. 解 如图 2-5-1,以直线 ${AB}$ 为 $x$ 轴,线段 ${AB}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,则两定点为 $A\left( {-2,0}\right) \text{ 、 }B\left( {2,0}\right)$ . ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_39_217_921_286_274_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_39_217_921_286_274_0.jpg) 图 2-5-1 设动点 $M$ 的坐标是 $\left( {x, y}\right)$ ,则 $\overrightarrow{MA} = \left( {-2 - x, - y}\right) ,\overrightarrow{MB} = \; \left( {2 - x, - y}\right)$ . 因为 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 5$ ,所以 $$ \left( {-2 - x}\right) \left( {2 - x}\right) + \left( {-y}\right) \left( {-y}\right) = 5, $$ 化简, 得 $$ {x}^{2} + {y}^{2} = 9 $$ 这表明, 动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程. 反过来,设平面上一点 $N$ 的坐标 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)$ 满足方程,即有 ${x}_{1}^{2} + {y}_{1}^{2} = 9$ ,则 $$ \overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB} = \left( {-2 - {x}_{1}}\right) \left( {2 - {x}_{1}}\right) + \left( {0 - {y}_{1}}\right) \left( {0 - {y}_{1}}\right) $$ $$ = {x}_{1}^{2} - 4 + {y}_{1}^{2} = 9 - 4 = 5\text{ . } $$ 从而,以方程 ${x}^{2} + {y}^{2} = 9$ 的解为坐标的点都在轨迹上. 综上所述,方程 ${x}^{2} + {y}^{2} = 9$ 就是所求的动点 $M$ 的轨迹方程. 要证明一个给定的关于 $x\text{ 、 }y$ 的方程是一条给定曲线的方程, 有时可以把条件(1)和条件(2)放在一起验证. 此时要验证的是如下的充要条件:一点在给定曲线上当且仅当该点的坐标是给定方程的解. --- 例 3 也可按步骤 2、3 证明,但不要忽略了步骤 3 :假设点 $P$ 的坐标是方程 $4{\left( x - 2\right) }^{2} \; + 8{y}^{2} = 1$ 的解,要找到曲线 ${x}^{2} + 2{y}^{2} = 1$ 上的一点 $B$ ,使 $P$ 是线段 ${AB}$ 的中点. --- 例 3 求连接定点 $A\left( {4,0}\right)$ 和曲线 ${x}^{2} + 2{y}^{2} = 1$ 上动点 $B$ 的线段 ${AB}$ 的中点 $P$ 的轨迹方程. 解 对平面上一点 $B\left( {{x}_{B},{y}_{B}}\right)$ ,条件“ $P\left( {{x}_{P},{y}_{P}}\right)$ 是线段 ${AB}$ 的中点”的坐标表示是 $$ \left\{ {\begin{array}{l} {x}_{P} = \frac{4 + {x}_{B}}{2}, \\ {y}_{P} = \frac{0 + {y}_{B}}{2}, \end{array}\text{ 即 }\left\{ \begin{array}{l} {x}_{B} = 2{x}_{P} - 4, \\ {y}_{B} = 2{y}_{P}. \end{array}\right. }\right. $$ 由所求轨迹的定义,点 $P\left( {{x}_{P},{y}_{P}}\right)$ 在轨迹上当且仅当点 $B\left( {{x}_{B},{y}_{B}}\right)$ 在曲线 ${x}^{2} + 2{y}^{2} = 1$ 上,即当且仅当 ${x}_{B}^{2} + 2{y}_{B}^{2} = 1$ . 把点 $B$ 的坐标用点 $P$ 的坐标替换并化简,得 $$ {x}_{B}^{2} + 2{y}_{B}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4{\left( {x}_{P} - 2\right) }^{2} + 8{y}_{P}^{2} = 1, $$ 所以,点 $P$ 在轨迹上当且仅当它的坐标是方程 $4{\left( x - 2\right) }^{2} + 8{y}^{2} = 1$ 的解. 由此可见,所求的轨迹方程是 $4{\left( x - 2\right) }^{2} + 8{y}^{2} = 1$ . ## 练习 2.5(1) 1. 判断下列各组两个方程是否表示相同的曲线: (1) $y = x$ ， $\frac{y}{x} = 1$ ； (2) $y = x, y = \sqrt{{x}^{2}}$ ； (3) $\left| x\right| = \left| y\right| ,{x}^{2} - {y}^{2} = 0$ . 2. 已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 的周长为 18，且 ${BC} = 8$ . 建立适当的平面直角坐标系,求顶点 $A$ 的轨迹方程. 3. 当点 $A$ 在曲线 $y = {x}^{2} + 3$ 上运动时,连接点 $A$ 与定点 $B\left( {6,0}\right)$ . 求 ${AB}$ 的中点 $P$ 的轨迹方程. ## 2 简单的参数方程 在求轨迹的方程时, 有时根据条件很难直接建立曲线上的动点坐标 $\left( {x, y}\right)$ 所满足的方程,但如果引入合适的第三个变量,分别建立 $x\text{ 、 }y$ 与第三个变量的联系,问题常常会比较容易得到解决. 我们先来看一个熟悉的问题: 假设空气阻力忽略不计,求炮弹被击发后的运动轨迹的方程. 即使建立平面直角坐标系, 炮弹的运动规律也难以直接用炮弹位置的坐标 $x$ 与 $y$ 的方程表示出来. 在物理学中,我们知道, 当发射角 $\alpha$ 、发射时的初速度 ${v}_{0}$ 确定后,炮弹位置只与运行时间 $t$ 有关,所以可以考虑引入时间 $t$ 作为第三个变量来求运动轨迹的方程. 以炮口所在位置 $O$ 为坐标原点,水平方向为 $x$ 轴,铅垂方向为 $y$ 轴,建立平面直角坐标系,如图 2-5-2 所示. 设炮弹发射 $t$ s后的位置在点 $P\left( {x, y}\right)$ 处. 炮弹的初速度 ${v}_{0}$ 可分解为水平方向和铅垂方向的两个速度,其中在水平方向上的初速度为 ${v}_{0}\cos \alpha$ , 在铅垂方向上的初速度为 ${v}_{0}\sin \alpha$ . 由于忽略了空气阻力,炮弹在运动过程中只在铅垂方向受到重力作用. 容易求得, 炮弹的位置坐标 $\left( {x, y}\right)$ 与时间 $t$ 之间的关系: $$ \left\{ {\begin{array}{l} x = {v}_{0}t\cos \alpha , \\ y = {v}_{0}t\sin \alpha - \frac{1}{2}g{t}^{2} \end{array}\left( {0 \leq t \leq {t}_{1}}\right) ,}\right. $$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_40_1107_1790_360_203_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_40_1107_1790_360_203_0.jpg) 图 2-5-2 其中 $g$ 是重力加速度的值, ${t}_{1}$ 是炮弹击中目标的时刻. 我们把上述方程组中的变量 $t$ 消去后,观察它表示的是什么曲线. 由第一个方程得 $t = \frac{x}{{v}_{0}\cos \alpha }$ ,代入第二个方程,消去参数 $t$ ,得到炮弹运动的轨迹方程为 $$ y = - \frac{g}{2{v}_{0}^{2}{\cos }^{2}\alpha }{x}^{2} + \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }x. $$ 由于 ${v}_{0}\text{ 、 }\alpha \text{ 、 }g$ 都是定值,因此炮弹运动的轨迹是一条抛物线. 在这个实际问题中, 炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线. 首先,因为炮弹被击发前是静止的,必须 $x \geq 0$ . 又因为炮弹击中目标后也不再按原有轨迹运动，所以我们所讨论的炮弹运动轨迹只是 $x \geq 0$ 与炮弹击中目标前的一段抛物线. 例如，设目标点与发射点在同一水平线上,则恒有 $y \geq 0$ ,从而由 $- \frac{g}{2{v}_{0}^{2}{\cos }^{2}\alpha }{x}^{2} + \; \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }x \geq 0$ 求得 $x \leq \frac{{v}_{0}^{2}\sin {2\alpha }}{g}$ . 因此,炮弹运动轨迹是上述抛物线在 $0 \leq x \leq \frac{{v}_{0}^{2}\sin {2\alpha }}{g}$ 之间的部分. 由上述讨论可以看到, 在求曲线方程时, 我们可以先分别求出 $x\text{ 、 }y$ 与某个随动点变化的变量 $t$ 所满足的方程 $x = f\left( t\right)$ , $y = g\left( t\right)$ ,得到方程组: $$ \left\{ \begin{array}{l} x = f\left( t\right) , \\ y = g\left( t\right) , \end{array}\right. $$ 其中 $t$ 在某个范围内变动. 如果对于 $t$ 的每一个允许值,由上述方程组所确定的点 $P\left( {x, y}\right)$ 都在曲线 $C$ 上; 反之,对于曲线 $C$ 上任意一点的坐标, 都存在 $t$ 的某个允许值使得上述方程组成立,那么上述方程组就叫做曲线 $C$ 的参数方程 (parametric equation),变量 $t$ 叫做参变量或参数 (parameter). 相对于参数方程而言,直接给出曲线上点的坐标 $x\text{ 、 }y$ 之间关系的方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 叫做曲线的普通方程. 如果像上例那样可以消去参数方程中的参数 $t$ ,就可以将参数方程化为普通方程. 但在不少情况下, 由曲线的参数方程并不一定能够化为曲线的普通方程. 举一个通俗的例子. 假设有一只小虫在平面直角坐标系中爬行,小虫的位置坐标 $\left( {x, y}\right)$ 是时间 $t$ 的函数: $$ \left\{ \begin{array}{l} x = f\left( t\right) , \\ y = g\left( t\right) . \end{array}\right. $$ 这揭示了小虫随时间 $t$ 变化的运动规律,就是小虫运动轨迹的一个参数方程. 由于小虫爬行的轨迹不似炮弹那样一直向前, 而是可以倒退及与自身相交, 不可能化为普通方程, 这时, 用参数方程来表示这一复杂的运动轨迹就成了唯一合理的选择了. 由此可见, 用参数方程表示一个曲线, 不仅可能有具体的物理或几何意义, 也更具有一般性, 应用起来有时也更为简便. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_42_1128_719_318_256_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_42_1128_719_318_256_0.jpg) 图 2-5-3 例 4 求所有斜率为 1 的直线被椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4} + {y}^{2} = 1$ 所截得的线段的中点的轨迹. 解 如图 2-5-3,设直线 $y = x + b$ 被椭圆所截得的线段的两个端点 $A\text{ 、 }B$ 的坐标 $\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ 是如下方程组的解: $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x}^{2}}{4} + {y}^{2} = 1, \\ y = x + b. \end{array}\right. $$ 消去 $y$ ,并整理得 $$ 5{x}^{2} + {8bx} + 4\left( {{b}^{2} - 1}\right) = 0. $$ 当判别式 $\Delta = {\left( 8b\right) }^{2} - 4 \times 5 \times 4\left( {{b}^{2} - 1}\right) = - {16}\left( {{b}^{2} - 5}\right) > 0$ ,即 $- \sqrt{5} < b < \sqrt{5}$ 时,上述方程有两个不同的实数解,即直线被椭圆所截的线段存在并且线段两个端点横坐标之和为 ${x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{8}{5}b$ . 设 ${AB}$ 的中点为 $M\left( {{x}_{M},{y}_{M}}\right)$ ,则 $$ {x}_{M} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2} = - \frac{4}{5}b,{y}_{M} = {x}_{M} + b = \frac{b}{5}. $$ 所以, $$ \left\{ \begin{array}{l} {x}_{M} = - \frac{4}{5}b, \\ {y}_{M} = \frac{b}{5}\;\left( {-\sqrt{5} < b < \sqrt{5}}\right) \end{array}\right. $$ --- 还可用什么方法求解例 4 ? --- 就是线段 ${AB}$ 的中点 $M$ 的轨迹的参数方程. 消去 $b$ ,得 ${x}_{M} + 4{y}_{M} = 0$ . 由 $- \sqrt{5} < b < \sqrt{5}$ 及 ${x}_{M} = - \frac{4b}{5}$ ,可得 ${x}_{M} \in \left( {-\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5}}\right)$ . 所以点 $M$ 的轨迹方程为 $x + {4y} = 0$ , $x \in \left( {-\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5}}\right)$ ,即点 $M$ 的轨迹是直线 $x + {4y} = 0$ 在椭圆内的部分. 例 5 已知点 $M\left( {x, y}\right)$ 在椭圆 $C : \frac{{x}^{2}}{16} + \frac{{y}^{2}}{9} = 1$ 上，求 $x + y$ 的最大值,并求 $x + y$ 取得最大值时点 $M$ 的坐标. 解 利用三角恒等式 ${\cos }^{2}\theta + {\sin }^{2}\theta = 1$ ,可以验证 $$ \left\{ {\begin{array}{l} x = 4\cos \theta , \\ y = 3\sin \theta , \end{array}\;\theta \in \mathbf{R}}\right. $$ 是椭圆 $C$ 的一个参数方程,所以点 $M$ 的坐标满足 $$ x + y = 4\cos \theta + 3\sin \theta = 5\left( {\frac{4}{5}\cos \theta + \frac{3}{5}\sin \theta }\right) . $$ 因为 ${\left( \frac{4}{5}\right) }^{2} + {\left( \frac{3}{5}\right) }^{2} = 1$ ,所以可以找到锐角 $\varphi$ ,使得 $\sin \varphi = \frac{4}{5}$ , $\cos \varphi = \frac{3}{5}$ ,从而 $$ x + y = 5\left( {\sin \varphi \cos \theta + \cos \varphi \sin \theta }\right) = 5\sin \left( {\theta + \varphi }\right) . $$ 当 $\sin \left( {\theta + \varphi }\right) = 1$ 时, $x + y = 5$ 最大. 要取得最大值, $\theta + \varphi = \; \frac{\pi }{2} + {2k\pi }$ ,即 $\theta = \frac{\pi }{2} + {2k\pi } - \varphi$ ,这里 $k \in \mathbf{Z}$ . 此时对应的点 $M$ 的坐标为 $x = 4\cos \theta = 4\sin \varphi = \frac{16}{5}, y = 3\sin \theta = 3\cos \varphi = \frac{9}{5}$ ,即点 $M$ 的坐标为 $\left( {\frac{16}{5},\frac{9}{5}}\right)$ . ## 练习 2.5(2) 1. 设 $a\text{ 、 }b$ 是非零常数,参数方程 $\left\{ {\begin{array}{l} x = \frac{a}{\cos \alpha }, \\ y = b\tan \alpha \end{array}\left( {\alpha \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}, k \in \mathbf{Z}}\right) }\right.$ 表示的是什么曲线? 2. 以原点为圆心、1 为半径作一个圆. 设定点 $A$ 的坐标为 $\left( {2,0}\right) , B$ 为圆上任意一点, $M$ 为线段 ${AB}$ 的中点. 求点 $M$ 轨迹的参数方程. 3. 动点 $M$ 作匀速直线运动,它在 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的分速度分别为 9 和 12,运动开始时,点 $M$ 位于 $A\left( {1,1}\right)$ . 求点 $M$ 的轨迹的参数方程. ## 3 极坐标系与极坐标方程 通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系下，可以用一对有序实数表示平面上点的位置，进而建立曲线的直角坐标方程, 从而用代数方法研究这些曲线的性质. 但是, 有些简单的曲线, 在用上述方法求它的方程时, 却会遇到比较大的困难. 例如,设想平面上有一个动点 $M$ 在一条从点 $O$ 出发的射线 ${OA}$ 上做匀速运动逐渐远离点 $O$ ，而射线 ${OA}$ 本身又绕点 $O$ 以固定的角速度旋转. 此时，动点 $M$ 在平面上的运动轨迹称为等速螺线 (图 2-5-4)，它在数学内部以及机械、工程等领域有广泛的应用. 如图 2-5-5 所示的由两条对称的等速螺线拼成的心形转轮 (红线所示) 就会把转轮的旋转运动转化为横杆 (蓝线所示) 的往复水平运动. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1131_266_312_282_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1131_266_312_282_0.jpg) 图 2-5-4 但是, 在平面直角坐标下要建立等速螺线的方程是一件比较复杂的事:把两点的距离用点的坐标写出, 需要用到二次根式; 而把旋转角用坐标表示出来, 更要借助于反三角函数. 因此, 研究等速螺线及其他类似曲线, 需要另辟蹊径. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1120_615_334_256_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1120_615_334_256_0.jpg) 图 2-5-5 事实上, 确定平面上点的位置, 采用平面直角坐标系并不是唯一的方法. 现实生活中, 人们也常用方向 (实际上是角) 和距离来确定平面上点的位置. 例如, 图 2-5-6 所示的是雷达上发现北偏东 ${45}^{ \circ }$ 方向 ${20}\mathrm{\;{km}}$ 处有不明飞行物体. 这样表示平面上点的位置就是我们将要研究的另外一种坐标系 —— 极坐标系的基本思想. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1142_975_293_297_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1142_975_293_297_0.jpg) 图 2-5-6 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1148_1363_284_211_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_44_1148_1363_284_211_0.jpg) 图 2-5-7 如图 2-5-7,在平面上取一定点 $O$ ,以 $O$ 为端点引射线 ${Ox}$ , 再选定一个单位长度和旋转角的正方向(一般规定逆时针方向为正方向). 这时对于平面上异于点 $O$ 的任意一点 $M$ ,设 $\rho = \; \left| {OM}\right| ,\theta$ 表示以射线 ${Ox}$ 为始边、射线 ${OM}$ 为终边的角,则点 $M$ 的位置可以用有序数对 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 表示. 我们把这样的坐标系叫做极坐标系(polar coordinate system). 在极坐标系中,定点 $O$ 叫做极点 (pole),射线 ${Ox}$ 叫做极轴 (polar axis), $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 就叫做点 $M$ 的极坐标 (polar coordinate),其中 $\rho$ 叫做点 $M$ 的极径 (polar radius), $\theta$ 叫做点 $M$ 的极角 (polar angle). 与平面直角坐标系不一样的是, 在极坐标系中, 点的极坐标不唯一,如果 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 是一点的极坐标,那么 $\left( {\rho ,\theta + {2n\pi }}\right) \left( {n \in \mathbf{Z}}\right)$ 都可以作为它的极坐标. 我们还允许 $\rho$ 取负值,当 $\rho < 0$ 时,规定 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 对应的点为 $\left( {-\rho ,\theta + \pi }\right)$ . 此外,规定极点的坐标为 $\left( {0,\theta }\right)$ , 其中 $\theta$ 可以是任意角. 不难发现,在极坐标系中,点 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 与 $\left( {-\rho ,\theta }\right)$ 关于极点对称,点 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 与 $\left( {\rho , - \theta }\right)$ 关于极轴对称. 尽管在极坐标系中点的坐标不唯一, 但是在极坐标系中, 除了极点外，平面上的所有点所成的集合和实数对集合 $\{ \left( {\rho ,\theta }\right) \mid \rho > 0,0 \leq \theta < {2\pi }\}$ 是一一对应的. 也就是说,如果规定极 解 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C\text{ 、 }D\text{ 、 }E$ 各点的一个极坐标可分别取为 $\left( {4,\frac{\pi }{6}}\right)$ 、 $\left( {3,\frac{5\pi }{12}}\right) \text{ 、 }\left( {2,\frac{7\pi }{6}}\right) \text{ 、 }\left( {5,\frac{23\pi }{12}}\right) \text{ 、 }\left( {1,\frac{3\pi }{4}}\right) .$ 径 $\rho$ 取正值,极角 $\theta$ 取小于 ${2\pi }$ 的非负值,那么极点以外的任何点的极坐标也就唯一确定了. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_45_196_253_331_374_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_45_196_253_331_374_0.jpg) 图 2-5-8 例 6 如图 2-5-8,在极坐标系中,写出 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C\text{ 、 }D$ 、 $E$ 各点的一个极坐标. ## 练习 2.5(3) ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_45_1141_732_332_379_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_45_1141_732_332_379_0.jpg) (第 1 题) 1.(1)若约定 $\rho > 0,0 \leq \theta < {2\pi }$ ，试写出图中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D\text{ 、 }E$ 各点的极坐标 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ ; (2)若约定 $\rho < 0,0 \leq \theta < {2\pi }$ ，试写出图中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 各点的极坐标 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ . 2. 在极坐标系中,画出点 $A\left( {3,\frac{\pi }{4}}\right) \text{ 、 }B\left( {3, - \frac{\pi }{4}}\right) \text{ 、 }C\left( {3,\frac{5\pi }{4}}\right)$ , 并说明 $A$ 和 $B\text{ 、 }C$ 有怎样的位置关系. 和平面直角坐标系的情形类似, 在极坐标系中, 平面内的一条曲线可以用含 $\rho \text{ 、 }\theta$ 这两个变量的方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 来表示,方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 叫做这条曲线的极坐标方程. 此时,曲线和方程有如下的关系: ? (1)以方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 的解为极坐标的点都在曲线上; --- 在(2)中，为什么不说曲线上每一点的所有极坐标都适合方程? --- (2)曲线上每一点的所有极坐标中,至少有一个极坐标 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ 是方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ 的解. 求曲线的极坐标方程, 其实就是找到曲线上所有点的极径和极角应满足的关系式. 例 7 求圆心是 $C\left( {a,0}\right)$ 、半径是 $a$ 的圆的极坐标方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_45_213_1809_297_224_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_45_213_1809_297_224_0.jpg) 图 2-5-9 解 如图 2-5-9,由题意知圆 $C$ 经过极点 $O$ . 设圆和极轴的另一个交点是 $M$ ,则 $\left| {OM}\right| = {2a}$ . 设 $P\left( {\rho ,\theta }\right) \left( {-\frac{\pi }{2} < \theta \leq \frac{\pi }{2}}\right)$ 是圆 $C$ 上的任意一点. 若点 $P$ 不在直线 ${OM}$ 上,因为 ${OM}$ 是圆的直径,所以 $\angle {OPM}$ 为直角. 在直角三角形 ${OPM}$ 中, $\left| {OP}\right| = \left| {OM}\right| \cos \theta$ ,即 $$ \rho = {2a}\cos \theta \text{ ,这里 } - \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2},\theta \neq 0\text{ . } $$ 当 $\theta = 0$ 与 $\theta = \frac{\pi }{2}$ 时,方程 $\rho = {2a}\cos \theta$ 分别给出了点 $M$ 与点 $O$ . 因此,圆 $C$ 的极坐标方程是 $$ \rho = {2a}\cos \theta \left( {-\frac{\pi }{2} < \theta \leq \frac{\pi }{2}}\right) . $$ ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_46_1147_536_281_217_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_46_1147_536_281_217_0.jpg) 图 2-5-10 例 8 求经过点 $M\left( {a,0}\right) \left( {a > 0}\right)$ ,且与极轴夹角为 $\varphi$ 的直线 $l$ 的极坐标方程. 解 如图 2-5-10,设 $P\left( {\rho ,\theta }\right)$ 是直线 $l$ 上位于点 $M$ 上方的任意一点, 则 $$ \left| {OP}\right| = \rho ,\angle {POx} = \theta \left( {0 < \theta < \varphi }\right) ,\angle {OPM} = \varphi - \theta . $$ 在 $\bigtriangleup {POM}$ 中,由正弦定理,得 即 $$ \frac{\rho }{\sin \left( {\pi - \varphi }\right) } = \frac{a}{\sin \left( {\varphi - \theta }\right) }, $$ $$ \rho \sin \left( {\varphi - \theta }\right) = a\sin \varphi $$ ① --- 若 $\varphi = \frac{\pi }{2}$ ,直线 $l$ 的方程变成怎样? --- 当点 $P$ 位于点 $M$ 下方或与点 $M$ 重合时,同样可推得①. 因此,方程①就是所求直线 $l$ 的极坐标方程. 我们不仅可以建立圆、直线的极坐标方程, 也可以建立圆锥曲线的极坐标方程(见课后阅读). 下面, 我们尝试建立上一小节开头时给出的等速螺线的极坐标方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_46_1128_1303_321_233_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_46_1128_1303_321_233_0.jpg) 图 2-5-11 例 9 设质点 $M$ 为射线 ${OA}$ 上的动点,沿着 $\overrightarrow{OA}$ 方向做匀速运动，同时射线 ${OA}$ 又绕着它的端点 $O$ 作等角速度旋转. 求质点 $M$ 运动的轨迹方程. 解 如图 2-5-11,以射线 ${OA}$ 的端点 $O$ 为极点,以射线 ${OA}$ 的初始位置为极轴,建立极坐标系. 设动点的初始位置是 ${M}_{0}\left( {{\rho }_{0},0}\right)$ , 点 $M$ 在 ${OA}$ 上运动的速度为 $v,{OA}$ 绕点 $O$ 转动的角速度为 $\omega$ , 经过时间 $t$ 后,动点到达的位置为 $M\left( {\rho ,\theta }\right)$ . 因为点 $M$ 沿 ${OA}$ 做匀速运动,所以 $$ \rho = {\rho }_{0} + {vt}; $$ ① --- ①和②联立实际上就是此运动轨迹的参数方程. --- 由射线 ${OA}$ 绕点 $O$ 作等角速度旋转,得 $$ \theta = {\omega t}. $$ ② 由于从点 ${M}_{0}$ 到点 $M$ 是直线运动与旋转运动的合成,因此将从②式得到的 $t = \frac{\theta }{\omega }$ 代入①式，得 $$ \rho = {\rho }_{0} + \frac{v}{\omega } \cdot \theta , $$ 其中 ${\rho }_{0}\text{ 、 }v\text{ 、 }\omega$ 为常数. 设 $\frac{v}{\omega } = a$ ,则方程可写成 $$ \rho = {\rho }_{0} + {a\theta }\left( {\theta \geq 0}\right) . $$ 这就是所求轨迹的极坐标方程. 这个方程所对应的曲线 (图 2-5-11) 叫做等速螺线或者叫做阿基米德螺线 (Archimedean spiral). 当 ${\rho }_{0} = 0$ 时,就得到特殊的等速螺线的方程 $\rho = {a\theta }$ ,此时极径与极角成正比. ## 练习 2.5(4) 1. 求经过点 $A\left( {a,0}\right)$ 且和极轴垂直的直线 $l$ 的极坐标方程. 2.(1)求圆心在极点 $O$ 、半径为 $a$ 的圆的极坐标方程； (2)求圆心在 $\left( {a,\frac{\pi }{2}}\right)$ 、半径为 $a$ 的圆的极坐标方程. 3. 分别画出下列极坐标方程和直角坐标方程的曲线: (1)极坐标方程 $\rho = 2$ ，直角坐标方程 $x = 2$ ； (2)极坐标方程 $\theta = \frac{\pi }{4}$ ，直角坐标方程 $x = \frac{\pi }{4}$ . ## 4 极坐标与直角坐标的互化 ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_47_234_1273_272_276_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_47_234_1273_272_276_0.jpg) 图 2-5-12 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系, 有时需要在它们之间进行互相转化. 如图 2-5-12,把直角坐标系的原点作为极点, $x$ 轴的正半轴作为极轴,并且取相同的单位长度. 设平面内任意一点 $M$ 的直角坐标为 $\left( {x, y}\right)$ ,极坐标为 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ . 当 $\rho > 0$ 时,由三角函数的定义,可以得到如下的关系式: $$ x = \rho \cos \theta , y = \rho \sin \theta . $$ ① 当 $\rho = 0$ 时,①式仍然成立. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_47_215_1681_288_247_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_47_215_1681_288_247_0.jpg) 图 2-5-13 当 $\rho < 0$ 时,如图 2-5-13,点 $M$ 的极坐标也可用 $\left( {-\rho ,\pi + \theta }\right)$ 表示,这时由于 $- \rho > 0$ ,因此由三角函数的定义,可得 $$ x = - \rho \cos \left( {\pi + \theta }\right) = \rho \cos \theta , $$ $$ y = - \rho \sin \left( {\pi + \theta }\right) = \rho \sin \theta . $$ 这说明 $\rho < 0$ 时,①式也成立. 综上所述，关系式①对于点 $M$ 的任一种表示法表示的极坐标都成立. 关系式①可以作为已知点的极坐标求该点的直角坐标的公式. 从关系式①中解出 $\rho$ 、 $\theta$ ,则有 $$ {\rho }^{2} = {x}^{2} + {y}^{2},\tan \theta = \frac{y}{x}\left( {x \neq 0}\right) . $$ ② 关系式②可以作为已知点的直角坐标求该点的极坐标的公式. 通常取 $\rho$ 为正数,即 $\rho = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ ; 由 $\tan \theta = \frac{y}{x}$ 确定角度 $\theta$ 时,一般根据此点所在的象限取最小正角,满足 $0 \leq \theta < {2\pi }$ . 例 10 化直角坐标方程 $x - y = 0$ 为极坐标方程. 解 将 $x = \rho \cos \theta , y = \rho \sin \theta$ 代入 $x - y = 0$ ,得 $$ \rho \cos \theta - \rho \sin \theta = 0, $$ 即 $$ \rho \left( {\cos \theta - \sin \theta }\right) = 0. $$ 解得 $$ \rho = 0\text{ 或 }\cos \theta - \sin \theta = 0\text{ . } $$ 由 $\cos \theta - \sin \theta = 0$ ,得 $\tan \theta = 1$ . 解得 $$ \theta = \frac{\pi }{4}\text{ 或 }\theta = \frac{5\pi }{4}. $$ 因为 $\rho = 0$ 表示极点,而 $\theta = \frac{\pi }{4}$ 及 $\theta = \frac{5\pi }{4}$ 均表示过极点的射线,所以 $\rho = 0$ 已包含在 $\theta = \frac{\pi }{4}$ 或 $\theta = \frac{5\pi }{4}$ 中. 因此,所化的极坐标方程为 $\theta = \frac{\pi }{4}$ 或 $\theta = \frac{5\pi }{4}$ . 例 11 化极坐标方程 $\rho = 4\cos \theta$ 为直角坐标方程,并指出它是什么曲线. 解 当 $\rho \neq 0$ 时,由 $\rho = 4\cos \theta$ ,得 $$ {\rho }^{2} = {4\rho }\cos \theta . $$ 由此得 ${x}^{2} + {y}^{2} = {4x}$ ,即 $$ {\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} = 4. $$ ① 当 $\rho = 0$ 时,满足 $\rho = 4\cos \theta$ 的点为极点,即直角坐标系的原点 $\left( {0,0}\right)$ ,它也满足方程①. 所以, $\rho = 4\cos \theta$ 是以 $\left( {2,0}\right)$ 为圆心、以 2 为半径的圆. ## 练习 2.5(5) 1. ( 1 )把点 $M$ 的极坐标 $\left( {2,\frac{\pi }{6}}\right)$ 化成直角坐标； ( 2 )把点 $P$ 的直角坐标 $\left( {-1,\sqrt{3}}\right)$ 化成极坐标. 2. 化直角坐标方程 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2ay} = 0$ 为极坐标方程. 3. 化极坐标方程 $\rho = \sin \theta + \cos \theta$ 为直角坐标方程. --- 如果允许 $\rho$ 取任意实数, 那么极坐标方程 $\theta = \frac{\pi }{4}$ 及 $\theta = \frac{5\pi }{4}$ 均表示过极点的直线. --- ## 课后阅读 ## 圆锥曲线的统一定义及其极坐标方程 在极坐标系中可以给出圆锥曲线的一个简洁的统一方程. 不过, 圆不能被这个统一方程包括, 所以本阅读材料中的圆锥曲线及椭圆均不包括圆. 先讨论一下圆锥曲线的统一定义. 回忆一下抛物线的定义: 给定平面上的一个定点和一条定直线, 抛物线是该平面上到此定点和到此定直线距离相等的点的轨迹, 也就是说, 抛物线是该平面上到此定点和到此定直线距离之比等于 1 的点的轨迹. 我们知道, 给定的定点是抛物线的焦点, 给定的定直线是抛物线的准线. 我们希望模仿抛物线的这一定义给出椭圆的定义. 暂时在直角坐标系中讨论. 设椭圆的一个焦点为 $F\left( {c,0}\right)$ ,长半轴长为 $a$ ,则一点 $M\left( {x, y}\right)$ 在椭圆上当且仅当 $$ \sqrt{{\left( x + c\right) }^{2} + {y}^{2}} + \sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}} = {2a}. $$ 由于圆不在考虑范围内, $c \neq 0$ ,上式经变形化为等价条件 $$ \frac{\sqrt{{\left( x - c\right) }^{2} + {y}^{2}}}{\left| x - \frac{{a}^{2}}{c}\right| } = e, $$ 其中 $e = \frac{c}{a}$ 是椭圆的离心率,我们还把直线 $l = \frac{{a}^{2}}{c}$ 称为椭圆的准线. 这样,上式用文字叙述就是: 椭圆是到焦点 $F\left( {c,0}\right)$ 与到准线 $l = \frac{{a}^{2}}{c}$ 的距离之比等于离心率 $e$ 的点的轨迹,其中离心率满足 $0 < e < 1$ . 由类似的推导过程可知,双曲线是到焦点 $F\left( {c,0}\right)$ 与到准线 $l = \frac{{a}^{2}}{c}$ 的距离之比等于离心率 $e$ 的点的轨迹,此时离心率 $e > 1$ . 由此,可以得到圆锥曲线的一个统一定义: 圆锥曲线是到一个定点 $F$ 和到一条定直线 $l\left( {F \notin l}\right)$ 距离之比为定值 $e$ 的点的轨迹. 其中,当 $0 < e < 1$ 时,轨迹为椭圆; 当 $e = 1$ 时,轨迹为抛物线; 当 $e > 1$ 时,轨迹为双曲线. 据此定义可以建立圆锥曲线的统一极坐标方程. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_49_1194_1827_283_197_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_49_1194_1827_283_197_0.jpg) 图 2-5-14 设定点 $F$ 到定直线 $l$ 的距离为 $p\left( {p > 0}\right)$ ,过定点 $F$ 作定直线 $l$ 的垂线,垂足为 $K$ . 如图 2-5-14,以定点 $F$ 为极点 $O$ ,以 ${FK}$ 的反向延长线 ${Fx}$ 为极轴,建立极坐标系. 设动点 $M$ 的极坐标为 $\left( {\rho ,\theta }\right)$ ,则点 $M$ 到定直线 $l$ 的距离为 $$ d = p + \rho \cos \theta , $$ 而 $\left| {MF}\right| = \rho$ ,由圆锥曲线的统一定义,有 $\frac{\left| MF\right| }{d} = e$ ,可得 $\rho = {ed} = e\left( {p + \rho \cos \theta }\right)$ ,整理可得 $$ \rho = \frac{ep}{1 - e\cos \theta }. $$ 这就是圆锥曲线的统一极坐标方程. 如图 2-5-15,当 $0 < e < 1$ 时, 方程表示左焦点在极点的椭圆; 当 $e = 1$ 时,方程表示焦点在极点,开口向右的抛物线; 当 $e > 1$ 时,方程表示右焦点在极点的双曲线的右支. ![bo_d4sln7jef24c73be0pd0_50_1127_496_325_253_0.jpg](images/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_50_1127_496_325_253_0.jpg) 图 2-5-15 ## 习题 2.5 ## A 组 1. 写出椭圆方程推导过程中的“反过来推演”，即验证:若点 $M$ 以方程 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1 \; \left( {a > b > 0}\right)$ 的解 $\left( {x, y}\right)$ 为坐标,则点 $M$ 一定在以 ${F}_{1}\left( {-c,0}\right)$ 与 ${F}_{2}\left( {c,0}\right)$ 为焦点的椭圆上, 这里 $c = \sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}$ . 2. 给定 $A\left( {-3,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3, - 2}\right)$ 两点,求证: 与这两点距离相等的点 $P$ 的轨迹方程是 ${3x} - {2y} = 0.$ 3. 已知点 $P\left( {2,1}\right)$ 在方程 ${x}^{2} + {k}^{2}{y}^{2} - {3x} - {ky} - 4 = 0$ 所表示的曲线上,求实数 $k$ 的值. 4. 定长为 4 的线段 ${AB}$ 的两端点分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上滑动,求 ${AB}$ 中点的轨迹方程. 5. 已知动点 $C$ 到点 $A\left( {2,0}\right)$ 的距离是它到点 $B\left( {8,0}\right)$ 的距离的一半,求点 $C$ 的轨迹方程. 6. 证明: 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ${x}^{2} - {y}^{2} = 0$ . 7. 已知曲线 $C : {y}^{2} = x + 1$ 和定点 $A\left( {3,1}\right)$ ，点 $B$ 在曲线 $C$ 上运动. 求满足 $\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$ 的点 $P$ 的轨迹方程. 8. 求过点 $M\left( {2,\frac{\pi }{2}}\right)$ 且平行于极轴的直线的极坐标方程. 9. 求极坐标方程分别是 $\rho = 2\cos \theta$ 和 $\rho = 2\sin \theta$ 的两个圆的圆心距. B 组 1. 作出下列方程的曲线: (1) ${x}^{2} - {y}^{2} = 0$ (2) ${x}^{2} + {2xy} - 3{y}^{2} = 0$ . 2. 已知圆 ${x}^{2} + {y}^{2} - {2x} + {2y} - 3 = 0$ 和圆 ${x}^{2} + {y}^{2} + {4x} - 1 = 0$ 关于直线 $l$ 对称,求直线 $l$ 的方程. 3. 证明: 椭圆 ${C}_{1} : \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ 与椭圆 ${C}_{2} : \frac{{x}^{2}}{3} + \frac{{y}^{2}}{4} = 1$ 的四个交点共圆. 4. 点 $P$ 在椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4} + {y}^{2} = 1$ 上运动,求它到直线 $l : x + {2y} - 2 = 0$ 的距离的最大值. 5. 点 $P$ 到定点 $F\left( {2,0}\right)$ 的距离与它到直线 $x = 8$ 的距离之比为 $k$ ,请分别给出 $k$ 的某个值, 使得轨迹是椭圆、双曲线和抛物线. 6. 已知椭圆 $C : \frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{3} = 1$ ,试确定 $m$ 的取值范围,使该椭圆上有两个不同的点关于直线 $l : y = {4x} + m$ 对称. 7. 在极坐标系中,求曲线 $\rho = \cos \theta + 1$ 与 $\rho \cos \theta = 1$ 的公共点到极点的距离. ## 内容提要 圆锥曲线是椭圆(包括圆)、双曲线和抛物线的总称，它们都可以由平面在圆锥上截得. 圆锥曲线的方程都是二元二次方程. 1. 圆 (1)平面上到一定点的距离等于定长(大于零)的点的轨迹，叫做圆. (2)圆的标准方程是 ${\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y - b\right) }^{2} = {r}^{2}$ ，其中 $\left( {a, b}\right)$ 是圆心坐标， $r$ 为圆的半径. (3)圆的一般方程是 ${x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0\left( {{D}^{2} + {E}^{2} - {4F} > 0}\right)$ . (4)直线与圆有三种位置关系:相交、相切与相离. 判断直线与圆的位置关系除了比较圆心到直线的距离和半径的大小外，还可以通过求解联立方程组 $\left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} + {y}^{2} + {Dx} + {Ey} + F = 0, \\ {ax} + {by} + c = 0, \end{array}\right.$ 并讨论其解的个数来解决. (5)两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组 $\left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} + {y}^{2} + {D}_{1}x + {E}_{1}y + {F}_{1} = 0, \\ {x}^{2} + {y}^{2} + {D}_{2}x + {E}_{2}y + {F}_{2} = 0, \end{array}\right.$ 并讨论其解的个数来判断两圆相离、相切与相交. 2. 椭圆 (1)平面上到两个定点 ${F}_{1}$ 、 ${F}_{2}$ 的距离之和等于常数 ${2a}\left( {{2a} > \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| }\right)$ 的点的轨迹叫做椭圆. (2)椭圆的焦点在 $x$ 轴上时，其标准方程是 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ ；椭圆的焦点在 $y$ 轴上时，其标准方程是 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ . (3)椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率 $e = \frac{c}{a}\left( {0 < e < 1}\right)$ ，其中 ${c}^{2} = \; {a}^{2} - {b}^{2}$ . 3. 双曲线 (1)平面上到两个定点 ${F}_{1}\text{ 、 }{F}_{2}$ 的距离之差的绝对值等于常数 ${2a}\left( {0 < {2a} < \left| {{F}_{1}{F}_{2}}\right| }\right)$ 的点的轨迹叫做双曲线. (2)双曲线的焦点在 $x$ 轴上时，其标准方程是 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right)$ ；双曲线的焦点在 $y$ 轴上时,其标准方程是 $\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{x}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > 0, b > 0}\right)$ . (3)双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1$ 有两条对称轴，其离心率 $e = \frac{c}{a} > 1$ ，其中 ${c}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}$ ，并有两条渐近线 $y = \pm \frac{b}{a}x$ . ## 4. 抛物线 (1)平面上到一个定点 $F$ 和到一条定直线 $l\left( F\right.$ 不在 $l$ 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. (2)顶点在坐标原点的抛物线，焦点在 $x$ 轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 ${y}^{2} = {2px},{y}^{2} = - {2px}\left( {p > 0}\right)$ ; 焦点在 $y$ 轴的正、负半轴时,其标准方程分别为 ${x}^{2} = \; {2py},{x}^{2} = - {2py}\left( {p > 0}\right)$ . (3)抛物线有且只有一条对称轴，离心率 $e = 1$ . *5. 曲线与方程 (1)曲线 $C$ 的方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 满足下列两个条件: ① 曲线 $C$ 上的点的坐标都是方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 的解; ② 以方程 $F\left( {x, y}\right) = 0$ 的解为坐标的点都是曲线 $C$ 上的点. (2)平面上的曲线也可以用参数方程 $\left\{ \begin{array}{l} x = f\left( t\right) , \\ y = g\left( t\right) \end{array}\right.$ 来表示，其中 $t$ 在一定范围内变动. 如能消去参数 $t$ ，可以转化为普通方程. (3)与平面直角坐标系一样，极坐标系也可以确定平面上点的位置，建立平面曲线的极坐标方程 $F\left( {\rho ,\theta }\right) = 0$ ,其中 $\rho$ 是极径, $\theta$ 为极角. ## 复习题 ## A 组 1. 判断下列命题是否正确，并说明理由: (1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 $y = x$ ； (2)若 $\bigtriangleup {ABC}$ 的三个顶点的坐标分别为 $A\left( {1,1}\right)$ 、 $B\left( {3,1}\right)$ 、 $C\left( {1,3}\right)$ ，则边 ${BC}$ 上的中线所在直线的方程为 $y = x$ ; (3)与两点 $A\left( {-1,0}\right)$ 、 $B\left( {1,0}\right)$ 的连线的夹角为 ${90}^{ \circ }$ 的动点的轨迹方程为 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ . 2. 讨论圆 ${x}^{2} + {y}^{2} + {6x} - 7 = 0$ 与抛物线 ${y}^{2} = - {4x}$ 准线的位置关系. 3. 对圆 ${\left( x - a\right) }^{2} + {\left( y + b\right) }^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}\left( {a > 0, b > 0}\right)$ ,下列说法是否正确,请说明理由: (1)该圆的圆心为(a， $b$ )； (2)该圆过原点； (3)该圆与 $x$ 轴相交于两个不同点. 4. 若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4} + \frac{{y}^{2}}{{a}^{2}} = 1$ 与双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{y}^{2}}{2} = 1$ 有相同的焦点,求实数 $a$ 的值. 5. 设椭圆 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1\left( {a > b > 0}\right)$ 的焦距为 ${2c}$ . 若 ${b}^{2} = {ac}$ ,求该椭圆的离心率. 6. 已知圆 $C$ 的半径为3,它与双曲线 $\frac{{x}^{2}}{4} - {y}^{2} = 1$ 的两条渐近线均相切,且与该双曲线的右支相交. 求圆 $C$ 的方程. 7. 已知直线 $y = x + b$ 被曲线 $y = \frac{1}{2}{x}^{2}$ 截得的弦长为 $4\sqrt{2}$ ,求实数 $b$ 的值. 8. 点 $P$ 是圆 ${x}^{2} + {y}^{2} = 4$ 上的动点,过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $M$ . 若 $\overrightarrow{PQ} = 2\overrightarrow{QM}$ , 求点 $Q$ 的轨迹方程. 9. 设 ${AB}$ 是过抛物线 ${y}^{2} = {2px}$ 焦点 $F$ 的一条弦,过点 $A\text{ 、 }B$ 分别作该抛物线准线的垂线,垂足分别为 ${A}_{1}\text{ 、 }{B}_{1}$ . 求证: $\angle {A}_{1}F{B}_{1} = \frac{\pi }{2}$ . 10. 已知圆 $O$ 的方程是 ${x}^{2} + {y}^{2} = 1$ ,直线 $l$ 与圆 $O$ 相切. (1)若直线 $l$ 的斜率等于 1，求直线 $l$ 的方程； (2)若直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程. 11. 直线 $x - \sqrt{3}y = 0$ 绕原点按逆时针方向旋转 ${30}^{ \circ }$ 后所得的直线 $l$ 与圆 ${\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} =$ 3 的位置关系是 ( ) A. 直线 $l$ 过圆心; B. 直线 $l$ 与圆相交,但不过圆心; C. 直线 $l$ 与圆相切; D. 直线 $l$ 与圆无公共点. 12. 已知点 $A\left( {-\frac{1}{2},0}\right) , B$ 是圆 $C : {\left( x - \frac{1}{2}\right) }^{2} + {y}^{2} = 4\left( {C\text{ 是圆心 }}\right)$ 上一动点,线段 ${AB}$ 的垂直平分线交 ${BC}$ 于 $M$ . 求动点 $M$ 的轨迹方程. B 组 1. 过抛物线 ${y}^{2} = {4x}$ 的焦点 $F$ 作动直线交抛物线于 $A\text{ 、 }B$ 两点,并从原点 $O$ 作 ${AB}$ 的垂线,垂足为 $M$ . 求动点 $M$ 的轨迹方程. 2. 已知点 $P$ 是双曲线 $\frac{{x}^{2}}{9} - \frac{{y}^{2}}{16} = 1$ 右支上的一点,点 $M\text{ 、 }N$ 分别是圆 ${\left( x + 5\right) }^{2} + {y}^{2} = 4$ 和 ${\left( x - 5\right) }^{2} + {y}^{2} = 1$ 上的点. 求 $\left| {PM}\right| - \left| {PN}\right|$ 的最大值. 3. 已知圆 ${x}^{2} + {y}^{2} + x - {6y} + m = 0$ 与直线 $x + {2y} - 3 = 0$ 相交于 $P\text{ 、 }Q$ 两点, $O$ 为坐标原点. 若 ${OP} \bot {OQ}$ ,求实数 $m$ 的值. 4. 已知直线 $y = {ax} - 1$ 与曲线 ${y}^{2} = {2x}$ 只有一个公共点，求实数 $a$ 的值. 5. 对于实数 $k$ 的不同取值范围,讨论方程 $k{x}^{2} + {y}^{2} - 2 = 0$ 所表示的曲线的形状. 6. 过椭圆 ${b}^{2}{x}^{2} + {a}^{2}{y}^{2} = {a}^{2}{b}^{2}\left( {a > b > 0}\right)$ 的顶点 $B\left( {0, - b}\right)$ 引一条弦 ${BP}$ ,求弦 ${BP}$ 的最大长度. 7. 已知定点 $A\left( {a,0}\right) \left( {0 < a < 3}\right)$ 到椭圆 $\frac{{x}^{2}}{9} + \frac{{y}^{2}}{4} = 1$ 上的点的距离的最小值为 1,求 $a$ 的值. 8. 据气象预报,在气象台 $A$ 处向东 ${400}\mathrm{\;{km}}B$ 处的海面上有一个台风中心形成,测得台风以 ${40}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ 的速度向西北方向移动,距中心不超过 ${300}\mathrm{\;{km}}$ 的地方都会受到台风的影响. 从现在起, 多少时间后气象台受到台风影响? 气象台受到台风影响的时长大约是多少？(结果精确到 ${0.1}\mathrm{\;h}$ ) ## 拓展与思考 1. 已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 的两个顶点 $A\text{ 、 }B$ 的坐标分别是 $\left( {-6,0}\right) \text{ 、 }\left( {6,0}\right)$ ,且边 ${AC}\text{ 、 }{BC}$ 所在直线的斜率之积等于 $k$ . 讨论顶点 $C$ 的轨迹方程. 2. 以 $P$ 为圆心的动圆与圆 ${C}_{1} : {\left( x + 2\right) }^{2} + {y}^{2} = 1$ 和圆 ${C}_{2} : {\left( x - 2\right) }^{2} + {y}^{2} = {r}^{2}$ 均相切, 请分别写出 $r$ 的某个值,使点 $P$ 的轨迹为椭圆和双曲线. 3. 求双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 的焦点坐标与准线方程. 4. 请验证到点 $\left( {1,\frac{1}{4}}\right)$ 的距离和到直线 $y = - \frac{1}{4}$ 的距离相等的动点的轨迹方程是二次函数 $y = {x}^{2} - {2x} + 1$ ,并探究一般情况. ## 课后阅读 ## 圆锥曲线简史 公元前 4 世纪，古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线. 他用垂直于母线的平面去截取顶角分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥, 得到三种曲线, 梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线, 今称椭圆、抛物线和双曲线. 但没有史料记载梅内克缪斯发现这三种圆锥曲线的具体方法. 梅内克缪斯在发现圆锥曲线时, 并不知道圆锥曲线的更多性质. 其后, 亚里斯塔欧 (Aristaeus)著有《立体轨迹》5卷，而“立体轨迹”(solid loci)即指圆锥曲线；欧几里得 (Euclid)著《圆锥曲线》4 卷. 这两部著作对圆锥曲线有更深入系统的论述, 可惜都失传了. 相传欧几里得在另一部失传的几何著作《面轨迹》(The Surface-Loci)中不加证明地给出过关于圆锥曲线的如下重要命题: 到定点与到定直线的距离之比等于给定比的点的轨迹是圆锥曲线. 当给定比小于 1 时, 它是椭圆; 当给定比等于 1 时, 它是抛物线; 当给定比大于 1 时, 它是双曲线. 亚历山大时期数学家帕普斯(Pappus)给出并证明了上述命题. 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》(Conics)是数学历史上最重要的圆锥曲线专著. 此书集前人之大成，且提出很多新的性质. 在这部著作中，阿波罗尼斯推广了梅内克缪斯的方法， 利用一般的斜圆锥来获得圆锥曲线. 阿波罗尼斯引入了圆锥曲线的新名称 “亏曲线” ( * zháwı¡q )、“齐曲线”( * πaραβολη)与“超曲线”( * πaρβολη )，取代在他之前使用的冗长术语 “锐角圆锥的截线”“直角圆锥的截线”与“钝角圆锥的截线”. 阿波罗尼斯的三个希腊文单词演变成了现在通用的专有名词 ellipse、parabola 与 hyperbola(以英语为例)，即中文的椭圆、抛物线与双曲线. 明清之际, 西方圆锥曲线的零星知识传入中国. 中国数学家李善兰与英国人艾约瑟 (J. Edkins)根据西方有关论著合译了《圆锥曲线说》三卷(1856)，作为西方力学著作《重学》 的附录出版. 在李善兰与英国人伟烈亚力(A. Wylie)合译的微积分课本《代微积拾级》 (1859)中, 也涉及许多圆锥曲线的知识. 那时所用的译名如椭圆、抛物线、双曲线等沿用至今.