解三角形.

例 1 如图 6-3-1,在 中,已知 , . 求 与 的长. (结果精确到 )

图 6-3-1

例 2 已知圆 是 的外接圆,其圆心为 ,直径为 . 试用 与角 及 的正弦来表示三角形三边的边长 及 .

图 6-3-3

例 3 设 是 的外接圆的半径, 为 的面积. 求证:

(1) ；

(2) .

1. 在 中,已知 . 求 . (结果精确到 0.01)

2. 在 中,已知 . 求 和面积 . (结果精确到 0.01)

3. 在 中,如果 ,试判断该三角形的形状.

例 4 在 中,已知 . 求 及 .

例 5 在 中,已知 . 求 及 .

例 4 中,如果用正弦定理求出 , 如何判断 ?

例 6 在 中，已知 . 求角 的余弦值和 的面积 .

1. 在 中,已知 . 求 .

2. 在 中,已知 . 求 及 .

3. 在 中,已知三边之比为 . 求该三角形的最大角的余弦值.

例 7 在 中,已知 ,且 . 求证: 为等边三角形.

例 8 在 中，已知 ， ，且三角形面积 . 求 .

例 9 根据下列条件,分别求角 :

(1)已知 ；

(2)已知 ；

(3)已知 .

1. 在 中,已知 ,其面积为 . 求 .

2. 证明: 平行四边形中, 四边平方和等于对角线平方和.

3. 在 中,求证:

(1) ;

(2) .

4. 分别求满足下列条件的角.

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) .

解三角形在实际生活中, 尤其是在测量方面, 有着广泛的应用. 下面通过一些实例来体会解三角形在测量上的应用.

例 10 金茂大厦是改革开放以来上海出现的超高层标志性建筑. 有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的 处测得金茂大厦顶部 的仰角为 ,再向金茂大厦前进 到达 处,测得金茂大厦顶部 的仰角为 . 请根据以上数据估算出金茂大厦的高度. (结果精确到 )

图 6-3-4

例 11 甲船在距离 港口 24 海里并在南偏西 方向的 处驻留等候进港，乙船在 港口南偏东 方向的 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为 31 海里. 当乙船行驶 20 海里到达 处时,接到港口指令,前往救援忽然发生火灾的甲船. 求此时甲、乙两船之间的距离.

图 6-3-5

1. 某货轮在 处看灯塔 在北偏东 方向. 它以每小时 18 海里的速度向正北方向航行，经过 40 分钟航行到 处，看灯塔 在北偏东 方向. 求此时货轮到灯塔 的距离.

2. 我缉私船发现位于正北方向的走私船以每小时 30 海里的速度向北偏东 方向的公海逃窜，已知缉私船的最大时速是 45 海里，为了及时截住走私船，缉私船应以什么方向追击走私船? (结果精确到 )

3. 修建铁路时要在一个山体上开挖一隧道, 需要测量隧道口 之间的距离. 测量人员在山的一侧选取点 ,因有障碍物, 无法直接测得 及 的距离. 现测得 ; 又测得 及 两点到隧道口的距离分别是 及 在同一直线上 . 求隧道 的长. (结果精确到 )

(第 3 题)

1. 在 中,已知 . 求 .

2. 在 中,已知 . 求 .

3. 在 中,若 . 求最大角的余弦值.

4. 已知 的面积为 . 求 .

5. 在 中,已知 . 求 及 .

6. 在 中,若 ,且其面积为 ,求 及 .

7. 在 中,已知 是 的内角平分线. 求证: .

8. 在 中,已知 . 求边 上的中线 的长.

9. 根据下列条件,分别判断三角形 的形状:

(1) ；

(2) .

10. 如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算油泵顶杆 的长度. 已知车厢的最大仰角为 ,油泵顶点 与车厢支点 之间的距离为 与水平线之间的夹角为 的长为 . 计算 的长. (结果精确到 )

(第 10 题)

1. 在 中，若 ，求 .

2. 已知 的面积 ,求 .

3. 在 中,已知 .

(1)求 ；

(2)求 的面积 .

4. 已知三角形两边之和为 8，其夹角为 . 分别求这个三角形周长的最小值和面积的最大值, 并指出面积最大时三角形的形状.

5. 求分别满足下列条件的角:

(1) ; (2) ；

(3) .

6. 在 中, ,且其面积为 . 求 .

7. 某船在海面 处测得灯塔 在北偏东 方向，与 相距 海里，且测得灯塔 在北偏西 方向,与 相距 海里. 船由 向正北方向航行到 处,测得灯塔 在南偏西 方向. 这时灯塔 与 相距多少海里? 在 的什么方向?

8. 如图,为了测定对岸 两点之间的距离,在河的一岸定一条基线 ,测得 . 求 间的距离. (结果精确到 )

(第 8 题)

9. 在 中,求证:

(1) ;

(2) .