练习8.2(1) · 1
- 将学生甲所给的线性方程 作为本章 8.1 节例 1 数据的线性拟合, 计算各数据点的离差, 再计算拟合误差. 把结果与表 8-4 的数据相比较, 说说你对“最佳拟合”有什么新的理解和体会.
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- 略.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 8.2
教师整合版 / 沪教版高中数学
一元线性回归分析.
选择性必修第二册
第8章成对数据的统计分析 · 保留教材主线与原题
一元线性回归分析
教材与正式教参整合
1 一元线性回归分析的基本思想
对于一组有某种线性关系的成对数据, 上一节介绍的相关系数分析了数据之间线性关系的方向与程度. 但有时我们还需要进一步了解其中一个变量随另一个变量变化的大致情况. 更准确地说, 我们要找到关联两个变量的一个线性方程, 使得在平面直角坐标系上数据所确定的点尽可能地 “贴近” 方程所定义的直线.
先回到本章 8.1 节的例 1. 为了找一条直线去“贴近”数据散点图 (图 8-1-1) 中的各点, 甲、乙两名同学分别给出了线性方程:
甲: ,
乙: .
我们在散点图上把这两个线性方程所定义的直线绘制出来, 如图 8-2-1 所示, 其中红色直线是甲的方程所定义的, 蓝色直线是乙的方程所定义的.
图 8-2-1
凭直觉我们很难断定哪条直线与数据点贴近得更好.
至此, 我们会提出问题: (1)有没有明确的标准来衡量直线与数据点的贴近程度? (2)如果有这样的标准，如何找出在此标准下最佳的直线?
要解决这两个问题, 可以用下面介绍的回归分析的方法.
一般地,设给定一组有线性相关关系的成对数据 、 和一个线性方程 (或称线性模型)
①
如何描述数据与此线性方程的贴近度呢?
由于离差可正可负, 考虑数据整体与线性方程①的贴近度时, 不能简单地用离差的代数和作为指标. 我们可以像计算方差那样, 用离差的平方和
②
③
公式③的一个初等的推导过程在本节的课后阅读中介绍. 回归系数 与 的值只与给定的数据有关，而与回归分析过程中初始选择的线性模型无关.
从回归系数公式 ③可以看出，回归直线经过样本点的中心 ,也就是散点图中数据点的中心.
有了回归系数 与 ,代入方程②就得到了这一组成对数据的回归方程. 这样, 我们对本节开头提的两个问题都有了明确的答案.
在解决具体问题时, 如果数据量不大, 可以用上面的公式直接计算出回归系数 与 ,进而得出回归方程. 如果数据量大, 就要借助统计软件, 通过计算机或计算器来实现这一过程了.
下面我们针对本章 8.1 节中的例 1 来求回归方程, 并理解回归直线与观察值之间的关系.
这个方程所定义的直线即这组数据的回归直线, 它是给定数据点的最佳拟合直线.
由回归方程,我们可以算出每个 对应的计算值 (结果精确到 0.1 )，列表 8-4 如下:
表 8-4
| 4.0 | 4.0 | 4.6 | 5.0 | 5.2 | 5.6 | 6.0 | 6.6 | 7.0 | 10 | |
| 3.5 | 3.0 | 2.7 | 2.4 | 2.5 | 2.0 | 1.5 | 1.2 | 1.2 | 1.0 | |
| 2.8 | 2.8 | 2.6 | 2.4 | 2.3 | 2.2 | 2.0 | 1.8 | 1.6 | 0.4 | |
| 离差 | 0.7 | 0.2 | 0.1 | 0.0 | 0.2 | -0.2 | -0.5 | -0.6 | -0.4 | 0.6 |
据此可进一步算出拟合误差 0. . 它当然是这组数据的线性拟合中拟合误差所能达到的最小值.
如果两组数据之间的相关系数很小, 根据公式求回归系数还有意义吗?
有了上述准备，现在我们就能判断本节开始时学生甲和乙给出的线性方程哪个更贴近所给的数据点了. 学生乙所给的方程实际上是系数精确度不同的回归方程, 如果用这个方程来制作表 8-4, 只会出现一些由数据精确度不同引起的小误差; 学生甲所给的方程与回归方程有本质的差别.
练习 8.2(1)
练习8.2(1) · 2
- 两个变量 与 之间的回归方程 ( )
A. 表示 与 之间的函数关系; B. 表示 与 之间的不确定关系;
C. 反映 与 之间的真实关系; D. 是反映 与 之间的真实关系的一种最佳拟合.
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- D.
练习8.2(1) · 3
- 用最小二乘法求回归方程是为了使 ( )
A. ; B. ;
C. 最小; D. 最小.
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- D.
2 一元线性回归分析的应用举例
例题 1
例 1 依据本章 8.1 节例 2 中某市高中男生身高与体重的抽样数据,运用电子表格办公软件求“体重” 关于“身高” 的回归方程.
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解 将表 8-3 中的数据输入工作簿，然后选择“插入图表”， 再选择“散点图”，则自动生成如下的散点图 (图 8-2-2).
图 8-2-2
在数据点上单击右键, 选择 “添加趋势线” 一“线型”, 并在 “趋势线选项”标签中要求给出公式，可以得到回归直线(图 8-2-3).
图 8-2-3
图 8-2-3 中标明了所求的回归方程为: .
根据所得的回归方程,对于身高 的男生,可以预测其体重为 .
从上述例子可以看出, 建立一元线性回归模型的一般步骤如下:
(1)确定研究对象，从一组数据出发，根据实际问题，明确哪个变量是自变量, 哪个变量是因变量;
(2)对确定的自变量和因变量，绘制相应的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
(3)若观察到数据呈线性关系，则选用线性方程 ；
(4)利用最小二乘法估计线性方程中的参数 ，得到回归方程 ；
(5)得出结果后计算离差，采用统计方法检验模型是否合适 (这一步本书不作要求);
(6)利用所求的回归方程进行预测.
相关分析和回归分析作为处理成对数据的两种基本统计方法, 它们之间有如下联系与区别:
(1)相关分析主要测定变量之间相关性的强弱和变化方向， 而回归分析则是在相关分析的基础上建立回归模型, 定量地描述变量间具体的变动关系. 只有在两组变量具有线性相关性时, 才作线性回归分析, 得到回归直线.
(2)在相关分析中，两个变量的地位是对等的; 而在回归分析中, 要考察的是一个变量随另一个变量的变化趋势, 其中自变量是解释变量, 因变量是反应变量.
(3)回归分析具有因果分析和预测的功能，可以分析反应变量受解释变量的影响程度, 也可以通过回归方程求得反应变量的计算值来估计其他同类的观察值.
(4)在相关分析中，一般要求两个变量的总体都满足正态分布；而在回归分析时，一般只要求反应变量的总体满足正态分布.
除了具有线性关系的散点图以外, 线性回归分析还可以处理呈指数分布性状的数据分布. 表 8-5 是 1999 年至 2018 年我国国内游客数量(单位:万人次)的统计表，图 8-2-4 是根据这些数据所作的散点图. 从图上可以看出年份与游客人数之间不是线性关系, 而是有明显的指数增长的性状.
表 8-5
| 年份 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 |
| 国内游客数量/ 万人次 | 71 900 | 74400 | 78400 | 87800 | 87000 | 110 200 | 121 200 |
| 年份 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
| 国内游客数量/ 万人次 | 139 400 | 161 000 | 171 200 | 190 200 | 210 300 | 264 100 | 295700 |
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | / |
| 国内游客数量/ 万人次 | 326 200 | 361 100 | 400 000 | 444 000 | 500 000 | 553 900 | / |
图 8-2-4
为了建立这组数据的拟合模型, 我们将国内游客数量 (方便起见记为 ,单位: 万人次)取自然对数 ,可得到表 8-6.
表 8-6
| 年份(Y) | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 |
| 71 900 | 74400 | 78400 | 87800 | 87000 | 110 200 | 121200 | |
| 11.18 | 11.22 | 11.27 | 11.38 | 11.37 | 11.61 | 11.71 | |
| 年份(Y) | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
| 139 400 | 161000 | 171 200 | 190 200 | 210 300 | 264 100 | 295700 | |
| 11.85 | 11.99 | 12.05 | 12.16 | 12.26 | 12.48 | 12.60 | |
| 年份(Y) | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | / |
| 326 200 | 361 100 | 400000 | 444 000 | 500 000 | 553 900 | / | |
| 12.70 | 12.80 | 12.90 | 13.00 | 13.12 | 13.22 | / |
对表 8-6 中的变量 (年份) 和 绘制散点图 (图 8-2-5).
图 8-2-5
从图 8-2-5 中可以看出各数据点之间呈线性关系, 于是我们作线性回归分析,求得 与 之的线性拟合 . 最终我们得到
其中 是一个常数.
相关分析和回归分析都是处理变量与变量之间关系的重要统计方法, 在大数据时代更具有广泛的应用.
练习 8.2(2)
练习8.2(2) · 1
- 某公司为了解用电量 (单位: ) 与气温 (单位: ) 之间的关系,随机统计了 4 天的用电量与当天气温, 并制作了如下对照表:
| 气温 | 18 | 13 | 10 | -1 |
| 用电量 | 24 | 34 | 38 | 64 |
由表中数据可得回归方程 中 ,试预测当气温为 时,用电量约为___ .
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-
- 提示: 先根据 求出 ,再求解.
练习8.2(2) · 2
- 用计算器或计算机软件建立下列观测数据的回归方程:
| 70 | 115 | 130 | 190 | 195 | 400 | 450 | |
| 1.10 | 1.00 | 0.85 | 0.75 | 0.85 | 0.67 | 0.50 |
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练习8.2(2) · 3
- 为了研究长江口滨海湿地乡土植物芦苇高度(单位:cm)与干重(单位:g)之间的关系, 观察芦苇高度与干重的数据(见下表), 其中干重为植物收获并烘干到一定标准后的质量. 试建立芦苇干重关于芦苇高度的回归方程.
| 编号 | 高度/cm | 千重/g | 编号 | 高度/cm | 干重/g |
| 1 | 136 | 15.01 | 13 | 147 | 16.87 |
| 2 | 136 | 14.88 | 14 | 150 | 17.13 |
| 3 | 135 | 15.12 | 15 | 148 | 17.26 |
| 4 | 138 | 14.99 | 16 | 150 | 18.13 |
| 5 | 139 | 15.54 | 17 | 149 | 17.66 |
| 6 | 138 | 15.24 | 18 | 152 | 17.84 |
| 7 | 141 | 15.68 | 19 | 151 | 18.17 |
| 8 | 143 | 15.88 | 20 | 154 | 18.36 |
| 9 | 142 | 18.16 | 21 | 155 | 17.95 |
| 10 | 144 | 16.33 | 22 | 155 | 18.65 |
| 11 | 148 | 15.99 | 23 | 157 | 18.89 |
| 12 | 146 | 16.57 | 24 | 156 | 19.26 |
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习题 8.2
A 组
习题8.2A · 1
- 下表中是某家庭 2009 年至 2018 年电费开支的情况,设年电费开支为 (单位: 元),试建立年份 与 的回归方程.
| 年份 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| 电费 /元 | 1323 | 1552 | 1679 | 1852 | 1975 | 2129 | 2327 | 2494 | 2667 | 2791 |
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习题8.2A · 2
- 随机抽取 8 对成年母女的身高数据(单位:cm)，试据此建立母亲身高与女儿身高的回归方程.
| 母亲身高 | 154 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 |
| 女儿身高 | 155 | 156 | 159 | 162 | 161 | 164 | 165 | 166 |
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习题8.2A · 3
- 某生物学家对白鲸游泳速度与其摆尾频率之间的关系进行了研究. 研究的样本为 19 头白鲸, 测量其游泳速度和摆尾频率. 白鲸游泳速度的测量单位为每秒向前移动的身长数 (1.0 代表每秒向前移动一个身长), 而摆尾频率的测量单位是赫兹(1.0 代表每秒摆尾 1 个来回). 测量数据如下表所示.
| 白鲸编号 | 游泳速度/(L/s) | 摆尾频率/Hz | 白鲸编号 | 游泳速度/(L/s) | 摆尾频率/Hz |
| 1 | 0.37 | 0.62 | 7 | 0.51 | 0.88 |
| 2 | 0.50 | 0.68 | 8 | 0.68 | 0.92 |
| 3 | 0.35 | 0.68 | 9 | 0.51 | 1.08 |
| 4 | 0.34 | 0.71 | 10 | 0.67 | 1.14 |
| 5 | 0.46 | 0.80 | 11 | 0.68 | 1.20 |
| 6 | 0.44 | 0.88 | 12 | 0.86 | 1.38 |
| 13 | 0.68 | 1.41 | 17 | 0.84 | 1.50 |
| 14 | 0.73 | 1.44 | 18 | 1.06 | 1.56 |
| 15 | 0.95 | 1.49 | 19 | 1.04 | 1.67 |
| 16 | 0.79 | 1.50 | / | / | / |
生物学家聚焦的研究问题是 “白鲸的摆尾频率依赖于其游泳速度吗”, 这里的因变量 是摆尾频率,自变量 是游泳速度.
(1)绘制数据散点图；
(2)建立 与 的回归方程.
(第 3 题)
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习题8.2A · 4
- 某公司购进一新型设备, 为了分配合适的工人操作该设备, 进行了操作该设备的工人工龄(单位:年)与劳动生产率(单位:件/时)之间的相关分析，下表是 12 名 5~10 年工龄的工人操作新设备的劳动生产率的试验记录.
| 工人编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 工龄 /年 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 | 10 | 10 |
| 劳动生产率 | 7.1 | 7.2 | 7.5 | 7.5 | 7.7 | 8.3 | 8.6 | 9.2 | 9.2 | 10.0 | 9.7 | 10.0 |
试建立工人操作新设备的劳动生产率 与工龄 的回归方程.
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习题8.2A · 5
- 某工厂生产某种产品的月产量(单位:千件)与单位成本(单位:元/件)的数据如下:
| 月份 | 产量 /千件 | 单位成本 |
| 1 | 2 | 73 |
| 2 | 3 | 72 |
| 3 | 4 | 71 |
| 4 | 3 | 73 |
| 5 | 4 | 69 |
| 6 | 5 | 68 |
(1)计算产量与单位成本的相关系数；
(2)建立产量与单位成本的回归方程；
(3)若该工厂计划 7 月份生产 7 千件该产品，则单位成本预计是多少？
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B 组
习题8.2B · 1
- 为了解大学校园附近餐馆的月营业收入(单位:千元)和该店周围的大学生人数(单位:千人)之间的关系，抽取了 10 所大学附近餐馆的有关数据，如下表所示.
| 学生人数 千人 | 2 | 6 | 8 | 8 | 12 | 16 | 20 | 20 | 22 | 26 |
| 月营业收入 /千元 | 58 | 105 | 88 | 118 | 117 | 137 | 157 | 169 | 149 | 202 |
(1)根据以上数据，建立月营业收入 与该店周围的大学生人数 的回归方程；
(2)已知某餐馆周围的大学生人数为 10000 人，试对该店月营业收入作出预测.
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【回源配对并编辑补解】(1) ；(2) 预测月营业收入为 千元。
习题8.2B · 2
- 某运动生理学家在一项健身活动中选择了 19 位参与者, 以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量, 其中脂肪含量以占体重 (单位: kg) 的百分比表示. 得到脂肪含量和体重的数据如下表所示. 其中，参与者 1 ~10 为男性，11 ~19 为女性.
| 参与者编号 | 体重 | 脂肪含量 | 参与者编号 | 体重 | 脂肪含量 |
| 1 | 89 | 28 | 11 | 57 | 29 |
| 2 | 88 | 27 | 12 | 68 | 32 |
| 3 | 66 | 24 | 13 | 69 | 35 |
| 4 | 59 | 23 | 14 | 59 | 31 |
| 5 | 93 | 29 | 15 | 62 | 29 |
| 6 | 73 | 25 | 16 | 59 | 26 |
| 7 | 82 | 29 | 17 | 56 | 28 |
| 8 | 77 | 25 | 18 | 66 | 33 |
| 9 | 100 | 30 | 19 | 72 | 33 |
| 10 | 67 | 23 | / | / | / |
(1)分别建立男性和女性体重与脂肪含量的回归方程；
(2)男性和女性合在一起所构成的样本的回归方程为 ，其斜率与 (1)中所计算的斜率有差异吗？能否对这种差异进行解释？
(3)计算下列情况下体重与脂肪含量的相关系数:① 男性；② 女性；③ 男女合计. 这些值与(2)中所反映的信息是否一致？
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【回源配对并编辑复核】(1)男性：；女性：。(2)合并斜率约0.021，显著小于两组内的斜率，不能忽略性别构成。(3)相关系数分别约为 、、。
习题8.2B · 3
- 完成本节中提供的我国 1999 年至 2018 年国内游客数量与年份关系的回归模型, 并以此模型预测今年和明年我国国内游客的数量.
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【回源修订并编辑补解】令 ， 为公历年份，则 ，即 （万人次）。若把“今年、明年”明确取为本次编写年份2026、2027，纯模型外推分别约为 、 万人次；这不是实际游客数量，也不是经现实数据校准的可靠预报。
课后阅读
一元线性回归系数公式的推导
在这个阅读材料中, 我们将用初等的方法推导本节中所介绍的回归系数公式③.
先回顾我们的问题. 设有一组成对的数据 和一个 与 的线性关系 . 对给定 ,令 . 我们要“优化”线性关系,使离差 的平方和 (即拟合误差)
达到最小值. 满足这个条件的线性关系是拟合数据的最佳选择.
为了找到最佳的线性关系, 我们从略微不同的角度考察拟合误差. 把拟合误差改写成
由于数据 是给定的,故 是 的二元函数. 于是问题化为: 求变量 的最小二乘估计 ,使函数值达到最小.
令 与 分别是数据 与 的算术平均值,则
因为 ,所以 ; 同理 . 这样,把上式对 从 1 到 求和,其最后两项所对应的和式都是 0 . 于是,
所以, 当
时, 取得最小值
亦即, 我们求得了模型参数的最小二乘估计
这就是本节正文的公式③.
上面推导过程的最后一步配方技巧性较强, 不过同学们可以通过展开平方式以验证等式的成立.