用迭代序列求 √2的近似值.

现实生活中, 大量复杂的方程很难得到精确解. 而从应用上的需要看, 求得一个具有适当高精度的近似解就已足够. 为了得到解的近似值, 我们可以通过选取适当的首项与递推公式, 得到一个越来越趋近于精确解的数列, 这就形成了一个相应的算法 (algorithm). 具体地说,记 为某个方程的解,选定一个函数 以及一个首项 ,然后利用下面的递推公式

下面以求 的近似值为例来说明迭代算法. 我们可以通过求方程 的正根来计算 . 容易看到,方程 可等价地变形为

即取 . 为了求解,我们任取一个初值 , 并构造递推公式

来形成一个迭代序列 . 这就是计算 的巴比伦算法 (Babylonian method).

这样构造出来的迭代序列 ,当 时, 会越来越趋近于一个值吗?

如选取初值 ,通过计算器操作,迭代序列前 5 项结果如下表所示:

表 4-4

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我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪，我国经典数学著作《九章算术》就介绍了笔算开平方的算法.

可以借助计算器的 Ans 键求解迭代序列.

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注: 划线部分是 的不足近似值.

我们发现,当 越来越大时, 与 的值越来越接近. 且存在一个正的常数 ,满足当 越来越大时, 越来越趋近于 ,即 成立. 从而由递推公式

可知 是方程

的解,即 ,而迭代序列 中的项 ,当 足够大时, 就给出了 的近似值.

我们也可以选取 的其他变形来构造相应的迭代序列. 需要说明的是, 并非所有的变形都能形成有效的算法. 例如, 方程 也可等价地变形为

如果据此构造递推公式

我们同样可以得到一个迭代序列 . 但如仍取初值 ,通过计算器操作, 迭代序列前 5 项结果如下表所示: 该迭代序列绝不会趋近于 .

表 4-5

方程 还可以等价地变形为

任取一个初值 ,据此构造相应的递推公式

我们仍可以得到一个迭代序列 . 如仍选取初值 ,通过计算器操作, 迭代序列前 8 项结果如下表所示:

表 4-6

注: 划线部分是 的不足近似值.

这个迭代序列也可以用来提供 的近似值. 但与表 4-4 比较可以发现,该迭代序列趋近于极限 的速度远比巴比伦算法慢, 因此巴比伦算法更为优秀.

本节我们说明了用迭代序列计算 的近似值的算法. 实际上, 算法中递推公式的设计与初值的选取常常要基于实际问题的背景, 并经过实践的检验.

在现今的信息时代，算法的作用进一步得到凸显，一些优秀的企业甚至明确提出了“算法是其核心竞争力”. 这充分说明，算法值得引起高度重视.