统计估计.

解(1)这里的总体是该校女大学生的每日摄取热量，我们要利用通过抽样获得的 100 名女大学生的样本信息来估计总体的分布情况. 由于从上面的数据很难看出任何规律, 因此我们通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布.

这组数据的最小值为 1.42 ，最大值为 2.29 ，故全距为 0.87 ， 可选取组距为 0.1 ，将其分为 9 组. 其频率分布表如表 13-5 所示.

表 13-5 100 名女大学生每日摄取热量频率分布表

从表 13-5 中可以估计总体的大致分布情况. 比如, 该校女大学生每日摄取热量在 [1.50, 2.00) 范围内的频率最大, 每日摄取热量不足 1.50 千大卡或超过 2.00 千大卡的频率相对较小.

(2)从表 13-5 中可以看出，样本中摄取热量范围在 [1.80,1.90)的女大学生的频率为 0.21 . 由于样本是随机抽取的, 因此可以估计该校女大学生每日摄取热量的范围在 [1.80,1.90)的概率是 0.21 , 或者说约有 21% 的该校女大学生每日摄取热量的范围在 .

在例 1 中, 如果想要使信息更为直观地呈现, 那么我们可以绘制频率分布直方图，用图中矩形的面积大小来反映分布情况.

这组数据的频率分布直方图如图 13-5-1 所示.

图 13-5-1 100 名女大学生每日摄取热量的频率分布直方图

从图 13-5-1 中可以看出, [1.80,1.90) 所对应的矩形面积最大, 并且整幅直方图具有一定的对称性. 由此可以推测该校女大学生每日摄取热量的范围集中在 [1.80,1.90) 附近, 摄取特别多的热量或特别少的热量的女大学生人数都较少.

在本例中, 如果将样本容量取得足够大, 且分组的组距取得足够小, 那么相应的频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线, 称为总体分布密度曲线 (图 13-5-2). 事实上, 尽管总体分布密度曲线是客观存在的, 但由于在实际中往往无法获得总体的数据, 因此无法精确地得到它的密度曲线, 只能通过样本的频率分布折线图来对总体分布的密度曲线进行估计. 一般来说, 样本容量越接近总体容量, 样本的频率分布折线图与总体分布密度曲线的贴近程度越高.

图 13-5-2

注意，上面我们已通过抽取一定容量的样本来估计该校女大学生每日摄取热量的分布, 但如果重新抽取一个包含 100 名女大学生的样本, 由于这个样本极有可能会包含和上一个样本不同的学生, 因此每个区间内的样本数的频率会有所不同, 即样本具有变异性. 但当样本量较大时, 样本中每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率, 不会有太大的变动. 当然, 样本容量越大, 采集这些样本所需要耗费的人力、物力和财力就会越多, 所以应根据实际情况选择适当容量的样本.

1.(1)制作频率分布表如下:

(2)从频率分布表中可以看出该生在 20 次 短跑的成绩低于 的频率为 0.20+0.15+0.20=0.55,假定该生在第二天的比赛中发挥出平常水平,则可估计该生在比赛中用时低于 的可能性为 0.55 .

2. 可以算出该展览馆 2018 年所抽取的 5 周的客流量超过 200 的一共有 16 天,超过 200 天的频率为 ,我们可以估计 2018 年客流量超过 200 的频率为 45.7%,由 365×45.7%≈167,可以估计 2018 年超过 200 天的天数为 167.

解 先求出各区间的中点值: . 则一周内这 20 名学生跑步累计的平均数为

由于这 20 名学生是随机抽取的, 因此可以估计一周内该校学生平均跑步累计约 .

解 记男生样本为 ,平均数为 ,方差为 女生样本为 ,平均数为 ,方差为 ; 所有数据的平均数为 ,方差为 .

我们很容易从给出的男生和女生各自身高的样本平均数求出所有学生样本的身高平均数:

对于方差, 我们也要推导出不依赖于原始数据的计算公式. 据方差的定义,

把上述和式中每个方括号用平和方公式展开, 并注意到

我们得到只含所有平方项的等式

与 的计算其实都不依赖于男、 女生的样本量, 而只依赖于两个样本量之比. 如果在本例中把精确的男、女生样本量改为知道男、女生样本量之比为 17 : 16，同学们不妨试求 与 .

即

把数据代入，计算得到 66 名学生样本数据总的方差 59.42. 据此可以估计高一年级学生身高的总体方差为 59.42.

我们还可以算出标准差 ,并且样本数据在 , 167.4+7.71]中的有 43 个, 样本数据在 2×7.71]中的有 65 个, 在此区间外的只有 1 个. 也就是说, 区间 包含了大部分的数据.

在现实生活中, 我们也常常会遇到类似的问题. 例如, 针对某个问题, 不同网站提供了各自调查的样本均值和方差, 如何得到所有数据的样本平均数和方差? 再如, 针对某个问题, 连续几天收集数据, 得到了每天数据的样本平均数和方差, 如何得到这几天所有数据的样本平均数和方差?

解 容易算得这 10 棵苹果树的平均产量为 ,由于这 10 棵苹果树是随机抽取的, 我们可以预估该果园的苹果产量约为

1. A.

2. (1)绘制频率分布条形图如下所示:

图

( 2 )偶数出现比例的平均值为

偶数出现比例的标准差为

3. 经计算可得

,故甲品种的苹果和乙品种的苹果的质量的平均值相同,但是乙品种的苹果质量标准差较小, 说明乙品种的苹果质量更均匀.

解 从表 13-7 可以得出, 小明的身高介于 P75 和 P90 之间, 说明至少有 75%的男性同龄人身高低于他，而他所在城市男性同龄人约有 6.4 万人，

所以可以估计小明的身高至少高于他所在城市约 4.8 万男性同龄人.

显然, 中位数是第 50 百分位数, 而中位数和第 25 百分位数、第 75 百分位数将一组数据分成了四个部分，故又均称为四分位数.

例 6 为了实现绿色发展, 避免能源浪费, 某市政府计划对居民用电采取阶梯式收费的方法. 为此, 相关部门在该市随机调查了六月份 200 户居民的用电量(单位: ). 数据如下:

根据以上数据, 应当如何确定阶梯电价的电量临界值?

解 由于居民用电情况是一个随机现象, 因此我们可以用居民用电量的分布来确定阶梯电价的临界值. 如考虑实施如下的三档阶梯电价:75%的用户在第一档(最低一档)，20%的用户在第二档, 5%的用户在第三档(最高一档). 这样, 通过样本数据估计第一档与第二档、第二档与第三档的两个电量临界值, 即第 75 和第 95 百分位数.

首先, 我们需要求出样本数据中第 75 和第 95 百分位数的电量值. 对上面的 200 个样本数据从小到大进行排序 (可用计算机软件完成), 所得结果是:

选取六月份调查, 是因为该城市六月份的天气较热, 其用电量在一年 12 个月中处于中等偏上水平.

然后，依据上面的排序计算 75% 和 95% 这两个电量临界值. 因为 ,所以第一个临界值为有序样本中第 150 个数 178 和第 151 个数 178 的平均数, 它仍然是 178 . 因为 ,所以第二个临界值为有序样本中第 190 个数 289 和第 191 个数 304 的平均数，其值为 296.5，为了便于操作， 可以取值为 297 .

由于样本是随机选取的, 可以估计该城市的月用电量相应于第 75 和第 95 百分位数的电量值分别为 和 . 于是, 阶梯式电价可以规定如下:

(1)用户每月用电量不超过 时,按第一档电价标准缴费;

(2)用户每月用电量在区间 内时,其中的 按第一档电价标准缴费,超过 的部分按照第二档电价标准缴费;

是否还有其他制定阶梯电价的合理方案?

(3)用户每月用电量超过 时，其中的 按第一档电价标准缴费， 按第二档电价标准缴费,而超过 的部分则按第三档电价标准缴费.

1. 经计算可得

,所以说,甲运动员和乙运动员射击比赛得分的平均值相同, 但是甲运动员比赛得分的标准差较小, 说明甲运动员的射击水平更稳定.

2. 经计算, 可得该公司这 20 名员工上班单程花费时间的平均数为 28.5 , 众数为 25,中位数为 25.5.由于这 25 名员工是随机调查的,故我们可以估计该公司上班单程时间的平均数为 28.5 , 中位数为 25.5 , 上班单程花费时间为 25 分钟的人最多.

3.(1)最小值为 16.2,最大值为 29.4,极差为 13.2 . 选取组距为 2,制作频率分布表如下:

(2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图如下:

图 13-R7

每天运动 的比例超过 25% 的小区比例为

4. 平均数为 10.13 , 标准差为 6.87 .

5. 记男生样本每周锻炼时间的平均数为 ,方差为 ; 女生样本每周锻炼时间的平均数为 ,方差为 ,所有学生样本每周锻炼时间的平均数为 ,方差为 , 模仿例 3 的推导过程, 得到

并且

所以所有样本数据的平均数为 7.168 小时, 方差为 7.884 , 据此可以估计该校学生每周锻炼时间的平均数为 7.168 小时, 方差为 7.884 .

1. 经计算可得该学生这两周每天阅读书籍页数的平均数为 6.5 , 由于该生每天坚持阅读课外书籍,可以估计该生一年阅读书籍的平均数为 6.5 ,那么一年阅读书籍的总页数则为

假设平均一本书为 200 页,由

可估计该生一年阅读的书籍仅 12 本.

2. (1)

(2) ,估计年平均降水量为 .

3. 甲班成绩的平均数、中位数和众数分别为 和 67; 乙班成绩的平均数、中位数和众数分别为 76、78、66 . 可以看出乙班成绩的平均数和中位数均高于甲班, 所以说甲班的成绩更好.

4. 根据题意, 应选取人体的“小腿加足高”的尺寸的第 5 和第 95 百分位数作为工作椅座高的上、下限. 现已知随机调查的 200 名成年女性和 200 名成年男性的坐姿的小腿加足高的数据, 先计算由 200 名成年女性和 200 名成年男性组成的 400 人样本的第 5 和第 95 百分位数. 将这 200 名女性和 200 名男性的坐姿的小腿加足高的数据放在一起进行排序, 得到一个有序样本.

由 ,可得第 5 百分位数为有序样本中第 20 个数 350 和第 21 个数 351 的平均数,为 350.5. ,所以第 95 百分位数为有序样本中第 380 个数 439 和第 381 个数 440 的平均数, 为 439.5 . 由于样本是随机抽取的, 我们可以估计成年人坐姿的小腿加足高的第 5 百分位数和第 95 百分位数分别为 350.5 和 439.5 因而我们可以将工作椅座高的上、下限设为 350.5 mm 和 439 mm.