统计学的核心是数据分析, 是指针对研究
对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析、推断和决策的过程. “用数据说话” 已经成为当今时代的一个特征.
# 统计
在病人手指上采一滴血，就能查出病人的白细胞数值是否正常. 从河里取出一杯水，就可以检测出这一段河道的水质情况. 根据所要研究的问题有效地收集数据，并通过分析数据来发现其中的规律乃是统计研究之本.
统计学研究的问题是随机的、具有非确定性的, 通过抽样的数据对总体进行推断, 就是通过个别来推断一般，主要是一种归纳推理. 因此, 在学习本章内容时, 要注意统计思维与确定性思维的差异，初步体会解决统计问题的一般过程与方法.
## 13.1 总体与样本
---
许宝騄(1910—1970)， 中国数学家, 中国科学院学部委员. 他的研究领域涉及统计推断、极限理论、马尔可夫过程等. 他是中国概率论数理统计教学和科学研究的开创者.
---
在统计问题中, 我们把研究对象的全体叫做总体 (population), 总体中的每一个对象叫做个体 (element), 总体中所含个体的数量, 称为总体的容量. 从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本 (sample), 样本所含个体的数量称为样本量(sample size), 也称样本容量. 例如:
(1)要考查某班级全体学生的身高，就可以通过测量该班每个学生的身高组成一个总体，其中的每个学生的身高就是一个个体. 这样的总体只包含有限个个体, 我们可以把它们全部列出来. 如果我们要考查上海高一学生的身高, 那么总体就是所有上海高一学生的身高. 虽然这也是一个有限总体, 但其容量显然比前面的总体大得多.
(2)2018 年，教育部基础教育质量监测中心发布了《中国义务教育质量监测报告》，抽取了全国 31 个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团共 973 个县(市、区)的 572 314 名四、八年级学生进行体质健康状况调查, 调查的指标包括肺活量和 50 米跑的成绩等. 在这项研究中, “义务教育阶段全国学生的肺活量”和 “义务教育阶段全国学生的 50 米跑成绩”是两个总体. “572314 名学生的肺活量”和 “572314 名学生的 50 米跑成绩” 分别是上述两个总体的样本. 调查结果表明: 四年级学生肺活量达到及格标准的比例 (以下简称“达标率”) 为 98.1%，优秀率为 33.4%；几年级学生肺活量达标率为 95.9%，优秀率为 31.0%。四年级学生 50 米跑达标率为 96.3%，优秀率为 18.3%；几年级学生 50 米跑达标率为 94.7%，优秀率为 21.4%. “达标率”“优秀率”等用来描述样本特征的概括性数字度量, 称为统计量 (statistic), 我们可以用这些样本的统计量来推断总体的数字特征.
(3)小明从家到学校有两种走法:乘坐公交车可以直达，乘坐地铁需要换乘. 他想研究一下哪种方式更好, 于是分别记录了 50 次乘坐公交车花费的时间和 50 次乘坐地铁花费的时间. 在这个问题中涉及两个总体:一个是“乘坐公交车从小明家到学校花费的时间”，另一个是“乘坐地铁从小明家到学校花费的时间”. 这两个总体都有无穷多的个体, 小明记录的数据分别是它们的样本. 小明的目的是想通过样本的统计量, 如平均花费时间、最少花费时间、最多花费时间等来比较两个总体的优劣.
(4)银行为了调查客户对柜台服务的满意程度，请每位顾客在操作面板上选择一个数字, 其中, 数字 1 表示“非常满意”, 2 表示“比较满意”，3 表示“一般”，4 表示“不满意”，5 表示“非常不满意”. 在这项调查中，“顾客对柜台服务的满意程度”是总体， 其中的数据都是 $1 \sim 5$ 中的某个数. 如果某个营业日有 100 名顾客对柜台服务进行了评价，那么当日所收集到的 100 个数据就是其中的一个样本.
从上面的例子可以看到, 统计学的具体研究对象是多种多样的, 它们有一个共同的特点, 就是具有不确定性. 例如, 在调查 “某班全体学生的身高”问题时, 虽然每次测量结束后可以得到一组确定的数据, 但由于测量的误差, 这组数据其实只是总体的一个带有误差的样本. 统计活动的基本思想是通过分析样本的统计特征去推断总体的统计特征. 因此, 样本数据的代表性和获取方式十分重要.
例 为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过 12340 电话调查系统开展专项调查，成功访问了 2007 位上海市民. 在这项调查中, 总体和样本分别是什么? 样本量是多少?
解 总体是上海市民家庭的存书量, 样本是被成功访问的 2007 位上海市民家庭的存书量, 样本量是 2007.
### 练习 13.1
1. 为了解上海市某区居民用户的月平均用水量，通过简单随机抽样获取了 100 户居民用户的月平均用水量. 在这个问题中, 总体和样本分别是什么?
2. 在下面两个问题中, 总体和样本分别是什么, 样本量是多少?
(1)为了解大学四年级学生毕业后的就业意愿，一项调查联络了 972 名大学四年级学生，并询问他们:“你计划毕业后继续深造还是就业？”
(2)为了解各种品牌饼干的价格行情，一名学生在某超市挑选了 10 种品牌的饼干， 并记录了它们的价格.
3. 在国际经合组织主持的国际学生评估项目 (Program for International Student Assessment, 简称 PISA)研究中, 上海 15 岁初中生于 2009 年和 2012 年两次获得全球第一. 2012 年, 上海 155 所学校的 6374 名学生代表全市各类中学约 9 万名 15 岁初中生参加测试, 某研究人员想利用 2012 年 PISA 的数据库考察上海 15 岁初中生的数学成绩. 在该研究人员的研究中, 总体和样本分别是什么?
### 习题 13.1
#### A 组
1. 某农业研究人员为考察三个品种的小麦发芽率, 从中选取麦种若干, 经检测得到数据如下表所示. 在这个问题中, 总体和样本分别是什么? 样本量是多少?
| 品种 | 麦种数 | 发芽数 |
| A | 100 | 92 |
| B | 200 | 189 |
| C | 200 | 182 |
2. 小王和小张计划调查上海市新生儿的性别情况. 小王调查了最近一个月在 A 医院出生的 320 名新生儿，其中有 156 名女孩，小王由此推断:上海市新生儿男女比例基本均衡. 小张的姐姐在 B 医院待产, 她告诉小张最近一周在 B 医院出生的 18 名新生儿中有 13 名女孩，小张由此推断:上海市新生儿男女比例严重失调. 考虑下面的问题:
(1)在上面的统计活动中，总体和样本分别是什么？
(2)你同意小王和小张的推断吗？请说一说你的理由.
(3)你认为是否可以用上面的样本来推断上海市新生儿的男女比例？请说一说你的理由.
3. 测量队要测量一个池塘的平均深度, 选择了池塘的 150 个不同的位置进行测量, 得到了 150 个数据, 然后用这 150 个数据的平均数来估计池塘的平均深度. 在这项统计活动中, 总体和样本分别是什么?
#### B 组
1. 在某校高一年级的期中数学测验中, 很多学生在解决一道应用题时都出现了错误. 教师在试卷分析时说:“看起来，我们高一(3)班的同学解决应用问题比较薄弱. ”请你从统计的角度来讨论下面的问题:
(1)在这个情境中，总体和样本分别是什么？
(2)你同意教师的说法吗？请说明理由.
2. 统计在日常生活中有大量的应用, 请收集 2 至 3 个统计案例, 并说明其总体和样本分别是什么.
## 13.2 数据的获取
统计研究离不开数据，我们也经常在报纸、电视或网络等媒体中看到各种各样的统计数据，如就业率、物价指数、股票行情等. 通常, 按照收集数据的不同方法, 可以将数据分为观测数据 (observational data)和实验数据(experimental data).
观测数据是指通过调查或观测而收集到的数据, 是在没有对有关事物进行人为控制的条件下得到的. 以全国人口普查为例, 人口普查员通过请社区住户填写人口普查表来调查人口信息，但并不进行干预, 这样得到的数据就是观测数据. 实验数据是指在实验中控制实验对象而收集到的数据. 例如, 我们想知道每天服用一定剂量的维生素C能否预防感冒. 为了完成实验, 研究人员让一部分人每天服用一定剂量的维生素C，另一部分人不服用维生素C，然后收集两组对象的感冒发病率并进行比较.
本章所说的数据主要涉及观测数据，它主要是通过普查或抽样调查获得. 普查对于我们而言并不陌生，最为熟悉的就是全国人口普查. 一个国家或地区为详细调查某项重要的国情、国力, 专门组织大规模的全面调查，即对总体的每个个体分别进行调查, 我们称之为普查(census).
以我国每 10 年进行一次的人口普查为例, 主要调查人口和住户的基本情况，包括姓名、性别、年龄、民族、受教育程度、 行业、职业、婚姻等. 这样虽然要耗费大量的人力、物力与财力, 但可以全面掌握全国人口的基本情况, 为制定人口政策和经济社会发展规划提供依据，为社会公众提供人口统计信息服务， 对国家制定各项方针政策具有重要的意义. Q
由于普查耗时费力, 在一般统计问题中, 对总体的每一个个体进行考察也并非必要, 有些调查过程甚至具有一定的破坏性, 如测试一批灯管的使用寿命或汽车车身的抗撞性等, 因此, 这时可以从总体中按照一定的方法抽取样本进行研究, 然后通过分析样本数据对总体作出相应的估计. 从总体中抽取样本的过程称为抽样(sampling), 通过抽样进行调查研究的方法叫做抽样调查 (sampling survey).
例如, 某灯管生产厂家为了考察某一新型 LED 灯管的使用寿命, 从首批生产的 200 根灯管中抽取 10 根灯管进行加速寿命试验, 测得它们的寿命 (单位: h) 分别为
$$
\text{ 52350、52871、53100、53028、53062、 }
$$
$$
\text{ 54501、52015、51854、52987、52702. }
$$
---
我国所进行的普查主要包括人口普查、 经济普查、农业普查、 资源清查、工业普查、 三产普查和基本单位普查. 在国家统计局的网站上可以查到我国各类普查的数据.
春秋时期齐国名相管仲提出:“不明于计数，而欲举大事， 犹无舟楫而经于水， 险也.” 此处的“数”, 指的就是一定范围之内的人口、土地、财富等方面的统计数据. 可见, 早在春秋时期人们就已经注意到统计对于治理国家的重要意义.
---
这 10 根灯管的平均寿命为
$$
\left( \left. {{52350} + {52871} + {53100} + {53028} + {53062} + {54501} + {52015}}\right) \right.
$$
+51 854+52 987+52 702)÷10 = 52 847 (h).
---
由于 LED 照明灯管的寿命很长,可达 ${50000} \sim {1000000}\mathrm{\;h}$ , 自然状态下长时间监测其光衰情况是不实际的, 通常采用一种 “加速寿命试验”的方法来预测.
---
如果我们把这 10 根灯管的平均寿命 52 847 h 作为这批灯管寿命的一种估计, 就要冒一定的风险. 因为既有可能所抽取的样本灯管的寿命确实反映了这批灯管的寿命, 也有可能我们抽到了其中质量较好或是较差的产品. 用 10 根灯管的平均寿命来估计这批灯管总体的平均寿命是否可信, 就要看样本能否反映总体的特征, 也就是抽取的样本是否具有代表性.
例 1 下面的数据是观测数据还是实验数据?
(1)2010年第六次全国人口普查登记的全国1339724852 人 (未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据)的年龄;
(2)在体育课上，教师抽查了 10 名学生，测量他们的 100 米跑用时, 得到 10 个数据;
(3)某疫苗实验中，注射了该疫苗的儿童中只有 33 人患了小儿麻痹症，而注射了生理盐水的儿童中有 115 人患了小儿麻痹症.
解(1)这是通过第六次全国人口普查获得的数据，是观测数据; (2)这是通过抽样调查获得的数据, 是观测数据; (3)这是对该疫苗进行有效性实验获得的数据，是实验数据.
根据不同的需要，我们可以通过调查或实验来获得数据，也可以采用来源可靠的已有统计数据，如文献、统计报表、年鉴、 行业协会信息等. 后者通常易于获取、成本低廉，但我们在采用这些数据之前必须考虑这些数据的含义是什么，获取方法是什么, 数据的可靠性如何等.
例 2 统计年鉴是一个国家或地区统计局编印的资料性年刊，收录全国或者某个地区上一年经济、社会等各方面的统计数据, 以及重要历史年份的主要统计数据, 是全面反映经济和社会发展情况的资料性年刊. 试从《2018 上海统计年鉴》中找出上海市普通高等学校 2017 年的招生人数、在校学生人数以及毕业生人数.
解 登录上海统计局的网站，找出《2018 上海统计年鉴》， 在其第二十篇“教育”中的表 20.9“普通高等学校基本情况(2017)” 中, 记录了 2017 年上海市普通高等学校招生人数为 142793 人， 在校学生人数为 514917 人，毕业生人数为 134207 人.
### 练习 13.2
1. 完成下列任务所获得的数据是观测数据还是实验数据？
(1)某高校为了解大学一年级新生的计算机水平，举行了新生计算机水平测试，获得了每一位大学一年级新生的计算机成绩;
(2)某旅游公司为开发新的旅游产品，调查了 500 名客户对于旅游目的地的偏好；
(3)某科研团队研发出一种新型生态除草剂，检测了该除草剂防控稻田杂草的效果.
2. 2014 年我国发布了《第三次全国经济普查公报》，结果显示我国高技术制造业规模不断扩大，研发投入大幅度增加，创新能力稳步提高. 试在网上搜索该文件并从中找出以下数据:
(1)截至 2013 年底，我国高技术制造业共有多少家企业？实现利润总额多少亿元？
(2)2013 年，我国投入高技术制造业研发经费为多少亿元？高技术制造业申请发明专利多少万件?
3. 请你提出一个与统计有关的实际问题, 并与同学讨论其中的总体和样本, 初步判断样本的代表性和获取方式.
### 习题 13.2
#### A 组
1. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间 (单位: $\mathrm{{min}}$ )，连续记录了 10 天的数据, 它们分别是: 68、34、70、45、74、126、108、66、36、72. 在这个问题中, 总体和样本分别是什么?
2. 回答以下问题需要获得的数据是观测数据还是实验数据？
(1)本班级每名学生对数学中某个知识点的掌握程度如何？
(2)消费者对于某品牌饮料的喜爱程度如何？
(3)户外运动时间是否会影响青少年的视力？
3. 试调查去年我国有多少所普通高中学校，共有多少名在校学生.
#### B 组
1. 为调查某行业从业者的月收入, 研究机构从该行业从业者中随机抽取了 1000 人进行调查,其中 70% 的从业者回答他们的月收入在 10000 元以上, 28% 的从业者回答他们每月的日常消费在 5000 元以上. 这里的总体和样本分别是什么?
2. 某购物网站在其首页发布了一项满意度调查, 其中一个问题是: “你对本网站的客服是否满意？”浏览该网站的网民可以点击三个按钮 “满意”“一般” 和 “不满意” 中的任意一个. 结果有 1253 人选择“满意”，585 人选择“一般”，245 人选择“不满意”.
(1)此项调查的样本量是多少？
(2)该网站声称有 $\frac{1253}{2083} \approx {60}\%$ 的网民满意其网站客服，判断该说法是否准确，并说明理由.
## 13.3 抽样方法
在统计活动中, 人们常常通过样本来研究总体. 那么, 如何进行抽样才比较合理呢?
从河里取出一杯水, 就可以检测出这一段河道的水质情况. 但如果是从远离工厂排污口的位置取水，那么检测出的结果未必能代表这家工厂对这一段河道的污染情况. 科学的抽样方法必须使样本具有代表性. 样本的代表性是指选取的样本能客观地反映总体的情况, 没有人为的主观偏向.
下面介绍两种常用的抽样方法:简单随机抽样与分层随机抽样.
### 1 简单随机抽样
在抽样的过程中通过逐个抽取的方法抽取样本, 且总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫做简单随机抽样 (simple random sampling).
假定从共有 24 盒的一箱牛奶中抽取 4 盒进行检测, 可以按照如下方法抽取样本:
先将 24 盒牛奶进行编号:1、2、...、23、24，并将这 24 个数分别写在完全相同的纸片上，然后放入某容器中. 将这些纸片混合均匀后取出 4 张, 这 4 张纸片上的数所对应的 4 盒牛奶就是要抽取的样本. 这种抽取样本的方法叫做抽签法, 24 张写好编号、形状大小等完全相同的纸片称为号签.
在日常生活中抽签法应用很广泛. 比如, 班级元旦晚会上的抽奖活动就常常采用抽签法:首先将班上每一名学生的学号或者姓名写在相同的奖券上，全部投入摇奖箱并混合均匀后，即可抽取当晚的幸运儿了.
抽签法简单易行, 适用于总体容量不大的情形. 但当总体容量很大时, 制作号签比较费时, 且不易混合均匀, 这时我们可以利用随机数表法. 随机数表 (见附录) 就是一种现成的号签, 它是由一连串的 0 ~9 之间的数字构成的, 且满足以下两个条件: (1) 对表中任何一个给定位置的数字,其为 $0 \sim 9$ 中任何一个数字的概率都相等; (2)不同位置数字的取值是相互独立的.
我们只要先把总体中的个体逐个编号, 然后按照某种事先确定的规则直接从随机数表 (或其他工具产生的随机数) 中取一定量的随机数, 这些随机数所对应的个体即组成一个样本. 我们称这种抽样方法为随机数法.
#### 操作:制作随机数表
请一位学生把标有数字 0 ~ 9 的十个小球放在一个不透明的袋子里搅拌均匀 (图 13-3-1)，随机抽取一个小球，记下数字后放回袋子里搅拌均匀再抽取. 依此类推, 即得到了一串数字, 为了方便读取, 将每 8 个数字组成一组, 每 6 组组成一行. 这样就得到了一张随机数表.
图 13-3-1
例 1 在 13.2 节中, 厂家为考察某一新型 LED 灯管的使用寿命, 从首批生产的 200 根灯管中抽取 10 根灯管进行加速寿命试验. 试用随机数表法进行抽取.
解 利用随机数表法抽取样本，可以按照下面的步骤进行:
第一步:我们先将 200 根灯管按 001、002、...、200 进行编号.
第二步:在随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组. 假设从第 7 行第一个数字 3 开始，我们看到的随机数表中的后继随机数是:
39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
62816846 05710346 57234293 18186926 04002237 63106244
47428458 84171044 10027759 66564387 46470075 06909727
80441606 15411242 70519846 39771512 53558695 43341615
第三步:不妨从选定的数 3 开始向右读下去，从 3 开始的三位数组是:
398 327 763 991 853 532 591 131 404
${692}\;{350}\;{498}\;{221}\;{220}\;{671}\;{263}\;{628}\;\cdots$
得到的第一个三位数号码是 398 ，由于 398>200，因此将它去掉，继续向右读，得到 327 ，由于 327>200，因此仍将它去掉，直到读到 131<200，保留 131 . 继续读取，遇到重复的数也去掉，直到选取 10 个满足条件的号码:
$\begin{array}{llllllllll} {131} & {168} & {034} & {181} & {106} & {104} & {027} & {007} & {061} & {124} \end{array}$
于是, 所要抽取的样本就是这 10 个号码所对应的灯管.
由于每个随机数的出现是等可能的, 因此保证了总体中个体以相同的概率入选样本, 从而使样本具有代表性. 本例中每根灯管被抽取到的概率均为 $\frac{1}{20}$ .
抽签法和随机数法都属于简单随机抽样. 一般地, 简单随机抽样具有以下特点:
(1)总体个数 $N$ 是有限的;
(2)是不放回抽样;
(3)总体中每个个体被选入样本的可能性相同.
例 2 下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗? 判断并简要说明理由.
(1)某公司年会时将所有员工的姓名写成纸条放进抽奖箱， 混合均匀后抽取 10 名员工进行奖励;
(2)课堂上，教师抽取班上学号尾号为 0 的学生回答问题.
解(1)是简单随机抽样, 采用的是抽签法; (2)不是简单随机抽样, 因为仅有学号尾号为 0 的学生有机会被抽中, 其他学生被抽中的可能性为 0 , 每个个体被抽中的可能性不同.
#### 信息技术:利用计算机或计算器产生随机数
利用计算机中的电子表格办公软件可以方便地产生所需要的随机数. 在空白单元格内输入随机函数 “ = RANDBETWEEN $\left( {m, n}\right)$ ” $\left( {m < n}\right)$ ，运行一次，就能得到一个 $m \sim n$ 之间的随机整数, 利用软件的自动填充功能, 拖拽该单元格的填充柄, 便可以得到多个 $m \sim n$ 之间的随机整数. 图 13-3-2 即是通过输入随机函数“=RANDBETWEEN(1,100)”所产生的 1 ~ 100 之间的随机整数.
图 13-3-2
利用计算器也可以帮助我们生成随机数. 一般计算器内部都有一个随机函数 “RAND”，它可以产生 0~1 的随机数.
---
注意，利用计算机或计算器产生的随机数实际上是伪随机数, 因为它们是由确定的过程所产生的, 尽管这个过程可能很复杂.
---
### 练习 13.3(1)
1. 下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗? 判断并简要说明理由.
(1)某在线商城在网站首页发布问卷调查，调查登录该网站的客户对于该商城的满意度, 访问该网站者可以自愿点击填写;
(2)检验员抽检一箱零件，每次检验时抽取 1 个零件，检验后放回箱子里，再进行第二次检验, 一共检验了 10 次.
2. 写出 10 首歌曲的名称, 用抽签法抽取其中 3 首.
3. 现从编号为 1~500 的 500 支水笔中抽取 10 支水笔进行书写长度检测. 试用随机数法抽出这 10 支水笔对应的编号.
### 2 分层随机抽样
某高中为了解高一年级新生的身高情况，计划抽取 50 名学生测量身高. 由于不同性别的学生身高差异较大, 人数也可能不一样, 因此不适合用前面介绍的简单随机抽样. 我们希望抽取的样本中男女生的比例与全部高一年级新生的男女比例大致相同, 这样得到的样本才具有代表性. 这就要求在抽样的过程中, 不仅要使得总体中每个个体被抽到的可能性相同, 而且应注意总体中个体的某些分类属性, 使得所抽取的样本能更明确地反映出总体的特征.
一般地, 当总体由差异明显的几个部分组成时, 先把总体分成若干个部分, 然后从不同的部分中独立、随机地抽取样本, 这种抽样的方法称为分层随机抽样, 简称分层抽样 (stratified sampling). 所分的各个部分称为“层”，一般可按照总体中个体的分类属性(例如，对于人口总体，可按性别、年龄段、受教育情况等)进行分层, 分在同一层的个体应具有相近的特征.
常用的分层抽样的方法如下: 先将容量为 $N$ 的总体按照要求分成 $k$ 层,每层的个体数分别记为 ${N}_{1}\text{ 、 }{N}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{N}_{k}$ ,在每层中分别随机抽取 ${n}_{1}\text{ 、 }{n}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{n}_{k}$ 个个体组成容量为 $n$ 的样本, 使得
$$
N = {N}_{1} + {N}_{2} + \cdots + {N}_{k},
$$
$$
n = {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{k},
$$
$$
\frac{n}{N} = \frac{{n}_{1}}{{N}_{1}} = \frac{{n}_{2}}{{N}_{2}} = \cdots = \frac{{n}_{k}}{{N}_{k}}.
$$
显然,这里每个个体被抽到的概率均为 $\frac{n}{N}$ .
例 3 某高中一年级共有学生 425 名, 其中男生 204 名, 女生 221 名, 为了解该校高一年级学生的身高情况, 现从中抽取 50 名学生测量身高. 问:应当如何抽取？男女生各要抽取多少名?
解 因为不同性别学生的身高差异较大, 所以先采用分层抽样的方法求出不同性别的抽样人数, 然后在此基础上进行简单随机抽样.
设 ${n}_{1}\text{ 、 }{n}_{2}$ 分别为抽取男生和女生的人数,则根据分层抽样原理, 有
$$
\frac{{n}_{1}}{204} = \frac{{n}_{2}}{221} = \frac{50}{425},
$$
得 ${n}_{1} = {24},{n}_{2} = {26}$ .
用简单随机抽样法在男生和女生中分别抽取 24 人和 26 人. 每名学生被抽中的概率为 $\frac{2}{17}$ .
分层随机抽样利用辅助信息分层, 使得各层间的差异较大, 各层内的差异较小, 这样的分层抽样能够提高样本的代表性及抽样的效率. 一般地, 分层随机抽样适用于总体是由差异明显的几部分组成的情况，且在每一层进行抽样时，常常采用简单随机抽样或其他随机抽样方法.
上面讨论了两种科学的抽样方法, 对一个实际问题来说, 究竟用何种抽样比较好, 要视具体情况来定.
例 4 下列问题中, 采用怎样的抽样方法较为合理?
(1)某餐厅从一桌正在就餐的 12 名客人中抽取 2 名客人进行服务满意度调查；
(2)植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草本三大类. 某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行调查.
解 (1) 总体容量比较小, 用抽签法或随机数法都很方便.
(2)由于乔木、灌木和草本之间的干重差异很大, 应当采用分层抽样的方法, 对于不同类型的植物按其比例来抽取样本.
#### 操作:抽样调查本校学生的运动时间
从本校学生中按照性别和年级进行分层抽样, 抽取一个容量为 60 的样本, 调查学生的平均每周运动时间 (单位: $\mathrm{h}$ , 保留一位小数), 并记录在表 13-1 中.
---
在例 3 中,若 ${n}_{1}$ 、 ${n}_{2}$ 不是整数,可以取其近似值. 如 ${n}_{1} = {26.5}$ , ${n}_{2} = {23.5}$ ,此时既可以取男生为 26 人，女生为 24 人；也可以取男生为 27 人，女生为 23 人.
---
表 13-1
| 学生编号 | 时间/h | 学生编号 | 时间/h | 学生编号 | 时间/h | 学生编号 | 时间/h |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
### 练习13.3(2)
1. 某果园种植了三个品种的苹果树共计 1200 棵, 其中 A 品种 600 棵、B 品种 400 棵、C 品种 200 棵. 现在要用随机抽样的方法估计苹果产量. 试分析下面的抽样方法属于简单随机抽样还是分层随机抽样:
(1)将每棵树按 1 ~ 1 200 进行编号，并从这 1200 个号码中随机抽取 100 个号码，得到这 100 个号码对应的 100 棵苹果树;
(2)从三个品种的苹果树中分别随机抽取 30 棵、20 棵、10 棵.
2. 某公司有 200 名员工，其中有一般人员 104 人、管理人员 32 人、专业技术人员 48 人以及营销人员 16 人. 现用分层抽样的方法抽取 25 人，以调查大家对职业培训的意愿， 应抽取一般人员___人、管理人员___人、专业技术人员___人以及营销人员___人.
3. 某校学生志愿者协会共有 250 名成员，其中高一年级学生 88 名，高二年级学生 112 名，高三年级学生 50 名. 为了解志愿者的服务意愿，需要随机抽取 50 名学生进行问卷调查. 应当如何抽取? 三个年级各要抽取多少名学生?
### 习题 13.3
#### A 组
1. 下列抽样方法中, 属于简单随机抽样的是 ( )
A. 某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔 5 分钟后回收；
B. 某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为 1 的听众进行提问；
C. 一车间主任从堆放的 100 件产品中抽取了摆放在最上面的 10 件产品进行检查;
D. 销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后, 从中抽取 5 个工号牌.
2. 从总体容量为 $N$ 的一批电子元件中抽取一个容量为 30 的样本. 若每个电子元件被抽到的可能性为 ${15}\%$ ,求总体容量 $N$ 的值.
3. 某外语兴趣班的教学进度很快, 同学们决定向老师建议调整教学进度, 大家一致同意从班上随机抽取 3 名同学作为代表去见老师. 班上所有同学的姓名如下, 用随机数法抽取一个由 3 名同学构成的样本.
张海超 孙瀚文 洪振国 赵智宇 胡萍萍
李伊一 冯 杰 王小蕾 汪 晓 李 伟
陆昊然 江 晨 张 燕 吴运杰 周 越
陈景瑶 赵萱萱 李 珍
B 组
某校为了解高二年级学生对于某知识点的掌握情况，在一次数学考试后，按照 1:30的比例抽取一组样本试卷进行分析. 该校高二年级有 12 个班，共 540 人，每班人数如下表所示. 请利用随机数表法进行抽取, 并写出过程.
| 班级 | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
| 人数 | 43 | 47 | 47 | 43 | 47 | 43 |
| 班级 | 七班 | 八班 | 九班 | 十班 | 十一班 | 十二班 |
| 人数 | 44 | 47 | 46 | 43 | 47 | 43 |
## 13.4 统计图表
上一节我们学习了如何通过随机抽样获取数据. 然而所收集的数据往往庞杂凌乱，无法直接从中获得有用的结论. 统计图表是表达和分析数据的一种重要工具, 它不仅可以帮助我们从数据中获取有用的信息, 还可以帮助我们直观、准确地理解相关的结果.
在初中阶段我们已经学习了扇形统计图、折线统计图和条形统计图等, 这一节我们将通过实例进一步对统计图表的特点和选择加以讨论, 并在此基础上学习其他统计图表.
### 1 频率分布表和频率分布直方图
A 校高一年级共有学生 330 名, 为了解该校高一年级学生的身高和体重情况，学校决定做一次抽样调查. 按照性别分层随机抽样的方法抽取 66 名学生, 测量他们的身高 (单位: $\mathrm{{cm}}$ ) 及体重 (单位: $\mathrm{{kg}}$ ) 并记录在表 13-2 中.
表 13-2 A 校 66 名高一年级学生身高、体重数据
| 性别 | 身高/cm | 体重/kg | 性别 | 身高/cm | 体重/kg | 性别 | 身高/cm | 体重/kg |
| 女 | 152 | 46 | 女 | 164 | 52 | 男 | 172 | 92 |
| 女 | 153 | 47 | 男 | 165 | 54 | 男 | 172 | 64 |
| 女 | 154 | 63 | 男 | 165 | 60 | 女 | 172 | 69 |
| 女 | 155 | 50 | 男 | 165 | 48 | 男 | 173 | 75 |
| 女 | 156 | 48 | 女 | 165 | 51 | 男 | 173 | 72 |
| 女 | 156 | 50 | 女 | 165 | 55 | 男 | 174 | 55 |
| 女 | 156 | 51 | 女 | 165 | 58 | 男 | 174 | 56 |
| 女 | 157 | 51 | 女 | 166 | 63 | 男 | 174 | 63 |
| 女 | 157 | 50 | 男 | 166 | 64 | 男 | 174 | 74 |
| 女 | 159 | 49 | 男 | 167 | 54 | 男 | 175 | 53 |
| 女 | 159 | 51 | 男 | 167 | 52 | 男 | 176 | 64 |
| 女 | 160 | 47 | 男 | 167 | 53 | 男 | 176 | 60 |
| 女 | 160 | 62 | 女 | 167 | 69 | 男 | 177 | 63 |
| 女 | 160 | 50 | 女 | 167 | 61 | 男 | 177 | 75 |
| 女 | 160 | 63 | 男 | 168 | 97 | 男 | 178 | 62 |
| 女 | 161 | 53 | 女 | 168 | 60 | 男 | 178 | 60 |
| 女 | 162 | 84 | 女 | 168 | 44 | 男 | 178 | 73 |
| 女 | 163 | 66 | 男 | 170 | 53 | 男 | 178 | 68 |
| 女 | 163 | 53 | 男 | 170 | 54 | 男 | 179 | 78 |
| 女 | 164 | 63 | 男 | 170 | 57 | 男 | 181 | 80 |
| 女 | 164 | 68 | 男 | 170 | 47 | 男 | 182 | 92 |
| 女 | 164 | 52 | 男 | 170 | 69 | 男 | 184 | 78 |
该表虽给出了 66 名学生的身高和体重的数据, 但从中却很难看出学生的身高和体重的分布情况. 在初中我们初步了解了用频数分布表和频数分布直方图来展现数据分布在各组的个数, 而要想知道各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小, 则可采用下面将要学习的频率分布表和频率分布直方图. 它们清晰地呈现了样本数据的整体频率分布情况.
我们不妨以身高为例, 先绘制身高频率分布表. 其步骤如下:
(1)求极差
绘制频率分布表最重要的就是分组. 要对数据进行分组， 首先要找出这一组数据的最大值和最小值, 最大值与最小值的差称为极差 (range), 又称全距. 这组数据中最大值为 184 , 最小值为 152 , 极差为 184-152 =32 , 它表示这组数据的波动范围大小.
(2)确定组距与组数
组距是指每个小组的区间端点之间的距离, 组距的选取决定了组数的多少:
$$
\text{ 组数 } = \frac{\text{ 极差. }}{\text{ 组距. }}
$$
如果组数太少, 所有数据就会落在少数几个组里, 导致这几个组的柱形太高; 如果组数太多, 大部分的组中只有少数的数据或者没有数据, 均无法有效呈现数据的分布.
一般地, 第一组的下限应低于最小值, 最后一组的上限应高于最大值. 这里最大值为 184 , 最小值为 152 , 可取所有样本数据均在区间 $\left\lbrack {{151.5},{184.5}}\right\rbrack$ 内. 极差为 32,我们取组距为 3,将区间 $\left\lbrack {{151.5},{184.5}}\right\rbrack$ 分为 11 组. 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，于是将样本数据分为如下 11 组: [151.5,154.5)、[154.5,157.5)、...、[181.5,184.5].
(3)统计每组的频数及频率
将样本数据分好组以后, 每个小组内的数据个数称为频数, 频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率. 统计每个小组的频数, 再计算各组的频率.
(4)绘制频率分布表
将分组、频数及频率填入表 13-3. 如果想知道身高不高于 160 cm 的学生人数，那么需要将 [151.5, 154.5)、[154.5, 157.5) 及[157.5,160.5)的频数相加, 求其累积频数, 为 15 人.
---
当数据在 120 个以内时, 通常按数据的多少分为 5 ~ 12 组.
---
表 ${13} - 3\mathrm{\;A}$ 校 66 名高一年级学生身高的频率分布表
| 身高分组区间 | 频数 | 频率 | 累积频数 |
| [151.5,154.5) | 3 | 0.05 | 3 |
| [154.5,157.5) | 6 | 0.09 | 9 |
| [157.5,160.5) | 6 | 0.09 | 15 |
| [160.5,163.5) | 4 | 0.06 | 19 |
| [163.5,166.5) | 11 | 0.17 | 30 |
| [166.5,169.5) | 9 | 0.14 | 39 |
| [169.5,172.5) | 8 | 0.12 | 47 |
| [172.5,175.5) | 7 | 0.11 | 54 |
| [175.5,178.5) | 8 | 0.12 | 62 |
| [178.5,181.5) | 2 | 0.03 | 64 |
| [181.5,184.5] | 2 | 0.03 | 66 |
与先前看起来毫无规律的数据相比, 表 13-3 清晰地给出了每组数据是如何分布的. 我们可以一目了然地看出在每个身高范围内有多少名学生:身高在 ${163.5}\mathrm{\;{cm}}$ 到 ${166.5}\mathrm{\;{cm}}$ 之间的学生人数最多，在 166.5 cm 到 169.5 cm 之间的学生人数次之，而在 178.5 cm到 ${181.5}\mathrm{\;{cm}}$ 、 ${181.5}\mathrm{\;{cm}}$ 到 ${184.5}\mathrm{\;{cm}}$ 之间的学生人数最少.
依据上述频率分布表, 我们就可以来制作频率分布直方图 (frequency distribution histogram). 为此, 我们在直角坐标系中把横轴分成若干段, 每一段对应一个组距, 然后以组距形成的线段为底作一矩形, 矩形的高为小组的组距 , 就得到如图 13-4-1 所示的频率分布直方图.
图 13-4-1 A 校 66 名高一年级学生身高的频率分布直方图
---
表 13-3 中由样本值低的组向高的组逐组累计频数称为向上累积频数，而由样本值高的组向低的组逐组累计频数则称为向下累积频数.
---
统计频数时可以直接写数，也可以画 “正”字.
---
在绘制统计图时还应注意以下几点:
(1)标题:统计图一般要有标题，用以说明统计图的内容. 如果可能的话, 列出数据来源.
(2)坐标的刻度和名称:一般纵轴和横轴也需要有名称，纵轴应清楚地标明刻度, 横轴应标明类别或刻度.
(3)标注:如果要在一张图中呈现多元数据，应使用一些标注来识别单个数据.
容易看出,小矩形的面积 $=$ 组距 $\times$ 组距 $=$ 频率. 也就是说, 在频率分布直方图中, 数据落在各小组内的频率可以用小矩形的面积来表示，这些面积的总和为 1 .
频率分布直方图比频率分布表更能直观形象地反映样本数据的分布规律. 从图 13-4-1 中我们可以看出, 身高在 163.5 cm 到 166.5 cm 这个范围内的学生人数最多，特别高或特别矮的学生都很少.
通常, 在频率分布直方图中, 按照分组原则, 再在左边和右边各加一个区间 $\lbrack {148.5},{151.5})$ 和 $\left\lbrack {{184.5},{187.5}}\right\rbrack$ . 这两个组的频率取值为 0 , 然后从所加的左边的区间的中点 (称为组中值) 开始, 从左至右依次连接各矩形上底边的中点, 直至右边所加区间的中点, 再将矩形的边去除, 就可以得到一条折线, 称为频率分布折线图 (图13-4-2), 简称频率折线图. Q
---
在绘制频率分布折线图时, 虽然在两侧各加了一个虚设的附加组, 但由于这两个组的频率都是零, 不会对统计的结果造成影响.
---
图 13-4-2 A 校 66 名高一年级学生身高的频率分布折线图
如果样本容量足够大, 且分组的组距取得足够小, 那么频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线 (图 13-4-3).
图 13-4-3
### 练习 13.4(1)
1. 根据表 13-1 中所调查的 60 名学生的每周运动时间 (单位: $\mathrm{h}$ ),制作频率分布表, 并绘制频率分布直方图.
2. 根据表 13-2 中的数据, 制作 66 名学生的体重频率分布表, 并绘制频率分布直方图.
### 2 茎叶图
频率分布直方图并不是展示数据分布的唯一选择. 在数据不多的情况下, 我们可以绘制茎叶图 (stem-and-leaf plot), 展示所有样本数据的信息.
例如,某个品种的小麦麦穗长度 (单位: $\mathrm{{cm}}$ ) 的样本数据如下所示, 如何分析该品种小麦的麦穗长度的分布情况呢?
10.2 9.7 7.8 10.0 9.1 8.9 8.6
9.8 9.6 9.7 11.2 10.6 11.7
在上述问题中, 我们将样本数据分为茎和叶两个部分: 整数部分作为“茎”，小数作为“叶”. 对于第一个麦穗长度数据 10.2 来说, 10 是茎, 2 则是叶. 然后把 “茎”由小到大、从上往下写成一列, 并在其左边或右边画一条竖直的线 (不妨画在右边). 最后把 “叶”写在它所属的“茎”的右边，由小到大排成一行. 这样就得到该品种麦穗长度的茎叶图(图 13-4-4).
图 13-4-4
解读茎叶图和解读直方图一样, 要注意整体形态. 从这张图可以直观地看出该品种的麦穗的长度主要集中在 $9 \sim {10}\mathrm{\;{cm}}$ 之间, 并且分布比较对称.
茎叶图既可以用于呈现单组数据, 也可以用于对两组同类数据的比较分析.
例 1 根据表 13-2 中的数据, 分别绘制女生和男生的体重分布茎叶图, 并比较女生和男生的体重分布.
解 因为表 13-2 中的数据不是很多, 而且学生的体重都是两位数, 所以可以比较方便地绘制茎叶图. 我们把表示体重的两位数的十位数字作为“茎”，从小到大排列在中间，男女生体重的个位数字作为 “叶” 分列在两边，以便于比较，就得到下面的茎叶图(图 13-4-5): 9
图 13-4-5 A 校 66 名高一年级学生体重的茎叶图
在图 13-4-5 中,“茎”为 4 的男生有体重为 ${47}\mathrm{\;{kg}}$ 和 ${48}\mathrm{\;{kg}}$ 两位, “叶”中就有 7、8 两个数字, 其余类同.
从图中可以看出, 女生的体重整体上低于男生的体重. 此外，女生的体重分布集中程度较高，男生的体重分布相对分散一些.
用茎叶图展示数据的优点在于所有信息都可以从茎叶图中得到, 由茎叶图也很容易制作相应的频率分布表和频率分布直方图.
---
直方图如何分组没有绝对的标准, 但茎叶图的分组却要加以注意. “茎”视实际需要可以是任何位数, 而“叶”只能是一位数. 当数据的位数较多时, 选择“茎”以后，“叶” 也可以通过四舍五入取值.
---
### 3 散点图
仍以本节开始的 A 校 66 名高一年级学生为例, 表 13-2 中学生的每一个身高值都对应一个体重值. 经验认为, 人的体重和身高有一定的相关性, 身材较高的人往往体重也较重, 对于高一年级学生群体, 客观数据是否支持这种说法呢? 从表 13-2 中我们无法直观地看出. 为了清楚地看到这一点, 可以绘制散点图.
在考虑两组数据时, 为了对两组数据之间的关系形成大致的了解, 通常将这两组数据所对应的点描在平面直角坐标系内, 这些点组成的统计图称为散点图 (scatter diagram).
我们把表 13-2 中学生的身高作为横坐标, 体重作为纵坐标, 在直角坐标系中绘制出相应的点, 就得到了身高和体重的散点图 (图 13-4-6).
图 13-4-6 A 校 66 名高一年级学生身高、体重散点图
从图 13-4-6 中可以直观地看出, 图中的点从左至右大致是逐渐上升的, 也就是说, “身材较高的人, 体重往往也较重”这一说法在高一年级学生群体中就总体而言是对的.
例 2 某宝石店经理随机选取了 20 颗钻石, 将它们的价格 (单位:千元)、质量(单位:克拉)以及颜色记录在表 13-4 中. 试分别绘制质量与价格的散点图, 以及颜色与价格的散点图, 并观察随着钻石的质量和颜色数值的增加, 钻石的价格是如何变化的.
表 13-4 某宝石店的 20 颗钻石的价格、质量及颜色
| 序号 | 价格/千元 | 质量/克拉 | 颜色 |
| 1 | 11 | 0.9 | 3 |
| 2 | 11 | 1.21 | 5 |
|
| 3 | 12.9 | 1 | 5 |
| 4 | 13.2 | 1.14 | 4 |
| 5 | 15.5 | 1.3 | 6 |
| 6 | 15.9 | 1.17 | 4 |
| 7 | 16.6 | 1.33 | 7 |
| 8 | 17.6 | 1.1 | 5 |
| 9 | 18.9 | 1.11 | 4 |
| 10 | 20.6 | 1.45 | 5 |
| 11 | 20.8 | 1.3 | 2 |
| 12 | 21.6 | 1.5 | 9 |
| 13 | 22.5 | 1.6 | 2 |
| 14 | 22.8 | 1.5 | 6 |
| 15 | 28.8 | 1.12 | 2 |
| 16 | 29.5 | 1.7 | 8 |
| 17 | 29.8 | 1.9 | 5 |
| 18 | 33 | 2.13 | 8 |
| 19 | 36.6 | 1.77 | 3 |
| 20 | 40 | 1.82 | 4 |
注:颜色通过标准尺度来衡量，其中 1 为无色，随着数值的增加，颜色逐渐加深.
解 我们将价格作为纵坐标, 质量和颜色分别作为横坐标, 分别绘制散点图, 如图 13-4-7 所示.
图 13-4-7 某宝石店的 20 颗钻石的价格分别与质量、颜色散点图
从图 13-4-7 中我们可以看出, 随着钻石质量的增加, 钻石的价格呈现逐渐上升的趋势, 但价格的增减随着颜色的变化却看不出明显的规律, 这说明价格和颜色之间可能不存在明显的关系.
我们在这一节讨论了频率分布直方图、茎叶图以及散点图. 在初中阶段我们还学习了条形图、扇形图以及折线图等. 在对数据进行分析和整理时, 应根据需要选择恰当的统计图. 散点图一般用于刻画成对的数据, 并且可以从图中看出成对数据之间是否存在某种关系. 茎叶图呈现了数据的所有信息, 但不适合数据量较大的情形. 当数据量较大时一般选用条形图或频率分布直方图, 它们能直观地反映数据分布的大致情况. 而如果想呈现每部分所占的比例, 则需要用到扇形图. 折线图则主要用于呈现数据随着时间变化的趋势.
#### 操作:调查本校学生户外活动时间与视力
调查你校本年级学生的每天平均户外活动时间和视力情况， 并用合适的统计图表呈现出来. 你能发现这两者之间有什么关系吗?
#### 信息技术:绘制统计图表
运用计算机中的电子表格办公软件可以绘制多种统计图表. 尽管不同版本的处理细节略有不同，但基本过程类似. 严格来说, 它们并不是统计软件, 但作为办公软件, 具有一定的统计计算功能，并且可以实施简单的数据统计、图表绘制等操作. 要做更复杂、更专业的统计工作，软件市场上有比较成熟的统计分析软件, 可供选用.
下面以表 13-2 的数据为例, 绘制散点图.
(1)在工作簿中输入身高和对应体重的两列或两行数据.
(2)选中这两列或两行数据，在“插入”菜单中选择所需要的图像类型——散点图；根据需要选择其中一种散点图的类型并单击(图 13-4-8)，一幅散点图即出现在工作簿中.
图 13-4-8
(3)根据需要选择坐标轴的范围以及单位长度等，使得统计图具有较好的可视性. 例如, 横坐标身高的范围可以取 [150,185), 纵坐标体重的范围可以取 [40,100), 修改后就得到了图 13-4-6.
### 练习 13.4(2)
1. 下表是某沿海地区的气温和海水表层温度(单位:℃)的统计数据，根据下表绘制茎叶图, 并比较气温与海水表层温度的分布情况.
| 气温/℃ | 海水表层温度/℃ | 气温/℃ | 海水表层温度/℃ |
| 13.9 | 9.4 | 31.1 | 28.3 |
| 15.0 | 10.6 | 31.1 | 26.7 |
| 18.3 | 13.3 | 28.9 | 25.0 |
| 23.9 | 18.9 | 23.9 | 22.2 |
| 27.2 | 21.7 | 20.0 | 15.6 |
| 30.0 | 25.6 | 15.0 | 10.0 |
2. 下列关于散点图的说法中, 正确的是 ( )
A. 任意给定统计数据，都可以绘制散点图；
B. 从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系;
C. 从散点图中可以看出两个量的因果关系;
D. 从散点图中无法看出数据的分布情况.
3. 某研究人员随机抽取 15 棵某品种的栎树, 测得树高 (单位: $\mathrm{m}$ ) 和胸径 (指地面以上 ${1.3}\mathrm{\;m}$ 处树干的直径,单位: $\mathrm{{cm}}$ ) 的数据,如下表所示.
| 胸径/cm | 6 | 7.9 | 8.3 | 8.9 | 10.1 | 12.1 | 13.8 | 14.2 |
| 树高/m | 4.7 | 5.3 | 6.1 | 7 | 7.5 | 8.5 | 7.8 | 8.1 |
| 胸径/cm | 16.4 | 16.9 | 18.1 | 20.1 | 21.8 | 22.2 | 23.9 | / |
| 树高/m | 9.1 | 9.8 | 10 | 10.3 | 11.3 | 11.8 | 12.7 | / |
绘制散点图, 并观察随着高度的增加, 栎树胸径的变化趋势.
### 习题 13.4
#### A 组
1. 下列哪些统计图可用于表示数据随着时间变化的趋势? 请选择并说明理由.
(1)条形图； (2)散点图；
(3)折线图； (4)扇形图.
2. 某医学研究团队为了研究一种降血脂新药的有效性，给 50 名患者服用该药，一周后测得低密度脂蛋白的含量(单位: $\mathrm{{mmol}}/\mathrm{L}$ )如下:
$\begin{array}{llllllllll} {2.80} & {3.54} & {3.02} & {3.43} & {3.69} & {2.46} & {3.03} & {3.06} & {3.35} & {3.57} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {3.72} & {4.36} & {2.56} & {4.11} & {2.81} & {2.77} & {5.32} & {3.34} & {3.68} & {3.95} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {2.98} & {3.63} & {3.65} & {3.22} & {3.90} & {3.97} & {3.86} & {3.93} & {3.17} & {3.72} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {3.36} & {3.56} & {3.80} & {4.57} & {5.02} & {3.31} & {3.52} & {3.27} & {3.98} & {4.72} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {3.03} & {4.09} & {2.14} & {2.06} & {3.00} & {2.75} & {3.84} & {2.16} & {3.09} & {2.81} \end{array}$
(1)制作频率分布表;
(2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图.
3. 某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄(单位:岁)情况进行了统计，得到如下数据:
| 年龄分组区间 | 患者人数 |
| $\lbrack 0,{10})$ | 7 |
| $\lbrack {10},{20})$ | 35 |
| $\lbrack {20},{30})$ | 34 |
| $\lbrack {30},{40})$ | 46 |
| $\lbrack {40},{50})$ | 39 |
| [50,60) | 30 |
| [60,70) | 12 |
| [70,80] | 3 |
| 合计 | 206 |
绘制频率分布直方图, 并分析龋齿病患者的年龄构成.
4. 收集你班学生某次考试的数学成绩和物理成绩的数据, 绘制散点图, 并观察随着数学成绩的提高, 物理成绩的变化趋势.
B 组
1. 某外国电视台主播在介绍所在城市的犯罪率情况时, 展示了下面的统计图, 并说该城市近年来的犯罪率“急剧上升”. 你同意该主播的观点吗？请说明理由.
(第 1 题)
2. 在报纸、杂志或网络上找一幅统计图, 并复印下来.
(1)描述你从该图中得到的信息;
(2)根据统计图的绘制要求，说明该图是否需要改进以及如何改进.
3. 试调查 30 种饼干每 100g 所含的热量(单位:kJ)和脂肪(单位:g)，用合适的统计图表呈现出来, 并分析图表以获得结论.
## 13.5 统计估计
某医学期刊 2018 年刊出了关于我国成人高血压的调查结果: 我国成人中约 2.45 亿人可能患有高血压，还有约 4.35 亿人可能是高血压“后备军”(正常高值血压). 是谁统计了这几亿人的数据呢?
实际上并没有人一一统计这几亿人的数据，而是研究团队根据在全国范围内随机调查的约 45 万名成人的血压数据，推断出了我国成人患高血压情况. 为何该研究团队仅仅通过调查约 45 万名成人的血压数据，就可以推断出我国约 10 亿成人中患高血压的人数？这就是统计估计所起的强大作用:在实际问题中，当总体的信息难以或无法获得时，我们可以采取科学的抽样方法， 获取具有代表性的样本，利用样本信息来估计总体的分布规律.
### 1 估计总体的分布
我们知道, 总体是指考察对象的全体, 个体是总体中的每一个考察的对象, 总体的分布指的是总体中不同范围或类型的个体所占的比例. 如果我们研究的总体是某校高一年级学生的身高和体重, 那么总体的分布是指该校高一年级学生中的不同身高和体重范围的学生个体在总体中所占的比例. 如果我们研究的总体是某校高一年级学生偏好的运动方式, 那么总体的分布是指该校高一年级学生中偏好每种运动方式的学生个体在总体中所占的比例.
在 13.4 节中, 我们学习了如何通过频率分布表和频率分布直方图来分析样本数据的分布. 如果样本数据是随机抽取的, 那么依据大数定律, 当样本量不断增大时, 样本中每组数据的频率会越来越稳定于一个相应的概率, 我们就可以把这个概率作为总体中的个体在相应区间内取值的概率, 从而用样本的频率分布来估计总体的分布情况.
例 1 某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校 100 名女大学生平均每日摄取的热量(单位:千大卡，1 千大卡 = 1000 千卡), 其数据如下:
$\begin{array}{llllllllll} {1.42} & {1.44} & {1.45} & {1.46} & {1.48} & {1.50} & {1.51} & {1.51} & {1.53} & {1.54} \end{array}$
$\begin{array}{lllllllll} {1.56} & {1.56} & {1.57} & {1.59} & {1.60} & {1.60} & {1.61} & {1.62} & {1.63} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.63} & {1.64} & {1.66} & {1.67} & {1.67} & {1.68} & {1.69} & {1.70} & {1.71} & {1.71} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.71} & {1.71} & {1.72} & {1.73} & {1.73} & {1.74} & {1.74} & {1.75} & {1.75} & {1.75} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.76} & {1.76} & {1.79} & {1.79} & {1.80} & {1.80} & {1.82} & {1.82} & {1.83} & {1.83} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.83} & {1.84} & {1.84} & {1.84} & {1.85} & {1.85} & {1.86} & {1.86} & {1.87} & {1.87} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.87} & {1.88} & {1.88} & {1.88} & {1.89} & {1.90} & {1.90} & {1.91} & {1.91} & {1.92} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.93} & {1.94} & {1.94} & {1.95} & {1.95} & {1.96} & {1.96} & {1.97} & {1.97} & {1.97} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {1.99} & {2.00} & {2.01} & {2.03} & {2.04} & {2.07} & {2.07} & {2.09} & {2.09} & {2.10} \end{array}$
$\begin{array}{llllllllll} {2.13} & {2.14} & {2.14} & {2.15} & {2.17} & {2.19} & {2.23} & {2.25} & {2.28} & {2.29} \end{array}$
(1)试估计该校全体女大学生每日摄取热量的分布情况；
(2)健康的成年女性每天需要摄取 1.80 ~ 1.90 千大卡 (不含 1.90 千大卡)的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内.
解(1)这里的总体是该校女大学生的每日摄取热量，我们要利用通过抽样获得的 100 名女大学生的样本信息来估计总体的分布情况. 由于从上面的数据很难看出任何规律, 因此我们通过制作频率分布表来分析样本数据的频率分布.
这组数据的最小值为 1.42 ，最大值为 2.29 ，故全距为 0.87 ， 可选取组距为 0.1 ，将其分为 9 组. 其频率分布表如表 13-5 所示.
表 13-5 100 名女大学生每日摄取热量频率分布表
| 日摄取热量分组区间 | 频数 | 频率 | 频率组距 |
| $\lbrack {1.40},{1.50})$ | 6 | 0.06 | 0.6 |
| $\lbrack {1.50},{1.60})$ | 11 | 0.11 | 1.1 |
| $\lbrack {1.60},{1.70})$ | 11 | 0.11 | 1.1 |
| $\lbrack {1.70},{1.80})$ | 18 | 0.18 | 1.8 |
| $\lbrack {1.80},{1.90})$ | 21 | 0.21 | 2.1 |
| [1.90,2.00) | 15 | 0.15 | 1.5 |
| [2.00,2.10) | 8 | 0.08 | 0.8 |
| [2.10,2.20) | 6 | 0.06 | 0.6 |
| [2.20,2.30] | 4 | 0.04 | 0.4 |
从表 13-5 中可以估计总体的大致分布情况. 比如, 该校女大学生每日摄取热量在 [1.50, 2.00) 范围内的频率最大, 每日摄取热量不足 1.50 千大卡或超过 2.00 千大卡的频率相对较小.
(2)从表 13-5 中可以看出，样本中摄取热量范围在 [1.80,1.90)的女大学生的频率为 0.21 . 由于样本是随机抽取的, 因此可以估计该校女大学生每日摄取热量的范围在 [1.80,1.90)的概率是 0.21 , 或者说约有 21% 的该校女大学生每日摄取热量的范围在 $\lbrack {1.80},{1.90})$ .
在例 1 中, 如果想要使信息更为直观地呈现, 那么我们可以绘制频率分布直方图，用图中矩形的面积大小来反映分布情况.
这组数据的频率分布直方图如图 13-5-1 所示.
图 13-5-1 100 名女大学生每日摄取热量的频率分布直方图
从图 13-5-1 中可以看出, [1.80,1.90) 所对应的矩形面积最大, 并且整幅直方图具有一定的对称性. 由此可以推测该校女大学生每日摄取热量的范围集中在 [1.80,1.90) 附近, 摄取特别多的热量或特别少的热量的女大学生人数都较少.
在本例中, 如果将样本容量取得足够大, 且分组的组距取得足够小, 那么相应的频率分布折线图将趋于一条光滑的曲线, 称为总体分布密度曲线 (图 13-5-2). 事实上, 尽管总体分布密度曲线是客观存在的, 但由于在实际中往往无法获得总体的数据, 因此无法精确地得到它的密度曲线, 只能通过样本的频率分布折线图来对总体分布的密度曲线进行估计. 一般来说, 样本容量越接近总体容量, 样本的频率分布折线图与总体分布密度曲线的贴近程度越高.
图 13-5-2
注意，上面我们已通过抽取一定容量的样本来估计该校女大学生每日摄取热量的分布, 但如果重新抽取一个包含 100 名女大学生的样本, 由于这个样本极有可能会包含和上一个样本不同的学生, 因此每个区间内的样本数的频率会有所不同, 即样本具有变异性. 但当样本量较大时, 样本中每个区间内的样本数的频率会稳定于总体在相应区间内取值的概率, 不会有太大的变动. 当然, 样本容量越大, 采集这些样本所需要耗费的人力、物力和财力就会越多, 所以应根据实际情况选择适当容量的样本.
### 练习 13.5(1)
1. 某学生第二天要参加 100 m 短跑比赛,他记录了比赛前一日集训中 20 次 ${100}\mathrm{\;m}$ 短跑的成绩(单位:s):
13.4 13.6 14.3 15.3 12.8 13.1 14.5 13.8 14.2 15.0
13.4 13.7 13.5 12.5 12.9 14.9 12.9 14.6 14.3 15.5
(1)制作频率分布表;
(2)试估计该学生在 ${100}\mathrm{\;m}$ 短跑比赛中用时低于 ${14}\mathrm{\;s}$ 的可能性.
2. 某展览馆随机抽取了 2018 年中 5 周的客流量 (单位:人次), 如下表所示. 试估计该展览馆 2018 年有多少天的客流量超过了 200.
| 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 |
| 第 1 周 | 170 | 148 | 85 | 132 | 180 | 395 | 342 |
| 第 2 周 | 140 | 138 | 193 | 108 | 163 | 360 | 441 |
| 第 3 周 | 127 | 179 | 215 | 184 | 116 | 454 | 405 |
| 第 4 周 | 174 | 252 | 240 | 155 | 293 | 493 | 386 |
| 第 5 周 | 241 | 132 | 156 | 203 | 189 | 357 | 430 |
### 2 估计总体的数字特征
当我们获得一组样本数据时, 通常很难一眼看出其中的规律, 而用图表则可以使得数据变得更为直观. 此外, 我们还可以利用样本数据进行适当的计算来得到一些新的数量, 并用这些新的数量来代表整个样本数据的某些特征.
我们把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的数字特征. 我们在初中阶段学习过的平均数、中位数和众数等, 就是用来刻画一组数据集中趋势的数字特征, 而方差和标准差则是用来刻画一组数据离散程度的数字特征.
本节中我们讨论了用样本的频率分布来估计总体的分布. 同样地, 我们还可用样本的数字特征来估计总体的数字特征.
#### 2.1 通过样本估计总体的集中趋势
利用初中阶段学习过的平均数、中位数和众数, 我们可以描述有限样本的集中趋势. 例如,设样本数据为 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{x}_{n}$ , 由公式
$$
\bar{x} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}}{n}
$$
就得到样本平均数,它描述了样本数据的平均水平. 如果 $n$ 个数据中不同的数据 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{x}_{k}$ 的频数分别为 ${f}_{1}\text{ 、 }{f}_{2}\text{ 、 }\cdots$ 、 ${f}_{k}$ ,那么样本平均数为
$$
\bar{x} = \frac{{x}_{1}{f}_{1} + {x}_{2}{f}_{2} + \cdots + {x}_{k}{f}_{k}}{n}.
$$
当数据量大且重复率高时, 后一个公式可减少计算量.
我们引进一个记号 $\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}$ 表示多项连加的和 ${x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + \; {x}_{n}$ ,即
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i} = {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n},
$$
其中 $\sum$ (读作 Sigma)称为求和符号,其下方的 $i = 1$ 表示 $i$ 从 1 开始取连续的整数值,上方的 $n$ 表示 $i$ 的取值到 $n$ 结束,而 ${x}_{i}$ 是与整数 $i$ 相联系的一个表达式. 如果 $c$ 是一个常数,由乘法对加法的分配律立即得到
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}c{x}_{i} = c\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}
$$
用这个记号, 前面关于样本平均数的两个公式可以分别记为
$$
\bar{x} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}\text{ 与 }\bar{x} = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{x}_{i}{f}_{i}.
$$
某公司实行薪资保密制度，员工只知道自己的工作所得，而不知道其他员工的薪资. 现要了解该公司员工的平均年薪、中等年薪以及赚取人数最多的那种年薪. 在公司员工的花名册中随机抽取 15 名员工，调查得到这 15 名员工的年薪(单位:万元) 如下:
$$
\begin{array}{llllllll} {8.1} & {8.1} & {8.4} & {11.0} & {5.3} & {8.2} & {7.4} & {9.8} \end{array}
$$
$$
\begin{array}{lllllll} {7.6} & {13.8} & {8.1} & {6.5} & {10.5} & {9.5} & {8.2} \end{array}
$$
---
该公司的人事部门招聘员工时，最有可能用哪种年薪来回答有关待遇方面的问题?
---
公司全体员工的平均年薪可用样本的平均数来估计，员工的中等年薪可用样本的中位数来估计，而赚取人数最多的那种年薪可用样本的众数来估计.
样本的平均值 $\bar{x} = \frac{\left( {8.1} + {8.1} + \cdots + {8.2}\right) }{15} = {8.7}$ (万元). 把所有年薪从低到高排序, 中间第 8 个数 8.2 即是样本中位数. 8.1 出现了 3 次，次数最多，即样本的众数为 8.1 .
于是, 我们估计该公司员工的平均年薪可能为 8.7 万元, 中等年薪可能为 8.2 万元，赚取 8.1 万元年薪的可能性最大. 当然， 这样的估计是否合理, 还取决于样本的容量与代表性.
例 2 为了解某体校学生跑步的情况, 观察随机抽取的 20 名学生一周内跑步的累计数 (单位: $\mathrm{{km}}$ )，在各区间内的频数记录如表 13-6 所示.
表 13-6
| 周跑步累计数分组区间 | 频数 |
| [5.5,10.5) | 1 |
| [10.5,15.5) | 2 |
| [15.5,20.5) | 3 |
| [20.5,25.5) | 5 |
| [25.5,30.5) | 4 |
| [30.5,35.5) | 3 |
| [35.5,40.5) | 2 |
试估计一周内该校学生平均跑步累计数.
解 先求出各区间的中点值: $8\text{ 、 }{13}\text{ 、 }{18}\text{ 、 }{23}\text{ 、 }{28}\text{ 、 }{33}\text{ 、 }{38}$ . 则一周内这 20 名学生跑步累计的平均数为
$$
\frac{8 \times 1 + {13} \times 2 + \cdots + {38} \times 2}{20} = {24.5}\left( \mathrm{\;{km}}\right) .
$$
由于这 20 名学生是随机抽取的, 因此可以估计一周内该校学生平均跑步累计约 ${24.5}\mathrm{\;{km}}$ .
#### 2.2 通过样本估计总体的离散程度
现在我们介绍如何用数量来描述数据的另外一种统计特征一一样本数据的离散程度.
在一次男子10 米气手枪射击比赛中, 甲运动员的成绩(单位: 环)为7.5、7.8、...、10.9；乙运动员的成绩为 8.4、8.5、...、 10.7 , 如图 13-5-3 所示.
---
原始记录没有提供每个数据的准确值, 只提供了它们所在的区间. 这时, 为了计算均值, 可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.
---
图 13-5-3 甲、乙两位运动员 20 次气手枪比赛成绩的茎叶图
射击队想从两位选手中选取一名外出参加比赛，经过计算可知, 两位选手 20 次射击的平均环数都是 9.6 , 但从图 13-5-3 中看, 甲的成绩比较分散, 乙的成绩则相对稳定在高环数段. 但看上去“比较分散”和“相对稳定”只是一种直观的描述，我们需要用一些具有统计意义的数量来刻画数据的波动情况.
设样本数据为 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{x}_{n}$ ,我们知道 $\bar{x}$ 表示的是样本平均数. 在 13.4 节中我们已学习过极差, 它反映了样本数据变化的最大幅度, 是样本数据离散程度的一种刻画方式. 极差对极端数据很敏感, 也就是说它是不稳定的.
此外, 在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差
$$
{s}^{2} = \frac{{\left( {x}_{1} - \bar{x}\right) }^{2} + {\left( {x}_{2} - \bar{x}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}_{n} - \bar{x}\right) }^{2}}{n}
$$
$$
= \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}
$$
来衡量一组数据的波动大小. 一组数据的方差越大, 表明这组数据波动越大.
我们把方差的算术平方根
$$
s = \sqrt{\frac{{\left( {x}_{1} - \bar{x}\right) }^{2} + {\left( {x}_{2} - \bar{x}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}_{n} - \bar{x}\right) }^{2}}{n}}
$$
$$
= \sqrt{\frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {x}_{i} - \bar{x}\right) }^{2}}
$$
叫做样本数据的标准差 (standard deviation), 它同样是一个用来衡量样本数据波动大小的统计量.
方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小, 方差的单位是观测数据的单位的平方, 而标准差的单位与观测数据的单位一致, 因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度.
---
在实验中, 为了消除系统性偏差, 标准差公式中往往以 $n - 1$ 代替 $n$ ,用
$\int \underset{n}{\underbrace{{\left( {x}_{1} - \bar{x}\right) }^{2} + {\left( {x}_{2} - \bar{x}\right) }^{2} + \cdots + {\left( {x}_{n} - \bar{x}\right) }^{2}}}$
来作为总体标准差的估计值.
---
我们可以得出上述例子中甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差:
$$
{s}_{\text{ 甲 }} \approx {1.05},{s}_{\text{ 乙 }} \approx {0.71}\text{ . }
$$
由于 ${s}_{11} > {s}_{Z}$ ,说明甲的成绩确实较乙的成绩更为离散,即乙的成绩较为稳定, 与从茎叶图上观察到的结论一致, 射击队应选拔乙参加比赛.
例 3 在 13.4 节中, A 校抽取了 66 名高一年级学生, 测量他们的身高数据, 如表 13-2 所示. 现在假设由于某种原因这些原始样本数据不可查得, 但已知按照分层随机抽样原则抽取了样本，其中男生 34 名，身高样本平均数为 173.1 cm，方差为25.9 ; 女生 32 名，身高样本平均数为161.3 cm，方差为23.3. 试用这些已知的数据求该 66 名高一年级学生身高的样本平均数和方差, 并估计高一年级学生身高的总体方差. (结果精确到 0.01)
解 记男生样本为 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{x}_{34}$ ,平均数为 ${\bar{x}}_{\text{ 男 }}$ ,方差为 ${s}_{\text{ 勇 ; }}$ 女生样本为 ${y}_{1}\text{ 、 }{y}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{y}_{32}$ ,平均数为 ${\bar{y}}_{\text{ 女 }}$ ,方差为 ${s}_{\text{ 女 }}^{2}$ ; 所有数据的平均数为 ${\bar{z}}_{\text{ 总 }}$ ,方差为 ${s}_{\text{ 总 }}^{2}$ .
我们很容易从给出的男生和女生各自身高的样本平均数求出所有学生样本的身高平均数:
$$
{\bar{z}}_{\text{ 总 }} = \frac{{x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{34} + {y}_{1} + {y}_{2} + \cdots + {y}_{32}}{{34} + {32}}
$$
$$
= \frac{{34}{\bar{x}}_{\text{ 男 }} + {32}{\bar{y}}_{\text{ 女 }}}{66} \approx {167.38}\left( \mathrm{\;{cm}}\right) .
$$
对于方差, 我们也要推导出不依赖于原始数据的计算公式. 据方差的定义,
$$
{s}_{\text{ 总 }}^{2} = \frac{1}{66}\left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{34}}{\left( {x}_{i} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{32}}{\left( {y}_{j} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2}}\right\rbrack
$$
$$
= \frac{1}{66}\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{34}}{\left\lbrack \left( {x}_{i} - {\bar{x}}_{\text{ 男 }}\right) + \left( {\bar{x}}_{\text{ 男 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) \right\rbrack }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{32}}\left\lbrack {\left( {{y}_{j} - {\bar{y}}_{\text{ 女 }}}\right) + }\right. }\right.
$$
$$
\left. {\left. {\left( {\bar{y}}_{\text{ 女 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2}\right\rbrack }^{2}\right\} \text{ . }
$$
把上述和式中每个方括号用平和方公式展开, 并注意到
$$
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{34}}\left( {{x}_{i} - {\bar{x}}_{\text{ 男 }}}\right) \left( {{\bar{x}}_{\text{ 男 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}}\right) = \left( {{\bar{x}}_{\text{ 男 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}}\right) \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{34}}\left( {{x}_{i} - {\bar{x}}_{\text{ 男 }}}\right) = 0,
$$
$$
\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{32}}\left( {{y}_{j} - {\bar{y}}_{\text{ 女 }}}\right) \left( {{\bar{y}}_{\text{ 女 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}}\right) = \left( {{\bar{y}}_{\text{ 女 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}}\right) \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{32}}\left( {{y}_{j} - {\bar{y}}_{\text{ 女 }}}\right) = 0,
$$
我们得到只含所有平方项的等式
$$
{s}_{\text{ 总 }}^{2} = \frac{1}{66}\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{34}}{\left( {x}_{i} - {\bar{x}}_{\text{ 男 }}\right) }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{34}}{\left( {\bar{x}}_{\text{ 男 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2} + }\right.
$$
$$
\left. {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{32}}{\left( {y}_{j} - {\bar{y}}_{\text{ 女 }}\right) }^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{32}}{\left( {\bar{y}}_{\text{ 女 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2}}\right\} ,
$$
---
${z}_{2k}$ 与 ${s}_{2k}^{2}$ 的计算其实都不依赖于男、 女生的样本量, 而只依赖于两个样本量之比. 如果在本例中把精确的男、女生样本量改为知道男、女生样本量之比为 17 : 16，同学们不妨试求 ${\Xi }_{cc}$ 与 ${s}_{cc}^{2}$ .
---
即
$$
{s}_{\text{ 总 }}^{2} = \frac{1}{66}\left\{ {{34}{s}_{\text{ 男 }}^{2} + {34}{\left( {\bar{x}}_{\text{ 男 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2} + {32}{s}_{\text{ 女 }}^{2} + {32}{\left( {\bar{y}}_{\text{ 女 }} - {\bar{z}}_{\text{ 总 }}\right) }^{2}}\right\} .
$$
把数据代入，计算得到 66 名学生样本数据总的方差 ${s}_{\text{ 总 }}^{2} \approx$ 59.42. 据此可以估计高一年级学生身高的总体方差为 59.42.
我们还可以算出标准差 $s \approx {7.71}$ ,并且样本数据在 $\left\lbrack {{167.4} - {7.71}}\right.$ , 167.4+7.71]中的有 43 个, 样本数据在 $\lbrack {167.4} - 2 \times {7.71},{167.4} +$ 2×7.71]中的有 65 个, 在此区间外的只有 1 个. 也就是说, 区间 $\left\lbrack {\bar{x} - {2s},\bar{x} + {2s}}\right\rbrack$ 包含了大部分的数据.
在现实生活中, 我们也常常会遇到类似的问题. 例如, 针对某个问题, 不同网站提供了各自调查的样本均值和方差, 如何得到所有数据的样本平均数和方差? 再如, 针对某个问题, 连续几天收集数据, 得到了每天数据的样本平均数和方差, 如何得到这几天所有数据的样本平均数和方差?
例 4 某果园种植了 120 棵苹果树, 为调查苹果产量, 从中随机抽取了 10 棵苹果树, 测得其产量 (单位:kg) 分别为 24 、 25、28、32、20、26、33、26、27、30. 试预估该果园的苹果产量.
解 容易算得这 10 棵苹果树的平均产量为 ${27.1}\mathrm{\;{kg}}$ ,由于这 10 棵苹果树是随机抽取的, 我们可以预估该果园的苹果产量约为
$$
{120} \times {27.1} = {3252}\left( \mathrm{\;{kg}}\right) .
$$
#### 信息技术:计算样本数据的数字特征
当样本量很大时, 纸笔计算样本的数字特征非常麻烦, 而计算机或计算器可以帮助我们方便地得到数据的数字特征. 下面, 作为一个示例, 我们介绍利用电子表格办公软件计算平均数的操作步骤:
(1)在空白表格中输入要处理的数据，单击某空白单元格.
(2)单击公式菜单中的“插入函数”，选择统计类别中的 "AVERAGE"; 单元格中则会出现“=AVERAGE( )”; 也可以直接在单元格中输入 “=AVERAGE( )”.
---
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离. 由统计理论可知, $\left\lbrack {\bar{x} - {2s},\bar{x} + {2s}}\right\rbrack$ 包含大多数样本数据.
---
(3)将光标放在括号内，然后选择这组数据，点击回车，平均数就计算出来了, 如图 13-5-4 所示.
图 13-5-4
类似地, 我们可以用电子表格办公软件或计算器计算一组数据的方差、标准差等其他数字特征.
### 练习 13.5(2)
1. 下列说法中有哪些是错误的?
A. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多;
B. 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量;
C. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量;
D. 总体的数据都分布在样本的极差范围内.
2. 掷一颗骰子 10 次，记录出现偶数点的比例. 这样的试验共做了 100 次，所得数据如下表所示.
| 比例 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.0 |
| 频数 | 1 | 3 | 8 | 21 | 28 | 23 | 10 | 5 | 1 | 0 |
(1)绘制频率分布条形图；
(2)求偶数出现比例的平均值和标准差.
3. 某果园种植了两个品种的苹果, 现从两个品种中各随机抽取 10 个, 测得它们的质量(单位: $\mathrm{g}$ ) 分别为:
| 甲品种/g | 203 | 185 | 190 | 192 | 185 | 192 | 179 | 193 | 195 | 186 |
| 乙品种/g | 192 | 184 | 195 | 187 | 196 | 196 | 183 | 186 | 192 | 189 |
问:哪个品种的苹果质量更均匀？
### 3 估计百分位数
我们知道, 将一组数据从小到大排列后, 中位数将一组数据分成了两部分, 一半的数据小于等于它, 一半的数据大于等于它. 当样本容量很大时, 还可以将数据分为 100 个部分, 每一部分包含 1% 的数据. 第 $k$ 百分位数 (the $k$ th percentile, $k$ 为 1 到 100 之间的整数,记作 $\mathrm{P}k$ ) 即是将一组数据从小到大排列后,将数据分成两部分:小于或等于第 $k$ 百分位数的数据占 $k\%$ ，大于或等于第 $k$ 百分位数的数据占 $\left( {{100} - k}\right) \%$ .
例如，体重 ${46.6}\mathrm{\;{kg}}$ 是我国 13-15 岁女生体重的第 50 百分位数, 表示我国 13-15 岁女生中至少有一半体重小于或等于 46.6 kg. 计算第 $k$ 百分位数时,首先将数据从小到大排列,然后计算指数 $i = n \cdot k\%$ .
(1)若 $i$ 是整数，则第 $k$ 百分位数是第 $i$ 项与第 $i + 1$ 项的数据的平均值;
(2)若 $i$ 不是整数，则将 $i$ 向上取整，得到的数即为第 $k$ 百分位数的位置.
例 5 表 13-7 是 13-17 岁未成年人的身高的主要百分位数(单位:cm). 小明今年 16 岁，他的身高为 176 cm，他所在城市男性同龄人约有 6.4 万人. 试估计小明的身高至少高于他所在城市多少男性同龄人.
表 13-7 13-17 岁未成年人的身高的主要百分位数
| P1 | P5 | P10 | P25 | P50 | P75 | P90 | P95 | P99 |
| 13-15 岁 | 男 | 141 | 147 | 151 | 157 | 164 | 169 | 174 | 177 | 182 |
| 女 | 143 | 147 | 150 | 153 | 157 | 161 | 165 | 167 | 171 |
| 16—17 岁 | 男 | 155 | 160 | 163 | 167 | 171 | 175 | 179 | 181 | 186 |
| 女 | 147 | 150 | 152 | 155 | 159 | 163 | 166 | 169 | 172 |
数据来源:《中国未成年人人体尺寸》(标准号:GB/T 26158-2010).
解 从表 13-7 可以得出, 小明的身高介于 P75 和 P90 之间, 说明至少有 75%的男性同龄人身高低于他，而他所在城市男性同龄人约有 6.4 万人，
$$
{6.4} \times {75}\% = {4.8}\text{ (万人). }
$$
所以可以估计小明的身高至少高于他所在城市约 4.8 万男性同龄人.
---
显然, 中位数是第 50 百分位数, 而中位数和第 25 百分位数、第 75 百分位数将一组数据分成了四个部分，故又均称为四分位数.
---
例 6 为了实现绿色发展, 避免能源浪费, 某市政府计划对居民用电采取阶梯式收费的方法. 为此, 相关部门在该市随机调查了六月份 200 户居民的用电量(单位: $\mathrm{{kW}} \cdot \mathrm{h}$ ). 数据如下:
| 107 | 101 | 78 | 99 | 208 | 127 | 74 | 223 | 31 | 131 |
| 214 | 135 | 89 | 66 | 60 | 115 | 189 | 135 | 146 | 127 |
| 203 | 97 | 96 | 62 | 65 | 111 | 56 | 151 | 106 | 8 |
| 162 | 91 | 67 | 93 | 212 | 159 | 61 | 63 | 178 | 194 |
| 194 | 216 | 101 | 98 | 139 | 78 | 110 | 192 | 105 | 96 |
| 22 | 50 | 138 | 251 | 120 | 112 | 100 | 201 | 98 | 84 |
| 137 | 203 | 260 | 134 | 156 | 61 | 70 | 100 | 72 | 164 |
| 174 | 131 | 93 | 100 | 163 | 80 | 76 | 95 | 152 | 182 |
| 88 | 247 | 191 | 70 | 130 | 49 | 114 | 110 | 163 | 202 |
| 265 | 18 | 94 | 146 | 149 | 147 | 177 | 339 | 57 | 109 |
| 107 | 182 | 101 | 148 | 274 | 289 | 82 | 213 | 165 | 224 |
| 142 | 61 | 108 | 137 | 90 | 254 | 201 | 83 | 253 | 113 |
| 130 | 82 | 170 | 110 | 108 | 63 | 250 | 237 | 120 | 84 |
| 154 | 288 | 170 | 123 | 172 | 319 | 62 | 133 | 130 | 127 |
| 107 | 71 | 96 | 140 | 77 | 106 | 132 | 106 | 135 | 132 |
| 167 | 82 | 258 | 542 | 51 | 107 | 69 | 98 | 72 | 48 |
| 109 | 134 | 250 | 42 | 320 | 113 | 180 | 144 | 116 | 530 |
| 200 | 174 | 135 | 160 | 462 | 139 | 133 | 304 | 191 | 283 |
| 121 | 132 | 118 | 134 | 124 | 178 | 206 | 626 | 120 | 274 |
| 141 | 80 | 187 | 88 | 324 | 136 | 498 | 169 | 77 | 57 |
根据以上数据, 应当如何确定阶梯电价的电量临界值?
解 由于居民用电情况是一个随机现象, 因此我们可以用居民用电量的分布来确定阶梯电价的临界值. 如考虑实施如下的三档阶梯电价:75%的用户在第一档(最低一档)，20%的用户在第二档, 5%的用户在第三档(最高一档). 这样, 通过样本数据估计第一档与第二档、第二档与第三档的两个电量临界值, 即第 75 和第 95 百分位数.
首先, 我们需要求出样本数据中第 75 和第 95 百分位数的电量值. 对上面的 200 个样本数据从小到大进行排序 (可用计算机软件完成), 所得结果是:
| 8 | 18 | 22 | 31 | 42 | 48 | 49 | 50 | 51 | 56 |
| 57 | 57 | 60 | 61 | 61 | 61 | 62 | 62 | 63 | 63 |
| 65 | 66 | 67 | 69 | 70 | 70 | 71 | 72 | 72 | 74 |
---
选取六月份调查, 是因为该城市六月份的天气较热, 其用电量在一年 12 个月中处于中等偏上水平.
---
| 76 | 77 | 77 | 78 | 78 | 80 | 80 | 82 | 82 | 82 |
| 83 | 84 | 84 | 88 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 93 |
| 94 | 95 | 96 | 96 | 96 | 97 | 98 | 98 | 98 | 99 |
| 100 | 100 | 100 | 101 | 101 | 101 | 105 | 106 | 106 | 106 |
| 107 | 107 | 107 | 107 | 108 | 108 | 109 | 109 | 110 | 110 |
| 110 | 111 | 112 | 113 | 113 | 114 | 115 | 116 | 118 | 120 |
| 120 | 120 | 121 | 123 | 124 | 127 | 127 | 127 | 130 | 130 |
| 130 | 131 | 131 | 132 | 132 | 132 | 133 | 133 | 134 | 134 |
| 134 | 135 | 135 | 135 | 135 | 136 | 137 | 137 | 138 | 139 |
| 139 | 140 | 141 | 142 | 144 | 146 | 146 | 147 | 148 | 149 |
| 151 | 152 | 154 | 156 | 159 | 160 | 162 | 163 | 163 | 164 |
| 165 | 167 | 169 | 170 | 170 | 172 | 174 | 174 | 177 | 178 |
| 178 | 180 | 182 | 182 | 187 | 189 | 191 | 191 | 192 | 194 |
| 194 | 200 | 201 | 201 | 202 | 203 | 203 | 206 | 208 | 212 |
| 213 | 214 | 216 | 223 | 224 | 237 | 247 | 250 | 250 | 251 |
| 253 | 254 | 258 | 260 | 265 | 274 | 274 | 283 | 288 | 289 |
| 304 | 319 | 320 | 324 | 339 | 462 | 498 | 530 | 542 | 626 |
然后，依据上面的排序计算 75% 和 95% 这两个电量临界值. 因为 ${200} \times {75}\% = {150}$ ,所以第一个临界值为有序样本中第 150 个数 178 和第 151 个数 178 的平均数, 它仍然是 178 . 因为 ${200} \times {95}\% = {190}$ ,所以第二个临界值为有序样本中第 190 个数 289 和第 191 个数 304 的平均数，其值为 296.5，为了便于操作， 可以取值为 297 .
由于样本是随机选取的, 可以估计该城市的月用电量相应于第 75 和第 95 百分位数的电量值分别为 ${178}\mathrm{\;{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 和 ${297}\mathrm{\;{kW}} \cdot \mathrm{h}$ . 于是, 阶梯式电价可以规定如下:
(1)用户每月用电量不超过 ${178}\mathrm{\;{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 时,按第一档电价标准缴费;
(2)用户每月用电量在区间 $\left( {{178},{297}}\right)$ 内时,其中的 ${178}\mathrm{{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 按第一档电价标准缴费,超过 ${178}\mathrm{\;{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 的部分按照第二档电价标准缴费;
---
是否还有其他制定阶梯电价的合理方案?
---
(3)用户每月用电量超过 ${297}\mathrm{\;{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 时，其中的 ${178}\mathrm{\;{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 按第一档电价标准缴费， $\left( {{297} - {178} = }\right) {119}\mathrm{{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 按第二档电价标准缴费,而超过 ${297}\mathrm{{kW}} \cdot \mathrm{h}$ 的部分则按第三档电价标准缴费.
### 练习 13.5(3)
某高校为了解新生的英语基础，在 3250 名大学一年级学生中进行英语水平测试. 下面是随机抽取的 46 名参加测试学生的成绩 (单位:分).
| 40 | 74 | 89 | 72 | 96 | 88 | 78 | 48 | 69 | 87 |
| 90 | 89 | 95 | 82 | 66 | 77 | 65 | 46 | 70 | 79 |
| 85 | 77 | 84 | 83 | 97 | 82 | 40 | 60 | 68 | 76 |
| 89 | 71 | 88 | 86 | 88 | 86 | 60 | 53 | 74 | 93 |
| 91 | 60 | 60 | 83 | 82 | 56 | | | | |
某学生在此次测试中的成绩为 85 分, 试估计该学生的成绩在该校大学一年级学生中处于第几百分位数.
### 习题 13.5
#### A 组
1. 下面是甲、乙两名运动员在某次男子 10 米气手枪射击比赛中的得分数据(单位: 环), 试比较两名运动员的射击水平.
| 甲 | 9.6 | 9.9 | 9.2 | 9.4 | 9.9 | 10.1 | 10.2 | 9.7 | 9.6 | 9.3 | 10.0 | 10.4 | 10.1 | 9.9 |
| 乙 | 10.2 | 10.7 | 9.7 | 10.0 | 9.1 | 10.0 | 8.6 | 9.8 | 9.6 | 9.7 | 10.9 | 9.5 | 10.3 | 9.2 |
2. 某公司随机调查了 20 名员工上班单程花费的时间 (单位:min)，所得数据如下表所示.
| 员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 时长/min | 10 | 12 | 15 | 18 | 20 | 21 | 25 | 25 | 25 | 25 |
| 员工编号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 时长/min | 26 | 28 | 30 | 35 | 36 | 36 | 40 | 43 | 48 | 52 |
分别计算该公司这 20 名员工花费的上班单程时间的平均数、众数和中位数, 并据此估计该公司全体员工上班花费的时间情况.
3. 某研究机构随机抽取了某市 40 个小区,得到每个小区居民平均每天运动 $1\mathrm{\;h}$ 以上的比例 (%) 如下:
| 18.7 | 16.2 | 24.9 | 24.2 | 22.8 | 18.5 | 23.0 | 26.1 | 18.1 | 23.2 |
| 21.7 | 23.5 | 26.3 | 17.8 | 22.1 | 16.3 | 21.5 | 21.9 | 21.5 | 26.8 |
| 21.2 | 22.6 | 24.0 | 22.1 | 20.6 | 24.5 | 21.8 | 26.8 | 29.4 | 24.1 |
| 20.1 | 22.8 | 24.3 | 25.7 | 19.9 | 25.8 | 26.3 | 18.8 | 26.4 | 21.5 |
(1)适当地分组，制作频率分布表;
(2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图，并估计该市有多少比例的小区其居民每天运动 $1\mathrm{\;h}$ 的比例超过 ${25}\%$ .
4. 某餐厅为准确了解就餐用户的特点, 随机抽查了 30 名就餐用户, 调查他们的居住地到餐厅的距离 (单位: $\mathrm{{km}}$ )，结果如下表所示. 试求这些就餐用户的居住地到餐厅距离的样本平均数与标准差, 并估计该餐厅有多少比例的就餐用户的居住地与该餐厅之间的距离小于 ${15}\mathrm{\;{km}}$ .
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 4 | 4 | 6 | 6 |
| 7 | 8 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 11 | 11 | 12 |
| 12 | 12 | 15 | 15 | 18 | 18 | 19 | 21 | 25 | 25 |
5. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况, 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时, 方差为 7.3; 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时, 方差为 8 . 求所有样本数据的平均数和方差, 并据此估计该校学生每周锻炼时间的平均数和方差.
#### B 组
1. 某学生每天坚持阅读课外书籍，他连续记录了两周中每天阅读的页数，如下表所示.
| 第 $n$ 天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 页数 | 5 | 4.5 | 6 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 第 $n$ 天 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 页数 | 4.5 | 6.5 | 5 | 5.5 | 7 | 9 | 9.5 |
假设平均一本书有 200 页, 该学生一年可以看完多少本书?
2. 测得某地区近 20 年来年降水量(单位:mm)情况如下表所示.
| 年降水量分组区间 | 频数 | 组中值 ${x}_{m}$ | $f \cdot {x}_{m}$ |
| [50.5,100.5) | 1 | | |
| [100.5,150.5) | 2 | | |
| [150.5,200.5) | 3 | | |
| [200.5,250.5) | 5 | | |
| [250.5,300.5) | 4 | | |
| [300.5,350.5) | 3 | | |
| [350.5,400.5] | 2 | | |
(1)补全表格中的数据；
(2)估计该地区的年平均降水量.
3. 某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩(总分:100 分)如下:
甲班
| 84 | 75 | 78 | 95 | 67 | 49 | 86 | 77 | 66 | 88 |
| 73 | 78 | 53 | 45 | 74 | 91 | 84 | 99 | 53 | 84 |
| 67 | 57 | 68 | 55 | 90 | 73 | 72 | 67 | 57 | |
乙班
| 74 | 58 | 92 | 100 | 74 | 37 | 83 | 97 | 66 | 84 |
| 61 | 75 | 94 | 70 | 73 | 84 | 81 | 48 | 82 | 66 |
| 83 | 100 | 90 | 66 | 93 | 44 | | | | |
分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数, 并说明在这次考试中哪个班的成绩更好.
4. 工作椅的座高是影响坐姿舒适程度的主要因素之一, 符合人体工程学的合理座高应约等于坐姿人体的“小腿加足高”. 此外, 按照国家标准, 工作椅的座高应选取人体尺寸的第 5 百分位数和第 95 百分位数作为尺寸上、下限值的依据.
下面是通过抽样调查 200 位女性(18 〜55 岁)和 200 位男性(18~60 岁)所得到坐姿的小腿加足高的数据(单位:mm).
女性:
| 393 | 396 | 345 | 380 | 404 | 402 | 389 | 382 | 376 | 381 |
| 393 | 392 | 346 | 420 | 354 | 374 | 385 | 340 | 389 | 387 |
| 374 | 347 | 331 | 401 | 382 | 377 | 372 | 362 | 403 | 403 |
| 400 | 363 | 387 | 390 | 383 | 404 | 378 | 386 | 417 | 379 |
| 404 | 399 | 388 | 413 | 408 | 390 | 383 | 387 | 365 | 381 |
| 351 | 396 | 384 | 400 | 391 | 364 | 355 | 395 | 385 | 376 |
| 387 | 392 | 382 | 390 | 391 | 386 | 397 | 358 | 395 | 392 |
| 384 | 409 | 360 | 353 | 335 | 386 | 392 | 390 | 379 | 398 |
| 384 | 382 | 392 | 397 | 417 | 391 | 418 | 356 | 409 | 380 |
| 381 | 405 | 388 | 376 | 398 | 334 | 377 | 383 | 372 | 401 |
| 347 | 372 | 380 | 411 | 369 | 362 | 377 | 374 | 373 | 383 |
| 382 | 383 | 384 | 370 | 377 | 367 | 372 | 389 | 396 | 373 |
| 359 | 382 | 375 | 350 | 381 | 394 | 332 | 396 | 368 | 382 |
| 375 | 399 | 367 | 340 | 382 | 381 | 342 | 383 | 361 | 391 |
| 385 | 400 | 343 | 378 | 388 | 359 | 364 | 386 | 391 | 394 |
| 391 | 354 | 406 | 385 | 394 | 357 | 332 | 348 | 353 | 381 |
| 356 | 381 | 330 | 379 | 368 | 376 | 375 | 372 | 368 | 371 |
| 383 | 390 | 394 | 405 | 380 | 376 | 343 | 365 | 384 | 386 |
| 381 | 379 | 356 | 379 | 369 | 383 | 391 | 382 | 378 | 385 |
| 385 | 350 | 349 | 364 | 382 | 380 | 352 | 393 | 341 | 397 |
| 男性: |
| 428 | 410 | 413 | 399 | 421 | 427 | 431 | 411 | 432 | 412 |
| 407 | 443 | 435 | 390 | 423 | 420 | 425 | 395 | 410 | 418 |
| 387 | 383 | 432 | 437 | 402 | 418 | 449 | 415 | 383 | 457 |
|
| 413 | 409 | 407 | 394 | 374 | 392 | 421 | 409 | 397 | 429 |
| 405 | 388 | 437 | 463 | 391 | 447 | 415 | 393 | 427 | 421 |
| 398 | 417 | 429 | 430 | 389 | 408 | 441 | 394 | 391 | 429 |
| 411 | 415 | 452 | 411 | 416 | 416 | 406 | 405 | 450 | 384 |
| 419 | 399 | 432 | 392 | 377 | 438 | 412 | 427 | 415 | 400 |
| 420 | 395 | 431 | 424 | 459 | 405 | 443 | 409 | 403 | 404 |
| 416 | 425 | 415 | 417 | 417 | 430 | 396 | 414 | 447 | 373 |
| 416 | 413 | 411 | 414 | 389 | 463 | 466 | 413 | 410 | 454 |
| 432 | 406 | 385 | 429 | 411 | 408 | 422 | 414 | 406 | 387 |
| 380 | 414 | 385 | 433 | 378 | 415 | 415 | 414 | 426 | 404 |
| 400 | 413 | 388 | 396 | 435 | 435 | 419 | 440 | 416 | 405 |
| 396 | 415 | 429 | 449 | 396 | 372 | 403 | 439 | 423 | 398 |
| 434 | 407 | 444 | 447 | 412 | 400 | 396 | 406 | 439 | 405 |
| 397 | 381 | 395 | 420 | 412 | 395 | 401 | 398 | 426 | 390 |
| 424 | 407 | 383 | 407 | 438 | 416 | 412 | 386 | 422 | 468 |
| 371 | 434 | 410 | 413 | 424 | 454 | 411 | 408 | 414 | 389 |
| 432 | 404 | 414 | 425 | 411 | 435 | 413 | 429 | 409 | 413 |
请根据以上数据, 给出工作椅座高的合理范围.
## 13.6 统计活动
为了使同学们能在实践中更好地运用统计方法, 下面将通过一个具体案例, 介绍统计活动的主要过程.
《国家学生体质健康标准》是评价学生综合素质的重要依据. 请查找这一标准的最新版本，并据以完成一份本校高一年级学生的体质健康报告. 具体工作和要求如下.
### 1 确定调查方案
首先我们要找到最新版的《国家学生体质健康标准》，并从中获得“体质健康”的指标. 访问互联网，找到了最新版的《国家学生体质健康标准(2014 年修订)》，从中查出高中生体质标准包括身高、体重、肺活量、 50 米跑、坐位体前屈、引体向上 (女:仰卧起坐)、立定跳远和耐力跑 1000 米跑(女:800 米跑)等指标, 并得到每项指标的评分标准、每项指标所占的权重和等级划分标准等信息. 不妨将班级的学生分成 8 个小组, 分别调查所在学校高一年级学生的相关数据.
### 2 确定调查对象
考虑采取全年级调查还是抽样调查, 简单随机抽样还是分层随机抽样来抽取调查对象. 将所抽取的调查对象进行编号, 注意不管采取哪种取样方法, 各小组的调查对象应该一致.
### 3 收集数据
仿照表 13-8 进行数据收集.
表 13-8 学生体质健康数据收集表
| 编号 | 性别 | 身高 | 体重 | 肺活量 | 50 米跑 | 坐位体前屈 | 引体/ 仰卧 | 立定跳远 | 1000 米/ 800 米 |
| 1 | | | | | | | | | |
| 2 | | | | | | | | | |
| ... | | | | | | | | | |
| $N$ | | | | | | | | | |
### 4 数据整理与分析
《国家学生体质健康标准(2014 年修订)》单项指标评分表包含了小学一年级到大学的评分规则. 因为我们的研究对象是高一年级学生, 所以首先需要整理出一份关于高一年级学生的单项指标评分表 (表 13-9、表 13-10). 表 13-11 是各项指标所占权重.
表 13-9 高一年级男生/女生体重指数(BMI)单项评分表(单位:kg/m²)
| 等级 | 单项得分 | 男生 | 女生 |
| 正常 | 100 | | |
| 低体重 | 80 | | |
| 超重 | | |
| 肥胖 | 60 | | |
注:BMI = 身高 ${}^{2}$ (体重单位:kg，身高单位:m).
表 13-10 高一年级男女学生体质健康单项评分细则
| 等级 | 单项得分 | 男生肺 | 女生肺 | 男 50 | 女 50 | 男坐 | 女坐 | 男立定 | 女立定 | 男引体 | 女仰卧 | 男 1 000 米 | 女 800 米 |
| 优秀 | 100 | | | | | | | | | | | | |
| 95 | | | | | | | | | | | | |
| 90 | | | | | | | | | | | | |
| 良好 | 85 | | | | | | | | | | | | |
| 80 | | | | | | | | | | | | |
| 及格 | 78 | | | | | | | | | | | | |
| 76 | | | | | | | | | | | | |
| 74 | | | | | | | | | | | | |
| 72 | | | | | | | | | | | | |
| 70 | | | | | | | | | | | | |
| 68 | | | | | | | | | | | | |
|
| 及格 | 66 | | | | | | | | | | | | |
| 64 | | | | | | | | | | | | |
| 62 | | | | | | | | | | | | |
| 60 | | | | | | | | | | | | |
| 不及格 | 50 | | | | | | | | | | | | |
| 40 | | | | | | | | | | | | |
| 30 | | | | | | | | | | | | |
| 20 | | | | | | | | | | | | |
| 10 | | | | | | | | | | | | |
表 13-11 国家学生体质健康标准单项指标与权重
| 测试对象 | 单项指标 | 权重/% |
| 小学一年级至大学四年级 | 体重指数(BMI) | 15 |
| 肺活量 | 15 |
| 初中、高中、 大学各年级 | 50 米跑 | 20 |
| 坐位体前屈 | 10 |
| 立定跳远 | 10 |
| 引体向上(男)/1 分钟仰卧起坐(女) | 10 |
| 1000 米跑(男)/800 米跑(女) | 20 |
评价等级:总分 90 分及以上为优秀；总分 80 分一 89 分为良好；总分 60 分—79 分为及格；总分 60 分以下为不及格.
收集了数据后, 可以考虑对所得数据进行以下几个方面的统计分析:
(1)各项指标的频率分布直方图；
(2)各项指标的集中趋势和离散程度；
(3)相关指标(如体重与身高)的散点图；
(4)依据样本数据和指标权重计算样本学生的体质健康综合指标, 并计算样本学生的优秀率、良好率和及格率.
### 5 初步结论
依据上述数据分析, 讨论本校高一年级学生的体质健康达标情况, 指出存在的问题并提出改进的建议.
### 练习 13.6
1. 调查本班学生的体重指数和平均每日课外体育活动时间，并通过散点图考察这两组数据之间的关系.
2. 想一个你所知道的统计活动，简单说明这个统计活动想要解决的问题、研究对象、 获取数据的途径以及所采用的数据分析方法.
### 习题 13.6
#### A 组
1. 你认为下面哪些活动属于统计活动?
(1)某测量队要测量一块三角形土地的面积，先分别测得三条边长，然后利用海伦公式求土地的面积;
(2)研究人员通过测量儿童及其父母的身高，来预测儿童长大成人后的身高；
(3)研究人员通过调查上海市某校高一年级新生的平均身高，来推断上海市青少年的平均身高.
2. 有两种制作纸飞机的方法. 请设计一个统计活动, 用以考察哪种制作方法可以使纸飞机飞得更远.
#### B 组
1. 如果要调查上海市小型乘用车的销售情况, 那么你认为可以收集哪些数据, 如何收集? 对所收集的数据可以进行哪些统计分析?
2. 有很多因素都会影响到一个人的健康，因此，记录自己生活、工作、学习的一些数据, 可能对你在 “健康每一天” 上所做的努力提供一些有益的启示.
(1)记录自己一天分别用于睡眠、运动、娱乐和学习的时间(单位:min)；
(2)当全班同学的这些数据汇总后，可以用于讨论哪些统计问题？
## 内容提要
1. 在统计问题中，研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体，从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本，样本所包含个体的数量称为样本容量.
2. 抽样调查是获取数据的一种重要方式，常用的抽样方法有简单随机抽样、分层随机抽样等.
3. 除了初中学习的扇形图、折线图、频数分布直方图外，还有以下几种统计图表:
(1)频率分布表和频率分布直方图:可用于表示数据在不同区间上的分布情况；
(2)茎叶图:通常在数据量不大的情况下使用，其特点是保留了数据的原始信息；
(3)散点图:可以考察两组数据的变化趋势.
4. 统计估计是指利用样本数据来对总体的信息进行估计，包括估计总体的分布和数字特征(平均数、标准差、百分位数等).
## 复习题
#### A 组
1. 某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间. 他调查了 100 名大学生,发现他们每天的平均自习时间是 ${3.5}\mathrm{\;h}$ . 这里的总体是 ( )
A. 该校的所有大学生;
B. 该校所有大学生的平均每天自习时间；
C. 所调查的 100 名大学生;
D. 所调查的 100 名大学生的平均每天自习时间.
2. 某家大型超市的日客流量(单位:千人次)分别为:3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、 2.5、2.8、4.4、3.6. 下列图形中不利于描述这些数据的是 ( )
A. 散点图； B. 条形图;
C. 茎叶图; D. 扇形图.
3. 某汽车销售商销售某品牌的 A、B、C 三类轿车, 每类轿车均有舒适型和经济型两种型号, 其某月的销量(单位: 辆)如下表所示.
| A | B | C |
| 舒适型/辆 | 35 | 28 | 15 |
| 经济型/辆 | 50 | 72 | 40 |
试设计一个抽样方案, 从该月购买轿车的客户中抽取 20 位, 调查他们的满意度.
4. 某校 30 名高一女生的扔手球记录如下 (单位: $\mathrm{m}$ ):
| 16.3 | 13.2 | 17.7 | 14.3 | 16.4 | 19.8 | 13.5 | 14.5 | 11.7 | 14.1 |
| 14.8 | 17.2 | 13.8 | 15.4 | 16.3 | 15.7 | 18.5 | 16.8 | 17.9 | 15.9 |
| 17.6 | 15.4 | 16.8 | 21.4 | 16.5 | 18.1 | 16.0 | 20.3 | 16.6 | 19.5 |
(1)选择适当的组距，制作一张频率分布表;
(2)在(1)的基础上，绘制一幅频率分布直方图.
5. 某公司对应聘人员进行能力测试，测试成绩总分为 150 分，下面是 50 位应聘人员的测试成绩:
| 64 | 67 | 70 | 72 | 74 | 76 | 76 | 79 | 80 | 81 |
| 82 | 82 | 83 | 85 | 86 | 88 | 91 | 91 | 92 | 93 |
| 93 | 93 | 95 | 96 | 96 | 97 | 97 | 99 | 100 | 100 |
| 102 | 104 | 106 | 106 | 107 | 108 | 108 | 112 | 112 | 114 |
| 116 | 118 | 119 | 119 | 122 | 123 | 125 | 126 | 128 | 133 |
试用这些数据绘制一幅茎叶图.
6. 某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶,每罐茶叶的标准质量是 ${125}\mathrm{\;g}$ ,为了解该批茶叶的质量情况, 从中随机抽取 20 罐, 称得各罐质量 (单位: g) 如下:
| 124.9 | 124.7 | 126.2 | 124.9 | 124.2 | 124.9 | 123.7 |
| 121.4 | 126.4 | 127.7 | 121.9 | 124.4 | 125.2 | 123.7 |
| 122.7 | 124.2 | 126.2 | 125.2 | 122.2 | 125.4 | |
回答下列问题:
(1)20 罐茶叶的平均质量 $\bar{x}$ 是多少，标准差 $s$ 是多少？
(2)有多少罐茶叶的质量位于 $\bar{x} - s$ 与 $\bar{x} + s$ 之间,所占的百分比是多少?
7. 数据 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{x}_{n}$ 的方差为 ${s}_{x}^{2}$ ,数据 ${y}_{1}\text{ 、 }{y}_{2}\text{ 、 }\cdots \text{ 、 }{y}_{n}$ 的方差为 ${s}_{y}^{2}$ ,若 ${y}_{1} = \; a{x}_{1} + b,{y}_{2} = a{x}_{2} + b,\cdots ,{y}_{n} = a{x}_{n} + b$ 成立, $a\text{ 、 }b$ 为常数,求证: ${s}_{y}^{2} = {a}^{2}{s}_{x}^{2}$ .
#### B 组
1. 下表是上海市 2007 年至 2016 年的月平均气温(单位:℃).
| 年份 | 1月 | 2 月 | 3 月 | 4 月 | 5 月 | 6 月 | 7 月 | 8 月 | 9 月 | 10 月 | 11 月 | 12 月 |
| 2007 | 5.9 | 9.8 | 12.1 | 15.9 | 22.9 | 25 | 30.4 | 29.7 | 25.4 | 20.6 | 14.2 | 9.8 |
| 2008 | 4.5 | 4.2 | 11.6 | 16.1 | 21.8 | 24.2 | 30.4 | 28.6 | 26 | 21 | 13.3 | 7.9 |
| 2009 | 4.3 | 9.3 | 10.8 | 16.7 | 22.5 | 26.3 | 29 | 28.1 | 25.4 | 21.4 | 12.4 | 6.9 |
| 2010 | 5.7 | 7.7 | 9.6 | 13.3 | 20.9 | 24.1 | 28.8 | 30.9 | 26.2 | 19.3 | 14.2 | 8.1 |
| 2011 | 1.9 | 6.5 | 9.5 | 16.2 | 21.9 | 24.4 | 30.2 | 28.3 | 24.7 | 19.3 | 16.7 | 6.9 |
| 2012 | 5.1 | 4.8 | 9.8 | 17.6 | 21.6 | 24.7 | 29.9 | 29 | 23.9 | 20.1 | 12.6 | 6.6 |
| 2013 | 4.6 | 6.8 | 11 | 15.3 | 21.3 | 24.1 | 32 | 31 | 25 | 20 | 13.4 | 6.1 |
| 2014 | 6.6 | 6.1 | 11.5 | 15.7 | 21.7 | 23.3 | 27.4 | 26.3 | 24.2 | 20.2 | 14.8 | 5.7 |
|
| 2015 | 6 | 6.8 | 10.6 | 15.9 | 20.5 | 24.2 | 26.7 | 27.8 | 24.2 | 19.6 | 14 | 7.8 |
| 2016 | 4.4 | 6.9 | 11 | 16.7 | 20.6 | 24.2 | 29.9 | 29.5 | 24.9 | 20.8 | 13.6 | 9.1 |
数据来源: 上海统计年鉴.
回答下列问题:
(1)10 年中每年最冷的月份相同吗？
(2)10 年中哪个月份的气温波动最大？
(3)10 年中哪一年的气温波动最大？
(4)绘制 10 年中 7 月份与 8 月份气温的折线图，比较气温的高低.
2. 某高校数学专业共有 850 名学生, 从中选取 20 名学生参加学生代表大会. 试写出具体抽样方案.
3. 某校高一年级学生进行了 4 次测验, 成绩(单位:分) 如下表所示. 根据 4 次测验的结果, 我们如何比较这 10 名学生的成绩? 下周有一场数学竞赛活动, 如果需要 1 名学生参赛, 那么推荐谁去最好? 如果需要 4 名学生参赛, 那么又该推荐谁去?
| 学生编号 | 第 1 次 | 第 2 次 | 第 3 次 | 第 4 次 |
| 1 | 90 | 82 | 97 | 100 |
| 2 | 103 | 86 | 101 | 92 |
| 3 | 77 | 83 | 106 | 87 |
| 4 | 94 | 93 | 99 | 99 |
| 5 | 89 | 97 | 93 | 90 |
| 6 | 101 | 79 | 87 | 95 |
| 7 | 91 | 92 | 91 | 93 |
| 8 | 82 | 94 | 100 | 106 |
| 9 | 88 | 78 | 95 | 78 |
| 10 | 83 | 88 | 104 | 89 |
4. 某客服部门计划根据员工每个月接通的电话数给予奖金奖励，并且要保证 50% 的员工能拿到基本奖励，拿到基本奖励的员工中至多 10% 的人能够拿到额外奖励. 该部门随机抽取了 30 名员工，调查了他们上半个月与客户的通话数量，数据如下:
| 1344 | 1428 | 1083 | 1239 | 1381 | 1099 | 1607 | 1041 | 1130 | 1610 |
| 1445 | 921 | 931 | 1100 | 1197 | 1282 | 1549 | 1463 | 901 | 1354 |
| 1378 | 1752 | 1032 | 968 | 902 | 1804 | 1051 | 1319 | 1223 | 1124 |
请利用百分位数来为该部门设计奖励方案.
## 课后阅读
## 统计学与流行病的预防
统计学是一门应用学科，在服务于解决现实问题的同时，也促进了自身的发展. 在对抗霍乱的斗争中，人们通过统计学了解了疾病如何在人群和地区之间传播，使得流行病学取得了重大突破.
霍乱是一种古老的、世界性的传染病，曾多次大规模地爆发. 当时流行的观点认为霍乱是经空气传播的, 但是约翰・斯诺(J. Snow)医师认为霍乱是经饮用水传播的. 为了证明自己是正确的，斯诺尽可能多地收集并分析过去霍乱爆发的信息，然而他的观点却遭到许多批评. 他意识到要想说服别人、挽救生命，就需要更多、更有说服力的数据.
1854 年, 伦敦爆发霍乱, 10 天内夺去了 500 多人的生命. 斯诺用标点地图的方法研究了当地水井分布和霍乱患者分布之间的关系，发现在伦敦布劳德大街的一口水井供水范围内霍乱罹患率明显较高，并最终凭此线索找到该次霍乱爆发的源头:一个被污染的水泵. 然而, 斯诺推理出的霍乱与饮用水的统计关系却未能说服当时的权威人物. 后来, 这些权威人物勉强同意把水泵的把手卸掉，可那时霍乱实质上已经结束了.
1866 年, 在第四次世界性霍乱爆发中, 伦敦也受到瘟疫的袭击. 当时有一位名叫威廉姆・法尔(W. Farr)的政府官员和统计学家，他熟悉约翰·斯诺关于霍乱传播机制的理论， 因此检查了当地的饮用水水源，发现当地供水公司使用的几个池塘已经被污染，于是他利用自己在政府的影响，组织这家公司从其他池塘取水. 疫情迅速结束. 这是统计学第一次使政府制止了一场传染病的传播.
约翰・斯诺在有关事件中的工作被认为是流行病学的开端. 他研究的是疾病和饮用水水源之间的关系, 他的统计结论是霍乱是通过饮用水传播的, 但却不能解释霍乱是什么. 由此可知, 统计学研究擅长揭示事物之间的关系, 而不是解释事物本身.
## 附录
## 随机数表
| 59226000 | 49840128 | 66175168 | 39682927 | 43772366 | 27096623 |
| 92580956 | 43890890 | 46482834 | 59743458 | 29778149 | 64608925 |
| 91685307 | 17337298 | 29849526 | 37515923 | 03886191 | 14679054 |
| 49040040 | 36160806 | 55336993 | 30357068 | 45717397 | 18435701 |
| 17355239 | 47454753 | 01644305 | 44017425 | 26545229 | 10694745 |
| 93793904 | 20989216 | 04687617 | 29338350 | 26618921 | 64762526 |
| 39832776 | 39918535 | 32591131 | 40469235 | 04982212 | 20671263 |
| 62816846 | 05710346 | 57234293 | 18186926 | 04002237 | 63106244 |
| 47428458 | 84171044 | 10027759 | 66564387 | 46470075 | 06909727 |
| 80441606 | 15411242 | 70519846 | 39771512 | 53558695 | 43341615 |
| 72766166 | 96710610 | 82836180 | 87215656 | 79350966 | 62944853 |
| 41099393 | 28461623 | 46336299 | 80183929 | 76362103 | 01107346 |
| 81801784 | 01920938 | 92141312 | 20680683 | 25360563 | 82895100 |
| 69905310 | 65353900 | 57493311 | 31459391 | 21624304 | 38112455 |
| 59787917 | 95779114 | 11625733 | 77657169 | 01541345 | 82568365 |
| 75024229 | 11736617 | 63524669 | 80467176 | 44490095 | 43439111 |
| 50953656 | 45517057 | 71697014 | 14268802 | 00909885 | 02440992 |
| 45438420 | 22838556 | 58513683 | 42537733 | 36896297 | 14173518 |
| 88283497 | 13495564 | 60931706 | 78103530 | 12791687 | 18670716 |
| 59858423 | 56963372 | 93311792 | 52654671 | 93675422 | 54240310 |
| 35402548 | 26206052 | 79415738 | 27049431 | 22956827 | 24659231 |
| 81650727 | 50567781 | 44380924 | 96705937 | 28085550 | 48201683 |
| 97491830 | 29554465 | 09692932 | 46640378 | 96584415 | 76853466 |
| 19328695 | 68057304 | 18440085 | 80531471 | 04559480 | 61312472 |
| 83654814 | 33515828 | 72081768 | 39301395 | 73382204 | 62864708 |
| 23730036 | 83128893 | 06915888 | 11575032 | 32443830 | 15028558 |
| 21841022 | 40298849 | 34288275 | 43583753 | 89795190 | 05576701 |
| 09503674 | 09459742 | 80365675 | 24044018 | 51140183 | 93365031 |
| 22187831 | 37117105 | 03329104 | 85378509 | 61275118 | 31238207 |
| 45360022 | 03787150 | 30671289 | 05696497 | 21721212 | 07393401 |
| 16243872 | 07651410 | 24024160 | 08204650 | 95547235 | 75024259 |
| 33950051 | 40780663 | 53727573 | 58289968 | 21182191 | 38902726 |
| 80004221 | 10451800 | 87562775 | 61850029 | 00520223 | 91212898 |
| 99498653 | 66132909 | 46045108 | 29213428 | 47913888 | 98284202 |
| 52265912 | 78192281 | 75328224 | 37526839 | 70511454 | 39058676 |
| 57483470 | 84908759 | 43278083 | 30479696 | 68472456 | 08700563 |
| 72995400 | 99491703 | 21963886 | 69213938 | 30927014 | 19074667 |
| 75620520 | 40393927 | 73424446 | 32710498 | 99431490 | 93188160 |
| 24212509 | 69641196 | 24603122 | 54708123 | 88329881 | 90176457 |
| 37740024 | 84483003 | 86108195 | 99302536 | 78710561 | 66736716 |
| 30737119 | 31875443 | 91106808 | 45469269 | 09324297 | 35671898 |
| 07412122 | 31820088 | 71694552 | 88912618 | 85933858 | 57498645 |
| 55537748 | 47307193 | 44162744 | 35730046 | 35204714 | 31794878 |
| 50637513 | 68444728 | 05230553 | 19076435 | 68768912 | 90487194 |
| 77193349 | 31373649 | 19944649 | 80774718 | 26132115 | 19032160 |
| 90704894 | 99744927 | 73331642 | 24578121 | 90907615 | 25495469 |
| 57291537 | 25966686 | 40631857 | 69673562 | 88588804 | 20704169 |
| 11982254 | 01668184 | 27721819 | 09600397 | 42976310 | 94777888 |
| 99095642 | 15419077 | 87150597 | 18928524 | 55973643 | 70184445 |
| 95482772 | 48386040 | 65559303 | 91815865 | 88763922 | 98306095 |