解 将五个关键点列表 (表 7-1) 如下:

表 7-1

描点并用光滑曲线把它们连接起来,就得到 , 的大致图像 (图 7-1-5).

观察图 7-1-5, 函数 的图像与 的图像有怎样的关系?

作出函数 的图像,如图 7-1-5 所示. 由图可知,使得 的 的取值范围是 .

1. 略.

2. 图略. 使 的 取值范围是 ; 使 的 取值范围是 .

3. 图略. 将 的图像向上平移 2 个单位,得到 的图像.

解 (1) 因为对于函数 的定义域 内任意给定的实数 ,有

所以 是函数 的一个正周期.

此外, 也是函数 的最小正周期. 事实上,令 可改写为 ,其以 为自变量的最小正周期为 . 返回到 变量,因 ,故 的最小正周期为 .

( 2 )因为对于函数 的定义域 内任意给定的实数 ,有

所以 是函数 的一个正周期.

此外, 也是函数 的最小正周期. 事实上,令 ,原来的函数可改写为 , 其以 为自变量的最小正周期为 . 返回到 变量,因 , 故原来函数的最小正周期为 .

一般地,函数 (其中 为常数,且 )的最小正周期为 .

今后, 我们可以直接使用这个结果来求这类函数的最小正周期.

当函数 中 为负数时, 可用诱导公式把 化为正数 (参见例 2(2)).

解 当 时,函数 的最小正周期为 ,由此解得 .

当 时, ,函数 , 其最小正周期为 ,由此解得 .

所以， 的值为 .

解 当 时,

故当 时, 成立.

但是, 不是 的周期. 事实上, 并不是对函数 的定义域中一切给定的实数 都成立. 例如,当 时, .

1. (1)最小正周期为 . (2)最小正周期为 .

2. 当 时, 成立. 因为 , 所以 不是 的周期.

3. 估算心电图的周期为 0.8 秒.

解 (1) 令 ,由 ,得 能取遍所有实数, 因为 的最大值是 1,最小值是 -1,所以 的最大值是 2,最小值是 -2 .

当 取得最大值 2 时, ,即

而当 取得最小值 -2 时, ,即

(2)

因为 ,所以 的最大值是 2,此时

即 ;

而 的最小值是 -2 . 此时

即 .

(3)令 ，由 ，得 ，则

因为 时, ,所以 ,从而 .

于是, 的最大值是 2,此时 ,即

而 的最小值是 ,此时 ,即

(4)

因为 ,所以 的最大值是 4,此时 ,即 ; 而 的最小值是 0,此时 ,即 .

在现实生活中, 我们常常会碰到合理下料、最优设计等方面的问题, 通过建立三角函数模型求最值是其中一种解决问题的方法.

解 连接 . 设 ,矩形 的面积为 ,则 ,而

由此可知,当且仅当 时,矩形 的面积 有最大值 . 因此,在半圆形铁板中应截取 ,这时矩形 的面积达到最大值 .

1.(1)定义域为 ,值域为 . (2)定义域为 ,值域为 .

2.(1)最大值为 -4,此时 ；最小值为 -6,此时 , .

(2) ,因为 ,所以 . 该函数的最大值为 2,此时 ; 最小值为 -2,此时 .

(3) . 该函数的最大值为2,此时 ；最小值为 -2,此时 .

3. 由题意,可知 ,同理 . 矩形 的周长为 . 所以,当 时,矩形 的周长最大.

解 (1) 因为函数 的定义域为 ,对于任意给定的 ,

所以 是一个偶函数.

(2)因为函数 的定义域为 ,对于任意给定的 ,

所以 是一个偶函数.

(3)注意到 , 因为

所以 既不是奇函数也不是偶函数.

解 (1) 因为 ,且正弦函数 在 上是严格减函数,所以 .(2)

因为 ,且正弦函数 在 上是严格增函数,所以 ,即 .

解(1)令 ，则原来的函数可改写为 ，且因为 随 的增大而增大,所以只需考察函数 的单调减区间 ,即

由此解得

因此, 的单调减区间为 .

( 2 )因为 ，所以 的单调增区间就是 的单调减区间,即 . 由此解得

又因为 ,考虑 与 的交集. 只有当 时, 与 的交集才非空,且其交集为 .

因此,函数 的单调增区间为 .

1.(1)奇函数. (2)偶函数. (3)偶函数. (4)既不是奇函数也不是偶函数.

2. (1) . (2) .

3. (1) 的单调增区间为 ；单调减区间为

(2) 的单调增区间为 ；单调减区间为

(3) 的单调增区间为 ；单调减区间为

【编辑补写／校订】

(1) 将 在 上的图像向上平移1个单位，依次描点 、、、、，用正弦曲线平滑连接。

(2) 保留 在 轴上方的部分，把下方的部分关于 轴翻折。图像始终非负，每一段 都是一条上拱的半波，端点值为0、中点值为1，最小正周期为 ，其中 。

2. (1)最小正周期为 (2) 最小正周期为 .

3. 因为 ,所以 ,即 .

4.(1) 的最大值为 5,此时所有相应 值的集合为 ；最小值为 -1,此时所有相应 值的集合为 .

(2) 的最大值为 3,此时所有相应 值的集合为 ; 最小值为 -1,此时所有相应 值的集合为 .

(3) 的最大值为 -3,此时所有相应 值的集合为 ; 最小值为 ,此时所有相应 值的集合为 .

(4) 的最大值为 ,此时所有相应 值的集合为 ; 最小值为 -1,此时所有相应 值的集合为 .

【编辑补写／校订】

(1) 奇函数。定义域为 ，且 。

(2) 偶函数。定义域为 ，关于原点对称，且 。

(3) 非奇非偶。定义域为 ，不关于原点对称，例如 在定义域内而 不在定义域内，因此不满足奇函数或偶函数的定义。

6. (1) (2) .

7. (1) 的单调增区间为 ；单调减区间为

(2) 的单调增区间为 ；单调减区间为 .

8.(1)因为 ,所以此函数的值域为 .

(2)因为 ,且 ,所以此函数的值域为 .

9. 因为方程 的解就是函数 的零点,所以函数 的零点为 或 .

1. 函数 的定义域为 .

2. 因为 ,由 有 ,所以此函数的单调减区间为 .

3. 因为函数 ,所以 , 解得 .

4. 因为 ,所以 ,从而 ,故此函数的值域为 .

5. 因为 ,所以此函数的最小正周期为 . 因为 ,所以 ,此函数的最小值为 ,最大值为 1 .

6. 设四边形 的面积为 , ,则 的面积 的面积. 在 中,由余弦定理,有 , 故 的面积为 . 从而有 ,其中 . 因此四边形 的面积 的最大值为 ,此时 .

7.(1)函数 的最小正周期为2.(2)略.