# 三角函数 ![bo_d5205277aajc73fu465g_0_0_1_1654_1163_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_0_0_1_1654_1163_0.jpg) 前一章学习了三角，无论是在锐角三角形中, 还是在平面直角坐标系中, 我们都是从几何的角度, 把正弦、余弦和正切看成一个比值. 本章我们将从函数的角度看待正弦、余弦和正切, 研究这些三角函数的图像与性质. 与幂函数、指数函数及对数函数不同, 三角函数具有周期性. 在现实生活中存在大量的周期现象，如四季的交替，钟表指针的转动， 弹簧的振动，等等. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型. 根据 19 世纪法国数学家傅里叶(J. B. J. Fourier)建立的傅里叶级数理论， 一般的周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数表示, 它确认了正弦函数和余弦函数在周期现象研究中重要而本质的作用, 使三角函数成为分析和解决周期问题的基本工具, 在物理学、工程技术和其他许多领域都有广泛的应用. ## 7.1 正弦函数的图像与性质 我们已经知道,任意一个给定的实数 $x$ 都对应着唯一确定的角(其弧度数等于实数 $x$ ),而这个角又对应着唯一确定的正弦值 $\sin x$ . 这样,对于任意一个给定的实数 $x$ ,都有唯一确定的正弦值 $\sin x$ 与之对应. 按照这个对应关系所建立的函数叫做正弦函数,记作 $y = \sin x$ . 正弦函数的定义域是实数集 $\mathbf{R}$ . ### 1 正弦函数的图像 对任意给定的实数 $x$ ,都有 $\sin \left( {x + {2k\pi }}\right) = \sin x, k \in \mathbf{Z}$ . 这说明当 $x$ 的值增加或减少 ${2\pi }$ 的整数倍时, $\sin x$ 的值会重复出现. 因此,只要作出正弦函数 $y = \sin x$ 在区间 $\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 上的图像, 就可以得到正弦函数在 $\mathbf{R}$ 上的图像. 下面，我们结合单位圆，利用描点法作 $y = \sin x$ 的大致图像. 为了描出 $y = \sin x$ 图像上的某个点 $M\left( {\alpha ,\sin \alpha }\right)$ ,先在平面直角坐标系的 $x$ 轴上任取一点 ${O}_{1}$ ,以点 ${O}_{1}$ 为圆心的单位圆与 $x$ 轴有两个交点,其中右边的一个交点记作 $A$ (图 7-1-1). 设 $P$ 是此单位圆上一点, $\angle A{O}_{1}P = \alpha$ ,作 ${PQ}$ 垂直于 $x$ 轴,其垂足为 Q. 对比以坐标原点 $O$ 为圆心的单位圆中角 $\alpha$ 的终边与单位圆的交点,可知点 $P$ 的纵坐标为 $\sin \alpha$ ,而 ${QP}$ 的长是 $\left| {\sin \alpha }\right|$ . 在 $x$ 轴上取点 $N\left( {\alpha ,0}\right)$ ,将线段 ${QP}$ 平移至 ${NM}$ 的位置使点 $Q$ 与点 $N$ 重合,从而点 $M$ 的坐标为 $\left( {\alpha ,\sin \alpha }\right)$ ,这样就得到了函数 $y = \sin x$ 图像上的一点 $M$ . ![bo_d5205277aajc73fu465g_1_774_1644_500_256_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_1_774_1644_500_256_0.jpg) 图 7-1-1 随着 $\alpha$ 的变化,可以得到函数 $y = \sin x$ 图像上的其他点. 方便起见,我们先将单位圆 ${O}_{1}$ 分为 12 等份 (等份数越多, 作出的图像越精确),使得角 $\alpha$ 的弧度数依次取 $0\text{ 、 }\frac{\pi }{6}\text{ 、 }\frac{\pi }{3}\text{ 、 }\frac{\pi }{2}$ 、 $\cdots \text{ 、 }{2\pi }$ ,再借助圆 ${O}_{1}$ 得到对应的纵坐标,依次作出函数 $y = \sin x$ 图像上的点 $\left( {0,\sin 0}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{\pi }{6},\sin \frac{\pi }{6}}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{\pi }{3},\sin \frac{\pi }{3}}\right)$ 、 $\left( {\frac{\pi }{2},\sin \frac{\pi }{2}}\right) \text{ 、 }\cdots \text{ 、 }\left( {{2\pi },\sin {2\pi }}\right)$ ,用光滑的曲线将这些点连接起来,就得到正弦函数 $y = \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的大致图像 (图 7-1-2). --- 在本节的阅读材料中将说明简谐运动中物体离开平衡位置的位移关于时间的变化规律可以借助于正弦函数来描述. 单位圆是作正弦函数图像的有力工具. $\sin \alpha$ 就是角 $\alpha$ 的终边与以原点为圆心的单位圆交点的纵坐标. --- ![bo_d5205277aajc73fu465g_2_227_517_794_312_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_2_227_517_794_312_0.jpg) 图 7-1-2 因为 $\sin \left( {x + {2k\pi }}\right) = \sin x, k \in \mathbf{Z}$ ,所以函数 $y = \sin x$ 当 $x \in \left\lbrack {{2\pi },{4\pi }}\right\rbrack , x \in \left\lbrack {{4\pi },{6\pi }}\right\rbrack ,\cdots$ 时的图像与 $y = \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的图像形状完全一样,只需将后者向右平移 ${2\pi }\text{ 、 }{4\pi }\text{ 、 }\cdots$ 就可得到. 同样,函数 $y = \sin x$ 当 $x \in \left\lbrack {-{2\pi },0}\right\rbrack , x \in \left\lbrack {-{4\pi }, - {2\pi }}\right\rbrack ,\cdots$ 时的图像与 $y = \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的图像形状也完全一样,只需将后者向左平移 ${2\pi }\text{ 、 }{4\pi }\text{ 、 }\cdots$ 就可得到. 这样,就可以得到函数 $y = \sin x$ 的图像 (图 7-1-3). 正弦函数 $y = \sin x$ 的图像通常称为正弦曲线. ![bo_d5205277aajc73fu465g_2_172_1312_904_220_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_2_172_1312_904_220_0.jpg) 图 7-1-3 从图 7-1-2 可知， $\left( {0,0}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{\pi }{2},1}\right) \text{ 、 }\left( {\pi ,0}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{3\pi }{2}, - 1}\right)$ 和 $\left( {{2\pi },0}\right)$ 是函数 $y = \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 图像的五个关键点. 我们描出这五个点,并用光滑的曲线将它们连接起来,就得到函数 $y = \; \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的大致图像 (图 7-1-4). ![bo_d5205277aajc73fu465g_2_352_1855_544_250_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_2_352_1855_544_250_0.jpg) 图 7-1-4 这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法, 通常称为“五点(作图)法”. 例 1 用 “五点法”作出函数 $y = 1 - \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的大致图像,并写出使得 $y < 1$ 的 $x$ 的取值范围. 解 将五个关键点列表 (表 7-1) 如下: 表 7-1
$x$0$\frac{\pi }{2}$$\pi$$\frac{3\pi }{2}$${2\pi }$
$- \sin x$0-1010
$1 - \sin x$10121
描点并用光滑曲线把它们连接起来,就得到 $y = 1 - \sin x$ , $x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的大致图像 (图 7-1-5). ![bo_d5205277aajc73fu465g_3_788_934_472_279_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_3_788_934_472_279_0.jpg) 图 7-1-5 --- 观察图 7-1-5, 函数 $y = - \sin x$ 的图像与 $y = 1 - \sin x$ 的图像有怎样的关系? --- 作出函数 $y = 1$ 的图像,如图 7-1-5 所示. 由图可知,使得 $y < 1$ 的 $x$ 的取值范围是 $\left( {0,\pi }\right)$ . #### 练习 7.1(1) 1. 作出函数 $y = \sin x, x \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack$ 的大致图像. 2. 作出函数 $y = \frac{1}{2} - \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 的大致图像,并分别写出使得 $y > 0$ 和 $y < 0$ 的 $x$ 的取值范围. 3. 在同一平面直角坐标系中作出 $y = \sin x$ 和 $y = \sin x + 2$ 的大致图像,并说明它们之间的关系. ### 2 正弦函数的性质 根据正弦函数的定义及图像, 可以得到它具有如下主要的性质. #### (1)周期性 由正弦曲线 (图 7-1-3) 可知, 正弦函数的值随着自变量的变化呈现出周期性的变化. 这种“周而复始”的变化规律可以用数学式子表示为 $$ \sin \left( {x + {2\pi }}\right) = \sin x. $$ 正弦函数的这种性质称为周期性. 这样,若记 $f\left( x\right) = \sin x$ ,则对任意给定的实数 $x$ ,都有 $f\left( {x + {2\pi }}\right) = f\left( x\right)$ . 一般地,如何用数学语言来描述一个函数的周期性呢? 定义 对于函数 $y = f\left( x\right)$ ,如果存在一个非零常数 $T$ ,使得当 $x$ 取其定义域 $D$ 中的任意值时,有 $x + T \in D$ ,且成立 $$ f\left( {x + T}\right) = f\left( x\right) , $$ 那么函数 $y = f\left( x\right)$ 就叫做周期函数 (periodic function),而这个非零常数 $T$ 就叫做函数 $y = f\left( x\right)$ 的一个周期 (period). 对于一个周期函数 $y = f\left( x\right)$ ,如果在它的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做函数 $y = f\left( x\right)$ 的最小正周期. 因为对任意给定的实数 $x$ ,都有 $\sin \left( {x + {2k\pi }}\right) = \sin x$ , $k \in \mathbf{Z}$ ,由周期函数的定义,正弦函数 $y = \sin x$ 是周期函数,而 ${2k\pi }\left( {k \in \mathbf{Z}, k \neq 0}\right)$ 均是它的周期. 可以证明, ${2\pi }$ 是它的最小正周期. 事实上,若定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $y = f\left( x\right)$ 具有正周期 $T$ ,由于对此函数定义域中任意给定的实数 $x$ ,总成立 $f\left( {x + T}\right) = f\left( x\right)$ , 因此函数 $y = f\left( {x + T}\right)$ 与函数 $y = f\left( x\right)$ 必具有完全相同的图像. 换而言之,将函数 $y = f\left( x\right)$ 的图像向左平移 $T$ 个长度单位,所得图像与 $y = f\left( x\right)$ 原来的图像必完全重合. 对于正弦函数 $y = \sin x$ ,对任何给定的 ${T}^{\prime }\left( {0 < {T}^{\prime } < {2\pi }}\right)$ ,因为 $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + {T}^{\prime }}\right) = \; \cos {T}^{\prime } \neq 1$ ,即 $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + {T}^{\prime }}\right) \neq \sin \frac{\pi }{2}$ ,所以 $y = \sin \left( {x + {T}^{\prime }}\right)$ 的图像与 $y = \sin x$ 的图像绝不会相同. 这说明正弦函数绝不会有小于 ${2\pi }$ 的正周期,从而其最小正周期为 ${2\pi }$ . 例 2 求下列函数 $y = f\left( x\right)$ 的最小正周期: (1) $f\left( x\right) = \sin {3x}$ ； (2) $f\left( x\right) = 2\sin \left( {-\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ . 解 (1) 因为对于函数 $y = \sin {3x}$ 的定义域 $\mathbf{R}$ 内任意给定的实数 $x$ ,有 $$ f\left( x\right) = \sin {3x} = \sin \left( {{3x} + {2\pi }}\right) $$ $$ = \sin 3\left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) = f\left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) , $$ 所以 $\frac{2\pi }{3}$ 是函数 $y = \sin {3x}$ 的一个正周期. 此外, $\frac{2\pi }{3}$ 也是函数 $y = \sin {3x}$ 的最小正周期. 事实上,令 $t = {3x}, y = \sin {3x}$ 可改写为 $y = \sin t$ ,其以 $t$ 为自变量的最小正周期为 ${2\pi }$ . 返回到 $x$ 变量,因 $x = \frac{t}{3}$ ,故 $y = \sin {3x}$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{3}$ . ( 2 )因为对于函数 $y = 2\sin \left( {-\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的定义域 $\mathbf{R}$ 内任意给定的实数 $x$ ,有 $$ f\left( x\right) = - 2\sin \left( {\frac{1}{2}x - \frac{\pi }{3}}\right) $$ $$ = - 2\sin \left( {\frac{1}{2}x - \frac{\pi }{3} + {2\pi }}\right) $$ $$ = - 2\sin \left\lbrack {\frac{1}{2}\left( {x + {4\pi }}\right) - \frac{\pi }{3}}\right\rbrack $$ $$ = 2\sin \left\lbrack {-\frac{1}{2}\left( {x + {4\pi }}\right) + \frac{\pi }{3}}\right\rbrack $$ $$ = f\left( {x + {4\pi }}\right) , $$ 所以 ${4\pi }$ 是函数 $y = 2\sin \left( {-\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的一个正周期. 此外, ${4\pi }$ 也是函数 $y = 2\sin \left( {-\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的最小正周期. 事实上,令 $t = \frac{1}{2}x - \frac{\pi }{3}$ ,原来的函数可改写为 $y = 2\sin \left( {-t}\right) = - 2\sin t$ , 其以 $t$ 为自变量的最小正周期为 ${2\pi }$ . 返回到 $x$ 变量,因 $x = {2t} + \frac{2\pi }{3}$ , 故原来函数的最小正周期为 ${4\pi }$ . 一般地,函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) , x \in \mathbf{R}$ (其中 $A\text{ 、 }\omega \text{ 、 }\varphi$ 为常数,且 $A \neq 0,\omega > 0$ )的最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{\omega }$ . 今后, 我们可以直接使用这个结果来求这类函数的最小正周期. --- 当函数 $y = \; A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 中 $\omega$ 为负数时, 可用诱导公式把 $\omega$ 化为正数 (参见例 2(2)). --- 例 3 已知函数 $y = \sin \left( {{kx} + \frac{\pi }{3}}\right)$ (其中常数 $k \neq 0$ ) 的最小正周期是 2,求 $k$ 的值. 解 当 $k > 0$ 时,函数 $y = \sin \left( {{kx} + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{k} = 2$ ,由此解得 $k = \pi$ . 当 $k < 0$ 时, $- k > 0$ ,函数 $y = \sin \left( {{kx} + \frac{\pi }{3}}\right) = - \sin \left( {-{kx} - \frac{\pi }{3}}\right)$ , 其最小正周期为 $T = \frac{2\pi }{-k} = 2$ ,由此解得 $k = - \pi$ . 所以， $k$ 的值为 $\pm \pi$ . 例 4 对于函数 $y = \sin x$ ,当 $x = \frac{7\pi }{6}$ 时， $\sin \left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) = \; \sin x$ 能否成立? 如果成立,那么 $\frac{2\pi }{3}$ 是不是 $y = \sin x$ 的周期? 为什么? 解 当 $x = \frac{7\pi }{6}$ 时, $\sin \left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) = \sin \left( {\frac{7\pi }{6} + \frac{2\pi }{3}}\right) = \sin \frac{11\pi }{6} = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2},$ $\sin \frac{7\pi }{6} = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2}.$ 故当 $x = \frac{7\pi }{6}$ 时, $\sin \left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) = \sin x$ 成立. 但是, $\frac{2\pi }{3}$ 不是 $y = \sin x$ 的周期. 事实上, $\sin \left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) = \; \sin x$ 并不是对函数 $y = \sin x$ 的定义域中一切给定的实数 $x$ 都成立. 例如,当 $x = \frac{\pi }{3}$ 时, $\sin \left( {x + \frac{2\pi }{3}}\right) \neq \sin x$ . #### 练习 7.1(2) 1. 求下列函数的最小正周期: (1) $y = - \frac{1}{3}\sin x + 1$ ； (2) $y = 3\sin \left( {{3x} - \frac{\pi }{6}}\right)$ . 2. 当 $x = {2k\pi } + \frac{4\pi }{3}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 时， $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}}\right) = \sin x$ 是否成立？如果成立，那么 $\frac{\pi }{3}$ 是不是 $y = \sin x$ 的周期? 为什么? 3. 现实生活中常碰到类似于周期的现象. 根据图中标出的尺度估算下列心电图的周期. (其中横轴的单位是 $2\mathrm{{ms}},1\mathrm{s} = {1000}\mathrm{{ms}}$ ; 纵轴的单位是 $\mathrm{{mV}}$ ) ![bo_d5205277aajc73fu465g_7_446_301_783_169_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_7_446_301_783_169_0.jpg) (第 3 题) 由于正弦函数是周期函数, 因此研究它的最值和单调性等性质时, 都可以在长度为一个周期的区间上进行. #### (2) 值域与最值 设角 $x$ 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 $P$ (图7-1-6), 点 $P$ 的坐标为 $\left( {u, v}\right)$ . 由正弦的定义, $\sin x = v$ ,于是有 $\left| {\sin x}\right| \; = \left| v\right| \leq 1$ . ![bo_d5205277aajc73fu465g_7_863_981_320_281_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_7_863_981_320_281_0.jpg) 图 7-1-6 因此，正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$ 的值域为 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ ，其最大值为 1,最小值为 -1 . 考虑到正弦函数 $y = \sin x$ 的最小正周期为 ${2\pi }$ ,因此只需选择一个长度为 ${2\pi }$ 的合适的区间来研究其最大值与最小值. 取此区间为 $\lbrack 0,{2\pi })$ . 在 $\lbrack 0,{2\pi })$ 上,当且仅当 $x = \frac{\pi }{2}$ 时, $y = \sin x$ 取得最大值 1 ; 当且仅当 $x = \frac{3\pi }{2}$ 时, $y = \sin x$ 取得最小值 -1 . 由于正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$ 的最小正周期是 ${2\pi }$ ,因此当且仅当 $x = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}, k \in \mathbf{Z}$ 时, $y = \sin x$ 取得最大值 1 ; 当且仅当 $x = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}, k \in \mathbf{Z}$ 时, $y = \sin x$ 取得最小值 -1 . 例 5 求下列函数的最大值和最小值, 并求出取得最大值和最小值时所有 $x$ 的值: (1) $y = - 2\sin \left( {{3x} + \frac{\pi }{3}}\right)$ ； (2) $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ ； (3) $y = {\sin }^{2}x - \sin x$ ； (4) $y = {\sin }^{2}x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 3{\cos }^{2}x$ . 解 (1) 令 $u = {3x} + \frac{\pi }{3}$ ,由 $x \in \mathbf{R}$ ,得 $u$ 能取遍所有实数, 因为 $y = \sin u, u \in \mathbf{R}$ 的最大值是 1,最小值是 -1,所以 $y = \; - 2\sin u, u \in \mathbf{R}$ 的最大值是 2,最小值是 -2 . 当 $y = - 2\sin u$ 取得最大值 2 时, $u = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,即 $$ {3x} + \frac{\pi }{3} = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) , x = \frac{2k\pi }{3} + \frac{7\pi }{18}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ; $$ 而当 $y = - 2\sin u$ 取得最小值 -2 时, $u = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,即 $$ {3x} + \frac{\pi }{3} = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) , x = \frac{2k\pi }{3} + \frac{\pi }{18}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) . $$ (2) $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ $$ = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x}\right) $$ $$ = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}}\right) . $$ 因为 $- 2 \leq 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}}\right) \leq 2$ ,所以 $y$ 的最大值是 2,此时 $$ x + \frac{\pi }{3} = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) , $$ 即 $x = {2k\pi } + \frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ; 而 $y$ 的最小值是 -2 . 此时 $$ x + \frac{\pi }{3} = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) , $$ 即 $x = {2k\pi } + \frac{7\pi }{6}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ . (3)令 $t = \sin x$ ，由 $x \in \mathbf{R}$ ，得 $t \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ ，则 $$ y = {t}^{2} - t = {\left( t - \frac{1}{2}\right) }^{2} - \frac{1}{4}, t \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack . $$ 因为 $- 1 \leq t \leq 1$ 时, $- \frac{3}{2} \leq t - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2}$ ,所以 $0 \leq {\left( t - \frac{1}{2}\right) }^{2} \leq \; \frac{9}{4}$ ,从而 $- \frac{1}{4} \leq {\left( t - \frac{1}{2}\right) }^{2} - \frac{1}{4} \leq 2$ . 于是, $y$ 的最大值是 2,此时 $t - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}, t = - 1$ ,即 $$ \sin x = - 1, x = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ; $$ 而 $y$ 的最小值是 $- \frac{1}{4}$ ,此时 $t - \frac{1}{2} = 0, t = \frac{1}{2}$ ,即 $$ \sin x = \frac{1}{2}, x = {2k\pi } + \frac{\pi }{6}\text{ 或 }x = {2k\pi } + \frac{5\pi }{6}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) . $$ (4) $y = {\sin }^{2}x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 3{\cos }^{2}x$ $$ = \left( {{\sin }^{2}x + {\cos }^{2}x}\right) + \sqrt{3}\sin {2x} + \left( {2{\cos }^{2}x - 1}\right) + 1 $$ $$ = \sqrt{3}\sin {2x} + \cos {2x} + 2 $$ $$ = 2\left( {\frac{\sqrt{3}}{2}\sin {2x} + \frac{1}{2}\cos {2x}}\right) + 2 $$ $$ = 2\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) + 2\text{ . } $$ 因为 $- 2 \leq 2\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) \leq 2$ ,所以 $y$ 的最大值是 4,此时 ${2x} + \frac{\pi }{6} = {2k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,即 $x = {k\pi } + \frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ; 而 $y$ 的最小值是 0,此时 ${2x} + \frac{\pi }{6} = {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,即 $x = {k\pi } + \frac{2\pi }{3}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ . 在现实生活中, 我们常常会碰到合理下料、最优设计等方面的问题, 通过建立三角函数模型求最值是其中一种解决问题的方法. 例 6 如图 7-1-7,在一个半径为 $r$ 的半圆形铁板中,截取一块矩形 ${ABCD}$ ,使得矩形的顶点 $A\text{ 、 }B$ 在半圆的直径上, $C\text{ 、 }D$ 在半圆弧上. 问: 如何截取矩形 ${ABCD}$ ,使其面积达到最大值? 并求出这个最大值. ![bo_d5205277aajc73fu465g_9_210_1362_273_174_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_9_210_1362_273_174_0.jpg) 图 7-1-7 解 连接 ${OC}$ . 设 $\angle {COB} = x, x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ ,矩形 ${ABCD}$ 的面积为 $y$ ,则 ${AB} = {2r}\cos x,{BC} = r\sin x$ ,而 $$ y = {AB} \cdot {BC} $$ $$ = {2r}\cos x \cdot r\sin x $$ $$ = {r}^{2}\sin {2x}, x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right) . $$ 由此可知,当且仅当 $x = \frac{\pi }{4}$ 时,矩形 ${ABCD}$ 的面积 $y$ 有最大值 ${r}^{2}$ . 因此,在半圆形铁板中应截取 ${AB} = \sqrt{2}r,{BC} = \frac{\sqrt{2}}{2}r$ ,这时矩形 ${ABCD}$ 的面积达到最大值 ${r}^{2}$ . #### 练习 7.1(3) 1. 求下列函数的定义域和值域: (1) $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ ；___ (2) $y = {2}^{\sin x}$ . 2. 求下列函数的最大值与最小值: ![bo_d5205277aajc73fu465g_10_1110_532_361_311_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_10_1110_532_361_311_0.jpg) (第 3 题) (1) $y = - 5 + \sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ ； (2) $y = {\cos }^{2}x + 2\sin x$ ；___ (3) $y = 2\sin x \cdot \cos x - \sqrt{3}{\cos }^{2}x + \sqrt{3}{\sin }^{2}x$ . 3. 如图,矩形 ${ABCD}$ 的四个顶点分别在矩形 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的四条边上, ${AB} = a,{BC} = b$ . 如果 ${AB}$ 与 ${A}_{1}{B}_{1}$ 的夹角为 $\alpha$ ,那么当 $\alpha$ 取何值时,矩形 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的周长最大? #### (3) 奇偶性 对任意给定的 $x \in \mathbf{R}$ ,等式 $\sin \left( {-x}\right) = - \sin x$ 都成立,因此正弦函数 $y = \sin x$ 是一个奇函数,从而其图像关于坐标原点中心对称. 例 7 判断下列函数 $y = f\left( x\right)$ 的奇偶性,并说明理由: (1) $f\left( x\right) = \sin \left| x\right|$ ； (2) $f\left( x\right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ ；___ (3) $f\left( x\right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}}\right)$ . 解 (1) 因为函数 $y = \sin \left| x\right|$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ,对于任意给定的 $x \in \mathbf{R}$ , $$ f\left( {-x}\right) = \sin \left| {-x}\right| = \sin \left| x\right| = f\left( x\right) , $$ 所以 $y = \sin \left| x\right|$ 是一个偶函数. (2)因为函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ,对于任意给定的 $x \in \mathbf{R}$ , $$ f\left( {-x}\right) = \sin \left( {-x + \frac{\pi }{2}}\right) $$ $$ = \sin \left\lbrack {\pi - \left( {-x + \frac{\pi }{2}}\right) }\right\rbrack $$ $$ = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right) = f\left( x\right) , $$ 所以 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 是一个偶函数. (3)注意到 $f\left( {-\frac{\pi }{4}}\right) = \sin \left( {-\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4}}\right) = \sin \left( {-\frac{\pi }{2}}\right) = - 1$ , $f\left( \frac{\pi }{4}\right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4}}\right) = \sin 0 = 0.$ 因为 $$ f\left( {-\frac{\pi }{4}}\right) \neq f\left( \frac{\pi }{4}\right) \text{ ,且 }f\left( {-\frac{\pi }{4}}\right) \neq - f\left( \frac{\pi }{4}\right) \text{ , } $$ 所以 $y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}}\right)$ 既不是奇函数也不是偶函数. #### (4)单调性 由于正弦函数是以 ${2\pi }$ 为最小正周期的周期函数,因此在研究它的单调区间时,只需选择一个长度为 ${2\pi }$ 的合适的区间进行考察. 方便起见,我们可以在 $\left\lbrack {-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ 上研究正弦函数 $y = \sin x$ 的单调性. ![bo_d5205277aajc73fu465g_11_728_1065_588_259_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_11_728_1065_588_259_0.jpg) 图 7-1-8 观察函数 $y = \sin x, x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ 的图像 (图 7-1-8),可以看到: 当 $x$ 由 $- \frac{\pi }{2}$ 增大到 $\frac{\pi }{2}$ 时,曲线上升, $\sin x$ 的值随着 $x$ 的增大而增大,由 -1 增大到 1 ; 而当 $x$ 由 $\frac{\pi }{2}$ 增大到 $\frac{3\pi }{2}$ 时,曲线下降, $\sin x$ 的值随着 $x$ 的增大而减小,由 1 减小到 -1 . 这就是说,正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是严格增函数; 在 $\left\lbrack {\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是严格减函数. 由于正弦函数 $y = \sin x$ 的最小正周期是 ${2\pi }$ ,因此正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack {{2k\pi } - \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 上是严格增函数; 在 $\left\lbrack {{2k\pi } + \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 上是严格减函数. --- 在图 7-1-6 中, 因为在单位圆上, 当 $x$ 由 $- \frac{\pi }{2}$ 增大到 $\frac{\pi }{2}$ 时,点 $P$ 的纵坐标 $v$ 由 -1 增大到 1 , 且 $\sin x = v$ ,所以 $\sin x$ 的值由 -1 增大到 1 . --- 例 8 利用函数的单调性, 比较下列各组数的大小: (1) $\sin \frac{6\pi }{5}$ 与 $\sin \frac{7\pi }{6}$ ； (2) $\sin \frac{43\pi }{7}$ 与 $\sin \left( {-\frac{47\pi }{8}}\right)$ . 解 (1) 因为 $\frac{\pi }{2} < \frac{7\pi }{6} < \frac{6\pi }{5} < \frac{3\pi }{2}$ ,且正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack {\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是严格减函数,所以 $\sin \frac{6\pi }{5} < \sin \frac{7\pi }{6}$ .(2) $$ \sin \frac{43\pi }{7} = \sin \left( {{6\pi } + \frac{\pi }{7}}\right) = \sin \frac{\pi }{7}, $$ $$ \sin \left( {-\frac{47\pi }{8}}\right) = \sin \left( {-{6\pi } + \frac{\pi }{8}}\right) = \sin \frac{\pi }{8}. $$ 因为 $- \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{7} < \frac{\pi }{2}$ ,且正弦函数 $y = \sin x$ 在 $\left\lbrack {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 上是严格增函数,所以 $\sin \frac{\pi }{7} > \sin \frac{\pi }{8}$ ,即 $\sin \frac{43\pi }{7} > \sin \left( {-\frac{47\pi }{8}}\right)$ . 例 9 (1)求函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 的单调减区间； (2)求函数 $y = 2\sin \left( {-{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) , x \in ( - \pi ,0\rbrack$ 的单调增区间. 解(1)令 $u = x + \frac{\pi }{2}$ ，则原来的函数可改写为 $y = \sin u$ ，且因为 $u = x + \frac{\pi }{2}$ 随 $x$ 的增大而增大,所以只需考察函数 $y = \sin u$ 的单调减区间 $\left\lbrack {{2k\pi } + \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,即 $$ {2k\pi } + \frac{\pi }{2} \leq x + \frac{\pi }{2} \leq {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) . $$ 由此解得 $$ {2k\pi } \leq x \leq {2k\pi } + \pi \left( {k \in \mathbf{Z}}\right) . $$ 因此, $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 的单调减区间为 $\left\lbrack {{2k\pi },{2k\pi } + \pi }\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ . ( 2 )因为 $y = 2\sin \left( {-{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) = - 2\sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{6}}\right)$ ，所以 $y = 2\sin \left( {-{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ 的单调增区间就是 $y = 2\sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{6}}\right)$ 的单调减区间,即 ${2k\pi } + \frac{\pi }{2} \leq {2x} - \frac{\pi }{6} \leq {2k\pi } + \frac{3\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ . 由此解得 $$ {k\pi } + \frac{\pi }{3} \leq x \leq {k\pi } + \frac{5\pi }{6}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) . $$ 又因为 $x \in ( - \pi ,0\rbrack$ ,考虑 $( - \pi ,0\rbrack$ 与 $\left\lbrack {{k\pi } + \frac{\pi }{3},{k\pi } + \frac{5\pi }{6}}\right\rbrack \; \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 的交集. 只有当 $k = - 1$ 时, $( - \pi ,0\rbrack$ 与 $\left\lbrack {{k\pi } + \frac{\pi }{3},{k\pi } + \frac{5\pi }{6}}\right\rbrack \; \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 的交集才非空,且其交集为 $\left\lbrack {-\frac{2\pi }{3}, - \frac{\pi }{6}}\right\rbrack$ . 因此,函数 $y = 2\sin \left( {-{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) , x \in ( - \pi ,0\rbrack$ 的单调增区间为 $\left\lbrack {-\frac{2\pi }{3}, - \frac{\pi }{6}}\right\rbrack$ . #### 练习7.1(4) 1. 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由: (1) $y = \sin {3x}$ ; (2) $y = \left| {\sin x}\right|$ ； (3) $y = x\sin x$ ； (4) $y = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}}\right)$ . 2. 比较下列各组数的大小: (1) $\sin \left( {-\frac{\pi }{16}}\right)$ 和 $\sin \left( {-\frac{\pi }{13}}\right)$ ； (2) $\sin {715}^{ \circ }$ 和 $\sin \left( {-{724}^{ \circ }}\right)$ . 3. 求下列函数的单调区间: (1) $y = \sin x - 1$ ； (2) $y = - \sin x$ ； (3) $y = \sin \left( {{3x} - \frac{\pi }{4}}\right)$ . #### 课后阅读 ##### 圆周运动与简谐运动 一个质量为 $m$ 的质点绕点 $O$ 按逆时针方向做匀速圆周运动. 设圆的半径为 $r$ ,而质点运动的角速度为 $\omega$ . 以圆心 $O$ 为坐标原点,圆心 $O$ 与质点的初始位置 $B$ 的连线为 $x$ 轴,建立如图 7-1-9 所示的平面直角坐标系. 经过一段时间 $t$ ,该质点沿圆周从点 $B$ 运动到点 $P\left( {x, y}\right)$ . 由于 ${OP}$ 为角 ${\omega t}$ 的终边,由正弦和余弦的定义,有 $\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos {\omega t}, \\ y = r\sin {\omega t}. \end{array}\right.$ 这说明匀速圆周运动在水平方向和竖直方向的投影分别按余弦规律和正弦规律随时间 $t$ 而变化. ![bo_d5205277aajc73fu465g_13_1213_1655_288_265_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_13_1213_1655_288_265_0.jpg) 图 7-1-9 从物理学知识知道,质点做匀速圆周运动所需要的向心力的大小是 ${mr}{\omega }^{2}$ ,方向指向 圆心. 向心力的竖直分力为 ${F}_{y} = - {mr}{\omega }^{2}\sin {\omega t} = - m{\omega }^{2}y$ . 记常数 $k = m{\omega }^{2}$ ,就有 ${F}_{y} = - {ky}$ ,从而质点所受合力的竖直分力与竖直位移成正比且方向相反, 这正和简谐运动中质点 (如图 7-1-10 中连接在弹簧上的小球) 的受力情况相仿. 由此类比, 我们知道匀速圆周运动在竖直方向上的投影就是一个简谐运动,它的位移随时间的变化关系为 $y = A\sin {\omega t}$ . 更一般地,如果不要求 $t = 0$ 时 $y = 0$ ,就有 $y = A\sin \left( {{\omega t} + \varphi }\right)$ . ![bo_d5205277aajc73fu465g_14_1128_227_345_92_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_14_1128_227_345_92_0.jpg) 图 7-1-10 #### 习题 7.1 ##### A 组 1. 作出下列函数的大致图像: (1) $y = 1 + \sin x, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ ； (2) $y = \left| {\sin x}\right| , x \in \mathbf{R}$ . 2. 求下列函数的最小正周期: (1) $y = 1 + \sin \frac{2}{7}x, x \in \mathbf{R}$ ； (2) $y = \frac{1}{3}\sin \left( {-{3x} + \frac{\pi }{3}}\right) , x \in \mathbf{R}.$ 3. 已知函数 $y = 2\sin \left( {{2\omega x} - \frac{\pi }{4}}\right)$ (其中常数 $\omega \neq 0$ )的最小正周期为 2，求 $\omega$ 的值. 4. 求下列函数的最大值和最小值,并指出使其取得最大值和最小值时的所有 $x$ 值的集合: (1) $y = 2 - 3\sin x, x \in \mathbf{R}$ ; (2) $y = - {\sin }^{2}x + 2\sin x + 2, x \in \mathbf{R}$ ； (3) $y = 2\sin x - 5, x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}}\right\rbrack$ ；___ (4) $y = {\cos }^{2}x - \sin x, x \in \mathbf{R}$ . 5. 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由: (1) $y = - 2\sin x$ ； (2) $y = \frac{\sin x}{x}$ ；___ (3) $y = \frac{x}{1 + \sin x}$ . 6. 利用函数的单调性, 比较下列各组数的大小: (1) $\sin \frac{3\pi }{11}$ 与 $\sin \frac{5\pi }{12}$ ； (2) $\sin \left( {-\frac{76\pi }{11}}\right)$ 与 $\sin \frac{85\pi }{12}$ . 7. 求下列函数的单调区间: (1) $y = 2 - \sin x$ ； (2) $y = 3\sin \left( {\frac{x}{3} + \frac{\pi }{4}}\right)$ . 8. 求下列函数的值域: (1) $y = 3\sin x + \sqrt{3}\cos x$ ； (2) $y = {\sin }^{2}x + 4\sin x$ . 9. 求函数 $y = 2\sin x - 1$ 的零点. ##### B 组 1. 可以利用正弦函数 $y = \sin x$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 的图像,并结合正弦函数的周期性来求解不等式 $\sin x \geq \frac{1}{2}$ . 请根据上述方法求函数 $y = \sqrt{2\sin x - 1}$ 的定义域. 2. 求函数 $y = \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$ 的单调减区间. 3. 已知函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin {2kx} + {\cos }^{2}{kx}$ (其中常数 $k > 0$ ) 的最小正周期为 $\pi$ ,求 $k$ 的值. 4. 求函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}}\right) , x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 的值域. 5. 求函数 $y = {\sin }^{4}x + {\cos }^{4}x$ 的最小正周期与最值. 6. 设半圆 $O$ 的直径为 2,而 $A$ 为直径延长线上的一点,且 ${OA} = 2$ . 对半圆上任意给定的一点 $B$ ,以 ${AB}$ 为一边作等边三角形 ${ABC}$ ,使 $\bigtriangleup {ABC}$ 和 $\bigtriangleup {ABO}$ 在 ${AB}$ 的两侧 (如图所示). 求四边形 ${OACB}$ 面积的最大值,并求使四边形 ${OACB}$ 面积取得最大值时的 $\angle {AOB}$ 的大小. ![bo_d5205277aajc73fu465g_15_254_964_320_208_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_15_254_964_320_208_0.jpg) (第 6 题) ![bo_d5205277aajc73fu465g_15_787_900_638_278_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_15_787_900_638_278_0.jpg) (第 7 题) 7. 如图,函数 $y = f\left( x\right) \left( {x \in \mathbf{R}}\right)$ 的图像由折线段组成,且当 $x$ 取偶数时,对应的 $y$ 的值为 0 ; 而当 $x$ 取奇数时,对应的 $y$ 的值为 2 . (1)写出函数 $y = f\left( x\right)$ 的最小正周期； (2)作出函数 $y = f\left( {x - 1}\right)$ 的图像. ## 7.2 余弦函数的图像与性质 我们知道,对于任意一个给定的实数 $x$ ,都有唯一确定的余弦值 $\cos x$ 与之对应. 按照这个对应关系所建立的函数叫做余弦函数,记作 $y = \cos x$ . 余弦函数的定义域是实数集 $\mathbf{R}$ . ### 1 余弦函数的图像 怎样作余弦函数 $y = \cos x$ 的图像呢? 当然,我们可以像对正弦函数 $y = \sin x$ 一样,把任意角 $x$ 的余弦值 $\cos x$ 用角的终边与单位圆的交点的横坐标表示,用描点法作出余弦函数的图像. 但是,由于已经知道了正弦函数 $y = \sin x$ 的图像,我们可以简便地利用余弦函数与正弦函数的关系来作出余弦函数的图像. 事实上,由于 $\cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 都成立,因此余弦函数 $y = \cos x$ 与函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 是同一个函数,从而它们的图像相同. 由于将正弦函数 $y = \sin x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi }{2}$ 就得到函数 $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ 的图像,即 $y = \cos x$ 的图像 (图 7-2-1). 余弦函数的图像通常称为余弦曲线. ![bo_d5205277aajc73fu465g_16_152_1703_945_222_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_16_152_1703_945_222_0.jpg) 图 7-2-1 观察余弦函数的图像, 并对比正弦曲线, 可知余弦曲线在区间 $\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ 上的五个关键点的坐标是 $\left( {0,1}\right) \text{ 、 }\left( {\frac{\pi }{2},0}\right) \text{ 、 }\left( {\pi , - 1}\right)$ 、 --- ![bo_d5205277aajc73fu465g_16_1175_1778_252_188_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_16_1175_1778_252_188_0.jpg) 如图, 拨动弹簧片后，弹簧片端点离开平衡位置的位移 $s$ 随时间 $t$ 呈余弦曲线的变化规律. --- $\left( {\frac{3\pi }{2},0}\right) \text{ 、 }\left( {{2\pi },1}\right)$ . ### 2 余弦函数的性质 利用余弦函数 $y = \cos x$ 与正弦函数 $y = \sin x$ 的关系 $\cos x = \; \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}}\right)$ ,由正弦函数的性质就容易推出余弦函数的性质: (1)余弦函数 $y = \cos x$ 是周期函数， ${2k\pi }\left( {k \in \mathbf{Z}, k \neq 0}\right)$ 均是它的周期,而 ${2\pi }$ 是它的最小正周期. (2)余弦函数 $y = \cos x$ 的值域是 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ . 当且仅当 $x = {2k\pi }\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 时, $y = \cos x$ 取得最大值 1 ; 而当且仅当 $x = {2k\pi } + \pi \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 时, $y = \cos x$ 取得最小值 -1 . (3)余弦函数 $y = \cos x$ 是偶函数，其图像关于 $y$ 轴对称. (4)余弦函数 $y = \cos x$ 在区间 $\left\lbrack {{2k\pi } - \pi ,{2k\pi }}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 上是严格增函数，而在区间 $\left\lbrack {{2k\pi },{2k\pi } + \pi }\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 上是严格减函数. 例 1 求下列函数的最大值与最小值, 并求出取得最大值和最小值时所有 $x$ 的值: (1) $y = {\cos }^{2}x - 4\cos x + 1, x \in \mathbf{R}$ ; (2) $y = \cos \frac{x}{2}, x \in \left\lbrack {-\frac{4\pi }{3},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ . 解 (1) 令 $t = \cos x$ ,则 $$ y = {t}^{2} - {4t} + 1 = {\left( t - 2\right) }^{2} - 3, t \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack . $$ 当 $- 1 \leq t \leq 1$ 时,有 $- 3 \leq t - 2 \leq - 1$ ,从而 $1 \leq {\left( t - 2\right) }^{2} \leq 9$ , 于是 $- 2 \leq {\left( t - 2\right) }^{2} - 3 \leq 6$ . 这样, $y$ 的最大值是 6,此时 $t - 2 = - 3, t = - 1$ ,即 $$ \cos x = - 1, x = {2k\pi } + \pi \left( {k \in \mathbf{Z}}\right) ; $$ 而 $y$ 的最小值是 -2,此时 $t - 2 = - 1, t = 1$ ,即 $$ \cos x = 1, x = {2k\pi }\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) . $$ (2)令 $u = \frac{x}{2}$ ，则 $$ y = \cos u. $$ 由 $x \in \left\lbrack {-\frac{4\pi }{3},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ ,有 $- \frac{2\pi }{3} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\pi }{4}$ ,即 $u \in \left\lbrack {-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{4}}\right\rbrack$ . 由余弦函数的性质可知, $y = \cos u$ 在区间 $\left\lbrack {-\frac{2\pi }{3},0}\right\rbrack$ 上是严格增函数,而在 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{4}}\right\rbrack$ 上是严格减函数. 又因为 $$ \cos \left( {-\frac{2\pi }{3}}\right) = \cos \frac{2\pi }{3} = - \frac{1}{2},\cos 0 = 1,\cos \frac{\pi }{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, $$ 所以 $y$ 的最大值是 1,此时 $u = 0$ ,即 $\frac{x}{2} = 0$ ,从而 $x = 0;y$ 的最小值是 $- \frac{1}{2}$ ,此时 $u = - \frac{2\pi }{3}$ ,即 $\frac{x}{2} = - \frac{2\pi }{3}$ ,从而 $x = - \frac{4\pi }{3}$ . 例 2 求函数 $y = 2\cos \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right)$ 的最小正周期及单调增区间. 解 因为 $$ 2\cos \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right) = 2\sin \left\lbrack {\frac{\pi }{2} + \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right) }\right\rbrack $$ $$ = 2\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) , $$ 而 $y = 2\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ 的最小正周期是 $\frac{2\pi }{2} = \pi$ ,所以函数 $y = 2\cos \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right)$ 的最小正周期是 $\pi$ . 由余弦函数的单调性可知,当 ${2k\pi } - \pi \leq {2x} - \frac{\pi }{3} \leq {2k\pi } \; \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,即 ${k\pi } - \frac{\pi }{3} \leq x \leq {k\pi } + \frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 时,函数 $y = \; 2\cos \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right)$ 是严格增函数,即此函数的单调增区间是 $\left\lbrack {{k\pi } - \frac{\pi }{3},{k\pi } + \frac{\pi }{6}}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right) .$ #### 练习 7.2 1. 已知函数 $y = \cos \left( {{\omega x} + \frac{\pi }{5}}\right)$ (其中常数 $\omega > 0$ ) 的最小正周期为 ${4\pi }$ ，求 $\omega$ 的值. 2. 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由: (1) $y = x\cos x$ ； (2) $y = \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ ； (3) $y = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ . 3. 求函数 $y = 2\cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{6}}\right)$ 的最小正周期及单调区间. #### 习题 7.2 ##### A 组 1. 作出下列函数的大致图像: (1) $y = 2\cos x - 1, x \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack$ ; (2) $y = \left| {\cos x}\right| , x \in \mathbf{R}$ . 2. 求下列函数的最小正周期: (1) $y = \cos \frac{x}{3}$ ； (2) $y = 2\cos \left( {-{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ . 3. 求下列函数的最大值和最小值,并指出使其取得最大值和最小值时 $x$ 的集合: (1) $y = {3}^{\cos {2x}}, x \in \mathbf{R}$ ； (2) $y = \cos x - {\sin }^{2}x, x \in \mathbf{R}$ . 4. 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由: (1) $y = {\sin }^{2}x + \cos x$ (2) $y = 2\sin x + \cos {2x}$ ； (3) $y = \frac{x}{1 + \cos x}$ . 5. 求函数 $y = \cos {2x}, x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}}\right\rbrack$ 的单调区间和值域. ##### B 组 1. 函数 $y = 1 - 2{\sin }^{2}\left( {x - \frac{\pi }{4}}\right)$ 是 ( ) A. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数; B. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数; C. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数; D. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数. 2. 设函数 $y = \sin \left( {\frac{x}{2} + \varphi }\right)$ (其中常数 $\varphi \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack$ )是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,求 $\varphi$ 的值. 3. 已知 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 的图像的连续三个交点 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 构成 $\bigtriangleup {ABC}$ ,求 $\bigtriangleup {ABC}$ 的面积. ## 7.3 函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像 在现实生活中, 我们知道钟表分针的转动具有周期现象. 怎样用函数来描述这种周期现象呢? ![bo_d5205277aajc73fu465g_20_1152_611_298_302_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_20_1152_611_298_302_0.jpg) 图 7-3-1 如图 7-3-1,假设分针的旋转中心到针尖末端的长度为 $A$ , 设 $t = 0$ 分时,分针针尖指向点 ${P}_{0}$ ,随着 $t$ 的增加,分针沿顺时针方向走动,设经过 $t$ 分钟,针尖指向点 $P$ . 以分针的旋转中心为坐标原点,建立如图 7-3-1 所示的平面直角坐标系. 设指向点 $P$ 的针尖末端对应的点的纵坐标为 $y$ ,因为分针每分钟旋转 $\frac{\pi }{30}$ 弧度,所以针尖末端对应的点在角 $- \frac{\pi }{30}t + \frac{\pi }{6}$ (弧度)的终边上,从而其纵坐标 $y$ 关于时间 $t$ 变化的函数关系为 $y = A\sin \left( {-\frac{\pi }{30}t + \frac{\pi }{6}}\right) , t \in \lbrack 0, + \infty ).$ --- 弹簧下端挂着砝码上下振动. 若从 $x = 0$ 时刻开始，每间隔一小段时间(如 0.1 s)给弹簧和砝码拍一张照片，并按时间顺序, 将弹簧顶端对齐排成一列得到图 7-3-2. --- 在物理学和工程技术的许多问题中, 经常也会遇到形如 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的函数 (其中 $A\text{ 、 }\omega \text{ 、 }\varphi$ 均是常数). 例如,物体做简谐运动(如单摆或弹簧的振动) 的过程中, 物体离开平衡位置的位移 $y$ 与时间 $x$ 的关系为 $$ y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega > 0}\right) . $$ 上式中, $A$ 是物体振动时离开平衡位置的最大距离,称为该振动的振幅(amplitude). $A$ 越大,振动的幅度越大. 单摆或弹簧往复振动一次所需的时间 $T = \frac{2\pi }{\omega }$ 称为该振动的周期 (即前面所说的最小正周期). $\omega$ 越大,振动的周期越小. ![bo_d5205277aajc73fu465g_20_1132_1532_336_95_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_20_1132_1532_336_95_0.jpg) 图 7-3-2 在单位时间内振动的次数 $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega }{2\pi }$ 称为该振动的频率 (frequency),而 $\omega = {2\pi f}$ 相应地称为圆频率. $\omega$ 越大,振动的频率越大. --- $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 中 $A < 0$ 或 $\omega < 0$ ,我们可以用诱导公式将它化为 $A > 0$ 且 $\omega > 0$ . 若函数 --- ${\omega x} + \varphi$ 称为该振动的相位 (phase). 当 $x = 0$ 时的相位 $\varphi$ 称为初始相位 (initial phase). 下面，我们借助于计算器 (机) 来探讨 $A$ 、 $\omega$ 、 $\varphi$ 的变化对函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega > 0}\right)$ 图像的影响. 例 1 当函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega > 0}\right)$ 中的常数 $A$ 、 $\omega$ 、 $\varphi$ 分别取下列各组值时,用计算器 (机) 在同一平面直角坐标系中作出它们的图像: (1) $A = 2,\omega = 1,\varphi = 0$ ； (2) $A = 1,\omega = 2,\varphi = 0$ ； (3) $A = 1,\omega = 1,\varphi = \frac{\pi }{2}$ . 解 用计算器(机)可作出相应的图像,如图 7-3-3 所示: ![bo_d5205277aajc73fu465g_21_584_669_880_346_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_21_584_669_880_346_0.jpg) 图 7-3-3 把例 1 中的三个函数的图像与正弦函数 $y = \sin x$ 的图像进行比较,可以看到,当 $A$ 增大时,图像的振幅增大; 当 $\omega$ 增大时, 图像相邻的两个零点的差的绝对值减小, 即周期减小; 而当 $\varphi$ 增加一个正数值时,正弦曲线向左平移相应的值. 我们已经知道函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega > 0}\right)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ,值域为 $\left\lbrack {-A, A}\right\rbrack$ ,最小正周期为 $\frac{2\pi }{\omega }$ . 那么,如何作出函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的大致图像呢? 我们可先用 “五点法” 作出它在长度为一个周期的区间内的大致图像,再向左、右不断平移,就可以得到函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的大致图像. 例 2 作出函数 $y = 3\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的大致图像,并指出其振幅、频率和初始相位. 解 函数 $y = 3\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的最小正周期 $T = \frac{2\pi }{2} = \pi$ . 由 $0 \leq {2x} + \frac{\pi }{4} \leq {2\pi }$ ,可得 $- \frac{\pi }{8} \leq x \leq \frac{7\pi }{8}$ . 我们先用 “五点法” 作出此函数在区间 $\left\lbrack {-\frac{\pi }{8},\frac{7\pi }{8}}\right\rbrack$ 上的大致图像. 令 $t = {2x} + \frac{\pi }{4}$ ,将五个关键点列表 (表 7-2) 如下: 表 7-2
$t = {2x} + \frac{\pi }{4}$0$\frac{\pi }{2}$$\pi$$\frac{3\pi }{2}$${2\pi }$
$x$$- \frac{\pi }{8}$$\frac{\pi }{8}$$\frac{3\pi }{8}$$\frac{5\pi }{8}$$\frac{7\pi }{8}$
$3\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$030-30
描点并用光滑曲线把它们连接起来. 由于此函数的周期为 $\pi$ , 我们可以把此函数在区间 $\left\lbrack {-\frac{\pi }{8},\frac{7\pi }{8}}\right\rbrack$ 上的大致图像向左、右不断地平移,就可以得到 $y = 3\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的大致图像 (图 7-3-4). 这个函数的振幅为 3,频率为 $f = \frac{\omega }{2\pi } = \frac{1}{\pi }$ ,初始相位为 $\frac{\pi }{4}$ . ![bo_d5205277aajc73fu465g_22_397_1061_456_327_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_22_397_1061_456_327_0.jpg) 图 7-3-4 例 3 已知交流电的电流强度 $I$ 关于时间 $t$ 的函数为 $I = \; {I}_{0}\sin \left( {{\omega t} + \varphi }\right)$ ,其中 ${I}_{0} > 0,\omega > 0,0 \leq \varphi < {2\pi }$ . 根据图像求出它的周期、频率和电流的最大值,并写出 ${I}_{0}\text{ 、 }\omega$ 和 $\varphi$ 的值. ![bo_d5205277aajc73fu465g_22_315_1681_616_236_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_22_315_1681_616_236_0.jpg) 图 7-3-5 解 由图像可以看出,这个交流电的周期 $T = {0.02}\mathrm{\;s}$ ,频率 $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = {50}\mathrm{\;{Hz}}$ ,电流的最大值为 ${10}\mathrm{\;A}$ . --- 当 $t = {2x} + \frac{\pi }{4}$ 取 $0\text{ 、 }\frac{\pi }{2}\text{ 、 }\pi \text{ 、 }\frac{3\pi }{2}\text{ 、 }{2\pi }$ 时, 相对应的点是作 $y = 3\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right) , \; x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{8},\frac{7\pi }{8}}\right\rbrack$ 图像的五个关键点. --- 在 $I = {I}_{0}\sin \left( {{\omega t} + \varphi }\right)$ 中, ${I}_{0} = {10},\omega = \frac{2\pi }{T} = \frac{2\pi }{0.02} = {100\pi }$ . 再把点 $\left( {\frac{T}{4},{10}}\right)$ 即 $\left( {{0.005},{10}}\right)$ 代入 $I = {I}_{0}\sin \left( {{\omega t} + \varphi }\right)$ ,得 $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \varphi }\right) = 1$ . 又因为 $0 \leq \varphi < {2\pi }$ ,所以 $\varphi = 0$ . --- 在例 3 中确定初相 $\varphi$ 时,若把点 $\left( {0,0}\right)$ 代入函数表达式，得 $\sin \varphi = 0$ ,并取 $\varphi = \pi$ , 这种做法对吗? 为什么? --- #### 练习 7.3 1. 作出下列函数的大致图像: (1) $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}}\right)$ ； (2) $y = 3\sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{3}}\right)$ . 2. 下列函数中,与函数 $y = 5\sin \left( {{3x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的图像形状相同的是 ( ) A. $y = 8\sin \left( {{3x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ ; B. $y = 3\sin \left( {{5x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ ; C. $y = 5\sin 2\left( {x + \frac{\pi }{4}}\right)$ ; D. $y = 5\sin 3\left( {x + \frac{\pi }{4}}\right)$ . 3. 下图是函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right)$ 的图像,请根据图中的信息,写出该图像的一个函数表达式. ![bo_d5205277aajc73fu465g_23_615_1158_447_292_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_23_615_1158_447_292_0.jpg) (第 3 题) ##### 探究与实践 ###### 潮汐的函数模拟 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐. 一般早潮叫潮, 晚潮叫汐. 下面是某港有一天记录的潮汐高度 (cm) 与相应时间 (h) 的关系表 (表7-3) 和潮汐曲线图 (图 7-3-6): 表 7-3
时间/h1$8\frac{19}{30}$13 $\frac{53}{60}$20 $\frac{7}{10}$
潮汐高度/cm478112461116
![bo_d5205277aajc73fu465g_24_431_269_773_421_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_24_431_269_773_421_0.jpg) 图 7-3-6 请根据以上数据,选择适当的函数模型,写出潮汐高度 $y\left( \mathrm{\;{cm}}\right)$ 关于时间 $t\left( \mathrm{\;h}\right)$ 的函数的近似表达式. ##### 课后阅读 ###### 声音中的三角函数 当我们演奏钢琴、小提琴等乐器时，其琴弦振动引起周围空气的振动，这些振动再传到我们的耳膜引起耳膜振动, 我们就能听到美妙的音乐了. 虽然这些振动变化非常复杂, 但它们都有明显的周期性, 可以用三角函数来描述. 音叉振动产生的声音是纯音,可以用函数 $A\sin \left( {{\omega t} + \varphi }\right)$ 来表示,其中振幅 $A$ 决定音量的大小,频率 $f = \frac{\omega }{2\pi }$ 决定音调的高低. 频率高的声音尖利,而频率低的声音低沉. 纯音的频率固定, 很简单, 但它听起来非常单调. 钢琴或小提琴等乐器产生的音都不是纯音, 但它们可以分解为各种纯音的和, 其中频率最低的纯音称为基音, 其他的称为泛音. 不同乐器奏出同一个音符时, 其基音相同, 但泛音各不相同, 形成了乐器的音色. 泛音的频率是基音频率的倍数, 由微积分中的傅里叶级数展开, 可知一个乐器的振动可以写为 $$ {A}_{0} + {A}_{1}\sin \left( {{\omega t} + {\varphi }_{1}}\right) + {A}_{2}\sin \left( {{2\omega t} + {\varphi }_{2}}\right) + {A}_{3}\sin \left( {{3\omega t} + {\varphi }_{3}}\right) + \cdots . $$ 在音乐会上，当多种乐器同时演奏时，我们可以通过泛音来辨别出不同乐器所发出的声音. 既然音叉和乐器发出的声音都是振动, 我们也可以通过比较两个声音的差别来调校乐器. 例如, 可以用标准音叉来调准钢琴某个键的发音. 简单起见, 设某标准音叉和钢琴某个键发出的音量大小相同, 即这两个振动的振幅相同, 于是这两个振动可分别记作 $A\sin \left( {{\omega }_{1}t + {\varphi }_{1}}\right)$ 和 $A\sin \left( {{\omega }_{2}t + {\varphi }_{2}}\right)$ ,其中 ${\omega }_{1}$ 及 ${\omega }_{2}$ 分别为两者的圆频率. 当这两个振动合成时, 由和差化积公式, 合成后的振动可以表示为 $$ A\sin \left( {{\omega }_{1}t + {\varphi }_{1}}\right) + A\sin \left( {{\omega }_{2}t + {\varphi }_{2}}\right) $$ $$ = {2A}\sin \left( {\frac{{\omega }_{1} + {\omega }_{2}}{2}t + \frac{{\varphi }_{1} + {\varphi }_{2}}{2}}\right) \cos \left( {\frac{{\omega }_{1} - {\omega }_{2}}{2}t + \frac{{\varphi }_{1} - {\varphi }_{2}}{2}}\right) . $$ 当两者的频率很接近,即 ${\omega }_{1}$ 和 ${\omega }_{2}$ 很接近时, $\cos \left( {\frac{{\omega }_{1} - {\omega }_{2}}{2}t + \frac{{\varphi }_{1} - {\varphi }_{2}}{2}}\right)$ 的频率很低, 会产生如下合成后的振动图像(图 7-3-7): ![bo_d5205277aajc73fu465g_25_435_539_807_154_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_25_435_539_807_154_0.jpg) 图 7-3-7 这时,我们可以听到时响时轻的拍音. 调整琴键的频率直到听不到拍音时,就得到 ${\omega }_{1} \; \approx {\omega }_{2}$ ,这个键就校准好了. #### 习题 7.3 ##### A 组 1. 当函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega > 0}\right)$ 中的常数 $A\text{ 、 }\omega \text{ 、 }\varphi$ 分别取下列各组值时, 在同一平面直角坐标系中分别作出它们的图像: (1) $A = \frac{1}{2},\omega = 1,\varphi = 0$ ； (2) $A = 1,\omega = \frac{1}{2},\varphi = 0$ ； (3) $A = 1,\omega = 1,\varphi = - \frac{\pi }{2}$ . 2. 求函数 $y = \sqrt{2}\sin \left( {{30\pi x} - \frac{\pi }{12}}\right)$ 的振幅、频率和初始相位. 3. 已知某交流电流 $I\left( \mathrm{\;A}\right)$ 随时间 $t\left( \mathrm{\;s}\right)$ 的变化规律可以用函数 $I = 8\sin \left( {{100\pi t} - \frac{\pi }{2}}\right)$ ， $t \in \lbrack 0, + \infty )$ 表示. 求这种交流电流在 ${0.5}\mathrm{\;s}$ 内往复运行的次数. 4. 作出函数 $y = 2\sin \left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{6}}\right)$ 的大致图像. 5. 如图, 弹簧挂着的小球上下振动. 设小球相对于平衡位置(即静止时的位置) 的距离 $h\left( \mathrm{\;{cm}}\right)$ 与时间 $t\left( \mathrm{\;s}\right)$ 之间的函数表达式是 $h = 2\sin \left( {{\pi t} + \frac{\pi }{4}}\right) , t \geq 0$ ,作出这个函数的大致图像,并回答下列问题: ![bo_d5205277aajc73fu465g_25_1207_1816_295_275_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_25_1207_1816_295_275_0.jpg) (第 5 题) (1)小球开始振动 (即 $t = 0$ ) 时的位置在哪里? (2)小球最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次？ (4)每秒钟小球往复振动多少次？ ##### B 组 ![bo_d5205277aajc73fu465g_26_1031_440_440_243_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_26_1031_440_440_243_0.jpg) (第 2 题) 1. 作出函数 $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ 的大致图像. 2. 如图,已知函数 $y = A\cos \left( {{\omega x} + \varphi }\right) (A > 0,\omega > 0$ , $0 < \varphi < {2\pi })$ 的图像与 $y$ 轴的交点为 $\left( {0,1}\right)$ ,并已知其在 $y$ 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 $\left( {{x}_{0},2}\right)$ 和 $\left( {{x}_{0} + {2\pi }, - 2}\right)$ . 求此函数的表达式. 3. 三相交流电的插座上有四个插孔, 其电压分别为 $$ {U}_{0} = 0,{U}_{1} = A\sin {\omega t},{U}_{2} = A\sin \left( {{\omega t} + \frac{2\pi }{3}}\right) ,{U}_{3} = A\sin \left( {{\omega t} + \frac{4\pi }{3}}\right) , $$ 其中 $\omega = {100\pi }\mathrm{{rad}}/\mathrm{s}, A = {220}\sqrt{2}\mathrm{\;V}$ . 记 ${U}_{2} - {U}_{1},{U}_{3} - {U}_{2},{U}_{1} - {U}_{3}$ 的最大值分别为 ${Y}_{1}$ 、 ${Y}_{2}\text{ 、 }{Y}_{3}$ ,试计算三相交流电的线电压的有效值 $\frac{{Y}_{1}}{\sqrt{2}}\text{ 、 }\frac{{Y}_{2}}{\sqrt{2}}$ 及 $\frac{{Y}_{3}}{\sqrt{2}}$ . ## 7.4 正切函数的图像与性质 由正切的定义可知,对于任意一个给定的实数 $x$ ,只要 $x \neq \; {k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ ,都有唯一确定的正切值 $\tan x$ 与之对应. 按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数,表示为 $y = \tan x$ . 正切函数的定义域是 $\left\{ {x\left| {\;x \in \mathbf{R}}\right. }\right.$ 且 $\left. {x \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) }\right\}$ . 下面我们探讨正切函数的图像和性质. ### 1 正切函数的图像 ![bo_d5205277aajc73fu465g_27_228_1033_241_343_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_27_228_1033_241_343_0.jpg) 图 7-4-1 我们知道,正切值 $\tan \alpha$ 可以用角 $\alpha$ 的终边所在直线与直线 $x = 1$ 的交点的纵坐标表示(图 7-4-1). 类似于作正弦函数图像的方法, 利用单位圆并结合描点法我们可以作出 $y = \tan x, x \in \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 的大致图像 (图 7-4-2). ![bo_d5205277aajc73fu465g_27_802_1277_444_498_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_27_802_1277_444_498_0.jpg) 图 7-4-2 因为 $\tan \left( {x + {k\pi }}\right) = \tan x, k \in \mathbf{Z}$ ,所以函数 $y = \tan x$ 当 $x \in \left( {\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}}\right) , x \in \left( {\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}}\right) ,\cdots$ 时的图像与 $y = \tan x$ , $x \in \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 的图像形状一样,只需将后者图像的位置向右平移 $\pi \text{ 、 }{2\pi }\text{ 、 }\cdots$ 就可得到; 同理,函数 $y = \tan x$ 当 $x \in \left( {-\frac{3\pi }{2}, - \frac{\pi }{2}}\right)$ , $x \in \left( {-\frac{5\pi }{2}, - \frac{3\pi }{2}}\right) ,\cdots$ 时的图像与 $y = \tan x, x \in \left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 的图像形状也一样,只需将后者图像的位置向左平移 $\pi \text{ 、 }{2\pi }\text{ 、 }\cdots$ 就可得到. 这样,就可以得到函数 $y = \tan x$ 的整个图像 (图 7-4-3). ![bo_d5205277aajc73fu465g_28_361_439_530_323_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_28_361_439_530_323_0.jpg) 图 7-4-3 因为 $y = \tan x$ 的定义域是 $\left\{ {x\left| {\;x \in \mathbf{R}, x \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) }\right. }\right\}$ , 其图像由无穷多支曲线所组成,它们被直线 $x = \pm \frac{\pi }{2}, x = \pm \frac{3\pi }{2}$ , $x = \pm \frac{5\pi }{2},\cdots$ 即 $x = {k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 所隔开. ### 2 正切函数的性质 #### (1)周期性 由诱导公式 $\tan \left( {x + \pi }\right) = \tan x$ 可知,正切函数是周期函数, ${k\pi }\left( {k \in \mathbf{Z}, k \neq 0}\right)$ 均是它的周期, $\pi$ 是它的最小正周期. #### (2) 值域 由正切函数 $y = \tan x$ 的定义可以得到,正切函数 $y = \tan x$ 的值域是实数集 $\mathbf{R}$ ,它既没有最大值,也没有最小值. #### (3) 奇偶性 由诱导公式 $\tan \left( {-x}\right) = - \tan x$ 可知,正切函数 $y = \tan x$ 是奇函数. 因此, 其图像关于坐标原点对称. #### (4) 单调性 由于正切函数是以 $\pi$ 为最小正周期的函数,可以先在区间 $\left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 上研究正切函数的单调性. 对于区间 $\left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 中的任意给定的满足 ${x}_{1} < {x}_{2}$ 的实数 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}$ ,有 $$ \tan {x}_{2} - \tan {x}_{1} = \frac{\sin {x}_{2}}{\cos {x}_{2}} - \frac{\sin {x}_{1}}{\cos {x}_{1}} $$ $$ = \frac{\sin {x}_{2}\cos {x}_{1} - \cos {x}_{2}\sin {x}_{1}}{\cos {x}_{2}\cos {x}_{1}} $$ $$ = \frac{\sin \left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) }{\cos {x}_{2}\cos {x}_{1}}. $$ 由 $- \frac{\pi }{2} < {x}_{1} < {x}_{2} < \frac{\pi }{2}$ ,易知 $0 < {x}_{2} - {x}_{1} < \pi$ . 于是 $\cos {x}_{1} > 0$ , $\cos {x}_{2} > 0$ ,且 $\sin \left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) > 0$ . 由上式就有 $\tan {x}_{2} - \tan {x}_{1} > 0$ ,即 $\tan {x}_{2} > \tan {x}_{1}$ ,从而正切函数 $y = \tan x$ 在区间 $\left( {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right)$ 上是严格增函数. 又因为正切函数是以 $\pi$ 为最小正周期的周期函数,所以正切函数 $y = \tan x$ 在区间 $\left( {{k\pi } - \frac{\pi }{2},{k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 上是严格增函数. 例 1 求函数 $y = \tan \left( {\frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的定义域和单调区间. 解 由正切的定义,该函数的自变量 $x$ 满足 $\frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3} \neq {k\pi } + \; \frac{\pi }{2}$ ,即 $x \neq {6k} + 1\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ . 所以,该函数的定义域为 $$ \{ x \mid x \in \mathbf{R}, x \neq {6k} + 1, k \in \mathbf{Z}\} . $$ 由正切函数的单调性可知,当 ${k\pi } - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3} < {k\pi } + \frac{\pi }{2} \; \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 时,即 ${6k} - 5 < x < {6k} + 1\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ 时,函数 $y = \tan \left( {\frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 是严格增函数. 因此,函数 $y = \tan \left( {\frac{\pi }{6}x + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的单调增区间是 $({6k} - 5$ , ${6k} + 1)\left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$ . 例 2 求函数 $y = \tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ 的最小正周期. 解 记 $f\left( x\right) = \tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ ,有 $$ f\left( x\right) = \tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right) = \tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{6} + \pi }\right) $$ $$ = \tan \left\lbrack {2\left( {x + \frac{\pi }{2}}\right) + \frac{\pi }{6}}\right\rbrack = f\left( {x + \frac{\pi }{2}}\right) , $$ 可知函数 $y = f\left( x\right)$ 的一个正周期 $T = \frac{\pi }{2}$ . 此外, $\frac{\pi }{2}$ 也是函数 $y = \tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{6}}\right)$ 的最小正周期. 事实上, 令 $t = {2x} + \frac{\pi }{6}$ ,原来的函数可改写为 $y = \tan t$ ,其以 $t$ 为自变量的最小正周期为 $\pi$ . 返回到 $x$ 变量,因 $x = \frac{t}{2} - \frac{\pi }{12}$ ,故原来函数的最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ . #### 练习 7.4 1. 写出满足 $\tan \alpha = \sqrt{3}$ 的所有 $\alpha$ 的集合. 2. 比较下列各组数的大小, 并说明理由: (1) $\tan \left( {-\frac{2}{7}\pi }\right)$ 与 $\tan \left( {-\frac{2}{5}\pi }\right)$ ; (2) $\cot {231}^{ \circ }$ 与 $\cot {237}^{ \circ }$ ； (3) $\tan \left( {{k\pi } - \frac{\pi }{3}}\right)$ 与 $\tan \left( {{k\pi } + \frac{\pi }{3}}\right) , k \in \mathbf{Z}$ . 3. 求函数 $y = \tan \left( {{3x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ 的定义域,并写出其单调区间. ##### 探究与实践 ###### 球门的张角问题 某国际标准足球场长 ${105}\mathrm{\;m}$ 、宽 ${68}\mathrm{\;m}$ ,球门宽 ${7.32}\mathrm{\;m}$ . 当足球运动员沿边路带球突破时, 距底线多远处射门, 对球门所张的角最大? ![bo_d5205277aajc73fu465g_30_410_1839_336_234_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_30_410_1839_336_234_0.jpg) ![bo_d5205277aajc73fu465g_30_894_1858_316_213_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_30_894_1858_316_213_0.jpg) #### 习题 7.4 ##### A 组 1. 求下列函数的最小正周期: (1) $y = \tan \left( {-\frac{1}{2}x}\right)$ ； (2) $y = \tan \left( {{3x} + \frac{\pi }{3}}\right)$ . 2. 求函数 $y = \tan \left( {{ax} + b}\right)$ ( $a\text{ 、 }b$ 为常数,且 $a \neq 0$ ) 的最小正周期. 3. 求函数 $y = \tan x, x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}}\right\rbrack$ 的最大值和最小值,并指出使其取得最大值和最小值时所有 $x$ 的值. 4. 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由: (1) $y = \tan {2x}$ ; (2) $y = \left| {\tan x}\right|$ ； (3) $y = \frac{1}{\tan x}$ ； (4) $y = \frac{\tan x}{x}$ . 5. 求函数 $y = 2\tan \left( {{3x} - \frac{\pi }{6}}\right)$ 的定义域和单调区间. ##### B 组 1. 求正切函数 $y = \tan x$ 的零点. 2. 对于函数 $y = f\left( x\right)$ ,其中 $f\left( x\right) = a\sin {2x} + b\tan x + 3$ ,已知 $f\left( {-2}\right) = 1$ . 求 $f\left( {\pi + 2}\right)$ 的值. 3. 求函数 $y = {\tan }^{2}x - \tan x, x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}}\right\rbrack$ 的最大值与最小值. ## 内容提要
三角函数正弦函数 $y = \sin x$余弦函数 $y = \cos x$正切函数 $y = \tan x$
定义域$\mathbf{R}$$\mathbf{R}$$\left\{ {x\left| {\;x \in \mathbf{R}, x \neq {k\pi } + \frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbf{Z}}\right) }\right. }\right\}$
值域[-1,1]$\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$$\mathbf{R}$
最大值11无
最小值-1-1无
最小正周期${2\pi }$${2\pi }$$\pi$
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调增区间$\left\lbrack {{2k\pi } - \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$$\left\lbrack {{2k\pi } - \pi ,{2k\pi }}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$$\left( {{k\pi } - \frac{\pi }{2},{k\pi } + \frac{\pi }{2}}\right) \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$
单调减区间$\left\lbrack {{2k\pi } + \frac{\pi }{2},{2k\pi } + \frac{3\pi }{2}}\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$$\left\lbrack {{2k\pi },{2k\pi } + \pi }\right\rbrack \left( {k \in \mathbf{Z}}\right)$无
图像
## 复习题 ### A 组 1. 求下列函数的最小正周期: (1) $y = \sin \frac{x}{2}$ ; (2) $y = 2\cos \left( {{3x} - \frac{\pi }{4}}\right)$ . 2. 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由: (1) $y = \sin \left| {2x}\right|$ ; (2) $y = \tan {5x}$ ； (3) $y = \frac{1}{\cos x}$ ； (4) $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}}\right)$ . 3. 已知 $2\sin \left( {2x}\right) = \sqrt{3}, x \in \left( {-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}}\right)$ . 求 $x$ 的值. 4. 求下列函数的单调区间: (1) $y = - \sin {2x}$ ； (2) $y = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}}\right)$ ； (3) $y = \cos \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}}\right)$ ； (4) $y = 2\tan \left( {{2x} + \frac{\pi }{4}}\right)$ . 5. 作出函数 $y = 2\sin \left( {{2x} + \frac{\pi }{3}}\right)$ 的大致图像. 6. 已知函数 $y = A\sin \left( {{\omega x} + \varphi }\right) \left( {A > 0,\omega > 0}\right)$ 的振幅是 3,最小正周期是 $\frac{2\pi }{3}$ ,初始相位是 $\frac{\pi }{6}$ . 求这个函数的表达式. 7. 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时所有 $x$ 的值: (1) $y = {\cos }^{2}x + \cos x - 2$ ； (2) $y = \sin {2x}, x \in \left\lbrack {-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3}}\right\rbrack$ ； (3) $y = {\sin }^{2}{2x} - 2\sin {2x}$ ； (4) $y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}}\right) , x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}}\right\rbrack$ . 8. 某实验室一天的温度 $y$ (单位:℃)随时间 $t$ (单位:h)的变化近似满足函数关系 $$ y = {10} - \sqrt{3}\cos \frac{\pi }{12}t - \sin \frac{\pi }{12}t, t \in \lbrack 0,{24}). $$ (1)求实验室一天中的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于 ${11}^{ \circ }\mathrm{C}$ ,则在哪段时间实验室需要降温？ ### B 组 1. 求函数 $y = \sin \left( {{2x} - \frac{\pi }{4}}\right) - 2\sqrt{2}{\sin }^{2}x$ 的最小正周期. 2. 在 $\left( {0,{2\pi }}\right)$ 内,求使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围. 3. 求下列函数的最大值,并求出取得最大值时所有 $x$ 的值: (1) $y = 2{\sin }^{2}x + \sin {2x} - 1$ (2) $y = 1 - \sin x - 2{\cos }^{2}x, x \in \left\lbrack {\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}}\right\rbrack$ . 4. 若函数 $y = 2\sin {\omega x}$ (其中常数 $\omega$ 是小于 1 的正数) 在区间 $\left\lbrack {0,\frac{\pi }{3}}\right\rbrack$ 上的最大值是 $\sqrt{2}$ , 求 $\omega$ 的值. 5. 如图，摩天轮上一点 $P$ 距离地面的高度 $y$ 关于时间 $t$ 的函数表达式为 $y = A\sin \left( {{\omega t} + \varphi }\right) + b,\varphi \in \left\lbrack {-\pi ,\pi }\right\rbrack$ . 已知摩天轮的半径为 ${50}\mathrm{\;m}$ ,其中心点 $O$ 距地面 ${60}\mathrm{\;m}$ ,摩天轮以每 30 分钟转一圈的方式做匀速转动,而点 $P$ 的起始位置在摩天轮的最低点处. ![bo_d5205277aajc73fu465g_33_1148_1693_353_253_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_33_1148_1693_353_253_0.jpg) (第 5 题) (1)根据条件具体写出 $y\left( \mathrm{m}\right)$ 关于 $t\left( \mathrm{{min}}\right)$ 的函数表达式; (2)在摩天轮转动的一圈内,点 $P$ 有多长时间距离地面超过 ${85}\mathrm{\;m}$ ? *6. 说明: 用上一章 6.3 节给出的记号 arcsin 与 arccos(见第 45 页), 可以定义函数 $$ y = \arcsin x\left( {x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \text{ 与 }y = \arccos x\left( {x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) . $$ 验证: (1)函数 $y = \sin x\left( {x \in \left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack }\right)$ 与函数 $y = \arcsin x\left( {x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right)$ 互为反函数； (2)函数 $y = \cos x\left( {x \in \left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack }\right)$ 与函数 $y = \arccos x\left( {x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right)$ 互为反函数. *7. 把上题的记号略作推广: 对实数 $x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ , 若实数 $y \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack$ 使得 $\sin y = x$ ,则记 $y = \arcsin x$ ; 类似地,对实数 $x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ ,若实数 $y \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack$ 使得 $\cos y \; = x$ ,则记 $y = \arccos x$ . 说明: 经过推广的记号 arcsin 与 $\arccos$ ,定义了函数 $y = \arcsin x\left( {x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack }\right)$ 与 $y = \arccos x\left( {x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack }\right)$ . --- 函数 $y = \arcsin x\left( {x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack }\right)$ 、 $y = \arccos x\left( {x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack }\right)$ 与 $y = \; \arctan x\left( {x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right)$ 分别称为反正弦函数、反余弦函数与反正切函数. 这些函数统称为反三角函数. --- 验证: (1)函数 $y = \sin x\left( {x \in \left\lbrack {-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}\right\rbrack }\right)$ 与函数 $y = \arcsin x(x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ ) 互为反函数; (2)函数 $y = \cos x\left( {x \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack }\right)$ 与函数 $y = \arccos x\left( {x \in \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack }\right)$ 互为反函数. *8. 对 $y = \tan x$ 与 $y = \arctan x$ 做类似的工作. ### 拓展与思考 1. 定义在区间 $\left( {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ 上的函数 $y = 6\cos x$ 的图像与 $y = 5\tan x$ 的图像的交点为 $P$ ,过点 $P$ 作垂直于 $x$ 轴的垂线 $P{P}_{1}$ ,其垂足为 ${P}_{1}$ . 设直线 $P{P}_{1}$ 与 $y = \sin x$ 的图像交于点 ${P}_{2}$ , 求线段 ${P}_{1}{P}_{2}$ 的长. 2. 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $y = f\left( x\right)$ 的最小正周期为 2,当 $0 \leq x \leq 1$ 时, $f\left( x\right) = x$ . (1)求当 $5 \leq x \leq 6$ 时函数 $y = f\left( x\right)$ 的表达式； (2)若函数 $y = {kx}, x \in \mathbf{R}$ 与函数 $y = f\left( x\right)$ 的图像恰有 7 个不同的交点，求 $k$ 的值. ![bo_d5205277aajc73fu465g_34_1130_1594_344_337_0.jpg](images/bo_d5205277aajc73fu465g_34_1130_1594_344_337_0.jpg) (第 3 题) 3. 如图，有一块边长为3m的正方形铁皮 ${ABCD}$ ，其中阴影部分 ${ATN}$ 是一个半径为 $2\mathrm{\;m}$ 的扇形. 设这个扇形已经腐蚀不能使用, 但其余部分均完好. 工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在 ${BC}$ 与 ${CD}$ 上的矩形铁皮 ${PQCR}$ ,使点 $P$ 在弧 ${TN}$ 上. 设 $\angle {TAP} = \theta$ ,矩形 ${PQCR}$ 的面积为 $S{\mathrm{\;m}}^{2}$ . (1)求 $S$ 关于 $\theta$ 的函数表达式； (2)求 $S$ 的最大值及 $S$ 取得最大值时 $\theta$ 的值.