异面直线间的距离.

前面已经定义了两条异面直线所成的角, 但这显然还不足以完全确定两条异面直线的相互位置. 例如, 在图 10-5-1 中, 为一个二面角,在平面 上作一直线 垂直于棱 ,垂足为 ; 而在平面 上分别作两条直线 及 垂直于棱 ,垂足分别为 . 由 ,异面直线 所成的角与 所成的角是相等的,但 及 离 的距离却不一样. 该如何定义两条异面直线的距离呢?

图 10-5-1

在图 10-5-1 中,是否可以用线段 和 来分别表示异面直线 之间及异面直线 之间的距离呢? 要想这样做, 首先需要保证用这样的方式所定义的距离是唯一确定的, 也就是说, 要证明下面的定理.

定理 对于任意给定的两条异面直线, 存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交.

证明 先证明存在性. 如图 10-5-2,在直线 上任取一点 ,过 作直线 ,使得 . 设 及 所确定的平面为 , 则 . 过直线 作平面 垂直于平面 ,并相交于直线 . 由 ,有 . 又因 ,故 . 设 与 的交点为 ,在平面 上过 作直线 垂直于 . 因为平面 垂直于平面 , 所以直线 垂直于平面 ,从而直线 . 这样,直线 与异面直线 都垂直且相交.

图 10-5-2

已知: 直线 是异面直线.

求证: 存在唯一的直线与 都垂直且相交.

图 10-5-3

再证明唯一性. 如图 10-5-3,假设除了 ,还有一条公垂线 ,使得 ,垂足分别为 . 因为 , 所以 ,而 与 是平面 上的两条相交直线,所以 . 又 ,所以 ,从而 共面,而这与 是异面直线矛盾.

求两条异面直线之间的距离是立体几何中比较困难的问题, 其难点主要在于要找两条异面直线的公垂线段. 回顾上述定理的证明过程,如图 10-5-2,因为 ,异面直线 与 之间的距离等于公垂线段 的长,也等于直线 到平面 的距离,所以在求两条异面直线的距离时, 可以先过其中一条直线作一个平面平行于另一条直线, 从而把线线间的距离转化为线面间的距离.

图 10-5-4