| 位置关系 | 符号表示 | 图形表示 |
| 点与直线 | 点 $A$ 在直线 $l$ 上,也称直线 $l$ 经过点 $A$ | $A \in l$ |  |
| 点 $B$ 不在直线 $l$ 上,也称直线 $l$ 不经过点 $B$ | $B \notin l$ |  |
| 点与平面 | 点 $A$ 在平面 $\alpha$ 上,也称平面 $\alpha$ 经过点 $A$ | $A \in \alpha$ |  |
| 点 $B$ 不在平面 $\alpha$ 上,也称平面 $\alpha$ 不经过点 $B$ | $B \notin \alpha$ |  |
在图 10-1-3 的长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中, $A \in$ 直线 ${AB}$ , ${A}_{1} \notin$ 直线 ${AB}, B \in$ 平面 $B{B}_{1}{C}_{1}C, A \notin$ 平面 $B{B}_{1}{C}_{1}C$ 等. 我们还可以发现,直线 ${AB}$ 在平面 ${ABCD}$ 上 (即直线 ${AB}$ 上的所有点都在平面 ${ABCD}$ 上),但直线 ${AB}$ 不在平面 $B{B}_{1}{C}_{1}C$ 上.
在平面几何中, 我们已经知道两点确定一条直线. 由此是否可以推测: 如果一条直线上有两个点在一个平面上, 那么整条直线都在这个平面上? 其实, 这正是人们经过长期的观察与实践总结出来的一个基本事实, 我们把它当作一个公理. 9
公理 1 如果一条直线上有两点在一个平面上, 那么这条直线上所有的点都在这个平面上.
这时, 我们说这条直线在这个平面上, 或者说此平面经过该直线. 如图 10-1-4, 公理 1 可用符号语言表述为:
图 10-1-4
若点 $A \in \alpha$ ,点 $B \in \alpha$ ,则直线 ${AB} \subset \alpha$ .
公理 1 可以用来判断一条直线是否在某个平面上. 由公理 1 知, 不在平面上的直线与这个平面最多只有一个公共点.
如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 只有一个公共点 $A$ ,就称直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $A$ ,或称 $A$ 是直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的交点,记作 $l \cap \alpha = A$ (图 10-1-5(1)). 如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 没有公共点,就称直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行,记作 $l \cap \alpha = \varnothing$ 或 $l//\alpha$ (图 10-1-5(2)).
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如无特别说明, 本章中所说的两个点、 两条直线、两个平面等均指它们不相重合的情形.
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图 10-1-5
画图时,若直线 $l$ 在平面 $\alpha$ 上时,应将直线 $l$ 画在表示平面 $\alpha$ 的平行四边形的内部,如图 10-1-6 所示.
图 10-1-6
图 10-1-7
例 1 已知三角形 ${ABC}$ 的三个顶点 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 都在平面 $\alpha$ 上，求证:该三角形的重心 $G$ 也在平面 $\alpha$ 上.
证明 如图 10-1-7,记线段 ${AB}$ 的中点为 $M$ . 因为 $A \in \alpha$ , $B \in \alpha$ ,由公理 1 可知,直线 ${AB} \subset \alpha$ ,而 $M \in {AB}$ ,从而 $M \in \alpha$ .
又因为 $C \in \alpha$ ,仍由公理 1 知, ${CM} \subset \alpha$ . 由于重心 $G$ 是线段 ${CM}$ 的一个三等分点,因此 $G \in \alpha$ .
#### 练习 10.1(1)
1. 如图, 用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系.
(第 1 题)
2. 证明:若四边形有三条边在一个平面上, 则它的第四条边也在这个平面上.
我们知道两点确定一条直线, 那么在空间要确定一个平面需要几个点呢?
生活中我们都有这样的经验: 三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机；两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定; 一扇门尽管有两个合页固定在门框上, 但仍然可以转动, 只有锁上后才可以固定下来. 这些例子都说明了一个事实, 那就是不在同一直线上的三点才能确定一个平面. 由此, 我们得到下面的公理.
公理 2 不在同一直线上的三点确定一个平面.
这里，“确定一个平面”意指“(经过这三个点)有且只有一个平面”或“存在唯一的平面”，如图 10-1-8 所示. 公理 2 可以具体表述为: 若 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 三点不在同一直线上,则存在唯一的平面 $\alpha$ ,使得 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 三点均在此平面上.
图 10-1-8
根据公理 2 可以得到下面的三个推论:
推论 1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面.
推论 2 两条相交直线确定一个平面.
推论 3 两条平行直线确定一个平面.
图 10-1-9 给出了上述三个推论的直观表示. 这些推论也可以用符号语言来表述，如推论 1 可以表述为:若 $A \notin l$ ，则存在唯一的平面 $\alpha$ ,使得 $A \in \alpha , l \subset \alpha$ .
图 10-1-9
公理是进一步推理的基础, 是不证自明的事实, 但公理的推论是需要证明的. 下面，我们仅给出推论 1 的证明. 推论 2 的证明可以仿照推论 1 进行, 推论 3 的证明要借助于公理 4 ，我们分别把它们放在本节和下一节的习题中留给同学们完成.
证明 设 $A$ 是直线 $l$ 外的一点,在直线 $l$ 上任取 $B$ 和 $C$ 两点 (图 10-1-9(1)). 由公理 2 可知, $A\text{ 、 }B$ 和 $C$ 三点能确定一个平面 $\alpha$ . 因为点 $B\text{ 、 }C \in \alpha$ ,由公理 1 可知, $B\text{ 、 }C$ 所在的直线 $l \subset \alpha$ ,从而平面 $\alpha$ 是由直线 $l$ 和点 $A$ 确定的平面.
公理 2 及其三个推论可以用来构造一个平面或者判断点与直线是不是在同一个平面上. 如果可以判定某个空间图形在同一个平面上, 那么它实际上就是一个平面图形, 从而可以用平面几何的知识和方法来处理相应的问题.
例 2 已知三条直线 ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 和 ${l}_{3}$ 两两相交,且不交于同一点. 求证: 直线 ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 和 ${l}_{3}$ 在同一平面上.
证明 因为直线 ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 和 ${l}_{3}$ 两两相交,设 ${l}_{1} \cap {l}_{2} = A$ , ${l}_{2} \cap {l}_{3} = B,{l}_{3} \cap {l}_{1} = C$ ,如图 10-1-10 所示.
图 10-1-10
由推论 2 可知,相交的直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 可确定一个平面 $\alpha$ ,即有 ${l}_{1} \subset \alpha ,{l}_{2} \subset \alpha$ . 因为 $B \in {l}_{2}, C \in {l}_{1}$ ,所以 $B\text{ 、 }C \in \alpha$ ,且 $B\text{ 、 }C$ 不重合. 由公理 1 可知,点 $B\text{ 、 }C$ 所在的直线 ${l}_{3} \subset \alpha$ ,从而直线 ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 和 ${l}_{3}$ 都在平面 $\alpha$ 上.
#### 练习 10.1(2)
(第 2 题)
1. 已知 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 是空间的三条直线， $a//b$ ，且 $c$ 与 $a\text{ 、 }b$ 都相交. 求证: 直线 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 在同一平面上.
2. 如图,在长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,画出 ${A}_{1}B$ 与 $A$ 、 ${B}_{1}\text{ 、 }C$ 所确定的平面的交点,并说明理由.
3. 如何用绳子检查桌椅的四个脚是否立于同一平面上? 给出方案并说明理由.
#### 2 相交平面
观察教室里的墙面，可以看到:相邻的两个墙面都有一条交线. 在一般的情况下, 我们有下面的公理.
公理 3 可具体表述为: 若两平面 $\alpha$ 及 $\beta$ 有一个公共点 $A$ ,则它们有唯一的公共直线 $l$ ,且公共点 $A$ 在 $l$ 上,如图 10-1-11 所示.
图 10-1-11
公理 3 如果两个不同的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
根据公理 3,两个平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 间的位置关系只有两种: 相交于一条公共直线 $l$ 或者没有公共点. 前者称为相交,记作 $\alpha \cap \beta = \; l$ ; 后者称为平行,记作 $\alpha //\beta$ 或 $\alpha \cap \beta = \varnothing$ .
画两个相交平面时, 通常要画出它们的交线, 如图 10-1-11 所示; 画两个平行平面时, 要使表示这两个平面的相应平行四边形的对应边平行, 如图 10-1-12 所示. 注意, 在画图时, 凡被一个平面遮住的所有线条要画成虚线.
图 10-1-12
图 10-1-13
例 3 如图 10-1-13,在长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,找出下列各对平面的交线:
(1)平面 ${ABCD}$ 与平面 $A{A}_{1}{B}_{1}B$ ；
(2)平面 ${A}_{1}{BD}$ 与平面 ${C}_{1}{BD}$ ；
(3)平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 与平面 ${BD}{D}_{1}{B}_{1}$ ；
(4)平面 ${ABCD}$ 与平面 $B{B}_{1}{D}_{1}$ .
解 (1) 因为 $A$ 及 $B$ 是平面 ${ABCD}$ 与平面 $A{A}_{1}{B}_{1}B$ 的公共点,所以这两个平面的交线是棱 ${AB}$ 所在的直线.
(2)因为 $B$ 及 $D$ 是平面 ${A}_{1}{BD}$ 与平面 ${C}_{1}{BD}$ 的公共点，所以这两个平面的交线是长方体底面对角线 ${BD}$ 所在的直线.
(3)如图 10-1-14，连接 ${AC}$ 与 ${BD}$ ，其交点为 $O$ ，连接 ${A}_{1}{C}_{1}$ 与 ${B}_{1}{D}_{1}$ ,其交点为 ${O}_{1}$ . 因为点 $A$ 及 $C$ 都在平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 上,所以直线 ${AC}$ 在平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 上. 又 $O \in {AC}$ ,所以 $O$ 在平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 上. 同理可得, $O$ 在平面 ${BD}{D}_{1}{B}_{1}$ 上. 于是,点 $O$ 是平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 与平面 ${BD}{D}_{1}{B}_{1}$ 的公共点. 同理可知,点 ${O}_{1}$ 也是平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 与平面 ${BD}{D}_{1}{B}_{1}$ 的公共点. 这样,由公理 $3, O{O}_{1}$ 所在的直线是平面 ${AC}{C}_{1}{A}_{1}$ 与平面 ${BD}{D}_{1}{B}_{1}$ 的交线.
图 10-1-14
(4)因为 $B{B}_{1}//D{D}_{1}$ ，由公理 2 的推论 3 可知，这两条平行线 $B{B}_{1}$ 与 $D{D}_{1}$ 确定一个平面,从而 $D \in$ 平面 $B{B}_{1}{D}_{1}$ . 这样, $B$ 及 $D$ 是平面 ${ABCD}$ 与平面 $B{B}_{1}{D}_{1}$ 的公共点,从而直线 ${BD}$ 是这两个平面的交线.
#### 练习 10.1(3)
1. 画三个平面, 使其中的两个平面互相平行, 而第三个平面与这两个平面都相交.
2. 用硬纸板作为平面的模型, 摆出三个平面两两相交各种不同的情况.
(第 3 题)
3. 如图,在长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,
(1)设 ${AC}$ 与 ${BD}$ 的交点为 $O$ ， $O$ 必为平面___与平面___的公共点(答案不唯一)；
(2)画出平面 ${A}_{1}{BC}{D}_{1}$ 与平面 ${B}_{1}{BD}{D}_{1}$ 的交线.
#### 3 空间图形的平面直观图的画法
我们知道, 立体几何的研究对象是空间图形. 要将空间图形在一个平面上体现出来, 就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图.
为了把空间图形画得既富有立体感, 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图.
下面, 我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤.
例 4 用斜二测画法画一个水平放置的正六边形的直观图.
画法 (1) 如图 10-1-15(1), 在已知正六边形 ABCDEF 中,取 ${AD}$ 所在直线为 $x$ 轴,取线段 ${AD}$ 的对称轴 ${MN}$ 为 $y$ 轴, 两轴相交于点 $O$ . 在图 10-1-15(2) 中,画相应的 ${x}^{\prime }$ 轴和 ${y}^{\prime }$ 轴, 两轴相交于点 ${O}^{\prime }$ ,且使 $\angle {x}^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime } = {45}^{ \circ }$ .
(2)在图 10-1-15(2)中，以 ${O}^{\prime }$ 为中点，在 ${x}^{\prime }$ 轴上取 ${A}^{\prime }{D}^{\prime } = \; {AD}$ ,在 ${y}^{\prime }$ 轴上取 ${M}^{\prime }{N}^{\prime }$ ,使 ${M}^{\prime }{O}^{\prime } = {N}^{\prime }{O}^{\prime } = \frac{1}{2}{MO}$ . 以 ${M}^{\prime }$ 为中点画 ${E}^{\prime }{F}^{\prime }$ 平行于 ${x}^{\prime }$ 轴,并使 ${E}^{\prime }{F}^{\prime } = {EF}$ ; 类似地,再以 ${N}^{\prime }$ 为中点画 ${B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 平行于 ${x}^{\prime }$ 轴,并使 ${B}^{\prime }{C}^{\prime } = {BC}$ .
(3)顺次连接 ${A}^{\prime }\text{ 、 }{B}^{\prime }\text{ 、 }{C}^{\prime }\text{ 、 }{D}^{\prime }\text{ 、 }{E}^{\prime }\text{ 、 }{F}^{\prime }\text{ 、 }{A}^{\prime }$ ，所得到的六边形 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ 就是水平放置的正六边形 ${ABCDEF}$ 的直观图. 画好图后, 要擦去辅助线, 如图 10-1-15(3) 所示.
图 10-1-15
例 5 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4、3、2 的长方体的直观图.
画法 (1) 画底面:画 $\square {OABC}$ ，使得 ${OA} = 4,{OC} = \frac{3}{2}, \; \angle {AOC} = {45}^{ \circ }$ ,如图 10-1-16(1) 所示.
(2)画侧棱:过 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 各点分别作 ${OA}$ 和 ${BC}$ 的垂线,在这些垂线上分别截取长为 2 的线段 $O{O}^{\prime }\text{ 、 }A{A}^{\prime }\text{ 、 }B{B}^{\prime }$ 、 $C{C}^{\prime }$ ,如图 10-1-16(2) 所示.
(3)成图:顺次连接 ${O}^{\prime }\text{ 、 }{A}^{\prime }\text{ 、 }{B}^{\prime }\text{ 、 }{C}^{\prime }$ ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线, 得长方体的直观图, 如图 10-1-16(3) 所示.
图 10-1-16
#### 练习 10.1(4)
(第 2 题)
1. 在水平放置的平面上有一个边长为 $3\mathrm{\;{cm}}$ 的正三角形,请画出其直观图.
2. 画出如图水平放置的直角梯形 ${OABC}$ 的直观图.
#### 习题 10.1
##### A 组
(第 1 题)
1. 如图,观察长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中的点、线、面,用适当的符号或字母填空:
(1)点 $B$ ___直线 ${BC}$ ；
(2)点 $A$ ___直线 ${BC}$ ；
(3)点 $D$ ___平面 ${ABCD}$ ；
(4)点 ${A}_{1}$ ___平面 ${ABCD}$ ；
(5)直线 ${A}_{1}B \cap$ 直线 ${BC} =$ ___；
(6)直线 ${A}_{1}B \cap$ 平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} =$ ___；
(7)直线 ${B}_{1}{C}_{1}$ ___平面 $B{B}_{1}{C}_{1}C$ .
(第 2 题)
2. 用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在右图中:
(1)点 $A$ 在平面 $\alpha$ 上:___；
(2)平面 $\alpha$ 经过直线 ${AC}$ :___；
(3)点 $B$ 不在平面 $\beta$ 上:___，
(4)直线 ${BC}$ 平行于平面 $\beta$ :___.
3. 下列图形一定是平面图形吗? 请说明理由.
(1)三角形; (2)梯形； (3)四边形; (4)菱形.
4. 判断下列命题的真假:
(1)若空间四点共面，则其中必有三点共线；
(2)若空间四点中有三点共线, 则此四点必共面;
(3)若空间四点中任何三点不共线, 则此四点不共面;
(4)若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
5. 证明公理 2 的推论 2.
6. 平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 相交于直线 $l$ ,点 $A\text{ 、 }B$ 在平面 $\alpha$ 上,点 $C$ 在平面 $\beta$ 上但不在直线 $l$ 上,直线 ${AB}$ 与直线 $l$ 相交于点 $R$ . 设 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 三点确定的平面为 $\gamma$ ,则 $\beta$ 与 $\gamma$ 的交线是 ( )
A. 直线 ${AC}$ ; B. 直线 ${BC}$ ;
C. 直线 ${CR}$ ; D. 以上均不正确.
(第 6 题)
(第 7 题)
7. 如图,已知直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $O, A\text{ 、 }B \in l, C\text{ 、 }D \in \alpha$ ,且 ${AC}//{BD}$ . 求证: $O\text{ 、 }C\text{ 、 }D$ 三点共线.
8. 画出棱长为 $3\mathrm{\;{cm}}$ 的正方体的直观图.
##### B 组
1.1 个平面把空间分成 2 部分，2 个平面把空间分成 3 或 4 部分，3 个平面把空间分成几部分?
2. 若平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 、 $\gamma$ 都相交,则这三个平面的交线可能有几条?
A. 1 条或 2 条; B. 2 条或 3 条;
C. 1 条或 3 条; D. 1 条或 2 条或 3 条.
3. 如图,在正方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,已知 $O$ 是 ${DB}$ 的中点,且直线 ${A}_{1}C$ 交平面 ${C}_{1}{BD}$ 于点 $M$ ，点 ${C}_{1}\text{ 、 }M\text{ 、 }O$ 的位置关系是___.
(第 3 题)
(第 4 题)
4. 如图,已知 $A \in l, B \in l, C \in l, O \notin l$ . 求证: ${OA}\text{ 、 }{OB}\text{ 、 }{OC}$ 在同一平面上.
5. 如图,已知 $D$ 及 $E$ 是 $\bigtriangleup {ABC}$ 的边 ${AC}$ 及 ${BC}$ 上的点,平面 $\alpha$ 经过 $D\text{ 、 }E$ 两点,直线 ${AB}$ 与平面 $\alpha$ 交于点 $P$ . 求证: 点 $P$ 在直线 ${DE}$ 上.
(第 5 题)
(第 6 题)
6. 如图,已知 $E\text{ 、 }F\text{ 、 }G\text{ 、 }H$ 分别是正方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的棱 ${AB}\text{ 、 }{BC}\text{ 、 }C{C}_{1}$ 、 ${C}_{1}{D}_{1}$ 的中点,且 ${EF}$ 与 ${HG}$ 相交于点 $Q$ . 求证: 点 $Q$ 在直线 ${DC}$ 上.
## 10.2 直线与直线的位置关系
### 1 空间的平行直线
在平面几何里我们知道平行关系具有传递性, 即在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 对于空间的直线, 这种传递性是否还存在?
仔细观察下面的两种实际情景:当打开一本书时，每一页的外边界看上去都是相互平行的 (图 10-2-1); 而围栏的每一根竖条, 从不同的角度看, 也都是相互平行的(图 10-2-2).
图 10-2-1
图 10-2-2
正是基于这种经验, 我们有下面的公理.
公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
这条公理用符号语言可以表述为: 若 $a//b$ ,且 $a//c$ ,则 $b//c$ .
公理 4 表明, 直线的平行关系在空间同样具有传递性.
有了公理 4 ，我们就可以解释前面的两种实际情景. 例如， 在图 10-2-1 的情景中, 因为书的每一页都是矩形, 所以每一页的外边界所在的直线都平行于书脊所在的直线, 从而由平行关系的传递性知, 每一页的外边界所在的直线都是相互平行的.
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围栏的情景请同学们自己依据公理 4 给出合理的解释.
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图 10-2-3
例 1 如图 10-2-3,在正方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,
(1)找出与 ${AB}$ 平行的所有棱,并解释你的结论;
(2)求证: ${AC}//{A}_{1}{C}_{1}$ ；
(3)求证: $\angle {BAC} = \angle {{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}}$ .
解 (1) 与 ${AB}$ 平行的棱有 ${CD}\text{ 、 }{A}_{1}{B}_{1}$ 和 ${C}_{1}{D}_{1}$ . 因为正方体的每个面都是正方形,所以 ${AB}//{CD},{AB}//{A}_{1}{B}_{1}$ , ${CD}//{C}_{1}{D}_{1}$ ，从而由公理 4，知 ${AB}//{C}_{1}{D}_{1}$ .
(2)证明:因为 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 是一个正方体，所以 $B{B}_{1}//A{A}_{1}, B{B}_{1}//C{C}_{1}$ . 由公理 4,可得 $A{A}_{1}//C{C}_{1}$ . 此外,显然有 $A{A}_{1} = C{C}_{1}$ ,从而 ${A}_{1}{AC}{C}_{1}$ 是一个平行四边形,所以 ${AC} \; //{A}_{1}{C}_{1}$ .
(3)证明:因为正方体的每个面都是正方形，所以 $\bigtriangleup {BAC}$ 和 $\bigtriangleup {B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}$ 都是等腰直角三角形,从而 $\angle {BAC} = \angle {{B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}} \; = {45}^{ \circ }$ .
例 1 中 $\angle {BAC}$ 与 $\angle {B}_{1}{A}_{1}{C}_{1}$ 的位置关系比较特殊,它们的两边分别平行且方向相同. 空间中具有这种位置关系的两个角是否一定相等呢? 我们可以证明以下定理.
图 10-2-4
等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等.
如图 10-2-4,已知 $\angle {BAC}$ 与 $\angle {B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的边 ${AB}//{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ , ${AC}//{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ ,并且方向相同.
求证: $\angle {BAC} = \angle {B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ .
证明 因为 ${AB}//{A}^{\prime }{B}^{\prime },{AC}//{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ ，由公理 2 推论 3 可知， ${AB}\text{ 、 }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 确定一个平面,记为 $\alpha ;{AC}\text{ 、 }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ 也确定一个平面, 记为 $\beta$ . 在直线 ${AB}\text{ 、 }{AC}$ 上分别取点 $D\text{ 、 }E$ ,在直线 ${A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 、 ${A}^{\prime }{C}^{\prime }$ 上分别取点 ${D}^{\prime }\text{ 、 }{E}^{\prime }$ ,使得 ${AD} = {A}^{\prime }{D}^{\prime },{AE} = {A}^{\prime }{E}^{\prime }$ . 因为在平面 $\alpha$ 上， ${AD}//{A}^{\prime }{D}^{\prime },{AD} = {A}^{\prime }{D}^{\prime }$ ，所以 ${A}^{\prime }{D}^{\prime }{DA}$ 是一个平行四边形,从而 $A{A}^{\prime }//D{D}^{\prime }$ ,且 $A{A}^{\prime } = D{D}^{\prime }$ . 同理, $A{A}^{\prime }//E{E}^{\prime }$ , 且 $A{A}^{\prime } = E{E}^{\prime }$ . 这样就有 $D{D}^{\prime }//E{E}^{\prime }$ ,且 $D{D}^{\prime } = E{E}^{\prime }$ ,即 ${D}^{\prime }{E}^{\prime }{ED}$ 是一个平行四边形. 于是, ${ED} = {E}^{\prime }{D}^{\prime }$ ,从而 $\bigtriangleup {ADE} \cong \; \bigtriangleup {A}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }$ ,即得 $\angle {BAC} = \angle {B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ .
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这里我们用到了不同平面上两个全等三角形的判定与性质. 之所以可以推广这种性质到空间的情形， 是因为三角形的全等与相似都具有运动的不变性.
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由上述定理, 我们容易得出下面两个推论.
推论 1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或者互补.
推论 2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
例 2 如图 10-2-5, ${ABC}$ 是一张三角形的纸片, $D$ 是边 ${AC}$ 上的一点. 我们将此三角形纸片沿 ${BD}$ 折成一个空间四边形 ${ABCD}$ . 在这个空间四边形 ${ABCD}$ 中, $E\text{ 、 }F\text{ 、 }G\text{ 、 }H$ 分别为边 ${AB}\text{ 、 }{BC}\text{ 、 }{CD}\text{ 、 }{DA}$ 的中点.
求证: ${EFGH}$ 是平行四边形.
图 10-2-5
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(1)将空间四边形 ABCD 还原到原来的位置, 那么所得到的四边形 EFGH 还是平行四边形吗?
(2)若 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 不是所在边的中点, ${EFGH}$ 是否仍可能是平行四边形?
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证明 因为 ${EH}$ 是 $\bigtriangleup {ABD}$ 的一条中位线,所以 ${EH}//{BD}$ , 且 ${EH} = \frac{1}{2}{BD}$ . 同理, ${FG}$ 是 $\bigtriangleup {CBD}$ 的一条中位线,有 ${FG}// \; {BD}$ ,且 ${FG} = \frac{1}{2}{BD}$ . 由公理 4,知 ${EH}//{FG}$ ,且 ${EH} = {FG}$ ,从而 ${EFGH}$ 是平行四边形.
#### 练习 10.2(1)
1. 如图,在长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,直线 ${A}_{1}C$ 与 $B{D}_{1}$ 相交吗? 为什么?
(第 1 题)
(第 2 题)
(第 3 题)
2. 在如图所示的长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中,平面 ${A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 上有一条直线 ${MN}$ ,而平面 ${ABCD}$ 上有一点 $P$ . 试过点 $P$ 作一条直线 $l$ , 使得 $l//{MN}$ .
3. 如图，在两个相交平面 $\alpha$ 、 $\beta$ 的交线上任意取两点 $O$ 与 ${O}_{1}$ . 在平面 $\alpha$ 上,过 $O$ 与 ${O}_{1}$ 分别作射线 ${OA}$ 与 ${O}_{1}{A}_{1}$ 垂直于 $O{O}_{1}$ ; 在平面 $\beta$ 上,过 $O$ 与 ${O}_{1}$ 分别作射线 ${OB}$ 与 ${O}_{1}{B}_{1}$ 垂直于 $O{O}_{1}$ . 求证: $\angle {AOB} \; = \angle {A}_{1}{O}_{1}{B}_{1}$ .
### 2 异面直线
我们知道, 在同一平面上的两条直线只有平行或相交两种位置关系. 空间的两条直线, 除了平行和相交这两种位置关系, 是否还有其他的位置关系呢? 观察下面的两幅实景图. 在图 10-2-6(1)中，如果把远方的高楼看作是一条直线，将马路看作是另外一条直线, 这两条直线看起来既不平行, 也不相交. 类似地，在图 10-2-6(2) 中，如果把高铁轨道和其下的高速公路分别看作是两条直线, 那么它们看起来不会在同一个平面上. 我们用图10-2-7 直观地分别表示这两种实际的情景.
图 10-2-6
图 10-2-7
像上述这种不在同一个平面上, 既不相交也不平行的两条直线是空间中特有的一种两直线位置关系. 相应地，我们给出下面的定义.
定义 不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线 (noncoplanar straight lines).
这里, “不同在任何一个平面上的两条直线”是指不存在一个平面, 使得这两条直线都在这个平面上. 例如, 观察图 10-2-8 中长方体 ${ABCD} - {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的棱所在的直线,可以发现,直线 $A{A}_{1}$ 与 $C{C}_{1}$ 虽然不在这个长方体的同一个表面上,但是可以找到一个平面 (即平面 ${A}_{1}{AC}{C}_{1}$ ),使得它们都在这个平面上,所以 $A{A}_{1}$ 与 $C{C}_{1}$ 不是异面直线. 但直线 ${AB}$ 与 $C{C}_{1}$ 则不是这种情况. 假设存在一个平面 $\alpha$ 同时包含直线 ${AB}$ 与 $C{C}_{1}$ ,那么不共线的三点 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 就在这个平面上,从而由公理 2 可知,平面 $\alpha$ 就应是长方体的下底面 ${ABCD}$ ,从而直线 $C{C}_{1}$ 就应在长方体的下底面上,但这是不可能的,所以这样的平面 $\alpha$ 是不存在的. 也就是说,直线 ${AB}$ 与 $C{C}_{1}$ 是异面直线.
图 10-2-8
这样, 空间的两条直线就有三种不同的位置关系, 可以用下表来分类: