教师整合版 / 沪教版高中数学
必修第三册
第11章简单几何体 · 保留教材主线与原题
教材与正式教参整合
本章前两节我们研究了一些重要的简单几何体, 主要是棱柱、棱锥、圆柱和圆锥. 这些几何体又可分为多面体与旋转体.
容易看出, 一个多面体至少有四个面. 这是因为, 如果在一个多面体中任意选定一个面, 那么这个面至少有三条边, 即它的边界上至少有多面体的三条棱. 每条棱还是这个面与另一个面的交线, 于是得到了另外三个面. 这三个面互不重合, 否则有一个面与预先选定的面有两条公共棱, 从而与选定的面重合, 这是不可能的. 于是, 我们至少在这个多面体上找到了四个面.
由此可见, 面数最少的多面体是四面体, 即三棱锥. 四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用. 例如, 平面上的多边形都可以由三角形拼合而成, 而空间中的多面体都可以由四面体拼合而成.
图 11-3-1
多面体的世界是丰富多彩的, 但会遵循一些非常简单的基本规律, 多面体的欧拉定理就描述了这样一个规律.
多面体的欧拉定理: 简单多面体的顶点数 、棱数 与面数 有关系
这里首先要知道什么是“简单多面体”. 要弄清这个概念, 设想多面体的面都是用具有良好弹性的橡胶做成的. 如果往这个多面体充足够多的气体以后能够使这个多面体膨胀成一个球体, 那么这个多面体就是一个简单多面体.
我们迄今所见的多面体(如棱柱、棱锥、正多面体等)都是简单多面体. 但要构造一个非简单多面体也不难. 如图 11-3-4, 这是一个中间有一个长方体空洞的十六面体, 往这样的橡胶多面体充气，得到的是一个游泳圈，而不是球. 算一算，对于图 11-3-4 的多面体, 等于多少.
图 11-3-4
欧拉 (L. Euler, 1707 — 1783), 瑞士数学家，是科学史上最多产的一位杰出数学家， 在许多领域都作出了奠基性的贡献.
多面体的欧拉定理及其推广是拓扑学中的重要定理, 其所揭示的“欧拉示性数”已成为拓扑学的基础概念.
有了多面体的欧拉定理,再对正多面体的顶点数 、棱数 、面数 以及每面的边数和每顶点聚集的棱数之间的关系做一些分析, 就可以证明正多面体只有图 11-3-1 所示的 5 种, 有兴趣的同学不妨一试. 正多面体的相关数据如表 11-1 所示:
表 11-1
| 类型 | 面数 | 棱数 | 顶点数 | 每面边数 | 每顶点棱数 |
| 正四面体 | 4 | 6 | 4 | 3 | 3 |
| 正六面体 | 6 | 12 | 8 | 4 | 3 |
| 正八面体 | 8 | 12 | 6 | 3 | 4 |
| 正十二面体 | 12 | 30 | 20 | 5 | 3 |
| 正二十面体 | 20 | 30 | 12 | 3 | 5 |
图 11-R3
图 11-R4
(1)如果用一个经过旋转轴 的平面去截这个救生圈, 得到的截面是什么图形? 请画出示意图.
(2)如果用一个平行于地面的平面去截这个救生圈, 得到的截面可能是什么图形? 请画出示意图.
(第 3 题)
3.(1)截面是两个关于旋转轴对称的圆. 示意图略. (2)当截面离地面的高度大于 0 并小于游泳圈高度时, 截面两个同心圆组成圆环; 当截面离地面的高度等于 0 或等于游泳圈高度时,圆环收缩成一个圆；在其余情况,截面是空的. 示意图略.
(第 1 题)
(1)求证:四面体 是以 为顶点、以 为底面的正三棱锥；
(2)在四面体 中，求顶点 到底面 的距离；
(3)如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面? 并求这个剩余多面体的表面积与体积.
(第 2 题)
(第 3 题)
① 四面体; ② 四棱锥; ③ 四棱柱;
④ 五棱锥; ⑤ 五棱柱; ⑥ 六棱锥；
⑦ 七面体.
___(找出可能的结果，并将序号填在横线上)
(第 1 题)
(第 2 题)
