组合.

例 1 判断下列问题分别是排列问题还是组合问题:

(1)从 10 名学生中任选 5 名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法;

(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取 2 个不同的数作为一个点的坐标, 求所有不同点的个数;

注意排列与组合的区别.

(3)一个黄袋中装有四张分别写有 1、3、5、7 的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有 2、8、16、32 的卡片. 从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种;

(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法. ?

请同学们思考本例中各题的判断依据.

例 2 甲、乙、丙、丁 4 支篮球队举行单循环赛(即任意两支球队都要比赛一场).

(1)写出每场比赛的两支球队；

(2)写出冠亚军的所有可能情况.

1. ( 1 )写出从 五个元素中任取两个不同元素的所有组合；

(2)写出从 五个元素中任取两个不同元素的所有排列.

2. 平面上的 6 个点 中的任意 3 个点都不在同一条直线上,写出所有以其中 3 个点为顶点的三角形.

例 3 圆上有 10 个不同的点, 以其中任意 3 个点为顶点, 可以组成多少个不同的三角形?

例 4 某校高中一年级举行篮球赛. 比赛时先分成两组, 其中 1 班、 2 班、 3 班、 4 班为第一组，5 班、 6 班、 7 班、 8 班、 9 班、 10 班为第二组. 各组先进行单循环赛(即同组中的每两支队都要比赛一场), 然后由各组的前两名共 4 支队进行单循环赛决出冠军和亚军. 问: 一共需要比赛多少场?

例 5 有甲、乙、丙三项任务，其中甲需 2 人承担，乙、 丙各需 1 人承担. 现从 10 人中任选 4 人承担这三项任务，不同的选法有多少种?

例 6 某班要选举班干部，现有 10 名候选人.

(1)从这 10 名候选人中任选 5 人组成班委，有多少种不同的选法?

(2)从这 10 名候选人中任选 5 人分别担任班委中五项不同的职务, 每项职务由一人担任, 每人只担任一项职务, 有多少种不同的选法?

1. 某班有 20 名男生、18 名女生, 现从中任选 5 人组成一个宣传小组, 其中男生和女生都有的选法有多少种?

2. 从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取两个不同的奇数和两个不同的偶数.

(1)一共有多少种不同的选法?

(2)可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？

例 7 已知 是自然数， 为正整数，且 . 求证: .

例 8 已知 是自然数， 是正整数，且 . 求证:

(1) ； (2) .

例 9 (1)计算 ；

(2)求满足等式 的正整数 .

1. 解关于正整数 的方程:

(1) ；

(2) .

2. 观察下列等式及其所示的规律:

并据此化简 ,其中 为正整数.

1. 平面上有 10 个点, 其中有 4 个点在同一条直线上, 除此以外, 不再有三点共线. 问: 由这些点可以确定多少条直线?

2. ( 1 )从 10 男 8 女中任选 5 人，共有多少种不同的选法？

(2)从10男8女中任选 5 人(男女都有)担任 5 项不同的工作，共有多少种不同的选法?

3. 从 5 名男生和 3 名女生中各任选 2 名参加一个歌唱小组，有多少种不同的选择方案?

4. 某批次 200 件产品中有 5 件次品, 现从该批次中任取 4 件产品.

(1)若 4 件产品都不是次品, 则这样的取法有多少种?

(2)若 4 件产品中至少有 1 件次品，则这样的取法有多少种？

(3)若 4 件产品不都是次品，则这样的取法有多少种？

5. 从 5 名外语系大学生中任选 4 名参加翻译、交通、礼仪三项义工活动, 要求翻译有 2 人参加, 交通和礼仪各有 1 人参加. 问: 不同的选法共有多少种?

6. 某小组共有 10 名学生, 其中女生 3 名. 现任选 2 名代表, 则至少有 1 名女生当选的选法有多少种?

7. 设 为正整数,求值:

(1) ； (2) .

8. 求满足等式 的所有正整数 .

9. 证明: ,其中 是自然数, 是正整数,且 .

1. 把 5 本不同的书全部分给 3 名学生, 每人至少 1 本, 有多少种不同的分法?

2. 袋中装有 个红球和 个白球,且 . 这些红球和白球的大小及质地都相同. 从袋中同时任取 2 个球, 若 2 个球都是红球的取法总数是 2 个球颜色不同的取法总数的整数倍,求证: 必为奇数.

3. 如图，在 的两边 上分别有 5 个点和 6 个点 (都不同于点 )，这连同点 在内的 12 个点可以确定多少个不同的三角形?

(第 3 题)

4. 有 12 名翻译人员，其中 3 人只能翻译英语，4 人只能翻译法语，其余 5 人既能翻译英语, 也能翻译法语. 从这 12 名翻译人员中任选 6 人，其中 3 人翻译英语，3 人翻译法语, 有多少种不同的选法?

5. 利用组合数的性质化简: .