复数的三角形式.

解 (1) 为第一象限角,故辐角主值为 ,从而 的三角形式为 ,即

(2) 为第二象限角,故辐角主值为 . 因此, 用三角形式表示-1+i, 有

(3)-1 的模 ， -1 所对应的点 在 轴的负半轴上,故辐角主值为 . 因此,用三角形式表示-1，有

(4) 为第三象限角,且 ,故辐角主值为 . 因此,用三角形式表示 ,有

解(1)因为 ,所以 的三角形式是 .

(2) 的模是 2 又因为 ,所以 的三角形式是2[cos sin .

1.(1)3π(cos 0.5+i sin 0.5)是复数的三角形式,它与复数三角形式的规定 (其中 )相一致.

(2) 不符合复数三角形式的规定,将其改写为复数三角形式的结果是 .

(3) 是复数的三角形式,它与复数三角形式的规定 (其中 )相一致.

(4) 不符合复数三角形式的规定,实部中的余弦与虚部中的正弦的角不相等.

(5) 不符合复数三角形式的规定,将其改写为复数三角形式的结果是 .

(6) 不符合复数三角形式的规定,将其改写为复数三角形式的结果是 .

2. (1) .

(2) .

(3) . (4) .

解

(2)

我们现在来分析复数乘法的几何意义.

在复平面上,把复数 (其中 ) 对应的向量记为 ,则 ,而从 轴正向到 方向需旋转 角 (当 时,逆时针旋转; 当 时,顺时针旋转).

把 乘一个非负实数 ,就是把向量 伸缩为原来的 倍,成为向量 (向量与实数的乘积),使它的模 ,而其辐角不变 (图 9-4-2(1)).

图 9-4-2

把 乘一个模为 1 的复数 ，就是把 的辐角从 变成了 ，将向量 变成为向量 ，而其模 不变 (图 9-4-2(2)). 也就是说,这个乘法就是让向量 绕坐标原点旋转 角成为向量 ，使得以 轴正半轴为始边、以 为终边的角是 . 这样，“旋转”这一重要的几何变换可以用复数乘法得到准确的表达. 例如，由于 的辐角主值是 ，因此把 乘 就是让向量 绕坐标原点逆时针旋转 . Q

当 时,逆时针旋转; 当 时, 顺时针旋转.

一般地,把复数 乘任意一个复数 , 在几何上就是对 作上述两个变换的合成: 先伸缩,再旋转, 或者先旋转, 后伸缩 (图 9-4-2(3)). 从复数乘法的结果我们知道, 这两个不同顺序会得到同样的结果.

解 设向量 对应的复数为 ,则

解 将 写成三角形式 ，就可以得到

.

解 因为 ,所以它的三次方根是 ,即

1. (1) 16i. (2) 3i. (3) .

2. 1, i, -1, -i.

1. (1) . (2) .

(3) . (4) .

2. (1) . (2) . (3) .

(4) . (5) 4096.

3. i, .

1. (1) . (2) .

2. .

3. .