教师整合版 / 沪教版高中数学
必修第三册
第10章空间直线与平面 · 保留教材主线与原题
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两个平面的位置关系只有两种情况:平行或相交. 在本节中, 我们将讨论如何判断平面间的平行与垂直关系, 以及如何更精确地刻画两个相交平面间的位置关系.
我们希望通过直线间或线面间的平行关系来判断平面间的平行关系. 为此, 先思考下面的问题:
(1)如果平面 平行于平面 ,那么这两个平面上的一切直线都相互平行吗?
(2)如果平面 上有一条直线与平面 平行,那么能保证这两个平面平行吗?
(3)如果平面 上有两条相交直线与平面 平行，那么能保证这两个平面平行吗?
问题(1)的回答是否定的. 事实上，长方体的上、下两个底面平行,但这两个底面上的直线间有不同的位置关系,如 平行于 ,而 与 异面且垂直,如图 10-4-1 所示.
图 10-4-1
问题(2)的回答也是否定的. 例如，当三角板的一条边所在的直线与桌面所在的平面平行时, 不能保证三角板所在平面与桌面所在平面保持平行, 因为这个三角板还可以绕这条边转动.
至于问题(3)，其答案应是肯定的，因为两条相交的直线完全确定了这个平面. 我们可以用反证法来严格地加以证明: 如图 10-4-2,假设 不平行于 ,那么 与 相交于直线 . 由直线与平面平行的性质定理知,直线 及 均平行于 ,从而 . 这与已知 是相交直线矛盾. 故假设不成立,即 .
图 10-4-2
由此, 我们就得到了下面的定理.
两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行, 那么这两个平面平行.
上述定理可以帮助我们方便地判断两个平面是否平行. 例如, 在测量时, 为判断一个平面与水平面是否平行, 可将水平仪 (图 10-4-3)置放在这个平面上, 并变换方向测试两次, 如果水平仪的水泡两次都居中, 就可以断定这个平面和水平面是平行的.
图 10-4-3
例 1 证明: 长方体 的平面 平行于平面 .
图 10-4-4
证明 如图 10-4-4,不在平面 上的直线 平行于平面 上的直线 ,所以直线 平面 . 同理,不在平面 上的直线 平面 . 因为 与 是相交直线,所以它们确定的平面 平面 .
由上面的讨论可知, 如果两个平面平行, 一个平面上的直线与另一个平面上的直线可能是平行的, 也有可能是异面的. 那么, 如何在两个平行平面上找到相互平行的直线呢? 为此, 我们来考察两个平行平面与第三个平面相交的情况, 得出下面的定理.
图 10-4-5
两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
证明 如图 10-4-5,设平面 与平行平面 相交,有两条交线 . 因为 ,所以 没有公共点,从而交线 、 也没有公共点. 又因为 都在平面 上,所以 .
例 2 若一条直线 垂直于两个平行平面 中的一个平面 ,则它必垂直于另一个平面 .
图 10-4-6
证明 如图 10-4-6,记 为直线 与平面 的交点 (垂足). 设 是平面 内任意给定的一条直线,而平面 是经过点 与直线 的平面. 设 .
因为平面 平面 ,平面 与平面 和平面 的交线分别为直线 和直线 ,所以 . 又因为直线 垂直于平面 ,所以 . 由直线与平面垂直的定义,知 .
在 10.3 节我们已经定义过点到平面的距离以及一条直线到与它平行的平面的距离, 现在可以进一步定义两个平行平面之间的距离. 为此,先注意到,如果平面 平面 ,在平面 上任取两点 与 ,那么平面 上的直线 与平面 没有交点, 所以 平面 (图 10-4-7). 由此可见,点 与点 到平面 的距离是相等的. 这说明了平面 上的任意点到平面 的距离都相等. 这个距离也等于平面 上任意一点到平面 的距离: 如图10-4-7,过平面 上的点 作平面 的垂线,交平面 于 , 则 既是点 到平面 的距离,也是点 到平面 的距离.
图 10-4-7
这样, 我们可以把两个平行平面之间的距离定义为其中一个平面上的任意一点到另外一个平面的距离. 上一段的论述表明这样的定义是没有歧义的.
(1)若一个平面内的两条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；
(2)若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
(3)若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面；
(4)平行于同一个平面的两个平面平行；
(5)若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面, 则这两个平面平行.
(1)点 到直线 的距离；
(2)点 到平面 的距离；
(3) 到平面 的距离；
(4)平面 到平面 的距离.
(第 2 题)
在开门时，有时开得大些，有时开得小些，这里的“大”或 “小”，可用门所在平面和门框所在平面之间的夹角来度量. 现在, 我们来定义两个平面之间的夹角.
图 10-4-8
图 10-4-9
下面我们要讨论的问题是应该如何刻画一个二面角的大小.
如图 10-4-9,若在二面角 的棱 上任取一点 ,且过 分别在面 、 上作棱 的垂线 和 ,容易证明射线 和 构成的角 的大小与点 的取法无关. 因此,我们可以用 来表示二面角 的大小,并称其为二面角 的平面角. 二面角的取值范围是 . 当二面角 的大小等于直角时, 我们称这个二面角为直二面角.
当两个平面相交所成的二面角是直二面角时, 我们就说这两个平面互相垂直.
两个互相垂直的平面, 一般画成图 10-4-10 的样子: 将直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直. 平面 与平面 垂直， 记作 .
图 10-4-10
用下面的定理判定两个平面垂直比直接用定义要方便一些.
平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直.
证明 设平面 过另一平面 的垂线 ,点 在平面 上, 则平面 与平面 交于过点 的直线 ，且 . 如图 10-4-11， 在平面 上过点 作 ，则 是二面角 的平面角. 由 与 ,推出 ,即 是直角,从而二面角 是直二面角,所以 .
图 10-4-11
平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直, 那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直.
证明 仍参看图 10-4-11,平面 平面 ,它们的交线是 . 直线 ,且 ,垂足是 . 过点 在平面 上作 , 则 是二面角 的平面角. 由于 是直角, 即 ,这个条件连同条件 立即推出 平面 .
图 10-4-12
例 3 如图 10-4-12,已知正方体 .
(1)作出二面角 的平面角;
(2)求证:平面 平面 .
解(1)连接 与 交于点 ,则 ,连接 . 由 ,知 ,所以 就是二面角 的一个平面角.
(2)证明:因为 平面 ，所以 . 再由 ，可得 平面 . 由上述判定定理,得平面 平面 .
(1)平面 上的任意一条直线都垂直于平面 上的任意一条直线；
(2)平面 上的任意一条直线都垂直于平面 上的无数条直线；
(3)平面 上的任意一条直线都垂直于平面 ；
(4)过平面 上任意一点作平面 与 交线的垂线 ，则 .
1.(1)不正确. (2)正确. (3)不正确. (4)不正确.
(第 2 题)
(1)平行于同一条直线的两个平面平行;
(2)若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行；
(3)分别在两个平行平面上的两条直线平行；
(4)与两条异面直线都平行的两个平面平行.
1.(1)假命题,理由略. (4)真命题,理由略.
(第 2 题)
(第 3 题)
(第 4 题)
(第 5 题)
(第 8 题)
(1)若平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，则平面 平面 .
9.(1)假命题,理由略. (2)真命题,理由略.
(第 10 题)
(第 2 题)