教师整合版 / 沪教版高中数学
必修第一册
第5章函数的概念、性质及应用 · 保留教材主线与原题
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函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具。了解了函数，就把握了相应事物的变化规律。为了深入了解函数，有必要研究其有关的性质，因此，学习函数的性质非常重要。
函数的性质是多种多样的，且不同的函数有不同的性质。
关于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，我们已经接触过很多研究其性质的方法，且已经知道了不少结论。本节将以此为出发点，概括函数的一些常见的性质。
在生活中，我们经常遇到对称的图形。拱桥的桥面形成的弧，就可以视为是轴对称的。如果把桥面抽象成一条曲线，以曲线的最高点为原点，过原点作一水平直线为 轴，再过原点作一竖直直线为 轴，那么这条由拱桥桥面抽象出的曲线就成为一个函数的图像，并且该图像的一个特点是关于 轴成轴对称，如图 5-2-1 所示。
图 5-2-1
在学习二次函数和幂函数时，我们知道，形如 的二次函数和幂函数 的图像都是关于 轴成轴对称的，如图 5-2-2 所示。
图 5-2-2
图 5-2-2 中的这两个函数的图像都具有关于 轴成轴对称的共同特征，其相应的自变量与函数值的对应关系是如何体现这个特征的？
一个图形关于某条直线 成轴对称，是指该图形上的任意一点关于直线 的对称点也在此图形上。
现在，我们来探究"函数的图像关于 轴成轴对称"这一条件的等价表达形式。
在函数 的图像 上任取一点 ，就有
图 5-2-3
点 关于 轴的对称点为 （图 5-2-3）。如果函数 的图像关于 轴成轴对称，那么 也在图像 上，即
这说明，如果函数 的图像关于 轴成轴对称，那么对于任意给定的 ，均有
反之，如果对于任意给定的 ，均有 ，并且 ，那么对于函数 的图像上的任一点 ，它关于 轴的对称点 ，由于满足 ，并且 ，也必在此函数的图像上。因此，该函数的图像关于 轴成轴对称。
总结一下，就得到下述关于偶函数的定义：
定义 对于函数 ，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，并且
就称函数 为偶函数（even function）。
根据上述推导及定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图像关于 轴成轴对称的函数。
根据上述性质，如果要得到偶函数 的图像，只需要获得其在定义域中 （或 ）部分的图像就可以了。同理，如果要研究偶函数的性质，也只要研究其在定义域中 （或 ）部分的性质就可以了。
例 1 证明：函数 是一个偶函数。
证明 函数 的定义域为 。
记 。在 中任取一个实数 ，都有 ，并且
因此， 是一个偶函数。
除了轴对称外，中心对称也是平面上非常重要的一类对称关系。一个图形关于某个点 成中心对称，是指该图形上的任意一点关于点 的对称点也在此图形上。
函数 的图像就关于原点成中心对称。相应地，类似于偶函数，我们把满足以下条件的函数称为奇函数。
定义 对于函数 ，如果对于其定义域 中的任意给定的实数 ，都有 ，并且
就称函数 为奇函数（odd function）。
类似于偶函数图像性质的推导，可以知道，奇函数就是图像关于原点成中心对称的函数。并且，已知奇函数在其定义域中 （或 ）部分的图像（或性质），可以推导出其另一部分的图像（或性质）。
根据奇函数的图像特征，你能从已学的函数（如一次函数、幂函数）中举出几个奇函数的例子吗？
例 2 证明： 是一个奇函数。
例 3 是否存在定义在 上的，且既是奇函数又是偶函数的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说明理由。
解 这样的函数是存在的，函数 就是一个满足这些条件的函数。
设满足这些条件的函数为 。对任一给定的实数 ，因该函数是奇函数，故 ；另一方面，因该函数是偶函数，故 。因此 ，即 。所以这样的函数只有一个，即 。
(第 2 题)
(1) ；(2) 。
在判断一个比较复杂的函数的奇偶性的时候，往往采取"先猜后证"的方法。
例 4 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) ；
(2)
解 (1) 因为当 时，；而当 时，，两者不相等，所以 不是偶函数；
又因为 ，所以 亦不是奇函数。
综上所述，函数 既不是奇函数，又不是偶函数。
(2) 经试验，发现当 时，，而当 时，；又当 时，，而当 时，；等等。猜测该函数可能是奇函数。
该函数的定义域为 。记
对任意给定的 。因 ，故
而对任意给定的 。因 ，故
综上所述， 确实是奇函数。
例 5 是否存在正数 ，使函数 是偶函数？
解 记 。由 ，若 是偶函数，就应有 。解这个方程，得 （舍去）或 。
因此， 是偶函数的一个必要条件是 。
另一方面，当 时，，其定义域为 。对任意给定的 ，都有 ，并且
可以从函数值的角度来猜测，也可以借助函数图像的几何直观。
也可以将 表示为 。以此证明该函数是奇函数。
为了表明存在性，寻找必要条件的过程不是必须表达出来的。
因此，当 时， 是偶函数。
综上所述，满足条件的正数 存在。
例 6 已知函数 ，且当 时，
(1) 若函数 是偶函数，求 ；
(2) 是否可能是奇函数？若可能，求 的表达式；若不可能，说明理由。
解 (1) 若 是偶函数，应有 。而 ，因此 。
(2) 若 是奇函数，当 时，应有
在例 6(2) 的解答中我们并没有验证"当 时，"。事实上，这是由"当 时，"所蕴涵的。
此外，当 时，
因此， 可能是奇函数，此时
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) 。
(1) 是否存在实数 ，使得 是奇函数？说明理由；
(2) 是否存在实数 ，使得 是偶函数？说明理由。
2.(1)不存在,因 1 在值域中,而 -1 不然. (2)存在,取 即满足要求.
在现实生活中，有不少在一定范围内随着时间的增加而增加（或减少）的量，如自由落体运动的位移 就是如此。作出位移 关于时间 的函数图像，如图 5-2-4 所示。从图像上看，随着时间的增大，位移的确随之增大。这就是一种单调现象。此外，通过一个电阻的电流随其两端电压的增大而增大；许多物质在水中的溶解度随温度的升高而增加；山区的气温随海拔高度的升高而降低等，都是单调现象。
图 5-2-4
在学习指数函数及对数函数时，我们已经了解到如下的事实：
当 时，函数 与函数 的图像都表现出" 随 的增大而增大"的趋势；而当 时，函数 与函数 的图像却都表现出" 随 的增大而减小"的趋势。
借助指数和对数运算的性质，必修课程第 4 章中已经证明了，若 ，当 时， 及 ；而当 时， 及 。这样，我们就解释了为何这些函数的图像会表现出相应的单调性趋势。概括起来，可对一般函数给出其单调性的定义。
定义 对于定义在 上的函数 ，设区间 是 的一个子集。对于区间 上的任意给定的两个自变量的值 、，当 时，如果总有
就称函数 在区间 上是增函数（increasing function）；而如果总有
就称函数 在区间 上是减函数（decreasing function）。
特别地，如果总有
就称函数 在区间 上是严格增函数（strictly increasing function）；而如果总有
就称函数 在区间 上是严格减函数（strictly decreasing function）。
例如， 在区间 上是严格增函数； 在区间 上是严格减函数，在区间 上是严格增函数； 在区间 上是严格增函数；等等。
根据已经学习过的实数幂的性质，对于幂函数 ，当 时，该函数在区间 上是严格增函数；而当 时，该函数在区间 上是严格减函数。
根据指数及对数的运算性质，当 时， 在区间 上是严格增函数， 在区间 上是严格增函数；而当 时， 在区间 上是严格减函数， 在区间 上是严格减函数。
根据定义，严格增函数是增函数，严格减函数是减函数。
你能用定义证明初中学过的一次函数和反比例函数的单调性吗？
例 7 证明：函数 在区间 上是严格减函数。
证明 记 。设 、 是区间 上任意给定的两个实数，且 ，我们有
由于
又 ，且 ，故
即 。
因此，函数 在区间 上是严格减函数。
对于一般的二次函数 ，其中 ，通过配方法，得到
因此，点 被称为该二次函数的图像的顶点，它是相应曲线（抛物线）的最高点或最低点。
先考察 的情形。设 、 是任意给定的两个实数，且 ，我们有 。当 时，由 以及 ，可得 ；而当 时，由 以及 ，可得 。
因此，当 时，函数 在区间 上是严格减函数，在区间 上是严格增函数。
类似地，当 时，函数 在区间 上是严格增函数，在区间 上是严格减函数。
由上述二次函数的单调性可知，二次函数图像的上升与下降的趋势恰好以它对应的抛物线的顶点为分界点。
例 8 判断函数 在其定义域上的单调性，并说明理由。
需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的。有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调函数。
一般来说，所讨论的单调区间总是指满足这一要求的"最大"的单调区间。
定义 如果函数 在某个区间 上是增（减）函数，那么就称函数 在区间 上是单调函数（monotonic function），并称区间 是函数 的一个单调区间。
例 9 判断函数 的单调性，并求出它的单调区间。
你能用上一节课学习的一般二次函数的单调性结论来求这个函数的单调区间吗？
解 记 。，而 ，因此 在区间 上既不是增函数，也不是减函数。
对区间 上任意给定的两个实数 、，总有
当 ，且 、 时，总有 及 ，故 ，从而函数 ， 在区间 上是严格减函数。
类似地，当 ，且 、 时，总有 及 ，故 ，从而函数 ， 在区间 上是严格增函数。
因此，函数 的单调区间有 和 。
例 10 设 是偶函数，且它在区间 上是严格减函数，判断它在区间 上的单调性，并说明理由。
解 设 、 是区间 上任意给定的两个实数，且 ，则 、，且 。
因为函数 在区间 上是严格减函数，所以 。又因为 是偶函数，所以 。
因此， 在区间 上是严格增函数。
例 10 展示了如何利用函数的奇偶性来研究函数的其他性质。
(第 1 题)
(1) 求证：它在区间 上是严格增函数；
(2) 是否在区间 上是严格增函数？说明理由。
3.(1)设 、 是区间 上任意给定的两个实数,且 ,则 、 ,且 . 根据函数 在区间 上的单调性,可得 . 又根据 的奇偶性,可得 ,因而 .
因此, 在区间 上是严格增函数.
(2) 在区间 上也是严格增函数.
提示: 对自变量的值分三类情况进行讨论.
在必修课程第 2 章中，我们已经利用不等式的性质及基本不等式求解了一些代数式的最大值和最小值。对于只有一个未知数的代数式，如 等，当 的值改变时，相应代数式的值也随之改变，从而都可以将它们看成是自变量 的函数。函数值的大小变化趋势是函数的单调性研究所关心的内容。而在生产和生活中，除了函数值的大小变化趋势之外，往往也关心函数何时取到最大值（最小值），以及最大值（最小值）为多少等问题。
定义 函数 在 处的函数值是 ，对于定义域内任意给定的 ，如果
例 11 求函数 的最大值与最小值。
解 由于 ，且当 时上述不等式中的等号可以取到，因此该函数的最小值为 。
由二次函数的单调性可知，该函数无最大值。
对于定义在闭区间 上的单调函数 ，它的最大值和最小值一定能在区间的端点 和 处取到。因此，对于具有单调性的函数，可以借助其单调性来求得其最值。
例 12 求函数 的最大值与最小值。
解 由于函数 在区间 上是严格减函数，因此，其最大值在左端点 处取到，其值为 2；而最小值在右端点 处取到，其值为 1。
例 13 已知 ，求函数 的最大值。
解 对于函数 ，当 时，；而当 时，。因此， 在区间 上是严格增函数，在区间 上是严格减函数。
情形一：当 时， 在区间 上是严格增函数，如图 5-2-5(1) 所示。此时函数的最大值为 1。
最大值与最小值统称为最值。
情形二：当 时， 在区间 上是严格减函数，而在区间 上是严格增函数，如图 5-2-5 (2) 所示。从而此时函数的最大值为 与 中的较大者。因此，当 时，该函数的最大值为 ；而当 时，该函数的最大值为 1。
图 5-2-5
综上所述，当 时，该函数的最大值为 ；当 时，该函数的最大值为 1。
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) 。
A. ；
B. 对任意 都成立；
C. 存在某个 ，使得 ；
D. 对任意给定的 都成立。
(1) ；(2) 。
(1) ；
(2) 。
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ；
(5) 。
4.(1)奇函数,理由略.
(2)偶函数,理由略.
(3)既不是奇函数,又不是偶函数,理由略.
(4)既不是奇函数,又不是偶函数,因为定义域中含有 1 ,而不含有 -1 .
(5) 奇函数, 理由略.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
7.(1)最小值为 -6,当且仅当 时取到,不存在最小值.
(2)最大值为 3,当且仅当 时取到,不存在最小值.
(3) 最大值为 1,当且仅当 时取到; 最小值为 -8,当且仅当 时取到.
(4)最大值为 5,当且仅当 时取到；最小值为 -3,当且仅当 时取到.
(1) ；(2) 。
2.(1)奇函数,理由略. (2)偶函数,理由略.
① 不是偶函数；
② 在区间 上是严格减函数；
③ 在区间 上是严格增函数。
记 ,对定义域 中的任意给定的实数 ,都有 ,并且 ,因此该函数是偶函数.
设 是区间 上任意给定的两个实数,且 ,有 ,故 ,即 . 因此该函数在区间 上是严格减函数. 设 是区间 上任意取定的两个实数,且 ,有 ,故 ,即 . 因此该函数在区间 上是严格增函数.
根据单调性, 可知该函数的最大值为 1 .
