解三角形.

解 在 中,由于 ,由正弦定理, 得

从而

所以， 长约为 ， 长约为 .

利用例 1 的结果, 在本节一开始所考虑的问题中, 就可以确定火场 的位置.

正弦定理表明三角形的各边和它所对角的正弦的比相等. 那么, 这个比的几何意义是什么呢?

解 由于三角形内角和等于 ,因此角 及 中至少有两个角是锐角,不妨设 为锐角,如图 6-3-3 所示. 过 作直径 ,并连接 . 直径 所对的圆周角 , 弧 所对的圆周角 ,且 . 于是

即 .

这样, 由正弦定理就得到

能否用其他方法求解例 2 ?

换言之

证明 (1) .

(2) .

1. .

2. (由于近似的方法不同,面积答案也可能为 16.59).

3. 直角三角形.

解 由余弦定理, 得

故 .

再由余弦定理,得

因为角 为三角形的内角,所以 .

由三角形内角和定理,最后可得 .

所以, .

解 方法一:由正弦定理，得

所以 ,从而 或 .

当 时, ,再由

得 ；

当 时, ,再由

得 .

所以, 或 .

方法二: 由余弦定理, 得

即 ,所以 或 .

当 时, ,所以 , 从而 ;

当 时, ,所以 , 从而 .

于是得到结论:

解 由余弦定理，得

由此可得

从而

将例 5 中的数据 改为 ,该三角形只有一解. 对于已知三角形两边及其中一边所对角的三角形求解问题, 有兴趣的同学可以深入加以研究.

如例 5 所示, 已知三角形两边和其中一边所对的角, 解出来的三角形可能不唯一确定. 而对其他的情形，如本节例 4 、 例 6 和上节中的例 1 , 都有确定的解. 这与证明三角形全等的条件之间有联系吗?

1. .

2. .

3. .

证明 记 外接圆的半径为 ,由 ,得

又由 ,得 ,从而 . 再由 ,得 ,从而 .

所以， 为等边三角形.

解 由 ,得 ,所以

当 时,

而当 时,

所以, 或 .

为了表示例 8 中的角 ,我们引入如下记号.

一般地,我们用 表示满足 的角 ; 用 表示满足 的角 ; 用 表示满足 的角 . 这样,由 就得到 . 同理, 有 及 . 因此,当例 8 中的角 为锐角时,可以表示为 或 ; 而当角 为钝角时,可以表示为 或 .

符号 arcsin、arccos、 arc tan 在计算器上一般分别用 、 、 表示.

解(1)设锐角 满足 ，就有 . 这样， 原式等价于求解 ,从而有 . 于是,满足条件的角为 .

(2)设锐角 满足 ，就有 . 因为 ,所以原式等价于求解 ,从而有 .

又因为 ,所以 .

(3)设锐角 满足 ，就有 . 因为 ,所以原式等价于求解 ,从而有

又因为 ,所以 .

1. .

2. 略.

3. 证明: (1) .

(2) . 将上述三式相加并整理,得 .

4. (1) . (2) . (3) . (4) , .

解 根据题意, 作出如图 6-3-4 所示的示意图, 问题转化为求直角三角形 中边 的长.

在 中, .

由正弦定理,有 ,即

从而 .

所以，所估算的金茂大厦高度约为 .

解 根据题意, 作出如图 6-3-5 所示的示意图, 其中

在 中,由正弦定理,得 ,从而

由 ,知 为锐角,故

在 中,由余弦定理,有

所以, 此时甲、乙两船之间的距离为 21 海里.

1. . 由 ,得 (海里). 所以,货轮到灯塔 的距离为 海里.

2. 设缉私船应以北偏东 方向,经过时间 追上走私船,则 ,从而 ,即 . 所以,缉私船应以北偏东 方向追击走私船.

3. 在 中, ,由余弦定理 . ,得 (米), (米). 所以,隧道的长约为 421 米.

1. .

2. .

3. ,最大角 的余弦值为 .

4. 或 .

5. .

6. 由题意,得 和 ,从而有 和 ,解得 .

7. 证明: 在 中,有 ,在 中,有 ,由 ,得 , ,从而有 .

8. 在 中,由余弦定理,得 . 在 中,由余弦定理,得 . 又由 ,得 ,将上述两式相加,即得 , 从而 .

9. ( 1 )由 ,得 ,所以三角形 为等腰三角形.

(2) , 所以 ,从而有 ,即 0,故 ,三角形 为直角三角形.

10. (米).

1. 或 .

2. 由 ,得 ,从而 ,因此 . 又 ,所以 .

3. (1) (2)面积 .

4. 周长最小值为 12; 当三角形为等边三角形时,面积取得最大值 .

5. (1) 或 . (2) . (3) .

6. .

7. 在 中,由 ,得 . 在 中, ,从而得 . 所以灯塔 与 相距 海里, 在 的南偏东 方向.

8. 在 中,由 ,得 (米). 在 中,由 ,得 (米). 在 中, 64.81(米)

9. 证明: (1) ,从而有 .

(2)