基本不等式及其应用.

证明 因为 ,由平均值不等式,得

在 及 有可能为零时, 平均值不等式也显然成立. 因此, 对于任意的非负实数 ,平均值不等式都成立.

且等号只有当 ,即 时才成立. 由于 ,因此 .

所以,当且仅当 时, .

证明 因为 ,所以 同号,因而 .

由平均值不等式, 得

且等号当且仅当 ,即 时才成立.

除了平均值不等式, 还有一些常用的不等式.

定理 对于任意的实数 ,有

且等号当且仅当 时成立.

证明 对任意给定的实数 ,总有 ,且等号当且仅当 时成立. 于是

从而

即

从而原不等式成立,且等号当且仅当 时成立.

包括平均值不等式在内的上述一些不等式常常可被应用于对一些量做估计, 特别是可用于求解一些最大值或最小值问题.

解 由不等式 ,推得

于是,当 ,即 时, 取得最大值 4 .

1. 证明略.

2. 当且仅当 时等号成立,证明略.

解 因为

所以 ,当且仅当 且 ,即 且 时,才有 ; 而在其他情形,均有 .

证明 (1) 设矩形的周长为常数 ,而其长、宽分别为 ,就有 . 此矩形的面积为 . 由平均值不等式,有

当且仅当 ,即矩形为正方形时,面积 取得最大值 .

(2)设矩形的面积为常数 ，而其长、宽仍分别设为 ,就有 . 此矩形的周长为 . 由平均值不等式, 有

所以, ,且当且仅当 ,即矩形为正方形时,周长 取最小值 .

由例 5 可知,根据平均值不等式 , 当乘积 为定值时,和 有最小值; 而当和 为定值时,乘积 有最大值. 此外,当且仅当 时,才取得相应的最小值或最大值.

解 设矩形绿地的南北侧边长为 ,则其东西侧边长为 ,人行道的占地面积 (记为 ) 为

即

利用平均值不等式, 有

且当且仅当 ,即 时, 达到最小值 ,此时 .

所以，当设计绿地的南北侧边长约为 ，东西侧边长约为 时,人行道的占地面积最小.

1. 当且仅当长与宽都等于 时,矩形的面积最大.

2. 当且仅当内接矩形为正方形时, 面积取得最大值; 其最大值为 2, 此时边长为 .

证明 因为 ,由三角不等式,有

即

所以

证明 等价于 . 由三角不等式, 有

所以

且等号当且仅当 ,即 时成立.

证明 因为 ,由三角不等式,有

所以

且等号当且仅当 ,即 时成立.

这个不等式与三角形两边之和大于第三边相似, 故称为三角不等式 (triangle inequality).

请通过讨论 的符号证明三角不等式.

因此, 对所有实数 恒成立,且当且仅当 时,等号成立.

1. 证明: .

2. 证明: (1) . (2) .

1. D.

2. . 理由略.

3. 当且仅当 时等号成立. 证明略.

4. 证明略.

5. 最大值为 4 .

6. 最大值为 .

7. 证明: .

8. 提示: ,解集为 .

1. . 理由略.

2. 当 时, ; 当 时, .

3. 证明略.

4. 证明略.

5. 证明略.

6. 证明:

7. 证明: .

8. 证明: 原不等式等价于 . 注意到 , 令 ,应用三角不等式 ,原不等式即可得证. 等号当且仅当 ,即 时成立.