| $a > 0,\Delta > 0$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c > 0$ | 解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right) \cup \left( {{x}_{2}, + \infty }\right)$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c < 0$ | 解集为 $\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right)$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c \geq 0$ | 解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {{x}_{2}, + \infty }\right)$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c \leq 0$ | 解集为 $\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack$ |
例 5 解不等式 $- 2{x}^{2} + {3x} - \frac{1}{2} \geq 0$ .
解 将不等式两边乘 -1,原不等式就化为 $2{x}^{2} - {3x} + \frac{1}{2} \leq 0$ . 相应的一元二次方程 $2{x}^{2} - {3x} + \frac{1}{2} = 0$ 的两根为 $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$ .
对照表 2-1,可知原不等式的解集为 $\left\lbrack {\frac{3 - \sqrt{5}}{4},\frac{3 + \sqrt{5}}{4}}\right\rbrack$ .
对前面提到的判别超速问题, 只要求出相应的一元二次不等式 0.208.5v+0.0064 ${v}^{2} > {20}$ 的解集即可. 利用前面的方法,容易解得 $v < \frac{-{0.2085} - \sqrt{{0.2085}^{2} - 4 \times {0.0064} \times \left( {-{20}}\right) }}{2 \times {0.0064}}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ (舍去) 或 $v > \frac{-{0.2085} + \sqrt{{0.2085}^{2} - 4 \times {0.0064} \times \left( {-{20}}\right) }}{2 \times {0.0064}}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ (约为 41.9 km/h).
由此可推断出该肇事汽车在刹车前的车速大于 ${41}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ ,超过该道路上机动车的限速规定 ${30}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ . 这个推断将成为交通管理部门认定事故责任的重要依据之一.
## 练习 2.2(1)
1. 设 $a \neq 1$ ,解关于 $x$ 的不等式: ${ax} < {a}^{2} + x - 1$ .
2. 填空题:
(1) $\left( {x - 2}\right) \left( {x + 3}\right) < 0$ 的解集是___；
(2) $\left( {2 - x}\right) \left( {x + 3}\right) < 0$ 的解集是___.
(3) $\left( {x - 2}\right) \left( {x + 3}\right) \geq 0$ 的解集是___.
3. 求下列不等式的解集:
(1) $- {8x} \leq {3{x}^{2}} + 4$ ； (2) $- {x}^{2} < {2x} - 4$ .
一元二次不等式的求解与相应的一元二次方程的求解紧密相关. 我们已经知道,当 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} > 0$ 时,如何求解不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c > 0\left( { < 0, \geq 0\text{ 或 } \leq 0}\right)$ . 那么,当 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} < 0$ 时, 情况又如何呢?
不失一般性，我们仍然只讨论 $a > 0$ 的情形.
先看两个简单的例子: ${x}^{2} > 0$ 的解集为 $\left( {-\infty ,0}\right) \cup \; \left( {0, + \infty }\right)$ ,而 ${\left( x - 1\right) }^{2} + 1 < 0$ 的解集为 $\varnothing$ .
再看一般的情况,首先讨论 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} = 0$ 的情形. 这时,一元二次方程 $a{x}^{2} + {bx} + c = 0$ 有重根 ${x}_{1} = {x}_{2} = - \frac{b}{2a}$ . 由因式分解, 不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c > 0$ 等价于 $a{\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} > 0$ . 又由于 $a > 0$ ,原不等式等价于 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} > 0$ ,其解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right) \cup \left( {{x}_{1}, + \infty }\right)$ . 相应地,不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c < 0$ 等价于 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} < 0$ ,其解集为 $\varnothing$ .
同理,不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c \geq 0$ 等价于 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} \geq 0$ ,其解集为 R; 而不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c \leq 0$ 等价于 ${\left( x - {x}_{1}\right) }^{2} \leq 0$ ,其解集为 $\left\{ {x}_{1}\right\}$ .
其次讨论 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} < 0$ 的情形. 这时,一元二次方程 $a{x}^{2} + {bx} + c = 0$ 没有实根. $a{x}^{2} + {bx} + c$ 无法在实数范围内因式分解. 由配方法,不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c > 0$ 等价于 $a{\left( x + \frac{b}{2a}\right) }^{2} + \; \frac{{4ac} - {b}^{2}}{4a} > 0$ ,称项并在不等式两边同时除以 $a$ ,可得 ${\left( x + \frac{b}{2a}\right) }^{2} > \; \frac{{b}^{2} - {4ac}}{4{a}^{2}}$ . 因为 $\Delta < 0,\frac{{b}^{2} - {4ac}}{4{a}^{2}} < 0$ ,所以上述不等式的解集为 $\mathbf{R}$ . 相应地,不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c < 0$ 等价于 ${\left( x + \frac{b}{2a}\right) }^{2} < \frac{{b}^{2} - {4ac}}{4{a}^{2}}$ ,其解集为 $\varnothing$ .
同理,不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c \geq 0$ 等价于 ${\left( x + \frac{b}{2a}\right) }^{2} \geq \frac{{b}^{2} - {4ac}}{4{a}^{2}}$ ,其解集为 $\mathbf{R}$ ; 而不等式 $a{x}^{2} + {bx} + c \leq 0$ 等价于 ${\left( x + \frac{b}{2a}\right) }^{2} \leq \frac{{b}^{2} - {4ac}}{4{a}^{2}}$ , 其解集为 $\varnothing$ .
上述结果可总结成下表:
表 2-2
| $a > 0,\Delta = 0$ | $a > 0,\Delta < 0$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c > 0$ | 解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right) \; \bigcup \left( {{x}_{1}, + \infty }\right)$ | $a{x}^{2} + {bx} + c > 0$ | 解集为 $\mathbf{R}$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c < 0$ | 解集为 $\varnothing$ | $a{x}^{2} + {bx} + c < 0$ | 解集为 $\mathbf{R}$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c \geq 0$ | 解集为 $\mathbf{R}$ | $a{x}^{2} + {bx} + c \geq 0$ | 解集为 $\mathbf{R}$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c \leq 0$ | 解集为 $\left\{ {x}_{1}\right\}$ | $a{x}^{2} + {bx} + c \leq 0$ | 解集为 $\varnothing$ |
例 6 解下列不等式:
(1) ${x}^{2} \leq {4x} - 4$ ；
(2) $x\left( {x + 1}\right) \geq {7x} - 9$ ；
(3) $4{x}^{2} - {4x} + 3 > 0$ ；
(4) ${x}^{2} \leq x - 2$ .
解(1)将原不等式移项，得 ${x}^{2} - {4x} + 4 \leq 0$ ，即 ${\left( x - 2\right) }^{2} \leq 0$ . 此时,相应的判别式 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} = 0$ ,原不等式的解集为 $\{ 2\}$ .
(2)将原不等式移项并整理，得 ${x}^{2} - {6x} + 9 \geq 0$ ，相应的判别式 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} = 0$ ,原不等式解集为 $\mathbf{R}$ .
(3)相应的判别式 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} = - {32} < 0$ ，故由表 2-2 知， 原不等式的解集为 $\mathbf{R}$ .
(4)将原不等式移项，得 ${x}^{2} - x + 2 \leq 0$ ，相应的判别式 $\Delta = {b}^{2} - {4ac} = - 7 < 0$ ,故由表 2-2 知,原不等式的解集为 $\varnothing$ .
## 练习 2.2(2)
1. 解下列不等式:
(1) $x + 2 > - {x}^{2}$ ； (2) $- {x}^{2} + {3x} - 4 > 0$ ；
(3) $9{x}^{2} - {6x} + 1 > 0$ ； (4) ${4x} - {x}^{2} > 4$ ；
(5) $2{x}^{2} + 1 \geq x$ ；
(6) ${x}^{2} + \frac{1}{9} \geq \frac{2}{3}x$ .
2. 写出一个一元二次不等式, 使它的解集分别为:
(1) $\left( {3 - \sqrt{2},3 + \sqrt{2}}\right)$ ； (2) $\left( {-\infty ,3 - \sqrt{2}\rbrack \cup \lbrack 3 + \sqrt{2}, + \infty }\right)$ ；
(3) $\mathbf{R}$ ； (4) $\varnothing$ .
例 7 解不等式组 $\left\{ \begin{array}{l} x - 3 > 0, \\ {x}^{2} - {3x} - 4 > 0. \end{array}\right.$
解 原不等式组等价于 $\left\{ \begin{array}{l} x - 3 > 0, \\ \left( {x - 4}\right) \left( {x + 1}\right) > 0, \end{array}\right.$ 即
$$
\left\{ \begin{array}{l} x > 3, \\ x > 4\text{ 或 }x < - 1. \end{array}\right.
$$
解得 $x > 4$ .
因此,原不等式组的解集为 $\left( {4, + \infty }\right)$ .
例 8 若关于 $x$ 的不等式
$$
{x}^{2} + \left( {k - 1}\right) x + 4 > 0
$$
的解集为 $\mathbf{R}$ ,求实数 $k$ 的取值范围.
解 因为不等式 ${x}^{2} + \left( {k - 1}\right) x + 4 > 0$ 的解集为 $\mathbf{R}$ ,由表 2-1 及表 2-2,可知方程 ${x}^{2} + \left( {k - 1}\right) x + 4 = 0$ 的判别式
$$
\Delta = {\left( k - 1\right) }^{2} - {16} < 0,
$$
即 $\left( {k + 3}\right) \left( {k - 5}\right) < 0$ ,解得 $- 3 < k < 5$ .
所以,当 $k \in \left( {-3,5}\right)$ 时,不等式 ${x}^{2} + \left( {k - 1}\right) x + 4 > 0$ 的解集为 R.
例 9 已知一元二次不等式 ${x}^{2} + {bx} + c < 0$ 的解集为 (1,2),求实数 $b\text{ 、 }c$ 的值以及不等式 $b{x}^{2} - {5x} + c \leq 0$ 的解集.
解 由题意, 并对照表 2-1 及表 2-2, 可知一元二次方程 ${x}^{2} + {bx} + c = 0$ 的两个根是 1 和 2 . 利用根与系数的关系,得 $b = - \left( {1 + 2}\right) = - 3, c = 1 \times 2 = 2.$
将 $b\text{ 、 }c$ 的值代入不等式 $b{x}^{2} - {5x} + c \leq 0$ ,得 $- 3{x}^{2} - {5x} + 2 \leq 0$ , 即 $3{x}^{2} + {5x} - 2 \geq 0$ ,也就是 $\left( {{3x} - 1}\right) \left( {x + 2}\right) \geq 0$ ,其解集为 $\left( {-\infty , - 2\rbrack \cup \lbrack \frac{1}{3}, + \infty }\right)$ .
## 练习 2.2(3)
1. 求下列不等式组的解集:
(1) $\left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} - {2x} - 3 > 0, \\ x - 1 > 0; \end{array}\right.$ (2) $\left\{ \begin{array}{l} {x}^{2} - {2x} - {15} \geq 0, \\ {x}^{2} - {4x} - {12} < 0. \end{array}\right.$
2. 若关于 $x$ 的不等式 ${x}^{2} - x + m < 0$ 的解集为 $\varnothing$ ,求实数 $m$ 的取值范围.
3. 已知一元二次不等式 ${x}^{2} - {ax} - b < 0$ 的解集为 $\left( {2,3}\right)$ ，求实数 $a$ 、 $b$ 的值及不等式 $b{x}^{2} - {ax} - 1 > 0$ 的解集.
## 3 分式不等式的求解
下面，我们将利用一元一次不等式(组)和一元二次不等式 (组)的解法求解一些简单的含有分式的不等式.
例如,求解分式不等式 $\frac{{ax} + b}{{cx} + d} > 0$ . 该不等式等价于分子和分母同号,即 $\left\{ \begin{array}{l} {ax} + b > 0, \\ {cx} + d > 0 \end{array}\right.$ 或 $\left\{ \begin{array}{l} {ax} + b < 0, \\ {cx} + d < 0. \end{array}\right.$ 这样,就可将分式不等式化为不等式组求解. 另外, 分子和分母同号也等价于 $\left( {{ax} + b}\right) \left( {{cx} + d}\right) > 0$ ,这也能将分式不等式化为整式不等式求解.
例 10 解不等式 $\frac{x + 3}{4 - x} > 0$ .
解 原不等式等价于 $x + 3$ 与 $4 - x$ 同号,也就是
$$
\left( {x + 3}\right) \left( {4 - x}\right) > 0,
$$
即
$$
\left( {x + 3}\right) \left( {x - 4}\right) < 0.
$$
所以，原不等式的解集为 $\left( {-3,4}\right)$ .
例 11 解不等式 $\frac{{5x} + 3}{x - 1} \leq 3$ .
解 移项并整理,可将原不等式化为 $\frac{{2x} + 6}{x - 1} \leq 0$ .
另外,要使原不等式左边的分式有意义,要求 $x - 1 \neq 0$ .
于是, 原不等式可转化为
$$
\left\{ \begin{array}{l} \left( {{2x} + 6}\right) \left( {x - 1}\right) \leq 0, \\ x - 1 \neq 0, \end{array}\right.
$$
即
$$
\left\{ \begin{array}{l} - 3 \leq x \leq 1, \\ x \neq 1. \end{array}\right.
$$
所以，原不等式的解集为 $\lbrack - 3,1)$ .
例 12 解不等式 $\frac{x + 5}{{x}^{2} + {2x} + 3} \leq 1$ .
解 对所有实数 $x$ ,都有 ${x}^{2} + {2x} + 3 = {\left( x + 1\right) }^{2} + 2 > 0$ . 在原不等式两边同时乘 ${x}^{2} + {2x} + 3$ ,可将原不等式等价地转化为 $x + 5 \leq {x}^{2} + {2x} + 3$ .
移项并整理,得 ${x}^{2} + x - 2 \geq 0$ ,即 $\left( {x - 1}\right) \left( {x + 2}\right) \geq 0$ .
所以，原不等式的解集为 $\left( {-\infty , - 2\rbrack \cup \lbrack 1, + \infty }\right)$ .
例 13 某服装公司生产的衬衫每件定价 80 元，在某城市年销售 8 万件. 现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本. 已知代理商要收取的代理费为总销售金额的 $r\%$ (即每 100 元销售额收取 $r$ 元),为确保单件衬衫的利润保持不变,服装公司将每件衬衫的价格提高到 $\frac{80}{1 - r\% }$ 元,但提价后每年的销量会减少 0.62r 万件. 求 $r$ 的取值范围,以确保代理商每年收取的代理费不少于 16 万元.
解 代理商每年可销售(8-0.62r)万件衬衫，每件衬衫的价格为 $\frac{80}{1 - r\% }$ 元,因此年销售额为 $\frac{80}{1 - r\% }\left( {8 - {0.62r}}\right)$ 万元,代理商收取的年代理费为 $\frac{80}{1 - r\% }\left( {8 - {0.62r}}\right) r\%$ 万元.
依题意, 得
$$
\frac{80}{1 - r\% }\left( {8 - {0.62r}}\right) r\% \geq {16},
$$
且
$$
\left\{ \begin{array}{l} 0 < 1 - r\% < 1, \\ 8 - {0.62r} > 0. \end{array}\right.
$$
经整理,得 ${31}{r}^{2} - {410r} + {1000} \leq 0$ ,即 $\left( {r - {10}}\right) \left( {{31r} - {100}}\right) \leq 0$ , 且 $0 < r < \frac{400}{31}$ .
解得
$$
\frac{100}{31} \leq r \leq {10}
$$
因此,所求 $r$ 的取值范围是 $\left\lbrack {\frac{100}{31},{10}}\right\rbrack$ .
## 练习 2.2(4)
解下列不等式:
(1) $\frac{3 - {2x}}{x - 1} < 0$ ； (2) $\frac{{2x} - 1}{x + 2} \leq 0$ ；
(3) $\frac{{2x} - 1}{x - 1} > 2$ ； (4) $\frac{4 + x}{2 + x} \geq 2$ ；
(5) $\frac{x - 1}{{x}^{2} - {4x} + 5} > 1$ ； (6) $\frac{4 - x}{{x}^{2} + x + 1} \leq - 1$ .
## 4 含绝对值不等式的求解
我们知道, $\left| x\right|$ 表示实数 $x$ 在数轴上所对应的点到坐标原点的距离. 根据绝对值的定义和几何意义, 可以求解一些基本的含绝对值的不等式.
图 2-2-2
例如,当 $a > 0$ 时,不等式 $\left| x\right| < a \Leftrightarrow - a < x < a$ ,从而 $\left| x\right| < a$ 的解集为 $\left( {-a, a}\right) ;\left| x\right| > a \Leftrightarrow x > a$ 或 $x < - a$ ,从而 $\left| x\right| > a$ 的解集为 $\left( {-\infty , - a}\right) \cup \left( {a, + \infty }\right)$ (图 2-2-2).
例 14 解不等式 $\left| {x - 1}\right| < 2$ .
解 原不等式等价于
$$
- 2 < x - 1 < 2\text{ . }
$$
将上述不等式中的各项同加 1,得 $- 1 < x < 3$ .
所以，原不等式的解集为 $\left( {-1,3}\right)$ .
例 15 解不等式 $\left| {{2x} + 1}\right| \geq 3$ .
解 原不等式等价于
$$
{2x} + 1 \geq 3\text{ 或 }{2x} + 1 \leq - 3.
$$
解这两个不等式,得 $x \geq 1$ 或 $x \leq - 2$ .
所以，原不等式的解集为 $\left( {-\infty , - 2\rbrack \cup \lbrack 1, + \infty }\right)$ .
Q
例 16 解不等式 $\left| {1 - {2x}}\right| > x$ .
---
为去掉不等式中的绝对值符号, 先求出方程 $1 - {2x} = 0$ 的根,再用这个根 $x = \frac{1}{2}$ 将实数轴划分为两个部分, 分段进行讨论.
---
解 当 $x > \frac{1}{2}$ 时,原不等式化为 ${2x} - 1 > x$ ,即 $x > 1$ . 此时, 不等式的解为 $x > 1$ .
当 $x \leq \frac{1}{2}$ 时,原不等式化为 $1 - {2x} > x$ ,即 $x < \frac{1}{3}$ . 此时,不等式的解为 $x < \frac{1}{3}$ .
综上所述,原不等式的解集为 $\left( {-\infty ,\frac{1}{3}}\right) \cup \left( {1, + \infty }\right)$ .
例 17 解不等式 $\left| {x - 3}\right| + \left| {x - 5}\right| < 4$ .
---
为去掉不等式中的两个绝对值符号, 先分别求出方程 $\left| {x - 3}\right| = 0$ 及 $\left| {x - 5}\right| = 0$ 的根, 再用这两个根 $x = 3$ 及 $x = 5$ 将实数轴划分为三个区间，分段进行讨论.
---
解 当 $x \geq 5$ 时,原不等式化为 $x - 3 + x - 5 < 4$ ,可解得 $x < 6$ . 此时,不等式的解为 $5 \leq x < 6$ .
当 $3 \leq x < 5$ 时,原不等式化为 $x - 3 + 5 - x < 4$ ,即 $2 < 4$ , 它始终成立. 此时,不等式的解为 $3 \leq x < 5$ .
当 $x < 3$ 时,原不等式化为 $3 - x + 5 - x < 4$ ,可解得 $x > 2$ . 此时,不等式的解为 $2 < x < 3$ .
综上所述，原不等式的解集为 $\lbrack 5,6) \cup \lbrack 3,5) \cup \left( {2,3}\right) = \left( {2,6}\right) .$
## 练习 2.2(5)
解下列不等式:
(1) $\left| {x + 3}\right| < 4$ ； (2) $\left| {1 - {2x}}\right| > 3$ ；
(3) $\left| {{2x} - 3}\right| < {3x} - 2$ ； (4) $\left| {x + 1}\right| + \left| {x - 4}\right| > 7$ .
## 习题 2.2
## A 组
1. 解下列不等式(组):
(1) $2\left( {x + 1}\right) - 3\left( {x - 2}\right) > 8$ ；
(2) $\left\{ \begin{array}{l} {3x} - 2\left( {5 - {3x}}\right) > 8, \\ {2x} \leq 2\left( {{2x} + 3}\right) . \end{array}\right.$
2. 解下列关于 $x$ 的不等式:
(1) ${ax} + 4 < {2x} + {a}^{2}$ ，其中 $a > 2$ ； (2) ${mx} + 1 > x + {m}^{3}$ ，其中 $m < 1$ ；
(3) $\left( {p - q}\right) x < {p}^{2} - {q}^{2}$ ，其中 $p \neq q$ .
3. 解下列不等式:
(1) $\left( {x - 2}\right) \left( {3 - x}\right) \leq 0$ ； (2) $x\left( {x + 2}\right) \leq 3\left( {x + 2}\right)$ ；
(3) $\left( {1 - x}\right) \left( {2 - x}\right) < 0$ ； (4) $2\left( {x + 1}\right) \left( {x + 3}\right) > \left( {x + 3}\right) \left( {x + 4}\right)$ .
4. 设全集为 $\mathbf{R}$ ,集合 $A = \left\{ {x \mid {x}^{2} - {2x} - 3 \geq 0}\right\} , B = \left\{ {x \mid {x}^{2} + x - 2 < 0}\right\}$ . 求:
(1) $A \cup B$ ； (2) $A \cap B$ ；
(3) $\overline{A \cap B}$ ； (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ .
5. 已知下列关于 $x$ 的方程有两个不同实根,求实数 $k$ 的取值范围:
(1) ${x}^{2} + \left( {k + 3}\right) x + {k}^{2} = 0$ ; (2) $3{x}^{2} + {2kx} + k = 0$ .
6. 若下列关于 $x$ 的方程有实数解,求实数 $k$ 的取值范围:
(1) ${x}^{2} + {kx} - k + 3 = 0$ ； (2) ${x}^{2} + {2\sqrt{2}}x + k\left( {k - 1}\right) = 0$ .
7. 解下列不等式:
(1) $\frac{1}{3}{x}^{2} \leq {2x} - 3$ ； (2) $4{x}^{2} \geq {12x} - 9$ ；
(3) ${x}^{2} - x + \frac{1}{4} < 0$ ； (4) ${x}^{2} + \frac{4}{9} > \frac{2}{3}x$ .
8. 解下列不等式:
(1) ${x}^{2} + x + 1 > 0$ ； (2) $3 - 2\sqrt{2}x \geq - {x}^{2}$ ；
(3) $2{x}^{2} + {3x} + 4 < 0$ ； (4) ${x}^{2} \leq {3x} - 4$ .
9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2{x}^{2} + {ax} + 1 = 0$ 无实数解,求实数 $a$ 的取值范围.
10. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 ${x}^{2} + {ax} + b < 0$ 的解集为 $\left( {-3, - 1}\right)$ ，求实数 $a$ 及 $b$ 的值.
11. 解下列不等式组:
(1) $\left\{ \begin{array}{l} 6 - x - {x}^{2} \leq 0, \\ {x}^{2} + {3x} - 4 < 0; \end{array}\right.$ (2) $\left\{ \begin{array}{l} 4{x}^{2} - {27x} + {18} > 0, \\ {x}^{2} - {6x} + 4 < 0; \end{array}\right.$
(3) $\left\{ \begin{array}{l} 3{x}^{2} + x - 2 \geq 0, \\ 4{x}^{2} - {15x} + 9 > 0. \end{array}\right.$
12. 解下列不等式:
(1) $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$ ； (2) $\frac{1}{x} < 1$ ；
(3) $\frac{2}{3 - {4x}} \geq 1$ ； (4) $\frac{5}{x + 2} \leq 2$ ；
(5) $\frac{{4x} + 3}{x - 1} > 5$ .
13. 当关于 $x$ 的方程 ${4k} - {3x} = 2\left( {k + 2}\right) x$ 的解分别满足以下条件时,求实数 $k$ 的取值范围.
(1)正数； (2) 负数.
14. 解下列不等式:
(1) $\left| {1 - {4x}}\right| < 5$ ； (2) $\left| {x - 4}\right| < {2x}$ ；
(3) $\left| {{3x} - 4}\right| \geq x + 2$ ； (4) $\left| {x + 2}\right| + \left| {x - 3}\right| < 7$ .
15. 某船从甲码头顺流航行 ${75}\mathrm{\;{km}}$ 到达乙码头,停留 ${30}\mathrm{\;{min}}$ 后再逆流航行 ${126}\mathrm{\;{km}}$ 到达丙码头. 如果水流速度为 $4\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ ,该船要在 $5\mathrm{\;h}$ 内(包含 $5\mathrm{\;h}$ )完成整个航行任务，那么船的速度至少要达到多少?
B 组
1. 设 $a\text{ 、 }b \in \mathbf{R}$ ,解关于 $x$ 的不等式 ${ax} > b$ .
2. 设 $a \in \mathbf{R}$ ,解下列关于 $x$ 的不等式:
(1) $\left( {x - a}\right) \left( {x + 3}\right) \geq 0$ ；
(2) $\left( {x - a}\right) \left( {x - {2a}}\right) > 0$ ；
(3) $x\left( {x - a}\right) \geq \left( {a + 1}\right) \left( {x - a}\right)$ .
3. 已知关于 $x$ 的不等式 ${x}^{2} + {bx} + c > 0$ 的解集是 $\left( {-\infty ,\frac{1}{2}}\right) \cup \left( {2, + \infty }\right)$ ,求实数 $b$ 及 $c$ 的值,并求 ${x}^{2} - {bx} + c \leq 0$ 的解集.
4. 解下列不等式:
(1) $2 < \frac{1}{{3x} - 1} \leq 3$ ；
(2) $\frac{1}{x} > x$ ；
(3) $\frac{1}{x - 4} \leq 1 - \frac{x}{4 - x}$ .
5. 解下列不等式:
(1) $\frac{3{x}^{2} + {2x} + 1}{{x}^{2} + x + 2} \leq 1$ ；___ (2) $\frac{x - 1}{{x}^{2} - {4x} + 4} \geq 0$ .
6. 解下列不等式:
(1) $1 < \left| {1 - {2x}}\right| \leq 7$ ； (2) $3 < \left| {x - 2}\right| < 6$ ；
(3) $\left| {x + 2}\right| - \left| {3 - {2x}}\right| < 1$ ； (4) $\left| \frac{x}{x + 1}\right| > \frac{x}{x + 1}$ .
7. 若关于 $x$ 的不等式组 $\left\{ \begin{array}{l} \left( {{2x} - 3}\right) \left( {{3x} + 2}\right) \leq 0, \\ x - a > 0 \end{array}\right.$ 没有实数解,求实数 $a$ 的取值范围.
8. 若关于 $x$ 的不等式 ${2k}{x}^{2} + {kx} + \frac{1}{8} > 0$ 对于一切实数 $x$ 都成立,求实数 $k$ 的取值范围.
### 2.3 基本不等式及其应用
在本章前两节中, 我们学习了一些不等式的性质、求解和证明. 在不等式的应用中, 有一些很基本而十分重要的不等式, 如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式.
## 1 平均值不等式及其应用
对于正数 $a\text{ 、 }b$ ,称 $\frac{a + b}{2}$ 是 $a\text{ 、 }b$ 的算术平均值 (arithmetic mean),并称 $\sqrt{ab}$ 是 $a\text{ 、 }b$ 的几何平均值 (geometric mean). 当 $a\text{ 、 }b$ 分别表示对同一个量进行两次测量所得的数值时,其算术平均值 $\frac{a + b}{2}$ 可以理解为这两次测量值的平均. 当 $a\text{ 、 }b$ 分别表示一个矩形的两边边长时,其几何平均值 $\sqrt{ab}$ 可以理解为与此矩形面积相同的正方形的边长.
下面的不等式是经典的平均值不等式:
定理(平均值不等式) 两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值,即对于任意的正数 $a\text{ 、 }b$ ,有
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab},
$$
且等号当且仅当 $a = b$ 时成立.
证明 因为
$$
\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b}\right) }^{2}}{2} \geq 0,
$$
所以
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab},
$$
而且当且仅当 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ 即 $a = b$ 时,不等式中等号成立.
例 1 已知 $x > 0$ ,求证: $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ,并指出等号成立的条件.
证明 因为 $x > 0$ ,由平均值不等式,得
$$
x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2,
$$
---
在 $a$ 及 $b$ 有可能为零时, 平均值不等式也显然成立. 因此, 对于任意的非负实数 $a\text{ 、 }b$ ,平均值不等式都成立.
---
且等号只有当 $x = \frac{1}{x}$ ,即 ${x}^{2} = 1$ 时才成立. 由于 $x > 0$ ,因此 $x = 1$ .
所以,当且仅当 $x = 1$ 时, $x + \frac{1}{x} = 2$ .
例 2 已知 ${ab} > 0$ ,求证: $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ ,并指出等号成立的条件.
证明 因为 ${ab} > 0$ ,所以 $a\text{ 、 }b$ 同号,因而 $\frac{b}{a} > 0,\frac{a}{b} > 0$ .
由平均值不等式, 得
$$
\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = 2,
$$
且等号当且仅当 $\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$ ,即 $a = b$ 时才成立.
除了平均值不等式, 还有一些常用的不等式.
定理 对于任意的实数 $a\text{ 、 }b$ ,有
$$
{\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq {ab}
$$
且等号当且仅当 $a = b$ 时成立.
证明 对任意给定的实数 $a\text{ 、 }b$ ,总有 ${a}^{2} + {b}^{2} \geq {2ab}$ ,且等号当且仅当 $a = b$ 时成立. 于是
$$
{a}^{2} + {b}^{2} + {2ab} \geq {4ab},
$$
从而
$$
{\left( a + b\right) }^{2} \geq {4ab},
$$
即
$$
{\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq {ab}
$$
从而原不等式成立,且等号当且仅当 $a = b$ 时成立.
包括平均值不等式在内的上述一些不等式常常可被应用于对一些量做估计, 特别是可用于求解一些最大值或最小值问题.
例 3 设 $x \in \mathbf{R}$ ,求二次函数 $y = x\left( {4 - x}\right)$ 的最大值.
解 由不等式 ${\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq {ab}$ ,推得
$$
x\left( {4 - x}\right) \leq {\left( \frac{x + 4 - x}{2}\right) }^{2} = 4.
$$
于是,当 $x = 4 - x$ ,即 $x = 2$ 时, $y$ 取得最大值 4 .
## 练习 2.3(1)
1. 设 $a$ 是正数,求证: $a + 1 \geq 2\sqrt{a}$ .
2. 证明: 若 $x < 0$ ,则 $x + \frac{1}{x} \leq - 2$ ,并指出等号成立的条件.
例 4 设 $a\text{ 、 }b$ 为正数,且 $a + {2b} = 1$ ,比较 ${ab}$ 的值与 $\frac{1}{8}$ 的大小.
解 因为
$$
{ab} = \frac{1}{2}\left( {a \cdot {2b}}\right) \leq \frac{1}{2}{\left( \frac{a + {2b}}{2}\right) }^{2} = \frac{1}{8},
$$
所以 ${ab} \leq \frac{1}{8}$ ,当且仅当 $a = {2b}$ 且 $a + {2b} = 1$ ,即 $a = \frac{1}{2}$ 且 $b = \frac{1}{4}$ 时,才有 ${ab} = \frac{1}{8}$ ; 而在其他情形,均有 ${ab} < \frac{1}{8}$ .
例 5 证明:
(1)在周长为常数的所有矩形中, 正方形的面积最大;
(2)在面积相同的所有矩形中,正方形的周长最小.
证明 (1) 设矩形的周长为常数 $l\left( {l > 0}\right)$ ,而其长、宽分别为 $x\text{ 、 }y\left( {x > 0, y > 0}\right)$ ,就有 ${2x} + {2y} = l$ . 此矩形的面积为 $S = {xy}$ . 由平均值不等式,有
$$
S = {xy} \leq {\left( \frac{x + y}{2}\right) }^{2} = {\left( \frac{l}{4}\right) }^{2},
$$
当且仅当 $x = y = \frac{l}{4}$ ,即矩形为正方形时,面积 $S$ 取得最大值 $\frac{{l}^{2}}{16}$ .
(2)设矩形的面积为常数 $S\left( {S > 0}\right)$ ，而其长、宽仍分别设为 $x\text{ 、 }y\left( {x > 0, y > 0}\right)$ ,就有 ${xy} = S$ . 此矩形的周长为 $l = 2\left( {x + y}\right)$ . 由平均值不等式, 有
$$
\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy} = \sqrt{S}.
$$
所以, $l = 2\left( {x + y}\right) \geq 4\sqrt{S}$ ,且当且仅当 $x = y = \sqrt{S}$ ,即矩形为正方形时,周长 $l$ 取最小值 $4\sqrt{S}$ .
由例 5 可知,根据平均值不等式 $\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2}\left( {x > 0, y > 0}\right)$ , 当乘积 ${xy}$ 为定值时,和 $x + y$ 有最小值; 而当和 $x + y$ 为定值时,乘积 ${xy}$ 有最大值. 此外,当且仅当 $x = y$ 时,才取得相应的最小值或最大值.
例 6 某新建居民小区欲建一面积为 ${700}{\mathrm{\;m}}^{2}$ 的矩形绿地, 并在绿地四周铺设人行道. 设计要求绿地外南北两侧人行道宽 3 m，东西两侧人行道宽 4 m，如图 2-3-1 所示(图中单位:m). 问如何设计绿地的边长, 才能使人行道的占地面积最小. (结果精确到 ${0.1}\mathrm{\;m}$ )
图 2-3-1
解 设矩形绿地的南北侧边长为 $x\mathrm{\;m}$ ,则其东西侧边长为 $\frac{700}{x}\mathrm{\;m}$ ,人行道的占地面积 (记为 $S\left( {\mathrm{\;m}}^{2}\right)$ ) 为
$$
\left( {x + 8}\right) \left( {\frac{700}{x} + 6}\right) - {700},
$$
即
$$
S = {6x} + \frac{5600}{x} + {48}.
$$
利用平均值不等式, 有
$$
{6x} + \frac{5600}{x} \geq 2\sqrt{{6x} \cdot \frac{5600}{x}} = 2\sqrt{33600} = {80}\sqrt{21},
$$
且当且仅当 ${6x} = \frac{5600}{x}$ ,即 $x = {20}\sqrt{\frac{7}{3}} \approx {30.6}\left( \mathrm{\;m}\right)$ 时, $S$ 达到最小值 ${48} + {80}\sqrt{21}\left( {\mathrm{\;m}}^{2}\right)$ ,此时 $\frac{700}{x} \approx {22.9}\left( \mathrm{\;m}\right)$ .
所以，当设计绿地的南北侧边长约为 ${30.6}\mathrm{\;m}$ ，东西侧边长约为 ${22.9}\mathrm{\;m}$ 时,人行道的占地面积最小.
## 练习 2.3(2)
1. 用一根长为 $l$ 的铁丝制成一个矩形框架. 当长和宽分别为多少时,该框架的面积最大?
2. 在面积为 $\pi$ 的圆中作一个内接矩形,使它的面积最大. 求此矩形面积的最大值及此时矩形的各边长.
## 2 三角不等式
在后续向量、复数等内容的学习中, 下述三角不等式将起着重要的作用, 且其几何意义将十分明显.
Q
定理(三角不等式) 两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 $a\text{ 、 }b$ ，有
$$
\left| {a + b}\right| \leq \left| a\right| + \left| b\right| ,
$$
且等号当且仅当 ${ab} \geq 0$ 时成立.
? 证明 因为 $\left| {a + b}\right| \leq \left| a\right| + \left| b\right|$ 等价于
$$
{\left| a + b\right| }^{2} \leq {\left( \left| a\right| + \left| b\right| \right) }^{2},
$$
即 ${a}^{2} + {2ab} + {b}^{2} \leq {a}^{2} + 2\left| {ab}\right| + {b}^{2}$ ,也即 ${2ab} \leq 2\left| {ab}\right|$ ,所以三角不等式成立,且等号当且仅当 ${ab} \geq 0$ 时成立.
例 7 已知 $a\text{ 、 }b$ 为实数,求证: $\left| {a + b}\right| + \left| {a - b}\right| \geq 2\left| a\right|$ .
证明 因为 $\left( {a + b}\right) + \left( {a - b}\right) = {2a}$ ,由三角不等式,有
$$
\left| {\left( {a + b}\right) + \left( {a - b}\right) }\right| \leq \left| {a + b}\right| + \left| {a - b}\right| ,
$$
即
$$
\left| {2a}\right| \leq \left| {a + b}\right| + \left| {a - b}\right| ,
$$
所以
$$
\left| {a + b}\right| + \left| {a - b}\right| \geq 2\left| a\right| .
$$
例 8 已知 $a\text{ 、 }b$ 为实数，求证: $\left| a\right| - \left| b\right| \leq \left| {a - b}\right|$ ，并指出等号成立的条件.
证明 $\left| a\right| - \left| b\right| \leq \left| {a - b}\right|$ 等价于 $\left| a\right| \leq \left| {a - b}\right| + \left| b\right|$ . 由三角不等式, 有
$$
\left| {a - b}\right| + \left| b\right| \geq \left| {\left( {a - b}\right) + b}\right| = \left| a\right| ,
$$
所以
$$
\left| a\right| - \left| b\right| \leq \left| {a - b}\right| ,
$$
且等号当且仅当 $\left( {a - b}\right) b \geq 0$ ,即 ${ab} \geq {b}^{2}$ 时成立.
例 9 证明: $\left| {x - 3}\right| + \left| {x - 5}\right| \geq 2$ 对所有实数 $x$ 恒成立, 并求等号成立时 $x$ 的取值范围.
证明 因为 $\left| {x - 5}\right| = \left| {5 - x}\right|$ ,由三角不等式,有
$$
\left| {x - 3}\right| + \left| {x - 5}\right| = \left| {x - 3}\right| + \left| {5 - x}\right| \geq \left| {x - 3 + 5 - x}\right| = 2,
$$
所以
$$
\left| {x - 3}\right| + \left| {x - 5}\right| \geq 2,
$$
且等号当且仅当 $\left( {x - 3}\right) \left( {5 - x}\right) \geq 0$ ,即 $\left( {x - 3}\right) \left( {x - 5}\right) \leq 0$ 时成立.
---
这个不等式与三角形两边之和大于第三边相似, 故称为三角不等式 (triangle inequality).
请通过讨论 $a\text{ 、 }b$ 的符号证明三角不等式.
---
因此, $\left| {x - 3}\right| + \left| {x - 5}\right| \geq 2$ 对所有实数 $x$ 恒成立,且当且仅当 $x \in \left\lbrack {3,5}\right\rbrack$ 时,等号成立.
## 练习 2.3(3)
1. 已知 $a\text{ 、 }b \in \mathbf{R}$ . 求证: $\left| {a + b}\right| + \left| {a - b}\right| \geq 2\left| b\right|$ .
2. 已知实数 $a\text{ 、 }b$ 满足 $\left| a\right| < \frac{1}{2},\left| b\right| < \frac{1}{2}$ . 证明下列各式:
(1) $\left| {a + b}\right| < 1$ ； (2) $\left| {a - b}\right| < 1$ .
## 习题 2.3
## A 组
1. 如果实数 $a\text{ 、 }b$ 同号,那么下列命题中正确的是 ( )
A. ${a}^{2} + {b}^{2} > {2ab}$ ; B. $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ;
C. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{2}{\sqrt{ab}}$ ; D. $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ .
2. 设 $a > b > 0$ ,将四个正数 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }\sqrt{ab}\text{ 、 }\frac{a + b}{2}$ 按从小到大的顺序排列,并说明理由.
3. 已知 $a\text{ 、 }b$ 为正数,求证: $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ ,并指出等号的成立条件.
4. 设 $a\text{ 、 }b \in \mathbf{R}$ ,求证: ${a}^{2} + 2{b}^{2} + 1 \geq {2b}\left( {a + 1}\right)$ .
5. 设 $x \in \mathbf{R}$ ,求二次函数 $y = \left( {x - 1}\right) \left( {5 - x}\right)$ 的最大值.
6. 已知直角三角形斜边长等于 ${10}\mathrm{\;{cm}}$ ,求直角三角形面积的最大值.
7. 已知 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 为实数,求证: $\left| {a - b}\right| \leq \left| {a - c}\right| + \left| {c - b}\right|$ .
8. 设 $x \in \mathbf{R}$ ,求方程 $\left| {x - 2}\right| + \left| {{2x} - 3}\right| = \left| {{3x} - 5}\right|$ 的解集.
## B 组
1. 设 $0 < a < b$ ,且 $a + b = 1$ ,请将 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }\frac{1}{2}\text{ 、 }{2ab}\text{ 、 }{a}^{2} + {b}^{2}$ 从小到大排列,并说明理由.
2. 已知 $a$ 为正数,比较 $\frac{{a}^{2} + {2a} + 1}{a}$ 的值与 4 的大小.
3. 已知 $a\text{ 、 }b$ 为正数,求证: $\left( {a + b}\right) \left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\right) \geq 4$ .
4. 已知 $a\text{ 、 }b$ 是互不相等的正数,求证: $\left( {{a}^{2} + 1}\right) \left( {{b}^{2} + 1}\right) > {4ab}$ .
5. 证明: 对于正数 $h$ ,如果 $\left| {x - a}\right| < \frac{h}{2},\left| {y - a}\right| < \frac{h}{2}$ ,那么 $\left| {x - y}\right| < h$ .
6. 已知直角坐标平面上的三点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \text{ 、 }C\left( {{x}_{3},{y}_{3}}\right)$ ,记
$$
d\left( {A, B}\right) = \left| {{x}_{2} - {x}_{1}}\right| + \left| {{y}_{2} - {y}_{1}}\right| ,
$$
$$
d\left( {B, C}\right) = \left| {{x}_{3} - {x}_{2}}\right| + \left| {{y}_{3} - {y}_{2}}\right| ,
$$
$$
d\left( {C, A}\right) = \left| {{x}_{1} - {x}_{3}}\right| + \left| {{y}_{1} - {y}_{3}}\right| .
$$
求证: $d\left( {A, B}\right) \leq d\left( {B, C}\right) + d\left( {C, A}\right)$ .
7. 已知 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 是实数,求证: $\left| {a + b + c}\right| \leq \left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right|$ .
8. 证明: $\left| {x + 2}\right| - \left| {x - 1}\right| \geq - 3$ ,对所有实数 $x$ 均成立,并求等号成立时 $x$ 的取值范围.
## 探究与实践
## 利用等式证明不等式
下图 (图 2-3-2) 称为弦图, 是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制. 此图曾作为 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标. (图 2-3-3)
图 2-3-2
图 2-3-3
赵爽运用图形割补后面积不变的原理, 通过构造相应的几何图形来证明勾股定理. “按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实,亦成弦实.” 其证明过程可用字母表示为 $4 \times \frac{1}{2}{ab} + {\left( a - b\right) }^{2} = {c}^{2}$ ,化简即得勾股定理 ${a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2}.$
弦图不仅能用于证明等式, 也能用于证明不等式. 事实上, 利用弦图得到的等式 ${2ab} + {\left( a - b\right) }^{2} = {a}^{2} + {b}^{2}$ ，可推出: ${a}^{2} + {b}^{2} \geq {2ab}$ ，且等号当且仅当 $a = b$ 时成立.
运用这样的想法,我们可以由等式出发证明一些不等式. 例如,容易证明 $\left( {a + b + c}\right) \; \left\lbrack {{\left( a - b\right) }^{2} + {\left( b - c\right) }^{2} + {\left( c - a\right) }^{2}}\right\rbrack = 2\left( {{a}^{3} + {b}^{3} + {c}^{3} - {3abc}}\right)$ 成立. 由此,可以推出: 对于非负实数 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ ,有 ${a}^{3} + {b}^{3} + {c}^{3} \geq {3abc}$ ,且等号当且仅当 $a = b = c$ 时成立. 又如,由 $\left( {{a}^{2} + }\right. \; \left. {b}^{2}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) = {\left( ax + by\right) }^{2} + {\left( ay - bx\right) }^{2}$ ,可以推得: $\left( {{a}^{2} + {b}^{2}}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \geq {\left( ax + by\right) }^{2}$ ,且等号当且仅当 ${ay} = {bx}$ 时成立.
请仿照上述例子,计算 $\left( {{a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2}}\right) \left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) - {\left( ax + by + cz\right) }^{2}$ ,并看由此能否得到一个相应的不等式.
## 课后阅读
## 调和平均值与算术平均值不等式
船速一定的汽船, 在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离, 所需的时间是否一样？有人认为二者所需的时间是一样的, 他们的理由是: 当河水有流速时, 汽船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返一次所需的时间一样.
上面的说法貌似有理，但事实却并非如此. 为说明这一点，只需做一下简单的计算就可以了. 设汽船在静水中航行的速度为 ${v}_{\text{ 静 }}$ ,河水的流速为 ${v}_{\text{ 水 }}$ ,汽船在河流中航行的单程距离为 $L$ . 那么汽船逆流上行的实际速度是 ${v}_{\text{ 上 }} = {v}_{\text{ 静 }} - {v}_{\text{ 水 }}$ ,而顺流下行的实际速度是 ${v}_{\mathrm{\text{ 下 }}} = {v}_{\text{ 静 }} + {v}_{\text{ 水 }}$ . 这样汽船往返一次所需的总时间是
$$
\frac{L}{{v}_{\mathrm{\text{ 上 }}}} + \frac{L}{{v}_{\mathrm{\text{ 下 }}}} = \frac{L}{{v}_{\mathrm{\text{ 静 }}} - {v}_{\mathrm{\text{ 水 }}}} + \frac{L}{{v}_{\mathrm{\text{ 静 }}} + {v}_{\mathrm{\text{ 水 }}}} = \frac{{2L}{v}_{\mathrm{\text{ 静 }}}}{{v}_{\mathrm{\text{ 粉 }}}^{2} - {v}_{\mathrm{\text{ 水 }}}^{2}} = \frac{2L}{{v}_{\mathrm{\text{ 静 }}}\left( {1 - \frac{{v}_{\mathrm{\text{ 水 }}}^{2}}{{v}_{\mathrm{\text{ 静 }}}^{2}}}\right) },
$$
它总是大于汽船在静水中往返一次的时间 $\frac{2L}{{v}_{\text{ 静 }}}$ ,且河水流速愈大,二者的差距愈大.
由上式, 我们可以看到, 汽船在有流速的河中行驶的平均速度是
$$
\frac{2L}{\frac{L}{{v}_{\mathrm{\text{ 上 }}}} + \frac{L}{{v}_{\mathrm{\text{ 下 }}}}} = \frac{2}{\frac{1}{{v}_{\mathrm{\text{ 上 }}}} + \frac{1}{{v}_{\mathrm{\text{ 下 }}}}},
$$
它也是汽船上、下航行速度 ${v}_{\text{ 上 }}\text{ 、 }{v}_{\text{ 下 }}$ 的某种平均值,称为调和平均值. 而汽船上、下航行速度 ${v}_{\text{ 上 }}\text{ 、 }{v}_{\text{ 下 }}$ 的算术平均值
$$
\frac{{v}_{\text{ 上 }} + {v}_{\text{ 下 }}}{2} = {v}_{\text{ 阶 }}
$$
正是汽船在静水中航行的速度. 注意到
$$
\frac{2}{\frac{1}{{v}_{\mathrm{\text{ 上 }}}} + \frac{1}{{v}_{\mathrm{\text{ 下 }}}}} = {v}_{\text{ 静 }}\left( {1 - \frac{{v}_{\text{ 水 }}^{2}}{{v}_{\text{ 静 }}^{2}}}\right) \leq {v}_{\text{ 静 }} = \frac{{v}_{\mathrm{\text{ 上 }}} + {v}_{\mathrm{\text{ 下 }}}}{2},
$$
就说明调和平均值总小于等于算术平均值.
事实上,对此有一个一般性的结论: 对任意给定的两个正数 $a\text{ 、 }b$ ,已知 $\frac{a + b}{2}$ 为其算术平均值,并定义 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ 为其调和平均值 (harmonic mean),就有
$$
\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{2}
$$
且等号当且仅当 $a = b$ 时成立,即调和平均值必小于等于算术平均值.
历史上著名的迈克耳孙-莫雷实验(1887 年)正是利用上述原理而设计的. 过去人们认为光既然是一种波, 而波的传播是需要媒介的, 如声波的传播需要空气做媒介, 水波的传播需要水做媒介等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们想象整个宇宙空间(包括真空)中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质——以太. 当地球以 ${30}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{s}$ 的速度绕太阳运动时,必定会有强烈的“以太风”迎面吹来. 这样,和上面的例子一样, 光线迎 “以太风”传播一定距离再反射回来所花费的时间, 和光线垂直于 “以太风” 方向传播同样的距离再反射回来所花费的时间, 就应该是不相等的. 迈克耳孙 (A. Michelson)和莫雷(E. Morley)依此原理设计了一个实验, 证明了两束光所花费的时间并无不同, 从而说明地球相对以太是静止的, 或者以太根本就不存在. 随着爱因斯坦相对论的建立, 以太学说逐渐被学界所抛弃.
1907 年, 迈克耳孙因 “发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究”, 获得了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙-莫雷实验解决了当年普遍困惑物理学界的问题, 而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识!
## 内容提要
1. 实数大小的比较:
$a > b \Leftrightarrow a - b > 0;a = b \Leftrightarrow a - b = 0;a < b \Leftrightarrow a - b < 0$ .
2. 等式的基本性质:
传递性 如果 $a = b$ ，且 $b = c$ ，那么 $a = c$ .
加法性质 如果 $a = b, c \in \mathbf{R}$ ,那么 $a + c = b + c$ .
乘法性质 如果 $a = b, c \in \mathbf{R}$ ,那么 ${ac} = {bc}$ .
3. 不等式的基本性质:
传递性 如果 $a > b$ ,且 $b > c$ ,那么 $a > c$ .
加法性质 如果 $a > b, c \in \mathbf{R}$ ,那么 $a + c > b + c$ .
乘法性质 如果 $a > b, c > 0$ ,那么 ${ac} > {bc}$ ; 如果 $a > b, c < 0$ ,那么 ${ac} < {bc}$ .
4. 不等式的常用性质:
如果 $a > b, c > d$ ,那么 $a + c > b + d$ .
如果 $a > b > 0$ ,那么 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a} > 0$ .
如果 $a > b > 0, c > d > 0$ ,那么 ${ac} > {bd} > 0$ .
如果 $a > b > 0$ ,那么 ${a}^{n} > {b}^{n} > 0$ ,其中 $n$ 是正整数.
如果 ${a}^{n} > {b}^{n} > 0$ ,其中 $a > 0, b > 0, n$ 是正整数,那么 $a > b > 0$ .
5. 一元二次方程的根与系数关系:
设 $a{x}^{2} + {bx} + c = 0\left( {a \neq 0}\right)$ 的两根为 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}$ ,则 ${x}_{1} + {x}_{2} = - \frac{b}{a},{x}_{1}{x}_{2} = \frac{c}{a}$ .
6. 一元二次不等式的求解(下表中均假设 $a > 0$ ，而 $\Delta = {b}^{2} - {4ac}$ ):
| $\Delta > 0$ | $\Delta = 0$ | $\Delta < 0$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c = 0$ | 有两不同实根 ${x}_{1} < {x}_{2}$ | 有两相同实根 ${x}_{1} = {x}_{2}$ | 无实根 |
| $a{x}^{2} + {bx} + c > 0$ | 解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right) \cup \left( {{x}_{2}, + \infty }\right)$ | 解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right) \cup \left( {{x}_{1}, + \infty }\right)$ | 解集为 R |
| $a{x}^{2} + {bx} + c \geq 0$ | 解集为 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right\rbrack \cup \left\lbrack {{x}_{2}, + \infty }\right)$ | 解集为 $\mathbf{R}$ | 解集为 R |
| $a{x}^{2} + {bx} + c < 0$ | 解集为 $\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right)$ | 解集为 $\varnothing$ | 解集为 $\varnothing$ |
| $a{x}^{2} + {bx} + c \leq 0$ | 解集为 $\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack$ | 解集为 $\left\{ {x}_{1}\right\}$ | 解集为 $\varnothing$ |
7. 基本不等式:
平均值不等式 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\left( {a > 0, b > 0}\right)$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立.
常用不等式 ${a}^{2} + {b}^{2} \geq {2ab}$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立.
$$
{\left( \frac{a + b}{2}\right) }^{2} \geq {ab}\text{ ,当且仅当 }a = b\text{ 时等号成立. }
$$
三角不等式 $\left| {a + b}\right| \leq \left| a\right| + \left| b\right|$ ，当且仅当 ${ab} \geq 0$ 时等号成立.
## 复习题
## A 组
1. 设一元二次方程 $2{x}^{2} - {6x} - 3 = 0$ 的两个实根为 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}$ ,求下列各式的值:
(1) $\left( {{x}_{1} + 1}\right) \left( {{x}_{2} + 1}\right)$ ； (2) $\left( {{x}_{1}^{2} - 1}\right) \left( {{x}_{2}^{2} - 1}\right)$ .
2. 设 $a > b > 0$ ,比较 $\frac{b + {2a}}{a + {2b}}$ 与 $\frac{a}{b}$ 的值的大小.
3. 已知 $x > y$ ,求证: ${x}^{3} - {y}^{3} > {x}^{2}y - x{y}^{2}$ .
4. 若关于 $x$ 的不等式 $\left( {a + 1}\right) x - a < 0$ 的解集为 $\left( {2, + \infty }\right)$ ,求实数 $a$ 的值,并求不等式 $\left( {a - 1}\right) x + 3 - a > 0$ 的解集.
5. 解下列一元二次不等式:
(1) $- {x}^{2} + {11} < - {2x} - 4$ ； (2) $3{x}^{2} < {13x} + {10}$ ；
(3) ${6x} + 2 \geq {5{x}^{2}}$ ； (4) ${x}^{2} \leq 8\left( {1 - x}\right)$ ；
(5) $- {x}^{2} \geq 9\left( {9 - {2x}}\right)$ ； (6) $3\left( {x - 3}\right) \leq {x}^{2}$ .
6. 试写出一个二次项系数为 1 的一元二次不等式, 使它的解集分别为:
(1) $\left( {-\infty ,\sqrt{2}}\right) \cup \left( {\sqrt{2}, + \infty }\right)$ ； (2) $\left\lbrack {2 - \sqrt{3},2 + \sqrt{3}}\right\rbrack$ .
7. 求不等式 $5 \leq {x}^{2} - {2x} + 2 < {26}$ 的所有正整数解.
8. 解下列分式不等式:
(1) $\frac{{2x} + 1}{x + 7} > - 3$ ； (2) $\frac{3x}{{x}^{2} + 2} \geq 1$ .
9. 设关于 $x$ 的不等式 ${a}_{1}{x}^{2} + {b}_{1}x + {c}_{1} > 0$ 与 ${a}_{2}{x}^{2} + {b}_{2}x + {c}_{2} > 0$ 的解集分别为 $A\text{ 、 }B$ , 试用集合运算表示下列不等式组的解集:
(1) $\left\{ \begin{array}{l} {a}_{1}{x}^{2} + {b}_{1}x + {c}_{1} > 0, \\ {a}_{2}{x}^{2} + {b}_{2}x + {c}_{2} > 0; \end{array}\right.$
(2) $\left\{ \begin{array}{l} {a}_{1}{x}^{2} + {b}_{1}x + {c}_{1} \leq 0, \\ {a}_{2}{x}^{2} + {b}_{2}x + {c}_{2} > 0; \end{array}\right.$
(3) $\left\{ \begin{array}{l} {a}_{1}{x}^{2} + {b}_{1}x + {c}_{1} \leq 0, \\ {a}_{2}{x}^{2} + {b}_{2}x + {c}_{2} \leq 0. \end{array}\right.$
10. 解下列含绝对值的不等式:
(1) $\left| {{2x} - 1}\right| \leq x$ ； (2) $\left| {{2x} + 1}\right| + \left| {x - 2}\right| < 8$ .
11. 已知 $a\text{ 、 }b$ 是正数,求证: $\sqrt{\left( {1 + a}\right) \left( {1 + b}\right) } \geq 1 + \sqrt{ab}$ .
12. 如图,在直角三角形 ${ABC}$ 中, ${AD}$ 垂直于斜边 ${BC}$ ,且垂足为 $D$ . 设 ${BD}$ 及 ${CD}$ 的长度分别为 $a$ 与 $b$ .
(1)求斜边上的高 ${AD}$ 与中线 ${AE}$ 的长;
(2)用不等式表示斜边上的高 ${AD}$ 与中线 ${AE}$ 长度的大小关系.
(第 12 题)
(第 13 题)
13. 如图,已知直角梯形 ${ABCD}$ 的顶点 $A\left( {a,0}\right) \text{ 、 }B\left( {b,0}\right)$ 位于 $x$ 轴上,顶点 $C\text{ 、 }D$ 落在函数 $y = \left| x\right|$ 的图像上, $M\text{ 、 }N$ 分别为线段 ${AB}\text{ 、 }{CD}$ 的中点, $O$ 为坐标原点, $Q$ 为线段 ${OC}$ 与线段 ${MN}$ 的交点.
(1)求中点 $M$ 的坐标，以及线段 ${MQ}$ 、 ${MN}$ 的长度；
(2)用不等式表示 ${MQ}$ 、 ${MN}$ 长度的大小关系.
B 组
1. 已知一元二次方程 ${x}^{2} + {px} + p = 0$ 的两个实根分别为 $\alpha$ 、 $\beta$ ，且 ${\alpha }^{2} + {\beta }^{2} = 3$ . 求实数 $p$ 的值.
2. 已知一元二次方程 $2{x}^{2} - {4x} + m + 3 = 0$ 有两个同号实根,求实数 $m$ 的取值范围.
3. 设 $a\text{ 、 }b \in \mathbf{R}$ ,已知关于 $x$ 的不等式 $\left( {a + b}\right) x + \left( {b - {2a}}\right) < 0$ 的解集为 $\left( {1, + \infty }\right)$ , 求不等式 $\left( {a - b}\right) x + {3b} - a > 0$ 的解集.
4. 解下列不等式:
(1) $- 2 < \frac{1}{{2x} + 1} \leq 3$ ； (2) $2 < \left| {x + 1}\right| \leq 3$ .
5. 已知集合 $A = \{ x \mid \left| {x - a}\right| < 2\} , B = \left\{ {x\left| {\;\frac{{2x} - 1}{x + 2} < 1}\right. }\right\}$ ，且 $A \subseteq B$ . 求实数 $a$ 的取值范围.
6. 证明: 若 $x > - 1$ ,则 $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ,并指出等号成立的条件.
7. 设 $a\text{ 、 }b$ 为正数,且 $a + b = 2$ . 求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.
8. 已知 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 都是正数,求证: $\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c} \geq 6$ .
9. 设实数 $x\text{ 、 }y$ 满足 $\left| {x + y}\right| = 1$ ,求 ${xy}$ 的最大值.
10. 已知 $a\text{ 、 }b$ 为实数,求证: $\left| a\right| + \left| b\right| \leq \left| {a + b}\right| + \left| {a - b}\right|$ ,并指出等号成立的条件.
11. 已知 $a\text{ 、 }b$ 是实数,
(1)求证: ${a}^{2} + {ab} + {b}^{2} \geq 0$ ，并指出等号成立的条件；
(2)求证:如果 $a > b$ ，那么 ${a}^{3} > {b}^{3}$ .
## 拓展与思考
1. 解下列不等式:
(1) $\frac{{3x} - {11}}{{x}^{2} - {6x} + 9} \leq 1$ ； (2) $\left| {3 - {2x}}\right| \geq \left| {x + 1}\right|$ .
2. 已知集合 $A = \left\{ {x \mid {x}^{2} - {2x} - 3 > 0}\right\} , B = \left\{ {x \mid {x}^{2} + {px} + q \leq 0}\right\}$ . 若 $A \cup B = \mathbf{R}$ ,且 $A \cap B = \lbrack - 2, - 1)$ ,求实数 $p$ 及 $q$ 的值.
3. 已知实数 $0 < a < b$ ,求证:
$$
a < \frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{{a}^{2} + {b}^{2}}{2}} < b.
$$
4. 方程 $\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right) = 0$ 的三个根 1、2、3 将数轴划分为四个区间,即 $\left( {-\infty ,1}\right) ,\left( {1,2}\right) ,\left( {2,3}\right) ,\left( {3, + \infty }\right)$ . 试在这四个区间上分别考察 $\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right)$ 的解集. 符号,从而得出不等式 $\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right) > 0$ 与 $\left( {x - 1}\right) \left( {x - 2}\right) \left( {x - 3}\right) < 0$ 的解集.
一般地,对 ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }{x}_{3} \in \mathbf{R}$ ,且 ${x}_{1} \leq {x}_{2} \leq {x}_{3}$ ,试分别求不等式
$$
\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \left( {x - {x}_{3}}\right) > 0\text{ 与 }\left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \left( {x - {x}_{3}}\right) < 0
$$
的解集. (提示: ${x}_{1}\text{ 、 }{x}_{2}\text{ 、 }{x}_{3}$ 相互之间可能相等,需要分情况讨论)