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2.2 椭圆
教学重点
让学生从日常生活、科学技术等方面找出椭圆的例子, 建立椭圆的直观形象. 理解椭圆的定义, 并能在教材所给的平面直角坐标系中建立椭圆的标准方程. 借助椭圆的标准方程研究椭圆的主要特殊点、重要参数和相关性质, 包括椭圆的长轴、短轴、 焦点、顶点、焦距和离心率及其相互关系, 以及椭圆的对称性和取值范围.
进一步体会曲线方程的概念. 理解解析几何中研究曲线的一般程序: 当用点的轨迹或其他方式给出曲线定义后, 建立适当的坐标系, 求出并验证曲线的方程, 再利用方程讨论曲线的几何性质.
内容分析
尽管圆可以看成椭圆的特例, 但除非另行指出, 本节讨论中的椭圆不包括圆.
本节的第 1 小节是椭圆标准方程的推导.
椭圆是一种在日常生活中常见的几何曲线, 教材提供了几种有代表性的情境, 包括天体运动轨迹、篮球在不垂直于地面的平行光照射下在地面上的投影的边界线以及倾斜的水杯中液面的边界线等. 此外, 还可以把椭圆看作是圆的“均匀压缩”的结果 (图 2-R2), 这有助于建立圆与椭圆的联系.
图 2-R2
椭圆有许多不同的定义, 本节教材所给的是由德国天文学家开普勒(J. Kepler)引入的椭圆的经典定义, 即椭圆是到两定点距离之和为定值的点的轨迹. 采用这个定义, 一方面容易在课堂上让学生进行实际操作, 展示椭圆的发生过程, 帮助学生建立椭圆的直观经验,另一方面也容易据此建立起椭圆方程,展示特殊点和有关参量.
在“2.4 抛物线”后面的课后阅读中,从平面截圆锥面的观点给出包括椭圆在内的所有圆锥曲线；在“2.5 曲线与方程”后面的课后阅读中,给出所有圆锥曲线的统一定义“圆锥曲线是到一个定点和到一条定直线距离之比为定值的点的轨迹”,这里的圆锥曲线包括椭圆, 但遗憾的是不包括椭圆的特例一圆. 这段文字是对上段所说的 “有许多不同的定义”的一个注解, 并不是在椭圆的引入阶段就要抛出这些内容, 至多可以告诉学生本章后面还会有椭圆(以及其他圆锥曲线)的其他定义.
推导椭圆的标准方程时, 我们要先引入一个方便的平面直角坐标系, 这句话等价于说, 我们把椭圆小心翼翼地摆放在坐标系的一个特殊位置. 这与“2.1 圆”的情况完全不同, 在 2.1 节, 我们对任何位置的圆都可以轻松给出其标准方程!
设所给的椭圆是到两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹. 我们总是假定点 与点 不重合,从而 ,这种假设下圆就不在讨论的范围内了. 可以启发学生怎么去引入方便的平面直角坐标系: 直线 有特殊意义,要把它作为一条坐标轴 (比如 轴); 方向可以随意,习惯上取成 ; 曲线的定义关于点 是对称的,可以想象得到的曲线关于线段 的中点是对称的,因此把这个中点取为坐标原点是比较方便的. 于是坐标系就建立起来了,点 、 (称为椭圆的焦点) 的坐标分别是 . 用两点距离公式得知平面上一个点 到两个定点 的距离之和等于常数 的条件等价于方程
③
成立, 因此, 据本章开头所给的曲线方程的定义, 方程③实际上就是椭圆的方程. 但这是一个无理方程, 形式上不够漂亮, 也不便于利用它对椭圆的几何性质作深入的研究；而我们前面说过,圆锥曲线即二次曲线,希望用精美的二元二次方程来表示椭圆, 对圆我们做到了, 对椭圆也可以做到.
方程③化简的主要目标是去掉根号,化无理方程为有理整式方程. 实现这一目标最常用的策略是方程两边同时平方 (圆的方程化简时就是这样做的), 教材使用的就是这个策略, 不过平方之前先把一个根式移到了等号的右边. 也可以不进行移项, 直接把方程③两边平方. 进行一次方程两边同时平方不可能完全去掉根号, 还要把平方后的方程整理, 在方程的一侧留下根号, 把不带根号的各项全部放在方程的另一侧, 这样, 再次把方程两边同时平方, 就彻底去掉根号了. 这时, 得到的方程整理后变成
④
由于 ,可设 ,其中 . 这样,方程④变形为
方程两边再同时除以 ,便得到椭圆的标准方程
⑤
如果选取坐标系时把焦点所在的直线取成 轴,仍把焦点连线的中点取为坐标原点, 那么同样的推理得到椭圆的另一形式的标准方程
⑥
这个过程只要用一个简单说明就可以了. 不过要提醒学生, 方程⑤和⑥的区别不是形式上的把含 的项写在前面还是后面的问题,而是在方程⑤中含 项的分母大于含 项的分母, 而方程⑥正相反.
本节的第 2 小节讨论椭圆的性质.
椭圆的定义也可以看成椭圆的一个重要性质. 可以让学生先简单回顾一下:椭圆是平面上到两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹.
定点 称为椭圆的焦点,它们的距离 (记作 ) 称为椭圆的焦距.
条件 是定义一个椭圆必须具备的前提条件,因为当 时不可能有满足条件的点,而当 时,满足条件的点的轨迹是线段 .
把坐标原点放在线段 的中点,把焦点放在 轴或 轴上,分别给出了椭圆的标准方程⑤或⑥,其中 是满足 的正数. 于是方程表达式后面的条件 是从定义和方程的推导过程自然得出的.
本小节关于椭圆性质的讨论就是基于椭圆的标准方程⑤或⑥,教材以方程⑤为例, 方程⑥的情况可类推.
从解析几何的角度关注椭圆 (或更一般地,圆锥曲线) 的性质,往往关注它的对称性, 它的点分布的范围, 它的重要参数, 与它有关的特殊点、特殊直线 (或线段)等. 讨论这些性质的方法大多是几何观察、代数验证, 充分体现数形结合的数学思想. 这里相关的图形见本册教材第 48 页.
对称性: 观察看出椭圆是轴对称图形, 也是中心对称图形, 两条坐标轴都是对称轴,坐标原点是对称中心. 验证方法是把椭圆上一点 关于坐标轴的对称点 和关于坐标原点的对称点 的坐标代入椭圆的方程, 验证这些点也在椭圆上.
顶点: 与其说是性质, 不如说是给出一批定义. 椭圆与两条坐标轴的交点 称为椭圆的顶点,线段 (其长度为 )称为椭圆的长轴,线段 (其长度为 )称为椭圆的短轴,正数 分别称为椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距,它们的关系是 .
范围: 从图上可以看出椭圆位于直线 和直线 所围成的矩形区域内, 也就是说, 椭圆上的点的坐标满足
从代数上看, 这是因为从椭圆的方程⑤推出
离心率: 这是一个新的概念, 在圆锥曲线的研究中有重要作用. 对于椭圆而言, 离心率定义为椭圆的 (半) 焦距与长 (半) 轴长的比 ,它取值范围是 . 当 越接近于 1,椭圆越扁; 当 越接近于 0,椭圆越接近于圆 (圆可以看成椭圆当 无限趋近于 0 时的极限图形).
准线:准线也是圆锥曲线理论中的一个重要概念,但教材正文除抛物线外没有涉及准线, 只在课后阅读《圆锥曲线的统一定义及其极坐标方程》中提到了椭圆和双曲线的准线. 这里把相关内容叙述一下, 供教师参考, 但不作为对学生的要求. 椭圆的准线是直线
准线和焦点、离心率一起,可以给出椭圆的另一个定义 (也就是“圆锥曲线的统一定义”在椭圆情况的描述): 椭圆是到焦点 与到准线 的距离之比等于离心率 的点的轨迹. 详见本册教材第 80 页的课后阅读.
焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程、图形和性质的异同之处见下表:
| 焦点位置 | 在 轴上 | 在 轴上 |
| 标准方程 | | |
| 图形 | <img src="../images/bo_d402onjef24c73d2tg30_64_414_663_356_298_0.jpg"/> | <img src="../images/bo_d402onjef24c73d2tg30_64_982_651_288_333_0.jpg"/> |
| 焦点 | | |
| 顶点 | 、 | 、 |
| 轴 | 长轴 ,短轴 | 长轴 ,短轴 |
| 范围 | | |
| 离心率 | | |
| 准线 | | |
本节共 5 道例题, 前 3 道题是基本题, 主要是帮助概念的理解, 难度不大.
注意事项
- 讲椭圆定义时,要关注定义中给定的常数要大于 (即条件 ) 的约束. 为纠正学生对约束条件 “ ” 的忽视,可让学生尝试对 “ ” “ ”分别作图,以体验条件 “ ”的必要性. 若常数等于 , 则点 的轨迹是线段 ; 若常数小于 ,则轨迹不存在.
常量 的引进是很巧妙的一招. 一方面有可能性,即由 ,得知 0,所以可令 ; 另一方面还要突出必要性,即使得到的方程的形式简洁美观(在第 1 小节就可以讲),且 有明显的几何意义 (可在第 2 小节讲).
- 应该强调,教材关于椭圆 (以及以后的双曲线与抛物线) 的教学,不是对坐标系中的任意位置的曲线的讨论(与前一节“圆”不一样),而是先根据曲线定义选择比较特殊的坐标系 (这等价于说, 只考虑坐标系中特殊位置的曲线). 坐标系的选择要尽量考虑曲线的对称性、关键要素表达的简洁性等. 这方面不是要塞给学生几条硬性的原则, 而是通过具体的例子(例如本节的椭圆), 给学生以启发. 还可以告诉学生, 坐标系的选择不是唯一的. 教材之所以能选择坐标系使得椭圆方程有极佳的表现形式, 有上述思想的体现, 也有前人经验的总结, 有时还可能由不同情境决定. 例如, 双曲线 在反比例函数的情境下由于坐标系选择的不同,表现为曲线 (见本书第 73-74 页). 抛物线的研究和二次函数图像的研究由于情境不同, 坐标系选择不同, 方程也有不同的表现.
对于坐标平面上任意位置的椭圆 (以及双曲线、抛物线) 方程的研究, 不在本套教材范围内.
- 方程③到方程⑤的化简过程可以有多种不同的方法. 教材介绍的是移项后方程两边平方的方法, 我们前面还提到不移项而直接把方程③两边平方的方法. 这两种方法都是经典的, 教材编写时经常采用.
在教学实践中教师还可以使用一些小诀窍, 另辟蹊径化简方程. 下面两个例子都是设法把方程化为一个根式等于一个有理式的形式, 再做两边平方进行化简:
(1)根据方程③, 是 与 的等差中项,于是可设
两个方程各自两边平方, 再相减与相加, 分别得到
把前式 的表达式代入后式,整理后便得到方程④,进而推出方程⑤.
(2)把方程③两边同时乘 ,整理得
此方程与方程③两边相加, 化简得
再两边平方并整理也得到方程④.
- 关于证明以方程⑤的解为坐标的点一定在椭圆上, 教材在说明了“椭圆上任意一点的坐标都是方程的解”后, 为避免累赘, 只用一句话“反过来, 可以证明以方程的解为坐标的点都在椭圆上”带过. 下面针对教材里的方程化简过程给出了“反过来”证明的关键点.
从推导过程我们已经知道方程③的解一定是方程⑤的解. 要证明以方程⑤的解为坐标的点一定在给定的椭圆上, 就是要证明方程⑤的解一定是方程③的解, 即证明方程③与方程⑤有相同的解集(也可以说方程③与方程⑤是同解方程,或者说从方程 ③变形到方程⑤的过程没有产生增根). 从方程理论知道, 方程的移项、合并同类项或同时乘(除以)非零常数都不会产生增根, 审视我们的变形过程, 可能产生增根的是两次的“方程两边同时平方”. 抽象地说,要排除从 变形为 过程中产生增根,就是要从 能倒推回 . 显然,只要能保证 与 同时大于等于 0 (或同时小于等于 0)就可以了.
回到教材变形过程中两次“两边平方”前的方程, 它们分别是
与
因此,我们要从方程⑤ (以及 的假设中) 推出
先证后一不等式. 当 ,不等式 当然成立; 从方程⑤推知 ,当 时,则有 ,于是 . 所以不等式 成立.
为证第一个不等式,首先注意不等式 也成立,这可以仿照不等式 的证明得到,也可以直接从方程⑤关于 与 的对称性得到. 又从方程 ⑤得到 ,于是
最后一个不等式依据是 与 . 这样,
正如所求.
有了这两个关键步骤的倒推, 教材中所说的将 “推理过程反过来推演即可” 也就不难了.
- 离心率: 离心率的概念比较抽象, 学生此时还没有学习用准线和离心率给出椭圆的第二定义, 不容易理解离心率的几何意义, 可通过图形说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 椭圆的形状千变万化, 在直观上有一个椭圆“扁平度”的概念. 椭圆定义中只有两个参数 和 ,当然任意给定一组 的值,就对应一个唯一形状的椭圆. 让学生利用数学软件制作动画演示实验,观察 和 对椭圆 “扁平度” 的影响: 和 都影响椭圆的“扁平度”,且互相关联着: 当 不变时, 越大椭圆越扁, 越小椭圆越圆; 当 不变时, 越大椭圆越圆, 越小椭圆越扁. 如何找到一个量,能够刻画不同尺寸下的椭圆的“扁平度”？即只要这个量相等,无论椭圆大小如何,它的 “扁平度”是一样的. 换言之, 这两个椭圆是相似的, 即可以通过放大或缩小其中一个椭圆,使两个椭圆重合. 很自然的想法是把两个量 一个放在分母,一个放在分子, 使得原来反向影响“扁平度”的两个量变成同向影响“扁平度”的量, 这样就有了离心率 ,“扁平度”从一个直观感受的概念变成了可以度量的概念. 这样描述从直观到理性的推进过程虽然还比较粗糙, 但能够帮助学生克服认知障碍, 形成对离心率的感性和理性的认识.
数学史上离心率概念的提出与上段描述有着相同的逻辑. 天文学领域需要计算行星的运行轨道, 这些行星的运行轨道通常是圆扁程度不一的椭圆, 而离心率就是为了描述轨道圆扁程度而引入的一个量. 不仅如此, 天文学家还发现太阳系的八大行星都是在以太阳为焦点的椭圆形轨道上运行, 这些轨道偏离太阳的程度也不一样, 因此人们就把离心率称为 “偏心率”. 行星和太阳之间的距离是在变化的, 其中在近日点处离太阳最近,偏离距离为 ,在远日点处离太阳最远,偏离距离为 . 人们发现不能直接用最近距离和最远距离表示偏心率, 因为这两个值不仅和运行轨道的圆扁程度有关,还受轨道半径大小的影响,也就是说需要构造一个“稳定”的量来表示偏心率. 最后经过反复尝试,发现 的值和椭圆大小无关,却能很好地刻画椭圆的圆扁程度,于是人们就选择了 来表示离心率. 这样从数学发生发展的角度很好地解释了离心率的起源.
- 从圆到椭圆: 前文提到在一个方向上“均匀压缩”一个圆可以得到椭圆, 但这个描述是粗糙的、非数学的, 这里作一些补充. “均匀压缩”(或者更一般地, “均匀伸缩”)可以和向量的数量倍数联系, 但我们只考虑如下简单的情况: 给定两个正常数 分别作为 轴、 轴方向上的伸缩指数,把平面上的一个点 对应到点 , 就定义了平面上的一个“均匀伸缩”. 圆 的方程可以改写成 ,即 ,可见圆经过了伸缩变换以后变成了一个椭圆.
这样从圆的方程推椭圆的方程虽然简单, 还揭示了圆与椭圆的联系, 但椭圆的几何性质难以从这个推导过程获得.
教学建议
本节是实质性学习圆锥曲线的第一节, 对于后续学习双曲线、抛物线等圆锥曲线有着重要的指导作用. 所以本节应当适当详讲, 让学生有较好的体验, 为后续内容的学习建立比较好的基础.
在椭圆的教学中,关注以下几个方面:
- 情境引入:在生活与科学技术中,椭圆的例子并不少见,教材提供了天体运行轨迹、篮球在不垂直于地面的平行光照射下的在地面上的投影边界线和倾斜的水杯中的液面边界线等例子. 可以提前布置学生上网或在熟悉的生活、生产情境中找出自己的例子, 在课堂上交流.
学生对椭圆的定义是不熟悉的, 从几何实验角度引入椭圆定义是恰当的. 本节教材所给出的实验是经典的, 也是很容易实现的, 可由教师做演示, 但更好的方式是让学生自己做实验, 让学生自己准备一块纤维板或硬纸板, 两个图钉和一段无弹性的细绳即可. 让学生动手操作, 观察和分析教材所给的实验过程, 从中抽象概括出椭圆的定义, 并给出约束条件.
图形计算器或计算机的辅助也有益于学生的理解, 用适当的设备和软件, 通过输入参数画出椭圆图形, 加深学生的印象.
- 方程的推导: 结合实验中画出的图形建立坐标系, 容易为学生所接受, 但也可鼓励学生通过对称性合理地建立直角坐标系. 接着,设椭圆上任意一点坐标为 , ,椭圆的焦距为 ,椭圆上任一点到两焦点距离的和为 . 添加系数 2 可避免用分数形式表示焦点及长轴两端点的坐标, 使导出的椭圆方程形式简单. 再根据定义,写出适合条件的点 的集合
这一步其实是可有可无的, 放在这里的目的是给学生用集合的语言表示几何轨迹的一个范例. 实质性的一步是把轨迹的条件用方程③给出. 方程③所给出的条件与椭圆定义所描述的条件是等价的, 根据 2.1 节中关于曲线方程的定义, 方程③就是所给定的椭圆的方程.
但方程③是一个无理方程, 形式复杂, 不对称, 难以记忆和使用, 我们要对其进行化简. 首先要让学生明确化简目标, 即消去方程中的根式, 并尽可能整理成简洁的有理方程. 要抓住“消去方程中的根式”这一关键问题,常用的方法是两边平方,过程虽较繁琐,耐心演算一般能解决问题. 可启发学生自己(或在教师引导下)来进行化简, 得出结论后再与教材对照.
除了直接的方程两边平方, 化简过程还可以使用一些小诀窍, 变出新的花样. 我们在“注意事项”之 3 中给出了两种方法. 但要注意, 尽管方程的化简过程比较繁琐, 但不是本节的核心内容, 教师不应该在这里就这个过程作变式教学, 选用一种化简方法就可以了.
- 反向验证问题: 教材对反过来验证“以方程⑤的解为坐标的点一定在给定的椭圆上”没有过多着墨,只说“将上述推理过程反过来推演即可”. 建议这一段的教学中给出这一结论的细节论证,一方面由于椭圆是定义了“曲线方程”之后的第二个实例, 且第一个实例 (圆) 的两个方向验证都十分简单, 学生还不会有深刻的印象, “椭圆”接在“圆”之后,对加深学生对“曲线方程”的概念理解有比较大的帮助；另一方面,详讲 “椭圆”这一节后, 因双曲线与抛物线的内容与椭圆有很大的相似性, 学生可以触类旁通, 课堂上略讲就比较合理了. 针对教材所给的椭圆方程的化简过程, “注意事项”之 4 给出了反向证明的关键点.
请注意, 如果教师在方程推导时采用别的化简过程, 反向证明的关键点或许不一样, 但基本精神是一样的, 即找到可能产生增根的变形步骤, 排除增根.
在曲线方程的教学中,如何把握“反过来”方向的教学要求,以下两点供参考:其一, 学生要牢固建立曲线和方程的对应中两个方向验证的意识; 其二, 在题目或教师的要求下,学生能够进行反方向的证明或讲清反向证明的基本步骤和关键点,不至于手足无措.
- 椭圆的性质问题: 对学生来说, 没有平面几何知识储备, 系统地利用方程来研究曲线的几何性质现在还是第一次. 本节中, 涉及的概念和公式较多, 大多直接从方程得出, 教学时要结合图形进行讲解, 让学生先从图形的感性认识出发, 了解每个概念、性质的几何意义,建立直观的几何形象,然后从椭圆的方程角度证明从图形的直观感知获得的结论.
在讲椭圆性质的同时, 可以适当拓展到用解析几何研究曲线性质的一些通法通则, 不求完整系统, 只针对椭圆情况用到的方法推广到一般方法即可. 例如, 讲椭圆的对称性时可以推广到任意曲线关于坐标轴、坐标原点的对称性的判定; 讲顶点时回顾一下曲线和直线公共点的求法.
解析法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的, 方程是建立在坐标系的基础上. 同一曲线由于坐标系选取不同, 方程的形式也不同, 得出的曲线性质也往往可以用坐标或方程的形式表达. 但要注意, 曲线的许多性质是内在的, 即与坐标系的选取无关. 教学时, 可以用尽可能简洁的语言向学生讲清图形的内在性质, 把内在性质与它们的坐标或方程表现形式区分开来.
例如, 从本节第 2 小节中至少可以看出椭圆的如下内在性质, 其表述只用到椭圆的定义条件,即椭圆是平面上到两个点 (称为焦点) 的距离之和等于常数 的点的轨迹:(1)椭圆是中心对称图形,其对称中心是线段 的中点 ；(2)椭圆是轴对称图形,有两条对称轴,一条是线段 所在的直线,另一条是过点 所作的 的垂线; (3)椭圆与两条对称轴的交点称为椭圆的顶点,它们分别是位于线段 所在的直线上的点 和位于线段 垂直平分线上的点 ; (4) 线段 称为椭圆的长轴,其长度 ,线段 称为椭圆的短轴,其长度 ,其中 是满足 的正数; (5) 过四个顶点分别作对称轴的平行线,整个椭圆位于四条直线所围成的矩形中; (6) 比值 称为椭圆的离心率,它满足 越接近 1,椭圆越扁,而 越接近 0,椭圆越接近圆.
- 直线与椭圆的公共点: 关于直线与椭圆的公共点, 教材没有专门列为小节, 只用例 5 让学生有所体会. 教学中应以这个例题为抓手,引导学生回忆求直线与曲线 (甚至更一般的曲线与曲线) 公共点的通法通则, 即把直线和曲线的方程联立求解. 当然, 由于解方程技术上的限制, 我们只能处理一些比较简单的情况, 包括上一节的求直线与圆或圆与圆的公共点的问题以及例 5 的直线与椭圆的公共点问题. 例 5 的问题可以推而广之, 讨论直线与圆锥曲线的公共点问题, 因为把直线方程(二元一次方程) 代入到圆锥曲线方程(二元二次方程)消去一个未知数后,总会得到一个一元二次方程, 这是学生都能解的. 根据这个一元二次方程的判别式就确定了直线与椭圆有两个公共点、一个公共点或者没有公共点.
在讲完例 5 后简单介绍一下椭圆的切线. 关于椭圆切线的光学性质及其应用, 目前的课程标准中已不作要求, 只在边框中提及, 可以鼓励有兴趣的学生到图书馆或上网阅读相关资料. 要注意,平面几何中的“和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线”到这里的“和椭圆有且只有一个公共点的直线是椭圆的切线”,均没有触及切线本质属性的推广, 无法继续往前走了. 包括双曲线与抛物线在内的一般曲线的切线不再能用公共点个数来描述了, 所以后两节的教学中不应再涉及切线问题.
