教师整合版 / 沪教版高中数学
选择性必修第一册
第2章圆锥曲线 · 保留教材主线与原题
教材与正式教参整合
抛物线是一种常见的曲线, 例如喷泉中喷出的水珠、投出的篮球所经过的轨迹都是抛物线. 抛物线的用途很广泛, 在太阳灶、探照灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜、工程建筑等工程技术中都有它的身影, 体现了抛物线在光学、力学等方面的独有特性.
与椭圆、双曲线一样, 我们也通过操作先画出一段抛物线, 然后建立平面直角坐标系推导抛物线方程. 如图 2-4-1, 将一把直尺在一个平面上固定不动. 另取一块三角板,设直角顶点为 ,并在它的一条直角边上取定点 . 再取一条细线使它的长度正好等于 的长. 将这条细线的一端固定在三角板的点 ,另一端固定在同一平面上的点 . 用一支铅笔靠着细线将它绷紧，当三角板的另一条直角边靠着直尺滑动时,铅笔尖 画出了一段曲线. 观察这段曲线的生成过程可以发现,如果把直尺看作一条定直线 ,那么动点 到直线 的距离始终等于它到定点 的距离.
图 2-4-1
为什么需加条件 “ 不在 上”?
下面根据抛物线的定义来求它的方程.
图 2-4-2
如图 2-4-2,取抛物线的顶点为原点 ,以向量 的方向为 轴的正方向,建立平面直角坐标系.
设焦点到准线的距离 ,则焦点 的坐标是 ,准线 的方程为 .
设 是抛物线上任意一点,点 到 的距离为 ,则
?
这里, 还可以怎样建立平面直角坐标系? 相应的抛物线方程又具有怎样的形式?
由抛物线定义知 ,于是有
将上式两边平方, 并化简, 得
从这个推导过程可以知道,抛物线上任意一点 的坐标 都是上述方程的解. 反过来, 可以证明以上述方程的解为坐标的点, 都在这条抛物线上 (只需将上述推理过程反过来推演即可).
我们学过二次函数 0)的图像, 可以看出, 当 时,此图像是一个具有方程 的抛物线. 当 不全为零时, 二次函数的图像是这个抛物线的平移.
形如 的方程叫作抛物线的标准方程,它所表示的抛物线的顶点置于坐标原点,且具有焦点 和准线 . 我们还注意到,这条抛物线上任何一点的横坐标 , 所以抛物线位于 轴及其右侧; 当 增大时,抛物线上相应点的纵坐标 的绝对值也随着增大. 可见,此抛物线从顶点出发的上下两部分随着 的增大,在 轴的正方向 (即坐标系的右方) 形成了不再封闭的开口(我们形象地称此抛物线的“开口向右”).
仿照上述过程, 如果将抛物线的顶点仍置于坐标原点, 但将焦点分别置于 轴的负半轴、 轴的正半轴和负半轴,就可以相应地得到抛物线的另外三种标准方程: 与 . 其中,后两种形式稍作变形就是我们所熟知的二次函数的表达式.
图 2-4-3
例 1 求顶点在坐标原点, 焦点在坐标轴上且经过点 的抛物线的方程.
解 由于抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 因此抛物线的方程是上述四种标准方程之一.
若抛物线的焦点在 轴上,由于它过第三象限的点 , 可知此抛物线开口向左 (图 2-4-3)，因此可设其方程为
把点 的坐标代入,得到
解得 . 从而抛物线的方程为 .
若抛物线的焦点在 轴上,由于它过第三象限的点 , 可知此抛物线开口向下(图 2-4-3)，因此可设其方程为
把点 的坐标代入,得到
解得 . 从而抛物线的方程为 .
因此,所求抛物线的方程为 或 .
例 2 证明: 以抛物线 的任一过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
图 2-4-4
证明 如图 2-4-4,设 是此抛物线过焦点 的一条弦, 取 的中点 ,设点 在抛物线的准线 上的射影依次是点 ,则 是直角梯形 的中位线.
因为点 在抛物线上,所以
于是
即点 到准线的距离等于圆的半径.
由此可见,以 为直径的圆与准线 相切.
| 图示 | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_32.jpg?x=400&y=1679&w=183&h=165&r=0"/> | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d4sln7jef24c73be0pd0_32.jpg?x=669&y=1681&w=186&h=164&r=0"/> | ||
| 标准方程 | ||||
| 焦点坐标 | ||||
| 准线方程 |
(1)焦点是 ；
(2)准线方程是 .
下面，我们以顶点在原点、焦点在 轴正半轴上的抛物线为例, 讨论抛物线的性质. 此时抛物线的标准方程为:
因为抛物线上任意一点 关于 轴的对称点 也满足方程,所以抛物线 关于 轴对称. 抛物线有且只有一条对称轴. 对称轴与抛物线的交点就是抛物线的顶点.
因为 ,由方程 可知 ,抛物线的开口向右. 除原点外,这条抛物线上的点都在 轴的右侧,且当 无限增大时, 也无限增大. 这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸.
从抛物线方程可知,对于同一个 值,当 越大, 就越大. 这说明 越大,抛物线的开口就越大.
例 3 过抛物线 的焦点且斜率为 2 的直线与抛物线相交于 两点,求线段 的长.
解 由题意可知,抛物线的焦点为 ,则直线的方程为
①
将方程①代入抛物线方程 ，并化简得
设两个交点 的坐标分别为 ,则有
图 2-4-5
由抛物线定义可知, 分别等于点 到准线 的距离 ,如图 2-4-5 所示.
又因为 ,所以
例 4 求过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程.
解 先考虑过点 且不垂直于 轴的直线,可设其方程为 .
由方程组
①
当 时,方程①为一元一次方程,其解为 ,此时直线 与抛物线只有一个公共点 .
当 时,方程①为一元二次方程,它只有一个解的充要条件是其判别式 ,解得 . 由此得到直线 与抛物线也只有一个公共点.
例 4 中, 判别式为零是直线与抛物线仅有一个公共点的什么条件?
图 2-4-6
此外,过点 且垂直于 轴的直线 也满足题意 (图 2-4-6).
因此,所求直线的方程为 或 或 .
在前面学习圆和椭圆时, 我们曾经介绍过圆和椭圆的切线, 可以发现, 当直线与圆或椭圆有且仅有一个公共点时, 直线与圆或椭圆相切. 这仅仅是对圆或椭圆而言的情况. 由例 4 知, 在抛物线的情况下没有这样的结论. 例如, 当一条直线平行于一条抛物线的对称轴时 (如例 4 中的直线 ),这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点, 但它不是抛物线的切线 (切线的确切含义见选择性必修课程 5.1 节).
例 5 如图 2-4-7, 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口直径是 24 cm， 灯深10 cm，求灯泡与反射镜顶点的距离.
Q
图 2-4-7
图 2-4-8
抛物线具有如下的光学性质: 所有从抛物线焦点发出的光线经过抛物线反射后都与这条抛物线的对称轴平行或重合. 制作探照灯、汽车远光灯时正是依据这个原理, 把光源放在抛物线的焦点处, 使得光线经过抛物面的反射后都变成平行光束, 照得又亮又远.
解 以抛物线的对称轴为 轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系, 如图 2-4-8 所示.
由题意，得点 的坐标为 .
设抛物线的方程为
因为点 在抛物线上,所以
解得 . 因此,抛物线焦点 的坐标为 .
所以，灯泡与反射镜顶点的距离为 .
A. 1 条; B. 2 条; C. 3 条; D. 4 条.
本章的前面几节分别学习了圆、椭圆、双曲线和抛物线, 但这一章的章名却叫“圆锥曲线”, 这是为什么呢? 这些曲线与圆锥有什么关系呢? 下面就来探讨这些问题.
如图 2-4-9, 我们取两个相同的圆锥, 把其中一个倒置后组成一个共顶点、共轴的旋转体, 想象这个旋转体可上下无限延伸. 设圆锥的旋转轴与母线所成的角为 ,用一不过圆锥顶点的平面截这个圆锥,设这个平面与圆锥旋转轴所成的角为 ,则平面与圆锥的侧面相截得到的平面曲线有以下几种情况:
这个旋转体也可以看作是由两条相交直线绕其角平分线旋转而成.
(1)当 时，平面与圆锥的侧面相截所得的是一个椭圆，如图 2-4-9(1)所示； 特别地,当 时,得到的是一个圆.
(2)当 ，即平面与圆锥的一条母线平行时，所截得的是一条抛物线，如图 2-4-9(2) 所示.
(3)当 ，且这个平面不经过圆锥的顶点时，所截得的是一条双曲线，如图 2-4-9(3)所示.
图 2-4-9