教师整合版 / 沪教版高中数学
必修第三册
第12章概率初步 · 保留教材主线与原题
教材与正式教参整合
上一节在叙述大数定律时曾提到"独立地重复"进行试验, 现在我们来进一步解释什么是 "独立". 直观地, 如果两个随机事件 是否发生互相不影响,就认为它们是独立的. 这时它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积, 即成立
例如,抛掷甲、乙两枚硬币,样本空间是 正正,正反, 反正,反反}, 分别表示硬币甲、乙正面朝上的事件,显然它们是独立的,而且它们同时发生的概率是 ,各自发生的概率都是 ,即同时发生的概率等于各自发生概率的乘积.
上面所说的性质用作事件独立的严格定义,两个事件 与 (相互)独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积, 即
事件的独立性是概率中一个很直观的重要概念, 在经典概率问题的计算时非常有用.
例 1 抛掷 10 枚硬币,求:
(1)都是正面朝上的概率;
(2)恰有 1 枚反面朝上的概率.
解 (1) 抛掷 10 枚硬币,其中每一枚正面朝上的概率是 , 而它们相互之间是独立的, 所以所求的概率为 10 枚硬币各自都是正面朝上的概率之乘积, 即
(2)在考虑这个问题时，抛掷 10 枚硬币与依次抛掷 1 枚硬币 10 次是一样的. 按照后一种情况，将恰有 1 次反面朝上这个事件记作 ,它可以按哪一次反面朝上来分解: 若第 次反面朝上而其他 9 次都是正面朝上,记为 ,其中 发生相当于 之一发生,由独立性,就有
再利用概率的可加性, 推出
例 2 证明: 如果 与 两个事件独立,那么 与 也独立.
证明 首先,因为 ,所以由概率性质 3(可加性)，得
再应用 与 的独立性,得
因此 与 独立.
这个例子说明,如果 发生与 发生是独立的,那么 发生与 不发生也是独立的,即 发生与 是否发生是独立的. 由此还可推出 是否发生与 是否发生是独立的.
例 3 两个人比赛, 对于弱者(赢的概率较小者)来说, 一局定胜负和三局两胜比较, 哪个更有利? (这里所说的"三局两胜"是常见的比赛模式, 指先赢得两局者为胜, 最多三局结束)
解 设 两人比赛, 是弱者,每一局赢的概率 . 现在计算在三局两胜的规则下, 最终获胜的概率.
在三局两胜的比赛中,按照规则,事件" 最终胜"包含下列三种情况:
其中, 按顺序表示第一、二、三局中赢的一方,其余同理. 由独立性, 这三种情况的概率分别为
利用概率性质 3 (可加性),推出 最终胜的概率是 .
最后比较 与 哪个大. 容易得到
因为 是一个二次函数,它在 处达到最大,在 时严格增,而当 时其值为 1,所以 在 时恒小于 1,因此
这说明对于弱者来说, 一局定胜负比三局两胜更有利.
(1)它们的点数都是偶数的概率；
(2)它们的点数是一奇一偶的概率.
2.0.18, 0.12.
例 4 (1)从一副去掉大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张牌,用 分别表示"取得的牌面数是 10 "和"取得的牌的花色是红桃"这两个事件. 验证 是独立的.
(2)掷一颗骰子，用 分别表示事件"结果是偶数"与事件"结果是奇数". 验证 不是独立的.
证明 (1) 在这副扑克牌中, 有 4 张 10、13 张红桃, 所以
另外, 与 同时发生是指取得的牌是红桃 10,它只有一张, 所以
这样,
从而事件 是独立的.
(2)这时 与 不可能同时发生,即 ,而 ,所以 ,即 与 不独立.
例 5 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是 0.7 和 0.6 ，两人各投一次，假设事件"甲命中"与"乙命中"是独立的. 求至少一人命中的概率.
解 设 表示事件"甲命中", 表示事件"乙命中",则 表示"至少一人命中"，它的对立事件是"两人都没命中"， 即 . 由 与 独立,利用例 2 的结论推出 与 独立,再推出 与 独立,最后应用概率性质 4,就得到
因此, 至少一人命中的概率是 0.88 .
现在回过头来考虑本章一开始所述的分奖金问题.
例 6 A、B 两人下棋, 每局两人获胜的可能性一样. 某一天两人要进行一场三局两胜的比赛, 最终胜者赢得 100 元奖金. 第一局比赛 胜,后因为有其他要事而中止比赛. 问: 怎么分 100 元奖金才公平?
这里首先涉及的问题是怎么分才是公平的方法. 帕斯卡和费马均认为应该依(在现有的状态下)两人最终胜的可能性大小按比例来分. 这样问题就归结于计算两人各自最终胜的概率. 在计算这个概率时, 我们需要两个"隐藏的"假设: (1)每局两人等可能取胜; (2)各局的胜负之间是独立的.
解 现在 已胜一局,设 表示事件" 最终胜"; 表示事件"接下去第一局 胜"; 表示事件"接下去第二局 胜". 因为 已胜一局,由三局两胜的规则, 最终胜当且仅当 再胜一局,即 发生,或者 输一局后接着胜一局,即 发生. 换言之,
因为第一局与第二局是独立的,所以 与 独立. 再由上例推出 与 独立,从而
而 最终胜的概率是 ,因此 两人应该按 来分奖金.
(1)验证事件"两颗骰子的点数和为 7"与事件"白色骰子的点数是 1"是独立的；
(2)验证事件"两颗骰子的点数和为 7"与事件"两颗骰子中至少有一颗的点数是 1"不是独立的.
(1)都投中的概率；
(2)都没投中的概率；
(3)至少一人投中的概率；
(4)至多一人投中的概率.
,所以 最终获胜的概率为 ,因此 两人应按 3 :1 来分奖金.
(1)如果将不能开门的钥匙立即扔掉，求第二次才能打开门的概率；
(2)如果试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率.
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
(1)2 个球不都是红球； (2)2 个球都是红球；
(3)至少有 1 个红球； (4)2 个球中恰好有 1 个红球.
(1)在一次射击中，目标被击中的概率；
(2)目标只被甲击中的概率.
(1)在比分是 的情况下，怎么分奖金公平?
(2)在比分是 的情况下，怎么分奖金公平?
3.(1)用事件 表示: 最终获胜；事件 表示:接下去第一局 胜；
事件 表示: 接下去第二局 胜; 事件 表示: 接下去第三局 胜.
因为 已经胜两局,由五局三胜的规则, 最终获胜当且仅当 再胜一局.
,所以 最终获胜的概率为 ,
因此 两人应按 来分奖金.
(3)用事件 表示: 最终获胜；事件 表示:接下去第一局 胜；
事件 表示: 接下去第二局 胜; 事件 表示: 接下去第三局 胜;
事件 表示: 接下去第四局 胜.
因为 已经胜第一局,由五局三胜的规则, 最终获胜当且仅当 再胜两局.
所以 最终获胜的概率为 ,因此 两人应按 来分奖金.