# 概率初步
随机现象无处不在, 且与我们的生活息息相关. 它看似没有规律, 但实际上隐含着深刻的规律. 概率论就是研究随机现象背后所蕴藏的规律的数学理论. 它在现代社会中变得越来越重要, 在数学中的地位也越来越高. 在这一章中，我们将理解概率的意义，学习求解简单的概率问题. 尽管所涉及的数学实际上是相当初等的, 但第一次接触随机现象, 真正理解起来可能并不容易, 和学习以往的内容不同, 不仅要换一种思路, 而且要换一套语言.
## 12.1 随机现象与样本空间
### 1 随机现象
概率是描述一个随机现象中某事件发生的可能性 (或者机会)大小的一种度量. 要理解概率，首先要理解随机现象或者随机性.
现实世界有具确定性的现象, 对其可以预见确切的结果, 但更多的是具不确定性的现象, 也就是无法预知确切结果的现象. 如俗语说:天有不测风云，人有旦夕祸福，许多事情人们无法预知, 更无法掌控. 具不确定性的现象也称为随机现象 (random phenomenon), 或者说具有随机性.
先看几个生活中常见的例子:
1. 向上抛掷一枚硬币. 能够确定的是, 因为重力的作用, 它必定会落在地面上. 但是究竟哪一面朝上, 却是无法预知的.
2. 在车流不大的高速公路上, $A\text{ 、 }B$ 两地相距 ${100}\mathrm{\;{km}}$ . 上午 8 时从 $A$ 地出发,以 ${100}\mathrm{\;{km}}/\mathrm{h}$ 的速度去往 $B$ 地,那么我们可以肯定地说, 上午 9 时可以到达. 但如果上午 8 时从上海人民广场出发去上海浦东国际机场，由于市内堵车，我们很难准确预测什么时间可以到达.
3. 如果将 1 万元存到某银行，年利率为 3%，那么一年后的利息收入必是 300 元. 但如果将此 1 万元买该银行的股票，那么一年后的收益却是不确定的.
4. 人随着年龄增长慢慢变老, 这是确定无疑的. 但是观察 60 岁左右的人，会发现其衰老的程度很不一样，呈现出随机性.
由于随机性的存在, 我们无法准确地预测在一个随机现象中会出现什么样的结果, 然而, 对于随机现象, 我们是不是完全束手无策了呢? 答案是否定的. 尽管我们无法确切预测到结果, 但对出现某一结果的可能性大小还是有预期的, 而且通常可以得到其估计值. 例如, 抛掷一枚硬币, 人们对于可能出现的两种状态有相同的期待,也就是说两个面各自出现的可能性都是 $\frac{1}{2}$ ; 如果多次抛掷硬币, 人们会期待两个面出现的次数应该是差不多的. 又如, 我们虽然不能确切地知道明天是否会下雨, 但是借助气象研究, 气象台可以通过公布降雨概率, 对明天下雨的可能性大小作出预期, 供公众参考. 这说明, 人们相信随机现象中还是存在某种规律的, 找出这种规律就是概率论所要研究的目标.
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概率描述随机现象中某些结果出现的可能性大小.
费马 (P. de Fermat, 1601-1665), 法国数学家，正式职业是律师. 费马与帕斯卡在 1654 年 7-10 月有 7 封关于分奖金问题的书信来往, 开启了概率论的研究.
帕斯卡 (B. Pascal, 1623 —1662), 法国数学家、 物理学家.
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现实中有很多不同类型的随机现象. 简单分为可随意重复的, 如抛掷硬币、掷骰子、抽签等, 称为随机试验; 与不可随意重复的, 如天气、动物寿命等. 它们的研究方法也不尽相同. 概率论是由研究随机性而发展起来的一个数学分支, 它起源于 1654 年两位法国数学家费马和帕斯卡对赌徒提出的分奖金问题的通信讨论. 该分奖金问题可叙述如下:
$A\text{ 、 }B$ 两人下棋,每局两人获胜的可能性一样. 某一天两人要进行一场三局两胜的比赛, 最终胜者赢得 100 元奖金. 第一局比赛 $A$ 胜,后因为有其他要事而中止比赛. 问: 怎么分 100 元奖金才公平?
尽管 $A$ 胜了第一局,但结果依然是不确定的, $A\text{ 、 }B$ 都有胜的机会. 但因为 $A$ 已胜一局,所以如果比赛继续下去, $A$ 胜的可能性更大. 因此, 按照最终取胜的可能性大小 (也就是概率) 比例进行分配是大家认可的一个公平分配方案, 从而问题归结于如何计算 $A\text{ 、 }B$ 各自取胜的概率.
历史上很多人考虑过这个问题，包括费马、帕斯卡、惠更斯 (C. Huygens)等, 他们从不同的角度得到了同样的答案, 说明该问题背后有着某种规律. 这些规律引起了数学家的兴趣, 由此开启了对概率论的研究.
现在, 你也来想一想, 看能否像 300 多年前的数学家那样运用对概率的直觉来回答这个问题. 等学完这一章, 我们再来解答这个问题.
#### 练习 12.1(1)
1. 判断下面哪些是随机现象, 哪些是确定性现象, 并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子.
(1)明天太阳升起；
(2)明天上海局部地区下雨；
(3)明年小明又大一岁；
(4)小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯.
2. 仿照正文中的例子分析下面两句话里含有怎样的随机性.
(1)今年冬天一定会下雪；
(2)今年我要参加高考，应该能考上大学.
### 2 样本空间与事件
学习概率论, 首先要学会概率论的一套语言. 由于概率论中的很多术语直接使用生活中的语言, 在学习的时候要格外注意它们在概率论与生活中使用时的语义区别, 其中最重要的三个术语是样本空间、事件与概率.
考察一个随机现象 $E$ ,首先要观察其中有哪些可能出现的结果.
定义 一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间 (sample space),用 $\Omega$ 表示, 其中的元素称为基本事件 (elementary event) 或者样本点 (sample point).
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样本空间中的基本事件须是互斥的， 即任何两个均不会同时发生.
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例 1 写出下面随机试验的样本空间:
(1)抛掷一枚硬币，观察朝上的面；
(2)掷一颗骰子(每一面上分别标注数字 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的小正方体), 观察朝上的点数;
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按照习惯，在说到掷硬币或骰子时, 我们总是观察朝上的面和点数.
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(3)从装有标号为 1、2、3 的三个球的袋子中依次取两个球 (第一次取出的球不再放回)，观察标号，考虑标号顺序；
(4)从装有标号为 1、2、3 的三个球的袋子中依次取两个球 (第一次取出的球不再放回), 观察标号, 不考虑标号顺序;
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考虑标号顺序是指不同的顺序表示不同的结果, 例 如, (1，2)与(2，1)是两个不同的结果. 在不考虑顺序的情况下， (1,2)与(2,1)是一样的.
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(5)连续掷一颗骰子，直到点数 6 出现为止，观察掷的次数；
(6)向一面墙随机掷飞镖，观察其落点.
解(1)将抛掷一枚硬币出现的两个可能结果——正面或反面朝上，分别简记作 $H$ 、 $T$ ，那么样本空间是
$$
\Omega = \{ H, T\} .
$$
(2)用朝上的点数来表示结果, 那么样本空间是
$$
\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\} .
$$
(3)用符号(1，2)表示第一次摸出 1 号球而第二次摸出 2 号球, 那么样本空间就是
$$
\Omega = \{ \left( {1,2}\right) ,\left( {2,1}\right) ,\left( {1,3}\right) ,\left( {3,1}\right) ,\left( {2,3}\right) ,\left( {3,2}\right) \} .
$$
(4)如果不考虑顺序，那么(1，2)与(2，1)是同一个结果， 所以
$$
\Omega = \{ 1 * 2,1 * 3,2 * 3\} ,
$$
其中 $1 * 2$ 表示一次摸出 1 号球而另一次摸出 2 号球.
(5)如果第一次就掷到点数 6，那么结果是 1 ；如果前 $n - 1$ 次不是点数 6,而第 $n$ 次是点数 6,那么结果是 $n$ . 所以,此时样本空间是所有的正整数, 它是一个无限的集合.
(6) 样本空间是墙面上所有的点的集合，也是无限的.
前四个例子，还有生活中的许多例子，如抽牌、摸球、抽签等, 可能出现的结果都是有限的, 即样本空间只有有限个元素; 而后两个例子中的样本空间则有无限个元素.
对于一个随机现象, 我们经常会关注其中某件事情发生的可能性有多大. 例如, 抛掷一枚硬币, 出现正面的可能性有多大; 从上海人民广场出发, 一小时内到达上海浦东国际机场的可能性有多大, 等等. 这件事情在数学中称为事件 (event), 或称为随机事件, 而在样本空间确定之后, 事件实际上可以看作样本空间的一个子集，如例 2 所示.
例 2 掷一颗骰子，写出下列事件相应的样本空间的子集:
(1)点数 6 没有出现；
(2)出现偶数；
(3)点数不超过 2.
解 已知样本空间是 $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$ .
(1)点数 6 没有出现这个事件，实际上是指点数 1、2、3、 4、5 之一出现,此事件即为 $\{ 1,2,3,4,5\}$ ,它是 $\{ 6\}$ 的补集.
(2)出现偶数这个事件，实际上是指点数2、4、6之一出现,此事件就是子集 $\{ 2,4,6\}$ .
(3)点数不超过 2 这个事件，实际上是指点数 1 或者 2 出现, 此事件就是子集 $\{ 1,2\}$ .
一个事件对应于样本空间的一个子集, 即满足事件所述条件的所有基本事件的集合. 如果其中某个基本事件发生, 就说该事件发生.
例 3 掷两颗骰子, 试表示其样本空间以及掷出的两个点数都是偶数这个事件所对应的子集.
解 将两颗骰子分别称为第一骰子和第二骰子, 且考虑标号顺序. 若它们的点数分别为 $a$ 和 $b$ ,则记作 $\left( {a, b}\right)$ . 那么样本空间就是
$$
\Omega = \{ \left( {a, b}\right) \mid a = 1,\cdots ,6;b = 1,\cdots ,6\} ,
$$
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注意基本事件与事件之间的区别, 基本事件是样本空间中的元素, 而事件是样本空间的某个子集.
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其中包含 36 个基本事件.
两个点数都是偶数这个事件所对应的集合是
$$
\{ \left( {2,2}\right) ,\left( {2,4}\right) ,\left( {2,6}\right) ,\left( {4,2}\right) ,\left( {4,4}\right) ,\left( {4,6}\right) ,\left( {6,2}\right) ,\left( {6,4}\right) ,\left( {6,6}\right) \} .
$$
在一个随机试验中, 有两个特别的事件. 一个必然发生, 称为必然事件,它对应的子集就是样本空间 $\Omega$ ,即所有基本事件的集合; 另外一个必然不发生, 称为不可能事件, 对应的子集是空集 $\varnothing$ . 它们统称为确定事件, 其余的称为不确定事件.
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必然事件就是必然会发生的事件，而不可能事件就是不可能发生的事件.
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例 4 写出抛掷两枚硬币的样本空间.
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注意:对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同, 样本空间也不同, 如例 4 所示.
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解 抛掷两枚硬币, 如果对它们进行区分, 如分别标上白和黑两种颜色,就可以用两个顺序的字母表示结果. 例如, ${HT}$ 表示白的硬币是正面, 黑的硬币是反面. 那么样本空间是
$$
\Omega = \{ {HH},{HT},{TH},{TT}\} .
$$
如果不去刻意区分这两枚硬币, 那么就只看到 3 个结果: 两个正面, 一个正面一个反面, 两个反面. 所以, 样本空间是
$$
\Omega = \{ \text{ 两正,一正一反,两反\}. }
$$
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注意:我们现在虽然还没有正式地从数学上定义概率, 但可以从直观的角度使用这个名词.
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这里要注意两点:第一，样本空间是由观察问题的角度而确定的; 第二, 尽管从不同的角度观察随机现象会影响样本空间的呈现, 但不影响其中事件发生的可能性大小, 也就是概率. 以例 4 为例, 直观上, 大家都知道第一个样本空间中的 4 个结果的概率均为 $\frac{1}{4}$ ,而第二个样本空间中的三个结果的概率则依次是 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}\text{ 、 }\frac{1}{4}$ .
#### 练习 12.1(2)
1. 按某个观察角度，写出下面随机现象的一个样本空间:
(1)抛掷 3 枚硬币；
(2)将 3 个不同颜色的球放入 3 个不同的容器中，但每个容器最多放 1 个球。
2. 掷一颗骰子，写出样本空间及与下列事件相对应的基本事件子集:
(1)1 没有出现； (2)出现奇数； (3)点数超过 2 .
3. 从两男两女四人中随机选出两人,
(1)写出样本空间；
(2)写出两人恰好是一男一女这个事件所对应的子集.
#### 习题 12.1
##### A 组
1. 判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？
(1)在空地上抛一石块，石块会下落；
(2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话；
(3)买一张福利彩票，会中奖.
2. 抛掷 100 枚同一类型且质地均匀的硬币, 下面的陈述哪些是正确的, 哪些是错误的?
(1)全部出现正面向上是不可能的；
(2)至少有 1 枚出现正面向上是必然的；
(3)出现 50 枚正面向上、50 枚正面向下是不确定的.
3. 从装有红、白、黑三种颜色的小球各 1 个的袋子中任取 2 个小球, 写出这个随机试验的样本空间.
4. "一名学生一次掷 3 颗骰子，3 颗都掷得点数 6"的事件是 ( )
A. 不可能事件； B. 必然事件;
C. 可能性较大的随机事件; D. 可能性较小的随机事件.
##### B 组
1. 下列哪些是不确定的事件?
(1)学生甲明天竞选班长成功；
(2)两支足球队明天比赛，主场队取胜；
(3)若集合 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 满足 $A \subseteq B \subseteq C$ ,则 $A \subseteq C$ .
2. 一个口袋中有大小与质地相同的 1 个白球、 2 个黑球、3 个红球, 从中任取 2 个球, 观察球的颜色. 写出样本空间及与下列事件相应的基本事件子集:
(1)含有白球; (2)至少含有 1 个黑球.
3. 两个男生、两个女生随机站一排,
(1)写出样本空间；
(2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集；
(3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集.
## 12.2 古典概率
### 1 等可能性与概率
通俗地讲，概率就是可能性的大小. 我们从最简单的抛掷硬币来学习与概率相关的概念. 抛掷一枚硬币这个随机试验一共有两个可能的结果: 正面朝上与反面朝上, 其中必然有且只有一个结果会出现, 并且两个结果出现的可能性通常被认为是一样的. 因为习惯地约定必然事件的概率是 1 , 所以正面朝上的可能性即概率是 $\frac{1}{2}$ . 这里的关键是硬币的两个面出现的可能性一样. 一般地, 若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样, 则称之为具有等可能性 (equally likely), 它在许多场合下是直观自然的.
如果一个随机试验满足下面两个条件:(1)包含有限个可能出现的结果(基本事件)；(2)这些结果出现是等可能的，那么这样的随机试验就称为古典概率模型. 它是最常见也是最简单的概率模型.
在一个古典概率模型中, $\Omega$ 是一个有限且等可能的样本空间. 这里等可能的样本空间是指该样本空间中的每个基本事件出现的可能性相同. 因为依照习惯约定必然事件的概率是 1 , 所以每个基本事件发生的概率自然是基本事件总数的倒数. 由于一般的随机事件 $A$ 是基本事件的某个集合,即样本空间的一个子集, 用符号 $P\left( A\right)$ 表示事件 $A$ 发生的概率 (probability),那么事件 $A$ 发生的概率为
$$
P\left( A\right) = \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega \right| }.
$$
其中, $\left| A\right|$ 表示事件 $A$ 中的基本事件个数,而 $\left| \Omega \right|$ 表示样本空间中的基本事件个数. 上式说明概率是事件中的元素个数与样本空间中元素个数的比值.
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为什么硬币的两面出现是等可能的? 这是由于: (1)假设抛掷的硬币是质地均匀的; (2)假设抛掷的过程是充分随机的. 这两个假设使得我们确信硬币落地时不会偏向于其任何一面.
符号 $\left| A\right|$ 表示集合 $A$ 的元素个数.
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例 1 抛掷一枚硬币正面朝上和掷一颗骰子得点数 6 的概率分别是多少?
解(1)抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性是一样的,属于古典概率模型,由定义,它们的概率都是 $\frac{1}{2}$ .
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拉普拉斯 (P.-S. Laplace, 1749—1827) 分别在 1812 年与 1814 年出版《概率的分析理论》与《概率的哲学探讨》两部著作，明确给出了古典概率的定义, 总结了那个时代所知的概率研究成果, 并且对概率论在自然科学、社会科学、 选举、决策、审判等方面的应用作出了开创性的探讨.
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(2)掷一颗骰子，朝上一面的数字是 1、2、3、4、5、6 中的一个, 所以有 6 个可能结果, 这些结果也是等可能出现的, 所以掷骰子也是一个古典概率模型. 由定义, 每个结果出现的概率是 $\frac{1}{6}$ ,从而出现点数 6 的概率是 $\frac{1}{6}$ .
根据概率的定义, 容易得到以下两个简单的性质:
概率性质 1 必然事件的概率是 1 , 不可能事件的概率是 0 , 即
$$
P\left( \Omega \right) = 1, P\left( \varnothing \right) = 0.
$$
概率性质 2 设 $A$ 是一个事件,那么 $0 \leq P\left( A\right) \leq 1$ .
例 2 同时掷两颗骰子,求:
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在抛掷硬币或掷骰子时, 我们实际上不言自喻地假设等可能性.
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(1)所得点数之和为 5 的概率;
(2)所得点数相等的概率；
(3)所得点数都是偶数的概率；
(4)所得点数相差 2 的概率.
解 由例 1, 掷两颗骰子(设已标记为不同的颜色)的样本空间是
$$
\Omega = \{ \left( {i, j}\right) \mid i = 1,\cdots ,6;j = 1,\cdots ,6\} ,
$$
其中 $i\text{ 、 }j$ 分别是掷第一颗与第二颗骰子所得的点数. 这个样本空间一共有 $6 \times 6 = {36}$ 个基本事件,它们是等可能的.
(1)将所得点数之和为 5 这个事件用 $A$ 表示. 那么,事件 $A$ 包含以下基本事件:(1，4)、(2，3)、(3，2)、(4，1)，即
$$
A = \{ \left( {1,4}\right) ,\left( {2,3}\right) ,\left( {3,2}\right) ,\left( {4,1}\right) \} .
$$
事件 $A$ 有 4 个基本事件,从而点数之和等于 5 的概率为
$$
P\left( A\right) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}.
$$
(2)将所得点数相等这个事件用 $B$ 表示. 类似地，有
$$
B = \{ \left( {1,1}\right) ,\left( {2,2}\right) ,\left( {3,3}\right) ,\left( {4,4}\right) ,\left( {5,5}\right) ,\left( {6,6}\right) \} ,
$$
因此
$$
P\left( B\right) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.
$$
(3)将所得点数都是偶数这个事件用 $C$ 表示，类似地，有
$$
C = \{ \left( {2,2}\right) ,\left( {2,4}\right) ,\left( {2,6}\right) ,\left( {4,2}\right) ,\left( {4,4}\right) ,
$$
$$
\left. {\left( {4,6}\right) ,\left( {6,2}\right) ,\left( {6,4}\right) ,\left( {6,6}\right) }\right\} \text{ , }
$$
因此
$$
P\left( C\right) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}.
$$
(4)将所得点数相差 2 这个事件用 $D$ 表示，类似地，有
$$
D = \{ \left( {1,3}\right) ,\left( {3,1}\right) ,\left( {2,4}\right) ,\left( {4,2}\right) ,\left( {3,5}\right) ,\left( {5,3}\right) ,\left( {4,6}\right) ,\left( {6,4}\right) \} ,
$$
因此
$$
P\left( D\right) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}.
$$
#### 练习 12.2(1)
1. 同时掷 2 颗骰子, 求:
(1)所得点数和为 6 的概率; (2)所得点数和不大于 6 的概率.
2. 抛掷 3 枚硬币,求下列事件的概率:
(1)恰有 2 枚正面朝上； (2)最多 1 枚正面朝上.
### 2 等可能性(续)
在上一节说过, 随机现象的样本空间的选取依赖于观察的角度, 但其中事件的概率与观察角度这一主观因素无关, 是确定唯一的. 在古典概率模型中, 随着观察角度的不同, 并非所有的样本空间都有等可能性. 例如, 抛掷两枚硬币, 样本空间 \{正正,正反,反正,反反\}中的基本事件是等可能的, 但样本空间\{两正,一正一反,两反\}却不是等可能的. 虽然取什么样本空间不影响所考察的随机事件的概率, 但只有选取等可能的样本空间, 才能使得事件的概率如定义所示, 等于事件元素个数与样本空间元素个数之比, 进而使有关计算变得简单, 所以我们通常要选取一个等可能的样本空间.
怎么得到一个等可能的样本空间呢? 对抛掷一枚硬币、掷一颗骰子、摸一个球等随机试验来说，这很简单，但对复杂的随机试验来说, 这并不是很容易. 为此, 通常要将一个随机试验依次分解为若干个等可能的随机试验来处理, 方法如下:
设一个随机试验分两步完成,第一步有 $m$ 个等可能的结果, 记作
$$
{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m}\text{ ; }
$$
而对第一步得到的每个结果,第二步总有 $n$ 个等可能的结果, 记作
$$
{b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}\text{ . }
$$
那么, 该随机试验的样本空间就是
$$
\Omega = \left\{ {\left( {{a}_{i},{b}_{j}}\right) \mid i = 1,2,\cdots , m;j = 1,2,\cdots , n}\right\} ,
$$
它是等可能的,共有 ${mn}$ 个元素. 对多步的等可能随机试验可以类似地构造等可能的样本空间.
例 3 从分别写有 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 的三个大小与质地相同的球中任意取两个, 寻找其等可能的样本空间.
解 取两个球这个试验可以分解为两步: 先取一个不放回, 再取一个. 第一步有 3 个等可能的结果: $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ . 再取时, 在剩下的两个球中等可能地取一个. 如果第一个取出的是 $A$ , 那么再取时的结果是 $B$ 或 $C$ ,记作 ${AB}$ 或 ${AC}$ ; 同理,如果第一个取出的是 $B$ ,再取的结果是 $A$ 或 $C$ ,记作 ${BA}$ 或 ${BC}$ . 依此类推,共有 6 个等可能的结果: ${AB}\text{ 、 }{AC}\text{ 、 }{BA}\text{ 、 }{BC}\text{ 、 }{CA}$ 、 ${CB}$ . 这里所写的两个字母是有顺序的,分别表示第一次及第二次取出的球上的字母. 因此, 这个试验的一个等可能的样本空间是
$$
\Omega = \{ {AB},{AC},{BA},{BC},{CA},{CB}\} .
$$
可以看出, 如果只考虑出现的字母而不考虑顺序, 那么样本空间是 $\Omega = \{ {AB},{BC},{CA}\}$ . 因为其中每个基本事件包含前一个样本空间中的两个元素, 所以它也是等可能的.
在上面的例子中, 因为无需考虑顺序, 所以一次取两个球和依次不放回地取两个球的随机性是一样的.
例 4 从一个放有两个白球、一个黑球的罐子中任意摸两个球, 写出其样本空间并思考: 这个样本空间是否有不同的写法? 什么样的样本空间有等可能性? 并求至少摸到一个黑球的概率.
解 把两个白球分别标记为 $A\text{ 、 }B$ ,而黑球标记为 $C$ . 样本空间
$$
\Omega = \{ {AB},{AC},{BA},{BC},{CA},{CB}\}
$$
是等可能的. 如果只关心摸到的白球个数, 那么只看到两个结果:两个白球、一黑一白, 这不是等可能的. 最后, 从第一个样本空间看, 事件 "至少摸到一个黑球" 包含 4 个基本事件 $\{ {AC},{BC},{CA},{CB}\}$ ,因此其概率为 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
#### 练习 12.2(2)
1. 掷两颗骰子, 点数之和出现哪个数的可能性最大?
2. (配对问题)三个人抽签，三个签上事先分别写上了各自的名字. 求下面事件的概率:
${A}_{0}$ : 没有人抽到写有自己名字的签；
${A}_{1}$ : 恰有一个人抽到写有自己名字的签；
${A}_{2}$ : 恰有两个人抽到写有自己名字的签；
${A}_{3}$ : 三个人都抽到写有自己名字的签.
### 3 事件关系和运算
对于一个随机现象而言, 在确定样本空间之后, 事件对应于样本空间的一个子集, 通常用相同的字母来表示事件与相应的子集.
首先,事件之间是有关系的. 设事件 $A$ 对应于子集 $A$ ,事件 $B$ 对应于子集 $B$ . 如果 $A$ 的基本事件都在 $B$ 中,那么 $A$ 发生必然 $B$ 发生. 此时,称 $B$ 包含 $A$ 或者 $A$ 包含于 $B$ ,即 $A \subset B$ . 例如,抛掷三枚硬币, $A$ : 至少有两个正面朝上, $B$ : 至少有一个正面朝上，则 $A \subset B$ ，即 $A$ 发生必然 $B$ 发生，或等价地说， $B$ 不发生则 $A$ 也不发生.
其次,事件是可以运算的. "两个事件 $A\text{ 、 }B$ 至少有一个发生", 这本身也是一个事件, 是指在两个事件所包含的基本事件中至少有一个发生,其对应的子集是 $A \cup B$ . 同样地,"两个事件 $A\text{ 、 }B$ 同时发生"也是一个事件,是指两个事件的某个共同的基本事件发生,其对应的子集是 $A \cap B$ . 因此,"两个事件至少有一个发生"对应于相应集合的并，而"两个事件同时发生"则对应于相应集合的交.
如果 $A$ 与 $B$ 没有共同的基本事件,即两个子集不相交: $A \cap B = \varnothing$ ,那么这两个事件不可能同时发生,或者说互斥.
"事件 $A$ 发生"的否定就是"事件 $A$ 不发生",它也是一个事件,称为事件 $A$ 的对立事件,简称为"非 $A$ ". 对应的子集是不属于 $A$ 的基本事件全体,从而是 $A$ 在样本空间 $\Omega$ 中的补集 $\bar{A}$ . 显然 $A$ 与非 $A$ 不会同时发生,但肯定有一个发生,即成立
$$
A \cap \overline{A} = \varnothing , A \cup \overline{A} = \Omega .
$$
现在来看"同时发生"及"至少有一个发生"这些事件的否定形式. 正如"所有人都去"的否定是"至少有一个人没去"一样, "A、 $B$ 两个事件同时发生"的否定是 "$A\text{ 、 }B$ 至少有一个不发生"，或者" $A$ 不发生或 $B$ 不发生",即成立
$$
\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}.
$$
类似地," $A\text{ 、 }B$ 两个事件至少有一个发生"的否定是 " $A$ 与 $B$ 都没发生",即成立
$$
\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}.
$$
上面这两个公式是对两个事件来陈述的，实际上对任意多个事件同样成立.
例 5 掷两颗骰子,观察掷得的点数. 设 $A$ : 至少一个是偶数, $B$ : 至少一个是奇数, $C$ : 两个点数的乘积是偶数, $D$ : 两个点数的和是奇数. 讨论:
(1)A 与 B 的关系；
(2)A 和 C 的关系；
(3)A、B、D 之间的关系；
(4)C 与 $D$ 的关系.
解(1) $A$ 发生， $B$ 不一定发生； $B$ 发生， $A$ 不一定发生. 因此， $A$ 、 $B$ 互不包含. 此外， $A$ 、 $B$ 有可能同时发生，所以它们也不互斥.
(2)两个点数的乘积是偶数当且仅当其中至少一个是偶数， 即 $A = C$ .
(3)两个点数的和是奇数当且仅当一个是奇数一个是偶数， 即 $D = A \cap B$ .
(4)若两个点数的和是奇数，肯定是一奇一偶，所以其乘积一定是偶数; 反过来, 乘积是偶数说明两个点数中至少一个是偶数. 因此 $D \subset A$ ,且因为 $\left( 2\right)$ ,故 $D \subset C$ ,但两者不等.
---
事件的关系就是样本空间中相应子集的关系, 事件的运算就是相应子集的运算, 两者是互相对应的.
---
例 6 掷两颗骰子,观察掷得的点数. 设 $A$ : 至少一个点数是偶数, $B$ : 点数之和是偶数. 求:
(1) $A \cup B$ ；
(2) $A \cap B$ .
解(1)掷两颗骰子，出现的两个点数可以分成三个互斥的事件: 两个都是偶数,记作 ${A}_{0}$ ; 一奇一偶,记作 ${A}_{1}$ ; 两个都是奇数,记作 ${A}_{2}$ . 于是有
$$
\Omega = {A}_{0} \cup {A}_{1} \cup {A}_{2}.
$$
${A}_{0}\text{ 、 }{A}_{1}$ 两种情况合起来是事件 $A$ ,即 $A = {A}_{0} \cup {A}_{1}$ ,而 ${A}_{0}\text{ 、 }{A}_{2}$ 两种情况合起来是事件 $B$ ,即 $B = {A}_{0} \cup {A}_{2}$ . 因此
$$
A \cup B = \left( {{A}_{0} \cup {A}_{1}}\right) \cup \left( {{A}_{0} \cup {A}_{2}}\right) = {A}_{0} \cup {A}_{1} \cup {A}_{2} = \Omega .
$$
也就是说, 掷两颗骰子, 或者至少其中一个点数是偶数, 或者点数之和是偶数.
---
也可以直接把 $A$ 、 $B$ 的基本事件一一列出来, 再进行相应的运算, 见练习 12.2(3).
---
(2)事件 $A$ 、 $B$ 同时发生是指至少其中一个点数是偶数，而其点数之和也是偶数, 从而两个点数必须都是偶数, 即成立
$A \cap B = \{ \left( {i, j}\right) \mid 1 \leq i \leq 6,1 \leq j \leq 6, i\text{ 、 }j$ 都是偶数 $\}$ .
#### 练习 12.2(3)
1. 写出例 6 中事件 $A\text{ 、 }B$ 各自包含的基本事件,表示出 $A \cup B$ 与 $A \cap B$ 来验证例 6 中的结果.
2. 把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 分别写在 10 张一样的卡片上，并随机抽取 1 张. 设 $A$ : 出现偶数, $B$ : 出现 3 的倍数. 写出下面两个事件的对应子集:
(1)A、B 至少有一个发生； (2)A、B 同时发生.
### 4 可加性
概率 $P\left( A\right)$ 是赋予事件 $A$ 的一个量,它表示事件 $A$ 发生的可能性大小, 是该事件的客观属性. 对于古典概率模型来说, 这个量是如下定义的:
$$
P\left( A\right) = \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega \right| }.
$$
设事件 $A\text{ 、 }B$ 不同时发生,即成立 $A \cap B = \varnothing$ . 而 $A$ 与 $B$ 至少有一个发生的事件是 $A \cup B$ . 因为 $A$ 与 $B$ 中没有共同的元素, 所以并集 $A \cup B$ 的元素个数就是 $A$ 及 $B$ 的元素个数之和,即成立
$$
\left| {A \cup B}\right| = \left| A\right| + \left| B\right| ,
$$
因此
$$
P\left( {A \cup B}\right) = \frac{\left| A \cup B\right| }{\left| \Omega \right| } = \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega \right| } + \frac{\left| B\right| }{\left| \Omega \right| } = P\left( A\right) + P\left( B\right) .
$$
即得到概率的可加性 (additivity):
概率性质 3 (可加性) 两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和. 换言之, 如果 $A \cap B = \varnothing$ ,那么
$$
P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) .
$$
将上述可加性用于 $B = \bar{A}$ 特殊情况,由于 $A \cup \bar{A} = \Omega$ ,就得到
概率性质 4 对任一给定事件, 其发生的概率与不发生的概率的和总是 1 . 换言之, 有
$$
P\left( A\right) = 1 - P\left( \bar{A}\right) .
$$
作为度量某事件发生可能性大小的量, 概率最本质的性质就是可加性, 它在计算概率时非常重要.
例 7 抛掷三枚硬币,求:
(1)至少出现两个正面的概率;
(2)至少出现一个正面的概率.
解 用 $H$ 、 $T$ 分别表示正面与反面,则抛掷三枚硬币的样本空间是
$\Omega = \{ {HHH},{HTH},{HHT},{HTT},{THH},{TTH},{THT},{TTT}\} .$
(1)令 $A$ 为至少出现两个正面. 恰有两个正面出现的事件为 $\{ {HTH},{HHT},{THH}\}$ ,而恰有三个正面出现的事件为 $\{ {HHH}\}$ . 至少有两个正面出现意味着这两个事件至少有一个发生, 而且这两个事件不会同时发生. 所以, 由概率性质 3 , 得
$$
P\left( A\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
$$
(2)令 $B$ 为至少出现一个正面，它的对立事件 $\bar{B}$ 就是全部为反面,即 $\bar{B} = \{ {TTT}\}$ . 所以,由概率性质 4,得
$$
P\left( B\right) = 1 - P\left( \bar{B}\right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.
$$
将上述古典概率的基本性质抽象出来, 可得概率满足以下三个性质:
---
很多量有可加性, 如集合的元素个数， 区域的面积，物体的体积和质量, 等等, 但也有很多量不具有可加性，如物体的密度.
---
(1)任意事件 $A$ 的概率介于 0、1 之间，即 $0 \leq P\left( A\right) \leq 1$ ；
(2)规范性:必然事件的概率为 1，即 $P\left( \Omega \right) = 1$ ；
(3)可加性:若事件 $A$ 、 $B$ 互斥，则
$$
P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) .
$$
前面所讲的古典概率是概率的特殊情况和思想源泉, 但应该指出, 概率不限于古典概率, 如例 8、例 9 所示.
例 8 甲、乙两人下棋, 甲获胜的概率为 0.4 , 甲不输的概率为 0.9 . 求甲、乙两人下成和棋的概率.
解 用 $A$ 表示甲获胜, $B$ 表示和棋, $C$ 表示甲不输. 因为甲不输是指甲获胜或者和棋, 所以
$$
C = A \cup B\text{ . }
$$
而和棋与获胜是互斥的, 由概率性质 3(可加性), 得
$$
P\left( C\right) = P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) .
$$
题意说明 $P\left( C\right) = {0.9}, P\left( A\right) = {0.4}$ ,因此 $P\left( B\right) = {0.9} - {0.4}$ =0.5 .
由于本章涉及的样本空间都很小, 计算概率只需直接计数. 为了说明可加性的重要性, 下面举一个稍有难度的例子.
例 9 甲、乙各抛掷若干枚硬币, 甲抛掷的硬币总数恰比乙少 1 枚. 问甲得到的正面数比乙得到的正面数少的概率.
解 设事件 $A$ : 甲得到的正面数比乙少. 当甲抛掷 1 枚硬币, 而乙抛掷 2 枚的时候, 可以列出样本空间
$$
\Omega = \{ {HHH},{HTH},{HHT},{HTT},{THH},{TTH},{THT},{TTT}\} ,
$$
其中第一个字母表示甲抛掷硬币的结果, 后面两个字母表示乙抛掷硬币的结果. 那么
$$
A = \{ {HHH},{THH},{TTH},{THT}\} ,
$$
所以
$$
P\left( A\right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.
$$
当甲、乙分别抛掷 2 枚及 3 枚硬币的时候，样本空间会有 32 个基本事件, 像上面那样计数计算勉强可行. 但一般的情况用数个数的方法是不行的, 需要换个思路.
设事件 $B$ : 甲得到的反面数比乙的反面数少. 因为硬币的正反面质地均匀,应有 $P\left( A\right) = P\left( B\right)$ . 现在我们来证明 $A\text{ 、 }B$ 是对立事件，即至少有一个发生，但不可能同时发生. 一方面，如果它们同时发生, 那么甲的正面数和反面数都比乙的少 (至少各少一个), 从而推出甲抛掷的硬币总数 (正面数与反面数之和) 至少比乙少两个, 这与题意矛盾. 另一方面, 如果它们都不发生, 那么甲的正面数和反面数都不比乙的少, 从而甲抛掷的硬币总数不比乙少, 也与题意矛盾.
---
本例中所说的概率并不是按古典概率定义的概率.
---
这样,就有 $B = \overline{\bar{A}}$ . 由概率性质 4,得
$$
P\left( B\right) = 1 - P\left( A\right)\text{ . }
$$
再由 $P\left( A\right) = P\left( B\right)$ ,就可推出 $P\left( A\right) = \frac{1}{2}$ .
最后, 我们指出, 从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性: 如果 ${A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n}$ 是 $n$ 个两两互斥的事件, 那么
$$
P\left( {{A}_{1} \cup {A}_{2} \cup \cdots \cup {A}_{n}}\right) = P\left( {A}_{1}\right) + P\left( {A}_{2}\right) + \cdots + P\left( {A}_{n}\right) .
$$
#### 练习 12.2(4)
1. 已知 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 是三个两两互斥的事件,求证:
$$
P\left( {A \cup B \cup C}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right) + P\left( C\right) .
$$
2. 已知 $A$ 、 $B$ 是两个事件,求证:
$$
P\left( {A \cap \bar{B}}\right) = P\left( A\right) - P\left( {A \cap B}\right) .
$$
3. 一次期中考试, 小明数学超过 90 分的概率是 0.5 , 物理超过 90 分的概率是 0.7 , 两门课都超过 90 分的概率是 0.3 . 求他的数学和物理至少有一门超过 90 分的概率.
#### 习题 12.2
##### A 组
1. 从 1、2、3、4、5 中任取 3 个不同的数，求这 3 个数构成一组勾股数(或者说恰为一个直角三角形的三条边长) 的概率.
2. 如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 100 次, 那么第 99 次出现反面朝上的概率是 ( )
A. $\frac{1}{100}$ ; B. $\frac{99}{100}$ ; C. $\frac{1}{99}$ ; D. $\frac{1}{2}$ .
3. 在分别写有数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 的 10 张一样的卡片中随机抽取 1 张. 设事件 $A$ : 出现奇数,事件 $B$ : 出现偶数,事件 $C$ : 大于 4 . 写出下列事件对应的集合:
(1) $A$ 、 $C$ 同时发生； (2) $B$ 、 $C$ 至少有一个发生;
(3)A、B 同时发生.
4. 掷一颗骰子,设事件 $A$ : 落地时向上的点数是奇数,事件 $B$ : 落地时向上的点数是偶数,事件 $C$ : 落地时向上的点数是 3 的倍数,事件 $D$ : 落地时向上的点数是 4 . 则下列每对事件中，不是互斥事件的为 ( )
A. $A$ 与 $B$ ； B. $B$ 与 $C$ ； C. $A$ 与 $D$ ; D. $C$ 与 $D$ .
(第 5 题)
5. 如图, 靶子由一个中心圆面 I 和两个与 I 同心的圆环 II、III 构成, 射手命中 I 、II 及 III 的概率分别为 0.35、0.30 及 0.25 . 求不命中靶的概率.
6. 盒子里装有大小与质地相同的红球与白球, 从中任取 3 个球. 设事件 $A$ 表示"3 个球中有 1 个红球、 2 个白球",事件 $B$ 表示"3 个球中有 2 个红球、 1 个白球". 已知 $P\left( A\right) = \frac{3}{10}, P\left( B\right) = \frac{1}{2}$ . 求"3 个球中既有红球又有白球"的概率.
##### B 组
1. 已知 4 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 4 名学生依次抽取(抽出后不放回)，他们的中奖概率是否一样? 为什么?
2. 已知 5 件产品中有 2 件次品、3 件合格品, 从这 5 件产品中任取 2 件, 求:
(1)恰有 1 件次品的概率; (2)2 件都是合格品的概率.
3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 ${x}^{2} - {ax} + 3 = 0$ ，其中 $a$ 是掷一颗骰子得到的点数. 求下列事件的概率:
(1)方程有两个不相等的实根； (2) $x = 3$ 是方程的根；
(3) 方程存在正根.
4. 已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥,它们都不发生的概率为 $\frac{2}{5}$ ,且 $P\left( A\right) = {2P}\left( B\right)$ . 求 $P\left( \bar{A}\right)$ .
5. 袋中有大小与质地相同的 12 个小球, 分别为红球、黑球、黄球、绿球, 从中任取 1 个球,得到红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ,得到黑球或黄球的概率是 $\frac{5}{12}$ ,得到黄球或绿球的概率是 $\frac{5}{12}$ . 试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.
## 12.3 频率与概率
某个事件发生的概率是对这个事件发生可能性大小的一种度量, 这种度量能不能被验证呢? 换言之, 除了给我们关于事件发生可能性的心理预期外, 概率大小究竟有什么实际意义呢? 回到抛掷一枚硬币这件事情,正面朝上的概率是 $\frac{1}{2}$ ,除了硬币质地均匀的原因之外, 是否还有其他解释呢?
实际上, 概率可以从频率的角度来检验. 频率也是一个生活中常用的词. 如果一个随机试验只有两种可能的结果, 一个是 "成功",概率是 $p\left( {0 < p < 1}\right)$ ,一个是 "失败",概率是 $1 - p$ ,那么这个随机试验称为伯努利试验. 如果抛掷一枚硬币, 把正面朝上称为成功, 掷骰子把点数 6 向上称为成功, 那么它们都可以看作伯努利试验. 假设我们可以独立地重复一个伯努利试验 $n$ 次, 其中成功的次数记作 ${S}_{n}$ ,那么
$$
\frac{{S}_{n}}{n}
$$
就被称为 $\left( {n\text{ 次试验中 }}\right)$ 成功的频率 (frequency). 频率是一个数, 依赖于试验次数 $n$ . 它不是一个确定的数,而是一个随机的数.
通过大量的观察，人们发现了下面这个定律，它说明频率具有稳定性, 在试验次数足够多时, 会稳定地趋向于概率. 这给出了由概率来表示可能性大小的理由, 或者说概率在某种意义上是可以检验的.
伯努利大数定律 (law of large numbers): 独立地重复一个伯努利试验 $n$ 次,当 $n$ 很大时,频率 $\frac{{S}_{n}}{n}$ 逼近概率.
这个结论之所以被称为定律, 或许是因为它直观地像是一个自然定律. 它很早就被数学家观察到, 并在瑞士数学家雅各布· 伯努利 1713 年出版的书中首次给出了证明.
注意, 伯努利大数定律的成立有一个条件, 即 "假设我们可以独立地重复一个伯努利试验", 这个条件非常关键. 抛掷硬币、 掷骰子这类随机试验可以独立地重复, 然而许多随机现象是不可以独立地重复的. 例如, 某人今年会不会得流感是随机的, 每个人的高考成绩也是随机的, 但这些现象都不能独立地重复. 可以独立地重复的才称得上是一个试验. 虽然人们对于不能独立地重复的随机现象也谈论概率, 但那是主观的概率, 并不能检验.
---
"独立地重复"有严格的数学定义, 但这里可以按字面来理解.
由于试验具有随机性, 因此频率是一个不确定的量, 而概率是一个确定的量.
大数定律的名称中的"大数"是指需重复很多次才会出现"频率逼近概率"这个现象.
---
雅各布・伯努利(Jakob Bernoulli, 1654—1705), 瑞士数学家，伯努利家族 (其中有许多著名科学家、 数学家)中的一员，对概率论的主要贡献发表在其著作《猜度术》中，其中包括大数定律.
在抛掷一枚硬币时，既可能正面朝上，也可能反面朝上，预先做出确定性的判断是不可能的. 但是假如硬币质地均匀，人们会相信出现正面的可能性与出现反面的可能性应该大体相等, 即在大量试验中出现正面的频率应接近于 50% . 为了验证这一点, 历史上曾有不少人做过实验, 下面是用抛掷硬币来验证频率稳定性的著名例子(表 12-1).
表 12-1
| 实验者 | 抛掷硬币次数 | 出现正面次数 | 频率 |
| 蒲丰 | 4 040 | 2048 | 0.5069 |
| 费勒 | 10000 | 4979 | 0.497 9 |
| 皮尔逊 | 12000 | 6019 | 0.5016 |
| 皮尔逊 | 24000 | 12 012 | 0.500 5 |
援引它不仅是因为它的权威性，而且是因为实验简单，人人都可以做. 从表 12-1 可以看出，随着试验次数的增加，频率接近 $\frac{1}{2}$ . 同时还可看出,出现正面的概率是 $\frac{1}{2}$ ,并不是意味着抛掷 2 次硬币必出现 1 次正面, 抛掷 10 次必出现 5 次正面, 而是在大量试验中,出现正面的频率值越来越稳定在 $\frac{1}{2}$ 附近. 频率在大数次的试验中稳定于某一常数(概率)这个事实非常重要. 正因为如此, 在实际中可以把频率作为概率(的估计值)来应用. 频率也称为经验概率,计算它通常是为了估计概率 $P$ . 为了区别于概率, 经验概率用 $\widehat{P}$ 来表示.
例 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在 500 个病人中进行实验，结果如表 12-2 所示.
表 12-2
| 胆固醇降低的人数 | 没有起作用的人数 | 胆固醇升高的人数 |
| 307 | 120 | 73 |
求下列事件的经验概率:
(1)使用药物后胆固醇降低；
(2)使用药物后没有起作用；
(3)使用药物后胆固醇升高.
解 (1) 如果把"使用药物后胆固醇降低"记作事件 $A$ ,那么
$$
\widehat{P}\left( A\right) = \frac{307}{500} = {0.614}.
$$
(2)如果把"使用药物后没有起作用"记作事件 $B$ ,那么
$$
\widehat{P}\left( B\right) = \frac{120}{500} = {0.240}.
$$
(3)如果把"使用药物后胆固醇升高"记作事件 $C$ ,那么
$$
\widehat{P}\left( C\right) = \frac{73}{500} = {0.146}.
$$
#### 练习 12.3
1. 早期破译密码，注意文字的出现频率是一个重要手段. 找一篇(大约一页 A4 纸)英文文章，计算一下 26 个英文字母出现的频率，观察哪个字母出现的频率最高.
2. 有一批种子，其中的种子可能 1 天发芽，也可能 2 天发芽······，下表是对不同发芽天数的种子数的记录.
| 发芽天数/天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ≥8 |
| 种子数/粒 | 18 | 36 | 20 | 11 | 9 | 3 | 1 | 0 |
(1)求发芽天数为 2 天或 3 天的频率 (经验概率);
(2)求发芽天数超过 4 天的频率. (结果精确到 0.01)
3. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出 1000 条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记, 再放回水库. 一个月后再次捕捞 1000 条鱼, 发现其中有 15 条有印记的鱼. 问:这个水库里大概有多少条鱼？
#### 课后阅读
##### 概率、经验概率与主观概率
概率是赋予事件的一个数, 它表达该事件有多大的可能性发生. 在等可能的假设下, 抛掷一枚硬币得正面的概率是 $\frac{1}{2}$ , 掷一颗骰子得点数 6 的概率是 $\frac{1}{6}$ . 但是,如果没有等可能假设, 这些概率是很难知道的. 例如, 假设抛掷的一枚硬币由一个金属薄片和一个木质薄片贴合而成,这样的硬币显然不再是等可能的,抛掷这枚硬币金属面朝上的概率 $p$ 和木质面朝上的概率 $q$ 依然是存在的,且 $p + q = 1$ ,但理论上没有人能够算出来 $p$ 与 $q$ 究竟是多少. 这时候因试验可以任意多次重复, 我们仍可以用频率或者经验概率来进行估计, 这正是大数定律所断言的.
现在换个问题. 假设小明今年 20 岁, 能够健康活到 70 岁的可能性有多大? 因为不能预测, 健康活到 70 岁是一个随机事件. 它有没有一个概率呢? 因为小明的一生是不能重复的, 大数定律失效. 这时即使说概率, 也只是一种心理预期, 无法加以检验. 这是作为数学的概率论无法解决的问题, 称之为主观概率, 它只能反映说话者的主观判断.
尽管小明对自己能健康活到 70 岁的可能性的判断在数学上没有意义, 但我们仍然可以做一点有意义的事情，就是把其他人看成是小明的某种重复，从而求得这个事件的"频率", 也就是求健康活到 70 岁的人数在总人数中的比例. 这个比例是统计数据, 对具体的个人而言是没有意义的，但是它仍然有其统计意义，在某些场合是非常有用的. 例如，保险公司可以据此来计算人寿保险的保险费率.
从这里可以明白, 生活中经常说的话, 如 "学某某专业容易找工作"或 "锻炼让人长寿" 等, 都是统计意义上的断言, 对具体个人没有特别的意义.
##### 蒙特卡洛算法
大数定律还给我们提供了一种新的算法, 称为蒙特卡洛算法 (Monte Carlo algorithm). 假设我们要算平面上一个不规则区域 $D$ (如某个国家在地图上所占的区域)的面积，这样的图形用通常的面积计算方法是不容易求得的.
怎么应用蒙特卡洛算法呢? 看一个简单的例子. 首先, 取一块正方形纸板, 将其表面正方形记作 $\Omega$ ,把所求的区域 $D$ 放在此正方形纸板中,如图 12-3-1 所示.
图 12-3-1
然后,把这块包含区域 $D$ 的正方形纸板放置在墙上,向它随意投掷 200 次飞镖,记录飞镖落在 $D$ 中的次数有 82 次.
因为是随机投掷飞镖,所以飞镖落在 $D$ 中的概率等于面积比,即
$$
p = \frac{\left| D\right| }{\left| \Omega \right| },
$$
其中 $\left| D\right|$ 与 $\left| \Omega \right|$ 分别表示两个区域的面积 (这是另一种古典概率,称为几何概率模型). 现在飞镖落在 $D$ 中的频率为
$$
\widehat{p} = \frac{82}{200} = \frac{41}{100}.
$$
按大数定律,应有 $\widehat{p} \approx p$ ,因此
$$
\left| D\right| \approx \frac{41}{100}\left| \Omega \right|
$$
其中正方形 $\Omega$ 的面积已知或者是容易计算的.
上面例子中所示的方法就是蒙特卡洛算法, 也称为随机化算法. 该算法的优点是操作简单, 但缺点是难以估计和控制误差. 法国数学家蒲丰(G. -L. L. de Buffon)在 1777 年曾经设计过投针实验来计算圆周率 $\pi$ 的近似值,相关内容留作课外实践.
#### 习题 12.3
##### A 组
1. 一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间内破碎的概率, 于是调查了 20000 辆汽车，发现在一年时间内共有 600 辆汽车的挡风玻璃破碎. 求一辆汽车在一年时间内挡风玻璃破碎的经验概率.
2. 为了估计装有 5 个白球和若干个红球 (每个球的大小与质地相同) 的袋中红球的个数, 在不将袋中球倒出来的情况下, 分 20 个小组进行摸球试验. 每组两人, 其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，再将球放回袋中摇匀. 每一组各做 400 次试验， 汇总后，摸到红球的次数为 6000 次.
(1)估计从袋中任意摸出 1 个球，恰好是红球的概率；
(2)估计袋中红球的个数.
##### B 组
1. 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各 3 个, 乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各 2 个, 各个球的大小与质地相同. 从两个盒子中各取 1 个球.
(1)求取出的 2 个球颜色不同的概率；
(2)设计一个随机试验，计算(1)中取出的 2 个球是不同颜色的经验概率.
## 12.4 随机事件的独立性
### 1 独立随机事件
上一节在叙述大数定律时曾提到"独立地重复"进行试验, 现在我们来进一步解释什么是 "独立". 直观地, 如果两个随机事件 $A\text{ 、 }B$ 是否发生互相不影响,就认为它们是独立的. 这时它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积, 即成立
$$
P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right) .
$$
例如,抛掷甲、乙两枚硬币,样本空间是 $\Omega = \{$ 正正,正反, 反正,反反\}, $A\text{ 、 }B$ 分别表示硬币甲、乙正面朝上的事件,显然它们是独立的,而且它们同时发生的概率是 $\frac{1}{4}$ ,各自发生的概率都是 $\frac{1}{2}$ ,即同时发生的概率等于各自发生概率的乘积.
上面所说的性质用作事件独立的严格定义,两个事件 $A$ 与 $B$ (相互)独立(independent)是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积, 即
$$
P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right) .
$$
事件的独立性是概率中一个很直观的重要概念, 在经典概率问题的计算时非常有用.
例 1 抛掷 10 枚硬币,求:
(1)都是正面朝上的概率;
(2)恰有 1 枚反面朝上的概率.
解 (1) 抛掷 10 枚硬币,其中每一枚正面朝上的概率是 $\frac{1}{2}$ , 而它们相互之间是独立的, 所以所求的概率为 10 枚硬币各自都是正面朝上的概率之乘积, 即
$$
\frac{1}{{2}^{10}} = \frac{1}{1024}
$$
(2)在考虑这个问题时，抛掷 10 枚硬币与依次抛掷 1 枚硬币 10 次是一样的. 按照后一种情况，将恰有 1 次反面朝上这个事件记作 $A$ ,它可以按哪一次反面朝上来分解: 若第 $n$ 次反面朝上而其他 9 次都是正面朝上,记为 ${A}_{n}$ ,其中 $1 \leq n \leq {10}.A$ 发生相当于 ${A}_{n}$ 之一发生,由独立性,就有
$$
P\left( {A}_{n}\right) = \frac{1}{{2}^{10}}.
$$
再利用概率的可加性, 推出
$$
P\left( A\right) = P\left( {{A}_{1} \cup \cdots \cup {A}_{n}}\right)
$$
$$
= P\left( {A}_{1}\right) + \cdots + P\left( {A}_{10}\right)
$$
$$
= \frac{10}{{2}^{10}}\text{ . }
$$
例 2 证明: 如果 $A$ 与 $B$ 两个事件独立,那么 $A$ 与 $\bar{B}$ 也独立.
证明 首先,因为 $A = \left( {A \cap B}\right) \cup \left( {A \cap \bar{B}}\right)$ ,所以由概率性质 3(可加性)，得
$$
P\left( A\right) = P\left( {A \cap B}\right) + P\left( {A \cap \bar{B}}\right) ,
$$
再应用 $A$ 与 $B$ 的独立性,得
$$
P\left( {A \cap \bar{B}}\right) = P\left( A\right) - P\left( {A \cap B}\right)
$$
$$
= P\left( A\right) - P\left( A\right) P\left( B\right)
$$
$$
= P\left( A\right) \left( {1 - P\left( B\right) }\right)
$$
$$
= P\left( A\right) P\left( \bar{B}\right) ,
$$
因此 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立.
这个例子说明,如果 $A$ 发生与 $B$ 发生是独立的,那么 $A$ 发生与 $B$ 不发生也是独立的,即 $A$ 发生与 $B$ 是否发生是独立的. 由此还可推出 $A$ 是否发生与 $B$ 是否发生是独立的.
例 3 两个人比赛, 对于弱者(赢的概率较小者)来说, 一局定胜负和三局两胜比较, 哪个更有利? (这里所说的"三局两胜"是常见的比赛模式, 指先赢得两局者为胜, 最多三局结束)
解 设 $A\text{ 、 }B$ 两人比赛, $A$ 是弱者,每一局赢的概率 $p < \frac{1}{2}$ . 现在计算在三局两胜的规则下, $A$ 最终获胜的概率.
在三局两胜的比赛中,按照规则,事件" $A$ 最终胜"包含下列三种情况:
$$
{AA},{ABA},{BAA}\text{ , }
$$
其中, ${ABA}$ 按顺序表示第一、二、三局中赢的一方,其余同理. 由独立性, 这三种情况的概率分别为
$$
{p}^{2},{p}^{2}\left( {1 - p}\right) ,{p}^{2}\left( {1 - p}\right) ,
$$
利用概率性质 3 (可加性),推出 $A$ 最终胜的概率是 ${p}^{2} + 2{p}^{2}\left( {1 - p}\right)$ .
最后比较 $p$ 与 ${p}^{2} + 2{p}^{2}\left( {1 - p}\right)$ 哪个大. 容易得到
$$
{p}^{2} + 2{p}^{2}\left( {1 - p}\right) = {p}^{2}\left( {3 - {2p}}\right) = p\left( {{3p} - 2{p}^{2}}\right) .
$$
因为 $y = {3p} - 2{p}^{2}$ 是一个二次函数,它在 $\frac{3}{4}$ 处达到最大,在 $p < \frac{3}{4}$ 时严格增,而当 $p = \frac{1}{2}$ 时其值为 1,所以 ${3p} - 2{p}^{2}$ 在 $0 < p < \frac{1}{2}$ 时恒小于 1,因此
$$
{p}^{2} + 2{p}^{2}\left( {1 - p}\right) < p.
$$
这说明对于弱者来说, 一局定胜负比三局两胜更有利.
#### 练习 12.4(1)
1. 掷两颗骰子, 试用独立性求:
(1)它们的点数都是偶数的概率；
(2)它们的点数是一奇一偶的概率.
2. 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立,如果 $P\left( A\right) = {0.3}, P\left( B\right) = {0.6}$ ,那么 $P\left( {A \cap B}\right) =$ ___， $P\left( {A \cap \overline{B}}\right) =$ ___.
### 2 事件的独立性
当两个事件的独立性不能像上一节那样可以通过随机试验的独立性来判断时，我们就要直接用等式
$$
P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right)
$$
是否成立来检验两个事件 $A$ 与 $B$ 是否独立.
例 4 (1)从一副去掉大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张牌,用 $A\text{ 、 }B$ 分别表示"取得的牌面数是 10 "和"取得的牌的花色是红桃"这两个事件. 验证 $A\text{ 、 }B$ 是独立的.
(2)掷一颗骰子，用 $A\text{ 、 }B$ 分别表示事件"结果是偶数"与事件"结果是奇数". 验证 $A\text{ 、 }B$ 不是独立的.
证明 (1) 在这副扑克牌中, 有 4 张 10、13 张红桃, 所以
$$
P\left( A\right) = \frac{1}{13}, P\left( B\right) = \frac{1}{4}.
$$
另外, $A$ 与 $B$ 同时发生是指取得的牌是红桃 10,它只有一张, 所以
$$
P\left( {A \cap B}\right) = \frac{1}{52}.
$$
这样,
$$
P\left( {A \cap B}\right) = \frac{1}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{4} = P\left( A\right) P\left( B\right) ,
$$
从而事件 $A\text{ 、 }B$ 是独立的.
(2)这时 $A$ 与 $B$ 不可能同时发生,即 $P\left( {A \cap B}\right) = 0$ ,而 $P\left( A\right) = P\left( B\right) = {0.5}$ ,所以 $P\left( {A \cap B}\right) \neq P\left( A\right) P\left( B\right)$ ,即 $A$ 与 $B$ 不独立.
例 5 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是 0.7 和 0.6 ，两人各投一次，假设事件"甲命中"与"乙命中"是独立的. 求至少一人命中的概率.
解 设 $A$ 表示事件"甲命中", $B$ 表示事件"乙命中",则 $A \cup B$ 表示"至少一人命中"，它的对立事件是"两人都没命中"， 即 $\bar{A} \cap \bar{B}$ . 由 $A$ 与 $B$ 独立,利用例 2 的结论推出 $A$ 与 $\bar{B}$ 独立,再推出 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 独立,最后应用概率性质 4,就得到
$$
P\left( {A \cup B}\right) = 1 - P\left( {\bar{A} \cap \bar{B}}\right)
$$
$$
= 1 - P\left( \bar{A}\right) P\left( \bar{B}\right)
$$
$$
= 1 - \left( {1 - P\left( A\right) }\right) \left( {1 - P\left( B\right) }\right)
$$
$$
= 1 - {0.3} \times {0.4}
$$
$$
= {0.88}\text{ . }
$$
因此, 至少一人命中的概率是 0.88 .
现在回过头来考虑本章一开始所述的分奖金问题.
例 6 A、B 两人下棋, 每局两人获胜的可能性一样. 某一天两人要进行一场三局两胜的比赛, 最终胜者赢得 100 元奖金. 第一局比赛 $A$ 胜,后因为有其他要事而中止比赛. 问: 怎么分 100 元奖金才公平?
这里首先涉及的问题是怎么分才是公平的方法. 帕斯卡和费马均认为应该依(在现有的状态下)两人最终胜的可能性大小按比例来分. 这样问题就归结于计算两人各自最终胜的概率. 在计算这个概率时, 我们需要两个"隐藏的"假设: (1)每局两人等可能取胜; (2)各局的胜负之间是独立的.
解 现在 $A$ 已胜一局,设 $A$ 表示事件" $A$ 最终胜"; ${A}_{1}$ 表示事件"接下去第一局 $A$ 胜"; ${A}_{2}$ 表示事件"接下去第二局 $A$ 胜". 因为 $A$ 已胜一局,由三局两胜的规则, $A$ 最终胜当且仅当 $A$ 再胜一局,即 ${A}_{1}$ 发生,或者 $A$ 输一局后接着胜一局,即 ${\bar{A}}_{1} \cap {A}_{2}$ 发生. 换言之,
$$
A = {A}_{1} \cup \left( {{\bar{A}}_{1} \cap {A}_{2}}\right) .
$$
因为第一局与第二局是独立的,所以 ${A}_{1}$ 与 ${A}_{2}$ 独立. 再由上例推出 ${\bar{A}}_{1}$ 与 ${A}_{2}$ 独立,从而
$$
P\left( A\right) = P\left( {A}_{1}\right) + P\left( {{\bar{A}}_{1} \cap {A}_{2}}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4},
$$
而 $B$ 最终胜的概率是 $\frac{1}{4}$ ,因此 $A\text{ 、 }B$ 两人应该按 $3 : 1$ 来分奖金.
#### 练习 12.4(2)
1. 掷黑、白两颗骰子.
(1)验证事件"两颗骰子的点数和为 7"与事件"白色骰子的点数是 1"是独立的；
(2)验证事件"两颗骰子的点数和为 7"与事件"两颗骰子中至少有一颗的点数是 1"不是独立的.
2. 甲、乙两人的罚球命中率分别是 $p$ 与 $q$ . 两人各投篮一次,求:
(1)都投中的概率；
(2)都没投中的概率；
(3)至少一人投中的概率；
(4)至多一人投中的概率.
3. 把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜, 问:在比分是 2 :1 的情况下, 怎么分奖金公平?
#### 习题 12.4
##### A 组
1. 上数学课时，教师给班里学生出了两道选择题，教师预估做对第一道题的概率为 0.80 , 做对两道题的概率为 0.60 , 假设这两道题是独立的, 问: 预估做对第二道题的概率是多少?
2. 某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门. 现随机地取 1 把钥匙开门.
(1)如果将不能开门的钥匙立即扔掉，求第二次才能打开门的概率；
(2)如果试过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率.
3. 如果 $A\text{ 、 }B$ 是独立事件, $\bar{A}\text{ 、 }\bar{B}$ 分别是 $A\text{ 、 }B$ 的对立事件,那么以下等式不一定成立的是 ( )
A. $P\left( {A \cap B}\right) = P\left( A\right) P\left( B\right)$ ;
B. $P\left( {\bar{A} \cap B}\right) = P\left( \bar{A}\right) P\left( B\right)$ ;
C. $P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right)$ ;
D. $P\left( {\bar{A} \cap \bar{B}}\right) = \left\lbrack {1 - P\left( A\right) }\right\rbrack \left\lbrack {1 - P\left( B\right) }\right\rbrack$ .
##### B 组
1. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ,从乙口袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{2}$ , 求下面四个事件的概率:
(1)2 个球不都是红球； (2)2 个球都是红球；
(3)至少有 1 个红球； (4)2 个球中恰好有 1 个红球.
2. 设甲和乙两射手独立地射击同一目标, 他们的命中率分别为 0.95 和 0.90 . 求:
(1)在一次射击中，目标被击中的概率；
(2)目标只被甲击中的概率.
3. 把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜, 问:
(1)在比分是 $2 : 0$ 的情况下，怎么分奖金公平?
(2)在比分是 $1 : 0$ 的情况下，怎么分奖金公平?
#### 课后阅读
##### 预知与预期
概率论是研究随机现象的一门学问, 它作为学问大概有 300 年的历史, 其公理化还不到 100 年，但在现代的科学和生活中都越来越重要，不过我们要认识到概率论所能做的只是限于随机性的量化研究, 即能预期 (expect) 而不能预知 (foresee).
世界充满随机现象, 而随机现象中有机会也有风险. 对于一个随机现象, 人们最关心的是某个事件是不是会发生, 换句话说, 人们渴望自己有预知未来的超能力, 如买什么彩票号码会中奖, 买什么股票升值快, 学什么专业能找到好工作, 等等. 但是, 概率论的研究不能把随机现象变成确定现象，换句话说，概率论不能告诉我们随机现象中某个事件会不会发生, 它至多只能告诉我们某个事件发生的可能性有多大. 简单地说, 概率论不能预知未来但可以预期，这里预期是指按照可能性大小来进行推断. 预知是具有确定性的，预期是不确定的推断. 按照大数定律, 随机现象在大样本(即足够多次试验)之下其频率会呈现稳定性, 所以预期是大样本条件下的推断, 也称为统计推断.
以天气预报为例，从古代开始，人类就尝试预报天气，流传有很多的民间谚语，如 "早晨棉絮云，午后必雨淋"。但这些谚语只是一些经验积累，并不可靠. 现在，人类应用气象学建立模型, 利用现代统计方法与强大的计算能力来预测未来一天至数天的晴雨、气温、风向、风速等天气信息，其准确率比之过去大幅度提高，但依然只能是预期而无法预知. 人类对于随机现象的探索注定是一个长期的过程.
##### 概率在医学中的应用
在医学上，判断一种药物对治疗某种疾病是否有效，是一个极为严肃的事情，不可以随意下结论. 怎么验证一种药物对某类疾病是有效的呢? 从专业的角度说, 先要从病理和药理入手分析与研究, 说明这种药物用于治疗该疾病在理论上是有根据的. 但即使理论上无懈可击, 药物在上市之前还需进行严格的临床试验, 并应用概率中的随机化思想检验其有效性.
首先, 需要找一些病人做试验, 看服用这种药物的效果, 称为抽样. 大数定律告诉我们, 试验的人越多, 结论就越可靠. 这是对样本数量的要求, 这样的样本称为大样本.
其次, 参加试验的病人须通过一个精心设计的程序来选定, 以保证药物的试验对象在病人群体中有代表性，而不偏向于某个特定人群(如年龄、性别、身体状况、病情严重程度, 等等), 以减小对药效估计的偏差. 这是对样本质量的要求, 称为随机化.
最后,若服用这种药物一周之后, 90%以上的病人都康复了, 是不是就可以说这种药物有效呢？答案是否定的. 因为人类先天具有一定的免疫能力，很多疾病能够自愈，未服用这种药物的病人中 90%以上可能在一周之后也康复了. 如果这样，就显然不能证明这种药物是使病人康复的原因. 因此我们不能只考虑服用这种药物病人的情况，而必须不仅观察服用这种药物的病人，也要观察没有服用这种药物的病人。为了防止服用这种药物及没有服用这种药物所带来的心理差异对于疾病可能造成的影响，临床上设计了称为双盲的方法:让参加试验的一部分病人服用这种药物，另外一部分病人服用外观及口感和真实药物一样, 但不含任何药物成分的替代品, 医学上俗称安慰剂. 谁服用药物、谁服用安慰剂的安排同样是由一个精心设计的随机化程序决定的，其目的是减少混杂因素导致的偏差，使两组结果更具可比性. 这样的安排对病人和医生都是保密的，故称为双盲. 此外，为了排除其他药物的干扰，在整个试验过程中不使用其他任何药物.
对于这个试验群体,用 $A$ 表示该群体中服用药物的病人组, $B$ 表示试验结束后该群体中达到某种治疗效果(包括应具有的药物安全性)的病人组. 若 $A$ 、 $B$ 两组符合得好，就说明这种药物有效. 说明 $A\text{ 、 }B$ 两组符合得好的关键指标是两个比值(即频率或者经验概率):(1)服用这种药物的病人中达到疗效的比值；(2)达到疗效的病人中服用这种药物的比值. 在这两个比值都充分大(超过预先设定的标准)时， $A$ 与 $B$ 两组就符合得比较好，由此就可以断言这种药物对治疗该疾病是有效果的, 而且其具体效果还可以通过这两个比值来加以量化.
上述试验可称之为大样本随机双盲试验, 简称双盲试验. 每种药物在上市使用之前都需要通过双盲试验, 才能说明它在某种设定的科学标准下是安全有效的.
双盲试验的要点在于尽可能地"剔除主观因素". 它是一种通用的科学方法, 能有效地辨别真伪, 提高人的认知能力, 对它的认识和理解也因而是一种基本的科学素养.
## 内容提要
1. 概率论是研究随机现象的工具.
2. 随机现象的所有可能结果组成的集合称为样本空间.
3. 随机事件对应样本空间的一个子集.
4. 概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量.
5. 古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验:(1)有限多结果；(2)等可能性.
6. 古典概率
$$
P\left( A\right) = \frac{\left| A\right| }{\left| \Omega \right| }.
$$
7. 概率的性质
(1)必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0；
(2)事件的概率是 0 与 1 之间的一个数；
(3)可加性:如果事件 $A\text{ 、 }B$ 不同时发生，那么
$$
P\left( {A \cup B}\right) = P\left( A\right) + P\left( B\right)\text{ ; }
$$
(4) $P\left( \bar{A}\right) = 1 - P\left( A\right)$ .
8. 伯努利大数定律:多次独立地重复一个随机试验，事件发生的频率趋向于概率。
9. 事件的独立性:两独立事件同时发生的概率是各自发生的概率的乘积.
## 复习题
### A 组
1. 从字母 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c\text{ 、 }d\text{ 、 }e$ 中任取两个,求取到字母 $a$ 的概率.
2. 现有 5 根细木棍, 长度 (单位: $\mathrm{{cm}}$ ) 分别为 1、3、5、7、9, 从中任取 3 根. 求能搭成一个三角形的概率.
3. 将 2 本不同的英语书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 求 2 本英语书相邻的概率.
4. 从编号分别为 1、2、3、4、5、6 的 6 个大小与质地相同的小球中随机取出 3 个, 求恰有 2 个小球编号相邻的概率.
5. 袋中装有大小与质地相同的 5 个球, 其中红色球 3 个, 标号分别为 1、2、3; 蓝色球 2 个, 标号分别为 1、2 . 从袋中任取 2 个球, 求这 2 个球颜色不同且标号之和不小于 4 的概率.
6. 袋中装有大小与质地相同的 5 个球, 其中白球 3 个, 黑球 2 个, 从中一次摸出 2 个球.
(1)写出该随机试验的一个等可能的样本空间；
(2)求摸出来的 2 个球都是白球的概率；
(3)求摸出来的 2 个球颜色不同的概率.
7. 对某工厂生产的产品质量进行抽查, 数据如下表所示.
| 抽查件数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 500 |
| 合格件数 | 47 | 95 | 192 | 285 | 478 |
根据上表所提供的数据, 问: 合格品的概率约为多少? (结果保留两位小数)
8. 射击队某选手命中环数的概率如下表所示.
| 命中环数 | 10 | 9 | 8 | 7 |
| 概率 | 0.32 | 0.28 | 0.18 | 0.12 |
该选手射击一次，求:
(1)命中 9 环或 10 环的概率;
(2)至少命中 8 环的概率；
(3)命中不足 8 环的概率.
### B 组
1. 某学生做两道选择题, 已知每道题均有 4 个选项, 其中有且只有一个正确答案. 该学生随意填写两个答案, 求两个答案都选错的概率.
2. 盒子中有标号为 1、2、3 的 3 个大小与质地相同的球, 随机地取 1 个球, 放回后再取 1 个球, 把这 2 个球对应的号码按照取的先后顺序组成一个两位数. 求个位数与十位数不相同的概率.
3. 一个盒子中装有 4 张卡片，卡片上分别写有数字 1、2、3、4 . 现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率；
(2)若第一次抽取 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于 7 的概率.
4. 盒子中有散落的黑白棋子若干粒,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是 $\frac{1}{7}$ ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 $\frac{1}{6}$ . 问: 从中任意取出 2 粒恰好是同一颜色的概率是多少?
### 拓展与思考
1. 社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答, 但是被采访者常常不愿意如实做出应答. 1965 年, 华纳 (Stanley L. Warner) 发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法. 华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个, 而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题, 在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的. 这样，应答者将乐意如实地回答问题, 因为只有他自己知道回答的是哪个问题. 例如, 在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验:袋中放有 1 黑 1 白两个大小与质地相同的小球， 运动员从中随意摸出 1 个小球. 无关紧要的问题是: 你摸出的小球是白色的吗? 而敏感的问题是: 你服用过兴奋剂吗? 然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币, 如果出现正面, 就回答第一个问题, 否则回答第二个问题. 假设用这个方法调查了 200 名运动员, 得到 56 个"是"的回答, 请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂.
2. 在一次知识竞赛中,假设 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C\text{ 、 }D$ 四人独立答题,且答对的概率分别为
$$
P\left( A\right) = \frac{1}{3}, P\left( B\right) = \frac{1}{4}, P\left( C\right) = \frac{1}{5}, P\left( D\right) = \frac{2}{3},
$$
如果将 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 组成一组与 $D$ 比赛,且 $A\text{ 、 }B\text{ 、 }C$ 三人中有一人答对即算该组答对,那么哪一方答对的概率大?