双曲线.

如图 2-3-1,给定两个定点 与 ,将一条拉链先拉开一部分,并将拉开的一支的一端固定在 处,在另一支上选择一点固定在 处,在拉链头 处放上一支铅笔,然后逐渐拉开拉链,让铅笔尖 顺势移动,则笔尖 画出的图形 (图 2-3-2 中实线所示的曲线在直线 上方的部分) 就是使 为常数 的点 的轨迹的一部分.

图 2-3-1

我们知道平面上到两个定点的距离之和等于常数 (此常数大于两定点之间的距离) 的点的轨迹是椭圆, 那么平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹是怎样的曲线呢?

图 2-3-2

如果把拉链想象成无限长,那么得到的点 的轨迹就向上方无限伸展了; 如果把拉链翻转 ,又可以画出图 2-3-2 中实线所示的曲线在直线 下方的部分. 交换 与 的长度, 图中用虚线表示的曲线也可用类似方法画出.

?

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为什么要加条件: “绝对值”? 为什么要加条件: ?

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下面根据双曲线的定义, 参照求椭圆的方程的方法推导双曲线的方程.

图 2-3-3

取线段 的中点为原点, 的方向为 轴的正方向, 建立平面直角坐标系, 如图 2-3-3 所示. 设两个焦点之间的距离 ,则点 的坐标分别是 .

设 是双曲线上的任意一点,由定义,有

因为 ,

所以

即

将上式两边平方, 并整理后可得

再将上式两边平方, 并整理后可得

因为 ,所以 . 从而可令 , 并将上式改写为

①

因此,双曲线上任意一点 的坐标 都是方程①的解. 反过来, 可以证明以方程①的解为坐标的点都在这个双曲线上(只需将上述推理过程反过来推演即可).

方程①所表示的双曲线的焦点在 轴上,且坐标分别为 ,而 . 如图 2-3-3,双曲线由两支分开的曲线组成.

图 2-3-4

如果以连接两个焦点 和 的直线为 轴,线段 的垂直平分线为 轴,如图 2-3-4 所示,那么两个焦点可分别设为 ,此时只要将方程①的 互换,就可得双曲线的方程是

②

其中, 的关系仍是 .

下面利用双曲线 的标准方程

①

研究它的性质.

图 2-3-6

在方程①中,令 ,得 ,所以 、 是双曲线的两个顶点. 当 时, 没有实数解,所以双曲线与 轴没有交点,但我们也把点 画在 轴上,如图 2-3-6 所示.

由方程①可知 ,所以 ,也即 , 且随着 不断增大, 也相应地不断增大. 因此,双曲线 在不等式 和 所表示的区域内 (图 2-3-7), 且由两支组成: 一支双曲线在直线 的左侧,向左上、左下两方无限延伸; 另一支双曲线在直线 的右侧,向右上、 右下两方无限延伸.

图 2-3-7

双曲线 在第一象限内部分的方程是

图 2-3-8

如图 2-3-8,设直线 与双曲线和射线 分别交于点 ,可得

即在第一象限内,双曲线总在射线 的下方,且

因此,当 逐渐增大时, 的值趋近于零.

这样,双曲线的右支向右上方无限延伸时,它总在直线 的下方,与直线 无限趋近,但永不相交.

根据对称性,双曲线 和两条直线 在其他象限也有类似性质. Q

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这是双曲线与其他圆锥曲线不同的特有性质.

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图 2-3-9

近线(asymptote)，可以证明，双曲线位于以两条渐近线为边界的左、右平面区域内(图 2-3-9).

因为 ,所以双曲线的离心率 .

由等式 ,可得

因此,离心率 越大, 也越大,即渐近线 的斜率的绝对值越大, 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 这说明, 双曲线的离心率越大, 它的开口就越开阔; 反之, 离心率越小,双曲线的开口就越狭窄.