直线与平面的位置关系.

证明 如图 10-3-2,因为棱 平行且等于棱 ,所以 是平行四边形,从而 . 因为直线 在平面 上,而直线 不在平面 上,由上述判定定理,得到直线 平面 .

证明 连接 . 在 中,中位线 必平行于边 .

因为 在平面 上,而 不在平面 上,由上述判定定理,得到 平面 .

1. (1)平面 ,平面 . (2)平面 .

2.(1)假命题. 因为当直线 与平面 相交时,除交点外其余的点有无数个,且不在平面 上.

(2)假命题. 因为若将平面 上与 平行的直线记为 ,则在平面 上与 相交的直线都不与 平行.

(3)假命题. 反例:若 在平面 上,显然 与平面 不平行.

(4)真命题. 由直线和平面平行的判定定理可知.

3. 此时,直线 与平面 相交,设 .

(1)不成立. 因为平面 上过点 的直线与 不是异面直线的关系.

(2)成立. 如果存在与 平行的直线,那么 就平行于平面 ,这与已知矛盾.

(3)不成立. 理由同(2).

(4)不成立. 平面 上不过点 的直线都与 不相交.

解(1)因为 平行于平面 ,平面 经过 并与平面 交于 ,由上述定理,得 .

图 10-3-6

在平面 上,过点 作直线 ,使 , 分别交棱 于点 . 连接 ,则 、 及 就是应画的线,如图 10-3-6 所示.

(2)所画的线中， 显然都与平面 相交. 又因为 ，从而 . 因此，由前述的判定定理，有 平面 .

1.(1)假命题. 记 确定的平面为 ,则 经过 ,且 在平面 上, 不平行于平面 .

(2)假命题. 设过 的平面与平面 交于直线 ,在平面 上与 相交的直线与 都不平行.

(3)假命题. 都与平面 平行时,则 可以是平行或者相交或者异面直线关系.

(4)真命题. 因为 平行于平面 ,所以直线 与平面 上的任意直线都没有公共点,所以 与 不是平行关系就是异面关系.

2. 已知 不在 上,求证: .

证明: 过 作平面 与平面 相交于 ,则由线面平行的性质定理,可得 . 因为 ,所以 ,而 在平面 上, 不在平面 上,故由线面平行的判定定理可得 .

3. 设过直线 任意作平面 ,由线面平行的性质定理,可得 . 由公理 4,可得 .

证明 如图 10-3-11,在平面 内作两条相交直线 . 因为 ,根据直线与平面垂直的定义,知 . 又因为 ,所以 . 因为 是平面 上的两条相交直线,所以 平面 .

由例 4 可知, 如果一组平行线中的一条与一个平面垂直, 那么其他平行线也都与这个平面垂直. 我们现在考虑反过来的问题: 垂直于同一个平面的直线是否都平行呢?

答案是肯定的, 我们有下面的定理.

直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

图 10-3-12

已知: 是两条直线,且 (图 10-3-12).

求证: .

证明 用反证法. 设 与 不平行,直线 与平面 的交点为 . 过点 作直线 ,使得 . 由直线 与 确定的平面记为 ,设平面 与平面 的交线为 . 因为 ,所以 ; 由 ,又可得出 . 直线 与 都在平面 上，都过点 ，且都垂直于直线 ，这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 由此得到 .

由上述线面垂直的定义和定理可以得到下面的推论:

推论 1 过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直.

推论 2 过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直.

由推论 2,如图 10-3-13 (1),过平面 外任意给定的一点 ,有且只有一条直线与平面 垂直,从而把点 与垂足 之间的距离叫做点 到平面 的距离. 利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明,如果一条直线 平行于一个平面 ,那么直线 上任意两点到平面 的距离都相等 (证明过程留作习题),从而就可以把直线 上一点 到平面 的距离定义为直线 到与它平行的平面 的距离 (图10-3-13(2)).

图 10-3-13

图 10-3-14

解 (1) 直线 与平面 垂直. 证明如下: 由正方体的定义,知 ,从而 垂直于底面 ,所以 . 因为底面是正方形,其对角线互相垂直,所以 . 由于 和 是平面 内的两条相交直线,由前述的判定定理,得 平面 .

直线 与平面 不垂直. 理由是: 因为 , 而 是等边三角形, ,所以直线 与平面 上的一条直线 不垂直,从而直线 与平面 不垂直.

(2)由(1)，知 与平面 垂直，所以 到平面 的距离就是垂线段 的长度,它等于 . 又因为 ,由直线和平面平行的判定定理,知 平面 ,从而 到平面 的距离就是点 到平面 的距离,等于 .

1. 侧面都是矩形, 说明每条侧棱都垂直于上下两个面上的两条邻边, 即一条直线垂直于平面上的两条相交直线. 所以六条侧棱一定都垂直于螺母的上下两个面.

2. 5 或 .

3. 因为 ,所以 . 同理 . 又 ,所以 平面 .

证明 如图 10-3-16,记 是平面 的垂线段, 和 是平面 的斜线段, 和 分别是它们在平面 内的投影.

(1)因为 ，由直线与平面垂直的定义，有 . 由直角三角形中斜边与直角边的关系,知 ,所以垂线段比任何给定的一条斜线段都短.

(2)先证充分性. 设 ，则直角三角形 与直角三角形 全等，所以 . 再证必要性. 如果 , 那么同样有 ,所以 .

【编辑补证：角度边界】题中 是平面 的斜线，即它与平面相交但不垂直于平面，故它与投影所成的角满足 ，不包含 或 。 与平面内过 的直线 不重合，所以两直线所成的角满足 。

若 ，直接由 得结论。此时原解中从 向 作垂线的垂足 就是 ，不能把 当作非退化直角三角形。下列原解的三角形比较步骤只用于余下的 情形；此时 都在正弦函数的严格增区间内，推理成立。这样两种情形覆盖了题面允许的全部角度。

【教材原解（保留）】

证明 在 上取异于 的一点 ,过点 作 与 的垂线, 垂足分别是 与 ,连接 . 因为 是 在平面 上的投影, 是平面 的垂线， 是直角三角形， 是直角， 所以 . 在直角三角形 与 中,分别有

这个例题的证明不是“纯几何”的, 但数学不同分支的知识和方法的综合运用, 有时可以快捷地解决问题.

由此可见 . 因为在 中正弦函数是增函数,所以 .

如果 是平面 上的任意直线, 与 所成的角 可以通过把 在平面 上平行移动到通过 的位置 (不排除与 重合的情况)而得到. 据例 7 得知,总有 . 这说明了: 斜线与平面所成的角, 是这条斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角.

1. .

2. (1) . (2) .

3. .

证明 直线 在平面 上的投影是 ,显然有 .

由三垂线定理,就得 .

解 在道路 上取一点 ,使 ,再用小平板仪在 上另取一点 ,使 ,用皮尺测得 .

选择满足 (也可以是 或 的特殊角) 的点 使解题过程最简洁, 得到的计算公式最简单. 其他的选择也可解决问题, 但过程和结果都更复杂.

因为 是 在地面上的投影,且 ,由三垂线定理,得 ,从而斜线 的长度就是电塔顶 与道路 的距离 .

在直角三角形 中, ,故 . 而在直角三角形 中,由勾股定理,得 ,故 ,即电塔顶 与道路 的距离是

其中 是电塔的高度, 是道路 上所取两个点 与 之间的距离.

1. (1)外.

2. 因为 平面 ,所以 是 在平面 上的投影. 又 , 由三垂线定理,知 .

3.(1)因为 平面 ,所以 是 在平面 上的投影. 又 ,由三垂线定理,知 ,所以 .

(2)因为 平面 ,所以 是 在平面 上的投影. 又 ,由三垂线定理,知 . 而 是矩形,所以四边形 是正方形.

1. 平行. 提示: 设 与 相交于 ,只需证明 .

2. 提示: .

3. 提示: .

4. 因为 平面 平面 ,平面 平面 ,所以 . 又 为 的中点,所以 为 的中点.

5. 略.

6. 提示: 平面 .

7. 斜线段 与平面 所成角的大小为 或 ; 斜线段 与平面 所成角的大小为 .

8. .

9. 略.

10. 因为 是 在平面 上的射影,又 ,由三垂线定理, 知 . 同理 . 因为 ,所以 平面 .

1. 平面 ,平面 . 提示: .

2. 因为 为圆 的直径,所以 . 又因为 , ,所以 平面 . 因为 ,所以 平面 .

3.(1)提示: .

4. 已知 为平面 的一条斜线, ,过 作 平面 . 求证: 是 的角平分线. 提示: 过 作 于 ,过 作 于 ,连接 . 反复利用直角三角形全等证明结论成立.

5. 提示: 方法一利用 ; 方法二取 的中点 ,证明 平面 .