空间向量在立体几何中的应用.

例 1 证明: 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直.

已知 如图 3-4-1, 是平面 的一条斜线, 是 在 上的投影，直线 在平面 上.

求证 当且仅当 .

例 2 如图 3-4-2,在正方体 中, 求证:

(1) 平面 平面 ；

(2)平面 平面 .

图 3-4-2

1. 试证明:

(1)两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；

(2)两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行.

2. 如图，在平面 与平面 上分别有不共线的三点 、 、 与 、 、 ，假设 与 交于一点 ,且 . 求证: 平面 平面 .

(第 2 题)

3. 如图， 中， ，平面 平面 ， 是边长为 1 的正方形, 分别是 的中点. 求证:

(1) 平面 ；

(2) 平面 .

图 3-4-3

(第 3 题)

例 3 如图 3-4-4,在长方体 中,

(1)求顶点 到平面 的距离；

(2)求直线 到平面 的距离.

例 4 设正方体 的棱长为 ,求平行平面 与 之间的距离.

1. 已知三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两垂直，且 ， 2, . 求顶点 到平面 的距离.

2. 在习题 3.4(1)第 3 题的题设条件下，求直线 与平面 的距离.

例 5 如图 3-4-6,在正方体 中, 、 分别是 的中点. 求直线 与 所成角的大小.

例 6 如图 3-4-8,在四棱锥 中, 平面 , . 求直线 与平面 所成角的大小.

图 3-4-8

1. 如图,四边形 是矩形, 平面 是线段 的中点. 已知 . 求异面直线 与 所成角的大小.

(第 1 题)

2. 如图,在棱长为 1 的正方体 中, 是棱 上的动点.

(1)求证: ；

(2)确定点 的位置，使得直线 与平面 所成的角是 .

现在考虑二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法向量夹角大小的关系. 如图 3-4-9, 一个平面的法向量垂直于该平面上的所有直线, 所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边. 从平面几何知道, 这样两个角或者相等, 或者互补.

图 3-4-9

因此,如果 与 分别是两个平面的法向量,那么这两个平面所成的锐二面角 (或直二面角) 由如下公式确定:

(第 2 题)

例 7 如图 3-4-10(1),在正四棱锥 中, 分别为 的中点. 若平面 与棱 交于点 ,求平面 与平面 所成二面角的大小.

图 3-4-10

1. 在正方体 中, 分别是 的中点. 求二面角 的大小.

2. 如图，在正方体 中，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.

(第 2 题)

3. 如图,在正四棱锥 中,底面边长为 2,高为 3. 求二面角 的大小.

(第 3 题)

1. 在正四棱柱 中, 为 的中点. 求异面直线 与 所成角的大小.

2. 在正方体 中, 分别是 的中点. 求证: 平面 平面 .

3. 在正方体 中,求 与平面 所成角的大小.

4. 如图,已知正三棱柱 的各条棱长均为 是棱 的中点. 求证: 平面 平面 .

(第 4 题)

5. 如图,已知 为平面 外一点, 两两互相垂直,过 的中点 作 平面 ,且 , ,多面体 的体积是 . 求平面 与平面 所成二面角的大小.

(第 5 题)

6. 如图,在直棱柱 中, , 分别是 的中点.

(1)求 与平面 所成角的大小；

(2)求 到平面 的距离.

(第 6 题)

1. 如图，在空间四边形 中， ， . 求证: .

(第 1 题)

2. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 分别为 的中点, 为 上一点, .

(1)求证: ；

(2)求二面角 的大小.

(第 2 题)

3. 在正方体 中,设 的中点分别为 . 求直线 与 所成角的大小.

4. 过边长为 1 的正方形 的顶点 ,作长度为 1 的线段 平面 . 求平面 与平面 所成二面角的大小.

5. 如图,在棱长为 1 的正方体 中, 分别为棱 的中点, 为棱 上的一点. 求点 到平面 的距离.

(第 5 题)