例 1 判断下列各角分别属于哪个象限:

(1) ； (2) .

例 2 写出与 的终边重合的所有角组成的集合 , 并列举 中满足不等式 的所有元素 .

1. 判断下列命题是否正确:

(1)终边重合的两个角相等; (2)锐角是第一象限的角；

(3)第二象限的角是钝角； (4)小于 的角都是锐角.

2. 分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于 轴正半轴上的所有角.

3. 在 范围内,分别找出终边与下列各角的终边重合的角,并判断它们是第几象限的角:

(1)一315°； (2)905.3°； (3)一1090°； (4) .

度量长度可以用米为单位, 度量质量可以用千克为单位, 适当的单位制会给解决问题带来极大的便利. 度量角的大小与度量其他量一样, 也要选择一个同类的量作为度量的单位. 在平面几何中,我们把周角的 作为 1 度. 用 “度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

表示角的方法，用角度制虽很直观，但很多情况下并不一定方便. 下面我们引入一种度量角的新方法. 观察不难发现: 在半径为 的圆中,当圆心角为 时,圆的周长为 ; 当圆心角为 时,半圆的弧长为 ; 而当圆心角为 时,四分之一圆的弧长为 . 由初中所学习的计算扇形弧长公式可知,在给定半径的圆中, 弧的长度与相应圆心角的大小成正比例关系, 因此我们不仅可以用角度来度量弧的长度,而且可以用弧长来度量角的大小. 具体来说,在半径为 的圆周上,弧长 与以角度度量的圆心角 之间的关系式为 ,即 ,这说明比值 仅由角 的大小决定. 这样我们就可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小. 相应地，把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 (radian) 的角 (图 6-1-4). 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

图 6-1-4

一般地说,如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长为 ,那么 就是角 的弧度的绝对值,即 ,这里 的符号由它的始边旋转至终边的方向决定. 零角的弧度数为 0 . 从弧度的定义不难得知,周角为 弧度,即 弧度; 平角为 弧度,即 弧度. 从而有

在学习微积分后可以更明显地看出弧度制的优点.

例 3 按下列要求,将 换算成弧度:

(1)精确值;

(2)近似值. (结果精确到 0.001)

例 4 将 2.1 弧度换算成角度. (用度数表示, 结果保留两位小数)

例 5 写出终边在 轴上的所有角组成的集合. (用弧度制表示)

例 6 设 是第二象限的角,判断 是哪个象限的角.

1. 分别将下列角度化为弧度:

; ; .

2. 分别将下列弧度化为角度:

-3 (结果精确到 ).

3. 已知扇形的弧所对的圆心角为 ,且半径为 . 求该扇形的弧长和面积.

4. 如果 是第三象限的角,判断 是哪个象限的角.

例 7 已知角 的终边经过点 ,求角 的正弦、 余弦、正切及余切值.

例 8 已知角 的终边经过点 ,求角 的正弦、 余弦、正切及余切值.

例 9 若角 满足 ,且 ,则角 属于第几象限?

1. 已知角 的终边过点 ,求角 的正弦、余弦、正切及余切值.

2. 已知角 的终边过点 ,则下列值不存在的是 ( )

A. ; B. ;

C. ; D. .

3. 根据下列条件,分别判断角 属于第几象限:

(1) 且 ; (2) 且 .

根据定义,角 的正弦、余弦、正切及余切值仅与角 的大小有关,而与角 的终边上的点 的位置无关,因此我们可以用角 的终边上到原点距离为 1 的点来确定角 的正弦、余弦、 正切及余切值.

半径为 1 个单位的圆称为单位圆(unit circle). 本章中, 如无特别说明, 单位圆通常指在平面直角坐标系中以原点为圆心, 以 1 为半径的圆.

将角 的顶点置于坐标原点 ,始边与 轴的正半轴重合,

例 10 求角 的正弦、余弦和正切值. 则角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点 , 如图 6-1-9 所示. 这样,任意一个角 对应于单位圆上一点 ; 反之,单位圆上一点 可对应无穷多个角,但这些角的弧度数之差必为 的整数倍. 由定义可知, . 因此, 单位圆上点 的坐标必可以写为 .

图 6-1-9

图 6-1-10

例 11 已知 ,且 为第二象限的角. 求 , 及 .

例 12 已知 ,求 及 .

1. 求角 的正弦、余弦、正切及余切值.

能否利用直角三角形知识与角的正弦、 余弦、正切和余切值在各象限的符号, 快速给出例 12 的答案?

2. 分别求 和 的值.

3. 已知 为第三象限的角, . 求 及 .

4. 已知 ,求 及 .

利用任意角 的正弦、余弦、正切及余切之间的关系，可以化简表达式并证明一些恒等式.

例 13 ( 1 )已知 ，求 的值；

( 2 )已知 ，求 的值.

例 14 证明下列恒等式:

(1) ；

(2) ；

通常记

,

例 14(1)与(2)中的公

式就可简写为

.

(3) ；___

(4) .

1. 已知 ,求 的值.

2. 化简:

(1) ; (2) .

3. 证明: .

例 15 利用诱导公式求值:

(1) ;

(2) ;

(3) .

例 16 化简: .

1. 证明:

(1) ; (2) ;

(3) ； (4) .

2. 利用诱导公式求值:

(1) (2) ； (3) .

3. 化简:

(1) ;

(2) .

角 的终边与角 的终边关于直线 对称 (图 6-1-14),角 的终边与单位圆交于点 ,而角 的终边与单位圆交于点 . 由于点 与点 关于直线 对称,即点 的横坐标与点 的纵坐标相等,而点 的纵坐标与点 的横坐标相等,因此有如下诱导公式:

图 6-1-14

在以上公式中将 用 代换，就有

角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在直线 对称; 角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在直线 对称. 一般地,角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在直线对称.

即

同理, 有如下诱导公式:

上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以互相转化, 正切和余切也可以互相转化.

以上两组诱导公式说明角 的正(余)弦、正(余)切值的绝对值,必等于角 的余(正)弦、余(正)切值的绝对值,但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是: 当 为锐角时, 等式两边必须同时为正数或同时为负数.

例如, 的绝对值应该同 的绝对值相等,即成立 . 但当 为锐角时, 是第二象限的角,这时 ,而 ,所以前式中应该取负号,即有 .

例 17 证明:

(1) ;

(2) ；

(3) ;

(4) .

例 18 化简: .

例 19 已知点 的坐标为 ,将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 . 求点 的坐标.

图 6-1-15

1. 证明:

(1) ; (2) ；

(3) ； (4) .

2. 化简: .

3. 已知点 的坐标为 ,将 绕坐标原点 顺时针旋转 至 . 求点 的坐标.

例 20 根据下列条件,分别求角 :

(1)已知 ；

(2)已知 ；

(3)已知 .

例 21 分别求满足下列条件的角 的集合:

(1) ；

(2) ；___

(3) .

1. 根据下列条件,分别求角 :

(1)已知 ；

(2)已知 ；

(3)已知 .

2. 分别求满足下列条件的角 的集合:

(1) ；

(2) ；

(3) .

1. 选择题:

(1)在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是 ( )

A. -43° 与 677° ; B. 与 ;

C. -120° 与 960°; D. 与 .

(2)在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 ( )

A. 小于 的角一定是锐角; B. 第二象限的角一定是钝角;

C. 始边相同且相等的角的终边一定重合; D. 始边相同且终边重合的角一定相等.

(3)如果 是锐角,那么 是 ( )

A. 第一象限的角; B. 第二象限的角;

C. 小于 的正角; D. 钝角.

2. 找出与下列各角的终边重合的角 ,并判别下列各角是第几象限的角:

(1)一1441°； (2) .

3. 把下列各角度化为弧度, 并判断它们是第几象限的角:

(1) ; (2) ； (3) ； (4) .

4. 已知扇形的弧长为 ,半径为 2. 求该扇形的圆心角 及面积 .

5. 已知角 的终边分别经过以下各点,求角 的正弦、余弦、正切和余切值:

(1) ； (2) .

6. 不用计算器, 根据角所属的象限, 判断下列各式的符号:

(1)sin ; (2) ;

(3) .

7. 根据下列条件,确定角 所属的象限:

(1) 且 ；

(2) .

8. 分别求 及 的正弦、余弦及正切值.

9. ( 1 )已知 ，且 是第四象限的角. 求 及 ；

( 2 )已知 ，求 及 .

10. 证明下列恒等式:

(1) ;

(2) .

11. ( 1 )已知 ，求 的值；

(2)若 ，求 的值.

12. 用诱导公式求值:

(1) ； (2) ； (3) ； (4) .

13. 利用诱导公式,分别求角 和 的正弦、余弦及正切值.

14. 化简下列各式:

(1) ;

(2) ;

(3) ；

(4) .

1. 写出与下列各角的终边重合的所有角组成的集合 ,并写出 中适合不等式 的元素 :

(1) 60°; (2) .

2. 已知 ,若将角 的终边顺时针旋转 所得的角的终边与角 的 5 倍角的终边重合. 求角 .

3. 已知一个扇形的周长是 16 , 面积是 12 . 求其圆心角的大小.

4. 写出终边在直线 上的所有角组成的集合. (分别用角度制和弧度制来表示)

5. 填空题:

(1)若 为第二象限的角，则 为第___象限的角；

(2)若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则 与 的关系是___；

(3)若角 与 满足关系 ，则角 与 的终边关于___ 对称.

6. 已知一个扇形的周长为 ，当圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大，并求该最大值.

7. 已知 为第二象限的角,其终边上有一点 ,且 . 求 .

8. 证明下列恒等式:

(1) ;

(2) .

9. 已知 是第二象限的角,化简: .

10. 已知 . 求 和 .

11. 已知 及 是关于 的方程 的两个实根,求实数 .

12. 根据下列条件,求角 :

(1) ，且 是第三象限的角； (2) ；

(3) ； (4) .