正切函数的图像与性质.

下面我们探讨正切函数的图像和性质.

图 7-4-1

我们知道,正切值 可以用角 的终边所在直线与直线 的交点的纵坐标表示(图 7-4-1).

类似于作正弦函数图像的方法, 利用单位圆并结合描点法我们可以作出 的大致图像 (图 7-4-2).

图 7-4-2

因为 ,所以函数 当 时的图像与 , 的图像形状一样,只需将后者图像的位置向右平移 就可得到; 同理,函数 当 , 时的图像与 的图像形状也一样,只需将后者图像的位置向左平移 就可得到. 这样,就可以得到函数 的整个图像 (图 7-4-3).

图 7-4-3

因为 的定义域是 , 其图像由无穷多支曲线所组成,它们被直线 , 即 所隔开.

由诱导公式 可知,正切函数是周期函数, 均是它的周期, 是它的最小正周期.

由正切函数 的定义可以得到,正切函数 的值域是实数集 ,它既没有最大值,也没有最小值.

由诱导公式 可知,正切函数 是奇函数. 因此, 其图像关于坐标原点对称.

由于正切函数是以 为最小正周期的函数,可以先在区间 上研究正切函数的单调性.

对于区间 中的任意给定的满足 的实数 ,有

由 ,易知 . 于是 , ,且 .

由上式就有 ,即 ,从而正切函数 在区间 上是严格增函数.

又因为正切函数是以 为最小正周期的周期函数,所以正切函数 在区间 上是严格增函数.

某国际标准足球场长 、宽 ,球门宽 . 当足球运动员沿边路带球突破时, 距底线多远处射门, 对球门所张的角最大?