教师整合版 / 沪教版高中数学
必修第一册
第4章幂函数、指数函数与对数函数 · 保留教材主线与原题
教材与正式教参整合
我们已经学过幂函数及指数函数. 本节我们将利用对数来引入对数函数.
前面我们已经知道什么是正数 以 为底的对数 , 其中 且 .
现在，将对数的底数 固定，而将真数 用变量 代替， 以研究对数的值 随 变化而变化的规律. 用
来描述 与 的关系就是对数函数.
定义 当底数 固定,且 时, 以 为底的对数
因为只有当 时, 才有意义,所以对数函数的定义域是全体正数.
例 1 求下列函数的定义域:
(1) ；
(2) (常数 且 .
解(1)当 ，即 时，该函数才有意义，所以该函数的定义域是 .
(2)当 时，该函数才有意义，而
不等式 的解是 或 ,所以该函数的定义域是 .
前面已经看到, 函数图像是直观理解变量间关系的一个重要手段. 下面我们来考察对数函数 的图像及其性质,这里总假设 且 .
规定对数函数的底 且 .
在平面直角坐标系中,把满足 的一切点 描绘出来就构成对数函数 的图像. 像以前学习过的其他函数一样, 对数函数的图像也是一条曲线.
例 2 分别作出对数函数 及 的大致图像.
解 先取此图像上的一些特别的点,由 , ,所以对数函数 的图像必经过下面的点:
再使用计算器多采集一些点, 就可以粗略地作出其图像.
图 4-3-1
因为 , ,所以对数函数 的图像必经过点:
再多采集一些点, 就可以粗略地作出其图像.
我们把这两个图像放在同一个图上以便观察比较, 如图 4-3-1 所示.
图 4-3-2
例 3 作出对数函数 的大致图像.
(1) ； (2) (常数 且 ).
由上述,对数函数的图像可分为两种情况:
(1) 的情况. 此时，对数函数 的图像类似图 4-3-1中 的图像. 当 时,函数值大于零,其图像在 轴的上方; 而当 时,函数值小于零,其图像在 轴的下方.
(2) 的情况. 此时，对数函数图像类似图 4-3-2 中 的图像. 当 时,函数值小于零,其图像在 轴的下方; 当 时,函数值大于零,其图像在 轴的上方.
这两种情况下的图像可见图 4-3-3 中两个对数函数 与 的图像. 它们看上去关于 轴对称,实际上也的确如此. 事实上, 由换底公式
可得,在 时,底 小于 1 的对数函数 与底 大于 1 的对数函数 恰相差一个符号,它们的图像关于 轴对称.
图 4-3-3
因为 或者 ,所有指数函数 的图像均经过点 ,而所有对数函数 的图像均经过点 , 所以我们有如下的性质:
对数函数的图像总是经过点 .
因为 是 的解,所以说对数运算是指数运算的一种逆运算. 作为函数,称对数函数 是指数函数 的反函数.
指数函数 的图像与其反函数即对数函数 的图像之间有什么关系呢? 它们的关系是: 对数函数 的
函数 的图像与 的图像关于 轴对称.
反函数的概念将在下一章学习.
图像与指数函数 的图像关于直线 是对称的. 这就是说,对数函数 的图像关于直线 对称的图像就是指数函数 的图像. 事实上,若点 在对数函数 的图像上,就有 ,即 . 而点 关于直线 的对称点就是 ,由于 , 因此 必落在指数函数 的图像上. 反之亦然. 如图 4-3-4所示.
图 4-3-4
观察图 4-3-1 中的两个对数函数图像, 它们的底都大于 1, 且都是递增的,即在自变量 增大时,函数值 也增大. 这点在理论上也可以证明. 为此, 先证明下面的定理.
定理 当 时, .
证明 用反证法证明. 如果 ,由指数函数的性质,就可得 ,与 矛盾.
对数函数的单调性 当 时,对数函数 在区间 上是严格增函数; 当 时,对数函数 在区间 上是严格减函数.
证明 当 时,如果 ,那么 ,由上面的定理可得
即 . 这说明对数函数 在区间 上是严格增函数,即 随着 的 (严格) 增大而 (严格) 增大.
当 时的结论,其证明留作课后练习.
关于对数函数 的图像与性质的总结见表 4-2.
指数函数 的图像与其反函数对数函数 的图像关于直线 对称.
点 关于直线 的对称点是 ,将在下一章证明.
表 4-2
| 图像 | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d4slocn7aajc73fspklg_18.jpg?x=323&y=343&w=357&h=264&r=0"/> | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d4slocn7aajc73fspklg_18.jpg?x=721&y=342&w=352&h=270&r=0"/> |
| 图像特征 | (1)图像都在 轴右侧，无限趋近于 轴,但永不相交. | |
| (2)过点 . | ||
| (3)由左至右图像上升. | (3)由左至右图像下降. | |
| 函数性质 | (1)定义域为 . | |
| (2)当 时， . | ||
| (3) 在区间 上是严格增函数. | (3)在区间 上是严格减函数. | |
例 4 利用对数函数的单调性, 比较下列各题中两个对数的大小.
(1)log 与 ;
(2) 与 ；
(3) 与 .
解(1)因为 时对数函数 在区间 上是严格增函数，所以 .
(2)因为 时对数函数 在区间 上是严格减函数，故 ；而当 时，对数函数在区间 上是严格增函数,故 .
(3)需要换成同底数的对数之后才易于进行比较. 由换底公式, 得
由 ,故 .
例 5 比较 与 的大小.
(1)lo 和lo ；
(2)lo 和lo .
例 6 试利用对数函数单调性来估算对数 的第一位小数的值.
解 因为 ,由对数函数单调性,所以
又因为 ,即 ,再次由对数函数单调性,得
现在比较 与 1.6. 这等价于比较 3 与 ,即比较 与 . 由于 ,因此 . 再由对数函数的单调性, 得
最后我们得到
因此 的第一位小数是 5 .
从这个例子可以看出估算对数的更多位精确小数的困难程度.
例 7 如果不考虑空气阻力,火箭的最大速度 (单位: )和燃料的质量 (单位: )、火箭 (除燃料外) 的质量 (单位: )之间的关系是
这里 表示以 为底的自然对数. 问当燃料质量至少是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度才能超过 . (结果精确到 0.1 倍)
例 8 现在我们可以回答必修课程 3.2 节一开始提出的问题: 在年利率为 5%，且按年计复利的条件下，1 万元钱存多少年会超过5 万元?
解 问题是要找到一个最小的整数 ,使得
这等价于 . 用计算器求精确到五位小数的常用对数值, 可得 . 由换底公式可得
所以，存 33 年会超过 5 万元.
最后, 从函数的角度看, 对数的换底公式说的是两个底数不同的对数函数实际上只相差一个常数倍. 事实上,设 都是不等于 1 的正数,那么以 为底的对数函数 和以 为底的对数函数 仅相差一个常数倍,即
图 4-3-5
其中,因为 不包含自变量 ,在自变量 的变化过程中是不变的, 称为常量. 例如,
函数 和 的图像比较如图 4-3-5 所示.
(1)写出 的含量 随时间 变化的函数表达式；
(2)问至少经过多少年， 的含量才能低于原来的 90%.
又因为 ,即 ,再次由对数函数单调性,得 .
现在比较 与 2.3. 这等价于比较 5 与 ,即比较 与 ,因为 ,所以 . 再由对数函数单调性,得 .
随后我们比较 与 2.4. 这等价于比较 5 与 ,即比较 与 ,因为 ,所以 . 再由对数函数单调性,得 . 最后得到 2.3<log 2.4.
因此 的第一位小数是 3 .
(1) (常数 且 )；
(2) .
(1) ； (2) ；
(3) .
(1) ; (2) .
① ; ② ; ③ ; ④ .
(1) ；
(2) ；
(3) .
(1)计算函数 和 当 ， ， ， ， 时的值，并由此比较两个函数的增长速度.
(2)计算函数 和 当 ， ， ， ， 时的值，并由此比较两个函数的增长速度.
(3)计算函数 和 当 ， ， ， ， 时的值，并由此比较两个函数的增长速度.
通过上述比较, 你对对数函数的增长速度有何体会?