| $y = {\log }_{a}x$ | $a > 1$ | $0 < a < 1$ |
| 图像 |  |  |
| 图像特征 | (1)图像都在 $y$ 轴右侧，无限趋近于 $y$ 轴,但永不相交. |
| (2)过点 $\left( {1,0}\right)$ . |
| (3)由左至右图像上升. | (3)由左至右图像下降. |
| 函数性质 | (1)定义域为 $\left( {0, + \infty }\right)$ . |
| (2)当 $x = 1$ 时， $y = 0$ . |
| (3) 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数. | (3)在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数. |
例 4 利用对数函数的单调性, 比较下列各题中两个对数的大小.
(1)log ${}_{2}5$ 与 ${\log }_{2}6$ ;
(2) ${\log }_{a}{0.1}$ 与 ${\log }_{a}{0.2}\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ ；
(3) ${\log }_{5}7$ 与 ${\log }_{6}7$ .
解(1)因为 $a > 1$ 时对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数，所以 ${\log }_{2}5 < {\log }_{2}6$ .
(2)因为 $0 < a < 1$ 时对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数，故 ${\log }_{a}{0.1} > {\log }_{a}{0.2}$ ；而当 $a > 1$ 时，对数函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数,故 ${\log }_{a}{0.1} < {\log }_{a}{0.2}$ .
(3)需要换成同底数的对数之后才易于进行比较. 由换底公式, 得
$$
{\log }_{5}7 = \frac{1}{{\log }_{7}5},{\log }_{6}7 = \frac{1}{{\log }_{7}6},
$$
由 ${\log }_{7}6 > {\log }_{7}5 > 0$ ,故 ${\log }_{5}7 > {\log }_{6}7$ .
例 5 比较 ${89}^{99}$ 与 ${99}^{89}$ 的大小.
解 取以 10 为底的对数, 由对数函数单调性, 只需要比较两个对数 $\lg {89}^{99} = {99}\lg {89}$ 与 $\lg {99}^{89} = {89}\lg {99}$ 的大小就足够了. 由计算器得 ${99}\lg {89} \approx {192.99},{89}\lg {99} \approx {177.61}$ ,因为
$$
{192.99} > {177.61}\text{ , }
$$
所以
$$
{89}^{99} > {99}^{89}\text{ . }
$$
#### 练习 4.3(2)
1. 已知常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ,假设无论 $a$ 取何值,函数 $y = {\log }_{a}\left( {x - 1}\right)$ 的图像恒经过一个定点, 求此点的坐标.
2. 利用对数函数的性质, 比较下列各题中两个对数的大小:
(1)lo ${\mathrm{g}}_{0.2}3$ 和lo ${\mathrm{g}}_{0.2}6$ ；
(2)lo ${\mathrm{g}}_{0.2}3$ 和lo ${\mathrm{g}}_{0.3}3$ .
3. 设 $0 < a < 1$ ,求证: 对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数.
例 6 试利用对数函数单调性来估算对数 ${\log }_{2}3$ 的第一位小数的值.
解 因为 ${2}^{1} = 2 < 3 < 4 = {2}^{2}$ ,由对数函数单调性,所以
$$
1 < {\log }_{2}3 < 2\text{ . }
$$
又因为 $9 > 8$ ,即 $3 > 2\sqrt{2} = {2}^{1.5}$ ,再次由对数函数单调性,得
$$
{\log }_{2}3 > {1.5}\text{ . }
$$
现在比较 ${\log }_{2}3$ 与 1.6. 这等价于比较 3 与 ${2}^{1.6} = {2}^{\frac{8}{5}}$ ,即比较 ${3}^{5}$ 与 ${2}^{8}$ . 由于 ${3}^{5} = {243} < {256} = {2}^{8}$ ,因此 $3 < {2}^{1.6}$ . 再由对数函数的单调性, 得
$$
{\log }_{2}3 < {1.6}\text{ . }
$$
最后我们得到
$$
{1.5} < {\log }_{2}3 < {1.6}\text{ . }
$$
因此 ${\log }_{2}3$ 的第一位小数是 5 .
从这个例子可以看出估算对数的更多位精确小数的困难程度.
例 7 如果不考虑空气阻力,火箭的最大速度 $v$ (单位: $\mathrm{{km}}/\mathrm{s}$ )和燃料的质量 $M$ (单位: $\mathrm{{kg}}$ )、火箭 (除燃料外) 的质量 ${m}_{0}$ (单位: $\mathrm{{kg}}$ )之间的关系是
$$
v = 2\ln \left( {1 + \frac{M}{{m}_{0}}}\right) ,
$$
这里 $\ln$ 表示以 $\mathrm{e}$ 为底的自然对数. 问当燃料质量至少是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度才能超过 $8\mathrm{\;{km}}/\mathrm{s}$ . (结果精确到 0.1 倍)
解 根据题意, 得
$$
2\ln \left( {1 + \frac{M}{{m}_{0}}}\right) > 8,
$$
$$
\ln \left( {1 + \frac{M}{{m}_{0}}}\right) > 4,
$$
$$
1 + \frac{M}{{m}_{0}} > {\mathrm{e}}^{4},
$$
$$
\frac{M}{{m}_{0}} > {\mathrm{e}}^{4} - 1 \approx {54.6} - 1 = {53.6}.
$$
所以，当燃料质量至少是火箭质量的 53.6 倍时，火箭的最大速度才能超过 $8\mathrm{\;{km}}/\mathrm{s}$ .
例 8 现在我们可以回答必修课程 3.2 节一开始提出的问题: 在年利率为 5%，且按年计复利的条件下，1 万元钱存多少年会超过5 万元?
解 问题是要找到一个最小的整数 $n$ ,使得
$$
{\left( 1 + {0.05}\right) }^{n} > 5\text{ . }
$$
这等价于 $n > {\log }_{1.05}5$ . 用计算器求精确到五位小数的常用对数值, 可得 $\lg 5 \approx {0.69897},\lg {1.05} \approx {0.02119}$ . 由换底公式可得
$$
{\log }_{1.05}5 = \frac{\lg 5}{\lg {1.05}} \approx \frac{0.69897}{0.02119} \approx {32.98584}.
$$
所以，存 33 年会超过 5 万元.
最后, 从函数的角度看, 对数的换底公式说的是两个底数不同的对数函数实际上只相差一个常数倍. 事实上,设 $a\text{ 、 }b$ 都是不等于 1 的正数,那么以 $a$ 为底的对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 和以 $b$ 为底的对数函数 $y = {\log }_{b}x$ 仅相差一个常数倍,即
$$
{\log }_{b}x = \frac{1}{{\log }_{a}b}{\log }_{a}x, x > 0,
$$
图 4-3-5
其中,因为 ${\log }_{a}b$ 不包含自变量 $x$ ,在自变量 $x$ 的变化过程中是不变的, 称为常量. 例如,
$$
\lg x = \frac{1}{{\log }_{2}{10}}{\log }_{2}x,
$$
函数 $y = \lg x$ 和 $y = {\log }_{2}x$ 的图像比较如图 4-3-5 所示.
#### 练习 4.3(3)
1. 动物死亡后,体内碳的放射同位素 ${}^{14}\mathrm{C}$ 的含量每年衰减 0.012%，设在动物死亡的时刻 $t = 0$ 时, ${}^{14}\mathrm{C}$ 的含量为 $a$ .
(1)写出 ${}^{14}\mathrm{C}$ 的含量 $y$ 随时间 $t$ 变化的函数表达式；
(2)问至少经过多少年， ${}^{14}\mathrm{C}$ 的含量才能低于原来的 90%.
2. 利用对数函数的单调性来估算对数 ${\log }_{2}5$ 的第一位小数的值.
#### 习题 4.3
##### A 组
1. 求下列函数的定义域:
(1) $y = {\log }_{a}\left( {x + {12}}\right)$ (常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )；
(2) $y = {\log }_{2}\frac{1}{{x}^{2} - {2x} + 5}$ .
2. 已知对数函数 $y = {\log }_{a}x\;\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 的图像经过点 $\left( {3,2}\right)$ . 若点 $P\left( {b,4}\right)$ 为此函数图像上的点,求实数 $b$ 的值.
3. 在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像, 并指出这些函数图像之间的关系.
(1) $y = {\log }_{3}x$ ； (2) $y = {\log }_{\frac{1}{3}}x$ ；
(3) $y = {\left( \frac{1}{3}\right) }^{x}$ .
4. 已知常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，假设无论 $a$ 取何值，函数 $y = {\log }_{a}x - 1$ 的图像恒经过一个定点. 求此点的坐标.
5. 根据下列不等式,确定底数 $a$ 的取值范围:
(1) ${\log }_{a}{0.2} < {\log }_{a}{0.1}$ ; (2) ${\log }_{a}\pi > {\log }_{a}\mathrm{e}$ .
6. 已知 $y = {\log }_{{a}^{2} - 1}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数，求实数 $a$ 的取值范围.
7. 已知对数函数 $y = {\log }_{a}x\left( {a > 1}\right)$ 在区间 $\left\lbrack {1,2}\right\rbrack$ 上的最大值比最小值大 1,求 $a$ 的值.
##### B 组
1. 若 $a > b > c > 1$ ，则下列不等式不成立的是___. (填写所有不成立的不等式的序号)
① ${\log }_{a}b > {\log }_{a}c$ ; ② ${\log }_{a}\frac{1}{b} > {\log }_{a}\frac{1}{c}$ ; ③ ${\log }_{\frac{1}{a}}b > {\log }_{\frac{1}{a}}c$ ; ④ ${\log }_{\frac{1}{a}}\frac{1}{b} > {\log }_{\frac{1}{a}}\frac{1}{c}$ .
2. 设常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，求函数 $y = {\log }_{a}\left( {a - {a}^{x}}\right)$ 的定义域.
3. 根据下列不等式,比较正数 $m$ 及 $n$ 的大小:
(1) ${\log }_{3}m < {\log }_{3}n$ ；
(2) ${\log }_{a}m < {\log }_{a}n\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ ；
(3) ${\log }_{m}N < {\log }_{n}N\left( {0 < m < 1,0 < n < 1,0 < N < 1}\right)$ .
4. 设 $0 < a < 1$ ,若 ${\log }_{a}\left( {4{x}^{2} - 1}\right) < {\log }_{a}\left( {-2{x}^{2} + x + 1}\right)$ ,求实数 $x$ 的取值范围.
5. 比较 ${22}^{23}$ 与 ${23}^{22}$ 的大小.
6. 如果 ${}^{237}\mathrm{U}$ 在不断的裂变中,每天所剩留质量与前一天剩留质量相比,按同一比例减少，且经过 7 天裂变，剩余的质量是原来的 50%. 计算至少要经过多少天裂变，其剩留质量才小于原来的 10%.
### 探究与实践
#### 幂函数、指数函数与对数函数增长速度的比较
我们已经知道,如果指数函数的底数 $a$ 大于 1,当自变量 $x$ 增大时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 增长得非常快，称为"指数增长". 类似地，可以分析底数 $a$ 大于 1 的对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 的增长速度.
(1)计算函数 $y = {0.01x}$ 和 $y = \lg x$ 当 $x = {10}^{2}$ ， ${10}^{4}$ ， ${10}^{6}$ ， ${10}^{8}$ ， ${10}^{10}$ 时的值，并由此比较两个函数的增长速度.
(2)计算函数 $y = {x}^{0.1}$ 和 $y = \lg x$ 当 $x = {10}^{10}$ ， ${10}^{20}$ ， ${10}^{50}$ ， ${10}^{100}$ ， ${10}^{200}$ 时的值，并由此比较两个函数的增长速度.
(3)计算函数 $y = {1.1}^{x}$ 和 $y = \lg x$ 当 $x = {10}^{2}$ ， ${10}^{4}$ ， ${10}^{6}$ ， ${10}^{8}$ ， ${10}^{10}$ 时的值，并由此比较两个函数的增长速度.
通过上述比较, 你对对数函数的增长速度有何体会?
### 课后阅读
#### 火箭速度的计算公式
航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K. E. Tsiolkovsky)于 1903 年给出火箭速度的计算公式
$$
v = {V}_{0}\ln \left( {1 + \frac{M}{{m}_{0}}}\right) .
$$
其中, ${V}_{0}$ 是燃料相对于火箭的喷射速度, $M$ 是燃料的质量, ${m}_{0}$ 是火箭 (除去燃料) 的质量, $v$ 是火箭将燃料喷射完之后达到的速度. 可以看出 $v$ 与 $M$ 是对数函数的关系,由于对数函数增长速度很慢,通过大量增加燃料 (即增加 $\frac{M}{{m}_{0}}$ ) 难以达到航天器绕地球运行所需要的第一宇宙速度，据此他又提出了采用多级火箭发射航天器的设想.
现代运载火箭大多采用三级火箭，当第一级火箭的燃料用完时，点燃第二级火箭并抛弃第一级火箭,这相当于大大减小第二级火箭推进时的 ${m}_{0}$ ,从而在第二级火箭燃料用完时航天器可以达到较高的速度. 然后类似地点燃第三级火箭并抛弃第二级火箭, 最终可以将航天器送入太空轨道.
### 内容提要
1. 幂函数 $y = {x}^{a}$ 的定义域由指数 $a$ 决定. 随着指数 $a$ 的不同，幂函数的定义域是不同的.
2. 幂函数 $y = {x}^{a}$ 有单调性:当 $a > 0$ 时，它在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数；而当 $a < 0$ 时，它在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数.
3. 指数函数 $y = {a}^{x}\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 的定义域是全体实数.
4. 指数函数 $y = {a}^{x}\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 有单调性:当 $a > 1$ 时，它在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数； 而当 $0 < a < 1$ 时，它在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数.
5. 对数函数 $y = {\log }_{a}x\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 的定义域是全体正实数.
6. 对数函数 $y = {\log }_{a}x\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 有单调性:当 $a > 1$ 时，它在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数；而当 $0 < a < 1$ 时，它在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数.
### 复习题
#### A 组
1. 填空题:
(1)若点 $\left( {2,\sqrt{2}}\right)$ 在幂函数 $y = {x}^{a}$ 的图像上，则该幂函数的表达式为___； 若点 $\left( {2,\sqrt{2}}\right)$ 在指数函数 $y = {a}^{x}\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 的图像上,则该指数函数的表达式为 ; 若点 $\left( {\sqrt{2},2}\right)$ 在对数函数 $y = {\log }_{a}x\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 的图像上,则该对数函数的表达式为___.
(2)若幂函数 $y = {x}^{k}$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数，则实数 $k$ 的取值范围为___.
(3)已知常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，假设无论 $a$ 为何值，函数 $y = {a}^{x - 2} + 1$ 的图像恒经过一个定点. 则这个点的坐标为___.
2. 选择题:
(1)若指数函数 $y = {a}^{x}\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是 ( )
A. $a > 1$ ; B. $a < 0$ ;
C. $a\left( {a - 1}\right) < 0$ ; D. $a\left( {a - 1}\right) > 0$ .
(2)在同一平面直角坐标系中,一次函数 $y = x + a$ 与对数函数 $y = {\log }_{a}x$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像关系可能是 ( )
(第 2(2)题)
3. 求下列函数的的定义域:
(1) $y = {\left( x - 1\right) }^{\frac{5}{2}}$ ; (2) $y = {3}^{\sqrt{x - 1}}$ ；
(3) $y = \lg \frac{1 + x}{1 - x}$ .
4. 比较下列各题中两个数的大小:
(1) ${0.1}^{0.7}$ 与 ${0.2}^{0.7}$ ； (2) ${0.7}^{0.1}$ 与 ${0.7}^{0.2}$ ；
(3) ${\log }_{0.7}{0.1}$ 与 ${\log }_{0.7}{0.2}$ .
5. 设点 $\left( {\sqrt{2},2}\right)$ 在幂函数 ${y}_{1} = {x}^{a}$ 的图像上,点 $\left( {-2,\frac{1}{4}}\right)$ 在幂函数 ${y}_{2} = {x}^{b}$ 的图像上. 当 $x$ 取何值时, ${y}_{1} = {y}_{2}$ ?
6. 设 $a = {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x}, b = {x}^{\frac{3}{2}}$ 及 $c = {\log }_{\frac{2}{3}}x$ ,当 $x > 1$ 时,试比较 $a\text{ 、 }b$ 及 $c$ 之间的大小关系.
7. 设常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ,若函数 $y = {\log }_{a}\left( {x + 1}\right)$ 在区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的最大值为 1,最小值为 0,求实数 $a$ 的值.
8. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少 ${10}\%$ ,那么至少需要将多少块这样的玻璃重叠起来,才能使通过它们的光线强度低于原来的 $\frac{1}{3}$ ?
#### B 组
1. 填空题:
(1)已知 $m \in \mathbf{Z}$ ，设幂函数 $y = {x}^{{m}^{2} - {4m}}$ 的图像关于原点成中心对称，且与 $x$ 轴及 $y$ 轴均无交点,则 $m$ 的值为___.
(2)设 $a$ 、 $b$ 为常数，若 $0 < a < 1$ ， $b < - 1$ ，则函数 $y = {a}^{x} + b$ 的图像必定不经过第象限.
2. 选择题:
(1)若 $m > n > 1$ ,而 $0 < x < 1$ ,则下列不等式正确的是 ( )
A. ${m}^{x} < {n}^{x}$ ; B. ${x}^{m} < {x}^{n}$ ;
C. ${\log }_{x}m > {\log }_{x}n$ ; D. ${\log }_{m}x < {\log }_{n}x$ .
(2)在同一平面直角坐标系中,二次函数 $y = a{x}^{2} + {bx}$ 与指数函数 $y = {\left( \frac{b}{a}\right) }^{x}$ 的图像关系可能为 ( )
(第 2(2)题)
3. 设 $a$ 为常数且 $0 < a < 1$ ,若 $y = {\left( {\log }_{a}\frac{3}{5}\right) }^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,求实数 $a$ 的取值范围.
4. 在同一平面直角坐标系中,作出函数 $y = {\left( \frac{1}{2}\right) }^{x}$ 及 $y = {x}^{\frac{1}{2}}$ 的大致图像,并求方程 ${\left( \frac{1}{2}\right) }^{x} = {x}^{\frac{1}{2}}$ 的解的个数.
5. 已知集合 $A = \left\{ {y\left| {\;y = {\left( \frac{1}{2}\right) }^{x}}\right. , x \in \lbrack - 2,0)}\right\}$ ，用列举法表示集合 $B = \left\{ {y \mid y = {\log }_{3}x, x}\right. \; \in A$ 且 $y \in \mathbf{Z}\}$ .
### 拓展与思考
1. ${\log }_{2}3$ 是有理数吗? 请证明你的结论.
2. 仅利用对数函数的单调性和计算器上的乘方功能来确定对数 ${\log }_{2}3$ 第二位小数的值.
