例题 1
例 1 求 的二项展开式.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 6.5
学生阅读版 / 沪教版高中数学
二项式定理.
选择性必修第二册
第6章计数原理 · 保留教材主线与原题
二项式定理
教材与正式教参整合
1 杨辉三角和二项式定理
我们知道,对于任意的 ,都有
在 的取值不大的情况下,也可以利用下面的数阵求 的二项展开式中各项的系数:
这个数阵的特点是: ①每一行的第一个数和最后一个数都是 1 . ②每一行中, 除了第一个数和最后一个数外, 每个数等于它"肩上"的两个数之和. ③当 为偶数时,最大的系数是中间一项; 当 为奇数时,最大的系数是中间两项.
在我国数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》中出现了类似的图表(类似于图 6-5-1)，习惯上称之为杨辉三角，杨辉在该图旁注明 "贾宪用此术"，故亦称贾宪三角. 它是中国古代数学的杰出研究成果之一.
请将特点①和特点②用组合数的公式表示.
杨辉, 字谦光, 钱塘(今杭州)人。中国南宋末年数学家、 数学教育家. 约在 13 世纪中叶至后半叶活动于苏、杭一带.
图 6-5-1
一般地, 我们有下面的
定理 设 是正整数,等式
证明 当 时,
假设 ( 为正整数)时,
则当 时,根据多项式的乘法运算规则,有
从而由性质 和 ,得
西方称类似表格为帕斯卡三角形.
在讨论二项式定理相关内容时, 我们约定 .
所以,由数学归纳法,对于 和正整数 ,都有
例题 2
例 2 求 的二项展开式中 项的系数.
例题 3
例 3 利用 的二项展开式,证明: 是 7 的倍数.
练习 6.5(1)
练习6.5(1) · 1
- (1) 求 的二项展开式;
(2)求 的二项展开式中的常数项；
(3)求 的二项展开式中 的系数；
(4)在 的二项展开式中，如果第 项和第 项的系数的绝对值相等,求此展开式的第 项.
练习6.5(1) · 2
- 利用二项式定理证明: 是 8 的倍数.
二项式定理的应用 ——组合数的性质
在二项式定理中,特别令 ,就得到
令 ,就得到
由上述二式就得到
例题 4
例 4 已知对任意给定的实数 ,都有
求值:
(1) ;
(2) .
例题 5
例 5 证明: 在 个组合数 中, 当 为偶数时,最大值是中间的一项 ; 而当 为奇数时,最大值是中间的两项 和 .
例题 6
例 6 求 的二项展开式中系数最大的项.
练习 6.5(2)
练习6.5(2) · 1
- ( 1 )若 ，求 的值；
(2)已知 , 为正整数),求 的值.
练习6.5(2) · 2
2.(1)求 的二项展开式中系数最大的项；
(2)求 的二项展开式中系数最大的项.
习题 6.5
A 组
习题6.5A · 1
- 求 的二项展开式中的中间项.
习题6.5A · 2
- 求 的二项展开式中的常数项.
习题6.5A · 3
- 在 的二项展开式中, 的幂指数是负数的项一共有多少个?
习题6.5A · 4
- 求 的二项展开式中系数最大的项.
习题6.5A · 5
- 已知 ,且 的二项展开式中,第二项不大于第三项. 求实数 的取值范围.
B 组
习题6.5B · 1
- 已知 ,求 的值.
习题6.5B · 2
- 求 的二项展开式中系数最大的项.
习题6.5B · 3
- 设 为正整数 . 若二项展开式中关于 的一次项系数之和为 11,则当 为何值时,含 项的系数取得最小值?
习题6.5B · 4
- 在 的二项展开式中,设奇数项之和为 ,偶数项之和为 . 求证: .