球.

例 1 如图 11-4-3,已知球的半径为 . 求小圆 的半径.

例 2 如图 11-4-4,设 是球 的一条直径,过球心 作一个大圆 与 垂直,过直径 上不同于点 的任一点 作与 垂直的平面,与球 交于小圆 ,过直径 作两个平面与球分别交于两个大圆 和 和 分别是这两个大圆的圆周与圆 的交点. 求证:

图 11-4-4

(1) 都是二面角 的平面角；

(2) 和 与平面 所成的角相等.

当以一点为圆心的圆不只一个时, 可以用表示圆心的字母后面跟着表示圆周上不在一条直径上的两个点的字母来表示所指的圆, 如本题的圆 . 这样的三点完全决定了圆所在的平面以及在平面上圆心位置和圆的大小.

1. 如图 11-4-4, 为球心, 为小圆的圆心,用球的半径 和小圆的半径 表示 的距离 .

2. 已知半径为 的球面上三点 满足 ,球心到平面 的距离为 12. 求球的半径 .

3. 已知上海地处东经 至 ,北纬 至 之间,地球半径为 6371.004 km. 求上海所辖区域:

(1)经线对应的两平面所成的二面角的大小；

(2)纬线所在两平面的距离.

例 3 有一种空心钢球,质量为 ,测得球的外直径等于 . 求它的内直径. (钢的密度是 ,结果精确到 )

例 4 如图 11-4-8, 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:

(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；

(2)球的表面积等于圆柱表面积的 .

1. 已知地球的半径约为 ,计算地球的表面积. (结果精确到 )

2. 把一个半径为 的实心铁球熔化铸成两个小球,两个小球的半径之比为1 :2. 求其中较小球的半径.

3. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 ,将一个球放在容器口, 再向容器注水, 当球面恰好接触水面时, 测得水深为 . 若不计容器的厚度,求球的体积.

(第 3 题)

1. 若一个球的体积是 ，则这个球的表面积是___.

2. 若用与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面半径为 3 ，则球的体积为___.

3. 若平面 截球 所得圆的半径为 1,球的表面积是 ,则球心 到平面 的距离为___.

4. 已知两个球的表面积之差为 ,它们的大圆周长之和为 ,则这两个球的半径之差为___.

5. 已知正三角形 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 到平面 的距离为 是线段 的中点,过点 作球 的截面,则截面面积的最小值是___.

1. 已知过球面上 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 . 求截面的面积.

2. 已知三棱柱 的 6 个顶点都在球 的球面上,且 ， . 求球 的半径.

3. 如图为一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 、高为 的圆柱形物体, 上面是一个半球形体. 如果每平方米大约需要鲜花 120 朵, 那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花?

(第 3 题)

4. 如图,半径为 的球 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求球的表面积与该圆柱的侧面积之差.

(第 4 题)