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1.2 常用逻辑用语
教学重点
命题(真命题、假命题)的概念,充分条件,必要条件,充要条件,反证法:知道命题的概念, 会在简单情境下判断命题的真假, 并能用正确的方法说明命题为真或为假的理由. 借助推出关系理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义, 并能在简单情境下作出准确的判断. 理解反证法, 会用反证法证明一些典型的命题.
内容分析
本节和“集合初步”类似, 也是为后续章节的学习奠定思维和语言的基础, 帮助学生能用规范的方式更好地与他人沟通交流. 在思维方法上, 推出关系与反证法是今后数学学习的基础; 而在语言上, 充分条件与必要条件是与他人沟通的必要术语.
“命题”同“集合”类似,也是一个无法用简单语言严格定义的概念. 命题的相关概念有很多, 如简单命题、复合命题、条件命题等. 本教材则作了一个较为狭义的界定, 规定“用自然语言、符号或式子表达, 且可以判断其真假的语句叫做命题”.
本教材中对形如“若 ,则 ”的真命题用“推出”这一关系来描述,这一关系是数学中的逻辑推理的基础.
要说明一个形如“若 ,则 ”的命题是真命题,和说明集合之间的包含关系的方法是一致的, 也就是要说明每一个满足条件的变元都满足结论. 而要说明一个形如 “若 ,则 ”的命题是假命题,只需要举出一个满足条件、但不满足结论的例子即可.
在本教材中, 充分条件和必要条件这两个概念是建立在推出关系的基础上的, 在相应的定义中“条件”二字仅仅出现在这两个术语上.
教材将推出关系和“充分条件、必要条件”分在两个课时,可以分散难点.
教材选择了“反证法”作为第三课时的内容, 其原因有三: 一是反证法是证明数学命题的一个重要方法; 二是反证法可以承载课程标准中“能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定”“能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定”这两个要求；三是反证法的教学可以弥补课程标准中缺少 “逆否命题” 所带来的一些证明技巧上的缺失.
本节的目的是让学生初步了解反证法的思想和表达方式, 后续章节的学习中会不断接触到反证法说理或证明的过程, 因此不必在此处多作展开.
注意事项
在使用“推出”关系时,我们甚至不需要要求“若 ,则 ”中的 能够成立. 在使用反证法时, 我们通常假设一个实际上不可能成立的陈述句, 再利用这个陈述句推出矛盾, 以此来说明所给出的假设是不可能成立的.
在高中数学中,大部分的定理、性质都是以 “若 ,则 ” 的形式来表述的,充分条件、必要条件也是针对 “若 ,则 ”形式的命题而言的. 但教师需要了解数学中的命题不仅仅只有这种形式,也有 “存在 ,使得 成立” 的形式.
当 能推出 时,称 “ 是 的充分条件” 是没问题的,但是称 “ 的充分条件是 ” 则不太妥当,应当称作“ 的一个充分条件是 ”.
在反证法中, 所谓“得到矛盾”是指发现了某个命题既是真命题, 又是假命题. 这个命题可以是假设的陈述句 (假设其为真, 但随后推理得到它为假), 也可以是前提条件, 或其他已知为真的命题, 如定理、性质等(已知其为真, 但随后推理得到它是假命题).
教学建议
同上节“集合初步”一样, 本节的教学目的在于使学生能用规范的语言来表达自己的思想, 在沟通交流时减少歧义. 因此, 在教学中, 关注学生的口头与书面表达方式是非常重要的.
由于本节内容是预备知识, 不应在内容上 “深挖洞”. 对于逻辑用语的进一步的学习要求是要经过一段较长的时间的规范表达与思考的训练之后, 学生才能逐步达到的, 不适合在高中一年级开学之初就进行灌输.
在学习了逻辑用语之后, 解决问题时建议要求学生用规范的语言来书写.