| 陈述句 $\alpha$ | $\alpha$ 的否定形式 |
| $x > 1$ | $x \leq 1$ |
| $x > 1$ 或 $y > 1$ | $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$ |
| 集合 $A$ 中满足性质 $p$ 的元素至少有两个 | 集合 $A$ 中满足性质 $p$ 的元素最多有一个 |
| 所有的 $a \in A$ 满足性质 $p$ | 至少存在一个 $a \in A$ 不满足性质 $p$ |
| 所有的 $a \in A$ 不满足性质 $p$ | 至少存在一个 $a \in A$ 满足性质 $p$ |
例 6 设 $x\text{ 、 }y \in \mathbf{R}$ . 证明: 若 $x + y > 2$ ,则 $x > 1$ 或 $y > 1$ .
证明 用反证法证明.
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数学命题中的“所有”也可称为“对任意给定的一个”或“对每一个”.
元素个数一般指正整数.
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假设 $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$ ,则 $x + y \leq 2$ ,这与已知条件 $x + y > 2$ 矛盾.
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结论“ $x > 1$ 或 $y$ >1”不成立，即“ $x$ 与 $y$ 中至少有一个大于 1”不成立. 也就是 “ $x$ 与 $y$ 都不大于 1 ”.
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所以假设不成立,即 $x > 1$ 或 $y > 1$ .
例 5 和例 6 证明的都是“若 $\alpha$ ,则 $\beta$ ” 形式的命题. 对一些其他形式的命题, 也可用反证法证明.
例 7 证明: $\sqrt{2}$ 是无理数.
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例 7 的证明是历史上著名的一个反证法证明.
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证明 用反证法证明.
假设 $\sqrt{2}$ 是有理数. 则可设
$$
\sqrt{2} = \frac{m}{n}
$$
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一个实数是有理数当且仅当它可以表示成两个整数的商 $\frac{m}{n}$ . 如果 $m$ 与 $n$ 有大于 1 的公因数, 总可以进行约分, 所以不妨设 $m$ 与 $n$ 是互素的.
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其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数. 于是 $m = \sqrt{2}n$ . 两边平方,得 ${m}^{2} = 2{n}^{2}$ . 所以, ${m}^{2}$ 是偶数. 由例 5,知 $m$ 也是偶数. 于是,可设 $m = {2k}, k$ 为正整数. 将其代入 ${m}^{2} = 2{n}^{2}$ ,得 $2{n}^{2} = 4{k}^{2}$ ,即 ${n}^{2} = 2{k}^{2}$ ,故 ${n}^{2}$ 是偶数. 再根据例 5,知 $n$ 也是偶数. 于是 $m\text{ 、 }n$ 有公因数 2,这与 $m\text{ 、 }n$ 互素的假设矛盾.
所以假设不成立,即 $\sqrt{2}$ 是无理数.
#### 练习 1.2(3)
1. 设 $n \in \mathbf{Z}$ . 证明: 若 ${n}^{3}$ 是奇数,则 $n$ 是奇数.
2. 证明: 对于三个实数 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ ,若 $a \neq c$ ,则 $a \neq b$ 或 $b \neq c$ .
#### 习题 1.2
##### A 组
1. 判断下列语句是否为命题:
(1)有的正方形是三角形；
(2)任意一个三角形的内角和都为 ${180}^{ \circ }$ ；
(3)1 是自然数吗?
(4)3>π；
(5) $2 \in \left( {0,5}\right)$ ,且 $2 \in \mathbf{Z}$ .
2. 判断下列命题的真假, 并说明理由:
(1)如果 $a\text{ 、 }b$ 都是奇数，那么 $a + b$ 是偶数；
(2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形;
(3)如果 $A \cap B = A$ ，那么 $A \cup B = B$ .
3. 如果 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 为实数,设 $\alpha : a = b = c = 0;\beta : a\text{ 、 }b\text{ 、 }c$ 中至少有一个为 0 ; $\gamma : {a}^{2} + \sqrt{b} + \left| c\right| = 0$ . 那么 $\alpha$ ___ $\beta ;\alpha$ ___ $\gamma ;\beta$ ___ $\gamma$ . (用符号“ $\Leftarrow$ ”“ $\Rightarrow$ ”或 “⇔”填空)
4. 下列各组中, $\alpha$ 是 $\beta$ 的什么条件?
(1) $\alpha$ :四边形 ${ABCD}$ 的四条边等长， $\beta$ :四边形 ${ABCD}$ 是正方形；
(2) $\alpha : {\bigtriangleup {ABC}}$ 与 ${\bigtriangleup {DEF}}$ 全等， $\beta : {\bigtriangleup {ABC}}$ 与 ${\bigtriangleup {DEF}}$ 的周长相等，
(3) $\alpha : x$ 是 2 的倍数， $\beta : x$ 是 6 的倍数；
(4) $\alpha :$ 集合 $A \subseteq B, B \subseteq C, C \subseteq A,\beta :$ 集合 $A = B = C$ ；
(5) $\alpha : A \cap B = A \cap C,\beta : B = C$ .
5. 已知 $l\text{ 、 }m$ 都是自然数,试判断“ $l + m$ 是偶数”与“ $l\text{ 、 }m$ 都是偶数”是否等价,并说明理由.
6. 证明: “四边形 ${ABCD}$ 是平行四边形” 是“四边形 ${ABCD}$ 的对角线互相平分”的充要条件.
##### B 组
1. 判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若 $A \cap B = \varnothing , C \subset B$ ，则 $A \cap C = \varnothing$ ；
(2)若 $a\text{ 、 }b \in \mathbf{R}$ ,则关于 $x$ 的方程 $\left( {a + 1}\right) x + b = 0$ 的解为 $x = - \frac{b}{a + 1}$ .
2. 已知 $a$ 为实数. 写出关于 $x$ 的方程 $a{x}^{2} + {2x} + 1 = 0$ 至少有一个实根的一个充要条件、一个充分非必要条件和一个必要非充分条件.
3. 若 $\alpha : \{ 2\} \subset B \subseteq \{ 2,3,4\} ,\beta : B = \{ 2,4\}$ ,则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 ( )
A. 充分非必要条件; B. 必要非充分条件;
C. 充要条件; D. 既非充分又非必要条件.
4. 已知 $\alpha : x < {3m} - 1$ 或 $x > - m,\beta : x < 2$ 或 $x \geq 4$ .
(1)若 $\alpha$ 是 $\beta$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；
(2)若 $\alpha$ 是 $\beta$ 的必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.
## 内容提要
1. 集合的概念与表示:
(1)集合是一些确定对象的全体. 集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征. 常用数集有 $\mathbf{N}\text{ 、 }\mathbf{Z}\text{ 、 }\mathbf{Q}\text{ 、 }\mathbf{R}$ 等.
(2)空集是不含任何元素的集合.
(3)当 $a\text{ 、 }b \in \mathbf{R}$ ，且 $a < b$ 时，满足 $a < x < b$ 的所有实数 $x$ 组成的集合记作开区间 $\left( {a, b}\right)$ ,满足 $a \leq x \leq b$ 的所有实数 $x$ 组成的集合记作闭区间 $\left\lbrack {a, b}\right\rbrack$ .
2. 集合的关系与运算:
(1)子集关系可分为两类:真子集与相等的集合.
(2)集合 $A$ 与 $B$ 的交集是这两个集合的所有公共元素组成的集合，记作 $A \cap B$ ；集合 $A$ 与 $B$ 的并集是这两个集合的所有元素组成的集合，记作 $A \cup B$ .
(3)对于全集 $U$ ，其任一子集 $A$ 均有补集. 一个集合 $A$ 的补集是指在全集 $U$ 中而不在 $A$ 中的所有元素组成的集合，记作 $\overline{A}$ .
3. 命题:
(1)命题是指能判断其真假的语句.
(2)命题有真、假两类.
4. 充分条件与必要条件:
(1)当 $\alpha \Rightarrow \beta$ 时， $\alpha$ 是 $\beta$ 的充分条件， $\beta$ 是 $\alpha$ 的必要条件.
(2)当 $\alpha \Leftrightarrow \beta$ 时， $\alpha$ 是 $\beta$ 的充要条件. 此时，在推理过程中 $\alpha$ 与 $\beta$ 能互相替换.
5. 反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法.
## 复习题
### A 组
1. 用列举法表示下列集合:
(1)十二生肖组成的集合;
(2)中国国旗上所有颜色组成的集合.
2. 用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合;
(2)3 的所有倍数组成的集合.
3.(1)若 $\alpha : {x}^{2} - {5x} + 6 = 0,\beta : x = 2$ ，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的___条件；
(2)若 $\alpha$ :四边形 ${ABCD}$ 是正方形， $\beta$ :四边形 ${ABCD}$ 的两条对角线互相垂直平分， 则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的___条件.
4. 已知方程 ${x}^{2} + {px} + 4 = 0$ 的所有解组成的集合为 $A$ ,方程 ${x}^{2} + x + q = 0$ 的所有解组成的集合为 $B$ ,且 $A \cap B = \{ 4\}$ . 求集合 $A \cup B$ 的所有子集.
5. 已知集合 $A = \left( {-2,1}\right) , B = \left( {-\infty , - 2}\right) \cup \lbrack 1, + \infty )$ . 求: $A \cup B, A \cap B$ .
6. 已知全集 $U = \left( {-\infty,1}\right) \cup \lbrack 2, + \infty )$ ,集合 $A = \left( {-1,1}\right) \cup \lbrack 3, + \infty )$ . 求 $\bar{A}$ .
7. 已知集合 $A = \left\{ {x \mid {x}^{2} + {px} + q = 0}\right\} , B = \left\{ {x \mid {x}^{2} - x + r = 0}\right\}$ ，且 $A \cap B = \{ - 1\}$ ， $A \cup B = \{ - 1,2\}$ . 求实数 $p\text{ 、 }q\text{ 、 }r$ 的值.
8. 设 $a$ 是实数. 若 $x = 1$ 是 $x > a$ 的一个充分条件，则 $a$ 的取值范围为___.
9. 已知陈述句 $\alpha$ 是 $\beta$ 的充分非必要条件. 若集合 $M = \{ x \mid x$ 满足 $\alpha \} , N = \{ x \mid x$ 满足 $\beta \}$ , 则 $M$ 与 $N$ 的关系为 ( )
A. $M \subset N$ ; B. $M \supset N$ ; C. $M = N$ ; D. $M \cap N = \varnothing$ .
10. 证明: 若梯形的对角线不相等, 则该梯形不是等腰梯形.
### B 组
1. 若集合 $M = \{ a \mid a = x + \sqrt{2}y, x\text{ 、 }y \in \mathbf{Q}\}$ ,则下列结论正确的是 ( )
A. $M \subseteq \mathbf{Q}$ ; B. $M = \mathbf{Q}$ ; C. $M \supset \mathbf{Q}$ ; D. $M \subset \mathbf{Q}$ .
2. 若 $\alpha$ 是 $\beta$ 的必要非充分条件, $\beta$ 是 $\gamma$ 的充要条件, $\gamma$ 是 $\delta$ 的必要非充分条件,则 $\delta$ 是 $\alpha$ 的___条件， $\gamma$ 是 $\alpha$ 的___条件.
3. 已知全集 $U = \{ x \mid x$ 为不大于 20 的素数 $\}$ . 若 $A \cap \bar{B} = \{ 3,5\} ,\bar{A} \cap B = \{ 7,{19}\}$ ， $\overline{A \cup B} = \{ 2,{17}\}$ ，则 $A =$ ___， $B =$ ___.
4. 已知集合 $P = \{ x \mid - 2 \leq x \leq 5\} , Q = \{ x \mid x \geq k + 1$ 且 $x \leq {2k} - 1\}$ ，且 $Q \subseteq P$ . 求实数 $k$ 的取值范围.
5. 已知全集 $U = \mathbf{R}$ ,集合 $A = \{ x \mid x \leq a - 1\} , B = \{ x \mid x > a + 2\} , C = \{ x \mid x < 0$ 或 $x >$ 4),且 $\overline{A \cup B} \subseteq C$ . 求实数 $a$ 的取值范围.
6. 已知集合 $A = \left\{ {x \mid \left( {a - 1}\right) {x}^{2} + {3x} - 2 = 0}\right\}$ . 是否存在这样的实数 $a$ ,使得集合 $A$ 有且仅有两个子集? 若存在,求出实数 $a$ 的值及对应的两个子集; 若不存在,说明理由.
7. 证明: $\sqrt[3]{2}$ 是无理数.
## 拓展与思考
1. 设 $a\text{ 、 }b$ 是正整数. 求证: 若 ${ab} - 1$ 是 3 的倍数,则 $a$ 与 $b$ 被 3 除的余数相同.
2. 已知非空数集 $S$ 满足: 对任意给定的 $x\text{ 、 }y \in S\left( {x\text{ 、 }y}\right.$ 可以相同 $)$ ,有 $x + y \in S$ 且 $x - y \in S.$
(1)哪个数一定是 $S$ 中的元素？说明理由；
(2)若 $S$ 是有限集，求 $S$ ；
(3)若 $S$ 中最小的正数为 5，求 $S$ .