例题 1
例 1 下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题? 为什么?
(1)个位数字是 5 的自然数能被 5 整除；
(2)凡直角三角形都相似;
(3)请起立；
(4)若两个角互为补角，则这两个角不相等；
(5)若两个三角形的三组对应边相等，则这两个三角形全等;
(6)你是高一学生吗？
(7) .
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 1.2
学生阅读版 / 沪教版高中数学
常用逻辑用语.
必修第一册
第1章集合与逻辑 · 保留教材主线与原题
常用逻辑用语
教材与正式教参整合
1 命题
例 1 中命题(4)与(5)具有“若 ，则 ”的形式. 在保持含义不变的前提下，例 1 中命题(1)与(2)也可改写为这种形式:
若一个自然数的个位数字是 5 ，则这个自然数能被 5 整除；
若两个三角形都是直角三角形, 则它们相似.
在形如
“若 ,则 ”
命题“若 ,则 ”是真命题,是指所有满足条件 的对象都满足结论 . 用集合的语言描述即
满足 满足 .
所以, 要确定这类命题是真命题, 就必须给出其证明, 如例 1 中的(1)与(5).
命题“若 ，则 ”是假命题，是指存在满足条件 的对象， 它不满足结论 . 所以,要确定这类命题是假命题,可用处理例 1 中( 2 )与( 4 )的方法，举一个满足条件 而不满足结论 的例子就可以了.
定义 如果命题“若 ,则 ”是真命题,那么就称 推出 , 记作 (或 ).
因为子集关系满足传递性, 所以推出关系也满足传递性:
若 且 ,则 .
它是逻辑推理的基础.
例题 2
例 2 将下列命题改写成“若 ，则 ”的形式，并判断 “ ”是否成立.
(1)等腰三角形的两底角相等;
(2)凡是素数都是奇数；
(3)对顶角相等.
练习 1.2(1)
练习1.2(1) · 1
- 举几个生活中的命题的例子, 并判断其真假.
练习1.2(1) · 2
- 判断下列命题的真假, 并说明理由:
(1)所有偶数都不是素数；
(2) 是 的真子集；
(3)0是 的真子集；
(4)如果集合 是集合 的子集，那么 不是 的子集.
练习1.2(1) · 3
- 用“ ”表示下列陈述句 与 之间的推出关系:
(1) 是等边三角形， 是轴对称图形；
(2) .
2 充分条件与必要条件
先看一个例子:我们要培养的是德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人. 显然, 对于这样“全面发展”的学生来说, 其学习成绩一定是好的; 反过来, 学习成绩好的学生不一定是 “全面发展”的，因为可能其他方面不是很好. 也就是说，“学习成绩好” 对于“全面发展”是不可缺少的, 但只有“学习成绩好”还不够.
定义 对于两个陈述句 与 ,如果 ,就称 是 的充分条件 (sufficient condition),亦称 是 的必要条件 (necessary condition).
由例 2 知道, “一个三角形是等腰三角形”是 “一个三角形有两个角相等”的充分条件，“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件, 而“一个数是素数”不是“一个数是奇数”的充分条件.
例题 3
例 3 判断下列各组中的 分别是 的什么条件,并说明理由.
(1) :四边形 是正方形， :四边形 的四个内角都是直角;
该定义中,“充分”二字说明 “ 成立时， 一定成立”；而 “必要”二字说明“ 不成立时, 一定不成立”.
(2) 是有理数， 是有理数.
例题 4
例 4 已知 是实数，集合
求证: “ ” 是 “ ” 的充要条件.
练习 1.2(2)
练习1.2(2) · 1
- 已知 : 四边形 的两组对边分别平行, : 四边形 为矩形, : 四边形 ABCD 的两组对边分别相等. 用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分又非必要”填空:
(1) 是 的___条件；
(2) 是 的___条件；
(3) 是 的___条件。
练习1.2(2) · 2
- 设 是 的充分条件. 求实数 的取值范围.
反证法是数学中常用的证明方法之一. 下面, 我们学习如何用反证法证明一些命题.
在前面已经提到,要判断命题“若 ,则 ”是假命题,只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行了. 但是要判断命题“若 ,则 ”是真命题,就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 . 有时直接验证这一点并不是一件容易的事.
例题 5
例 5 设 . 证明: 若 是偶数,则 也是偶数.
例题 6
例 6 设 . 证明: 若 ,则 或 .
例题 7
例 7 证明: 是无理数.
例 7 的证明是历史上著名的一个反证法证明.
练习 1.2(3)
练习1.2(3) · 1
- 设 . 证明: 若 是奇数,则 是奇数.
练习1.2(3) · 2
- 证明: 对于三个实数 ,若 ,则 或 .
习题 1.2
A 组
习题1.2A · 1
- 判断下列语句是否为命题:
(1)有的正方形是三角形；
(2)任意一个三角形的内角和都为 ；
(3)1 是自然数吗?
(4)3>π；
(5) ,且 .
习题1.2A · 2
- 判断下列命题的真假, 并说明理由:
(1)如果 都是奇数，那么 是偶数；
(2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形;
(3)如果 ，那么 .
习题1.2A · 3
- 如果 为实数,设 中至少有一个为 0 ; . 那么 ___ ___ ___ . (用符号“ ”“ ”或 “⇔”填空)
习题1.2A · 4
- 下列各组中, 是 的什么条件?
(1) :四边形 的四条边等长， :四边形 是正方形；
(2) 与 全等， 与 的周长相等，
(3) 是 2 的倍数， 是 6 的倍数；
(4) 集合 集合 ；
(5) .
习题1.2A · 5
- 已知 都是自然数,试判断“ 是偶数”与“ 都是偶数”是否等价,并说明理由.
习题1.2A · 6
- 证明: “四边形 是平行四边形” 是“四边形 的对角线互相平分”的充要条件.
B 组
习题1.2B · 1
- 判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若 ，则 ；
(2)若 ,则关于 的方程 的解为 .
习题1.2B · 2
- 已知 为实数. 写出关于 的方程 至少有一个实根的一个充要条件、一个充分非必要条件和一个必要非充分条件.
习题1.2B · 3
- 若 ,则 是 的 ( )
A. 充分非必要条件; B. 必要非充分条件;
C. 充要条件; D. 既非充分又非必要条件.
习题1.2B · 4
- 已知 或 或 .
(1)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.