章末阅读、内容提要与复习题.

圆锥曲线是椭圆(包括圆)、双曲线和抛物线的总称，它们都可以由平面在圆锥上截得. 圆锥曲线的方程都是二元二次方程.

1. 圆

(1)平面上到一定点的距离等于定长(大于零)的点的轨迹，叫做圆.

(2)圆的标准方程是 ，其中 是圆心坐标， 为圆的半径.

(3)圆的一般方程是 .

(4)直线与圆有三种位置关系:相交、相切与相离. 判断直线与圆的位置关系除了比较圆心到直线的距离和半径的大小外，还可以通过求解联立方程组 并讨论其解的个数来解决.

(5)两个圆的位置关系，可以通过比较圆心距与两圆半径的大小来判断两圆内含、内切、相交、外切与外离；也可以通过联立方程组 并讨论其解的个数来判断两圆相离、相切与相交.

2. 椭圆

(1)平面上到两个定点 、 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆.

(2)椭圆的焦点在 轴上时，其标准方程是 ；椭圆的焦点在 轴上时，其标准方程是 .

(3)椭圆有两条对称轴，椭圆的扁平程度取决于其离心率 ，其中 .

3. 双曲线

(1)平面上到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线.

(2)双曲线的焦点在 轴上时，其标准方程是 ；双曲线的焦点在 轴上时,其标准方程是 .

(3)双曲线 有两条对称轴，其离心率 ，其中 ，并有两条渐近线 .

(1)平面上到一个定点 和到一条定直线 不在 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

(2)顶点在坐标原点的抛物线，焦点在 轴的正、负半轴时，其标准方程分别为 ; 焦点在 轴的正、负半轴时,其标准方程分别为 .

(3)抛物线有且只有一条对称轴，离心率 .

*5. 曲线与方程

(1)曲线 的方程 满足下列两个条件:

① 曲线 上的点的坐标都是方程 的解;

② 以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点.

(2)平面上的曲线也可以用参数方程 来表示，其中 在一定范围内变动. 如能消去参数 ，可以转化为普通方程.

(3)与平面直角坐标系一样，极坐标系也可以确定平面上点的位置，建立平面曲线的极坐标方程 ,其中 是极径, 为极角.

公元前 4 世纪，古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)为了解决倍立方问题发现了圆锥曲线. 他用垂直于母线的平面去截取顶角分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥, 得到三种曲线, 梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线, 今称椭圆、抛物线和双曲线. 但没有史料记载梅内克缪斯发现这三种圆锥曲线的具体方法.

梅内克缪斯在发现圆锥曲线时, 并不知道圆锥曲线的更多性质. 其后, 亚里斯塔欧 (Aristaeus)著有《立体轨迹》5卷，而“立体轨迹”(solid loci)即指圆锥曲线；欧几里得 (Euclid)著《圆锥曲线》4 卷. 这两部著作对圆锥曲线有更深入系统的论述, 可惜都失传了.

相传欧几里得在另一部失传的几何著作《面轨迹》(The Surface-Loci)中不加证明地给出过关于圆锥曲线的如下重要命题:

到定点与到定直线的距离之比等于给定比的点的轨迹是圆锥曲线. 当给定比小于 1 时, 它是椭圆; 当给定比等于 1 时, 它是抛物线; 当给定比大于 1 时, 它是双曲线.

亚历山大时期数学家帕普斯(Pappus)给出并证明了上述命题.

阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》(Conics)是数学历史上最重要的圆锥曲线专著. 此书集前人之大成，且提出很多新的性质. 在这部著作中，阿波罗尼斯推广了梅内克缪斯的方法， 利用一般的斜圆锥来获得圆锥曲线. 阿波罗尼斯引入了圆锥曲线的新名称 “亏曲线” ( * zháwı¡q )、“齐曲线”( * πaραβολη)与“超曲线”( * πaρβολη )，取代在他之前使用的冗长术语 “锐角圆锥的截线”“直角圆锥的截线”与“钝角圆锥的截线”. 阿波罗尼斯的三个希腊文单词演变成了现在通用的专有名词 ellipse、parabola 与 hyperbola(以英语为例)，即中文的椭圆、抛物线与双曲线.

明清之际, 西方圆锥曲线的零星知识传入中国. 中国数学家李善兰与英国人艾约瑟 (J. Edkins)根据西方有关论著合译了《圆锥曲线说》三卷(1856)，作为西方力学著作《重学》 的附录出版. 在李善兰与英国人伟烈亚力(A. Wylie)合译的微积分课本《代微积拾级》 (1859)中, 也涉及许多圆锥曲线的知识. 那时所用的译名如椭圆、抛物线、双曲线等沿用至今.