章末阅读、内容提要与复习题.

文艺复兴以来，生产力的发展对科学技术提出了全新的要求. 到 16 世纪，对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题. 这迫切需要一种新的数学工具, 从而诞生了解析几何.

有别于传统的纯几何方法, 解析几何将数与形有机地结合起来, 形成一门新的学科. 它的基本思想是在平面上引进 “坐标” 的概念, 并借助于平面上的点和有序实数对之间所建立的一一对应关系, 将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来. 于是几何问题便可归结为代数问题, 反过来又可通过代数问题的研究发现新的几何结果.

借助于坐标来确定点的位置的思想在古代曾经出现过, 古希腊数学家阿波罗尼斯 (Apollonius)关于圆锥曲线性质的推导, 阿拉伯数学家通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究, 都蕴含着这种思想.

解析几何的建立主要归功于两位 17 世纪的法国数学家笛卡儿 (R. Descartes) 和费马 (P. de Fermat). 他们工作的出发点不同, 却殊途同归.

1637 年笛卡儿出版了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录，《几何学》是其中之一, 解析几何的发明就在这篇附录中. 笛卡儿的出发点是一个著名的古希腊数学问题: 帕普斯问题. 笛卡儿解决了一些特殊的情形, 由此建立起了历史上第一个斜坐标系. 在 《几何学》中, 笛卡儿也给出了直角坐标系的例子. 基于坐标系和曲线方程的思想, 笛卡儿还提出了一系列新颖的想法. 例如, 曲线的次数与坐标轴的选择无关, 利用曲线的方程表示求出两条不同曲线的公共点, 曲线的分类, 等等.

与笛卡儿不同, 费马工作的出发点是想恢复已失传的阿波罗尼斯的《论平面轨迹》, 为此, 他写成《平面与立体轨迹引论》(1629)一书，其中清晰地阐述了自己的解析几何思想. 费马在书中写道:“在最后的方程中出现两个未知量时，我们就得到一个轨迹，其中一个未知量的一端画出了一条直线或曲线. ”这就是说，用代数方法解几何问题时，最后得到含两个未知量的方程, 所得结果表示一轨迹 (直线或曲线). 因此, 费马以研究古希腊轨迹问题为目的, 以韦达(F. Viete)的符号代数为工具, 通过建立只含一条轴的坐标系, 将二元代数方程与几何曲线对应起来, 导引着解析几何的诞生.

解析几何的发明具有伟大的意义. 它使得原先以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学, 从而为微积分的创立搭起数学舞台; 它使得代数和几何融合为一体, 实现了几何图形的代数化; 经由代数和几何的相互转化, 它使数学家得以摆脱现实的束缚, 从三维空间进入高维空间，探索更深层次的概念.

解析几何为我们打开了一扇通往全新数学世界的大门. 在解析几何诞生的背后, 蕴藏诸多有趣的数学故事, 充分体现了数学的人文精神.

1. 与平面直角坐标中直线有关的重要的量

(1)倾斜角:当直线 与 轴相交于一点 时，将 轴绕点 沿逆时针方向旋转到与 重合时所转过的最小正角 称为直线 的倾斜角; 当 平行于 轴或与 轴重合时, 规定倾斜角 . 于是，倾斜角的取值范围为 .

(2)斜率:当直线 不与 轴垂直时，定义它的斜率为 ，其中 为 的倾斜角; 当直线 与 轴垂直时,斜率不存在. 过两点 与 的直线的斜率是 .

(3)截距:直线 与 轴交点的纵坐标称为直线 在 轴上的截距；直线 与 轴交点的横坐标称为直线 在 轴上的截距.

2. 直线的各种形式的方程

(1)直线的点斜式方程:过点 且斜率为 的直线的方程是 .

(2)直线的斜截式方程:斜率为 且在 轴上的截距为 的直线的方程是 .

(3)直线的两点式方程:经过两点 、 和 写 的直线的方程是 .

(4)直线的点法式方程:过点 且一个法向量为 的直线的方程是

(5)直线的一般式方程:直线一般形式的方程是 ，其中 、 不同时为零. 这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量 .

3. 两条直线的位置关系

给定两条直线 与 不同时为零, 不同时为零).

(1)直线相交、平行与重合: 与 相交、平行或重合取决于方程组 解的情况:

① 与 重合 方程组有无数组解 存在 ，使得 且 ；

② 方程组无解 存在 ，使得 但 ；

③ 与 相交 方程组有唯一的解 .

(2)两条直线垂直的充要条件: ; 如果两条直线的斜率 与 都存在,那么 .

4. 点到直线的距离:点 到直线 不同时为零)的距离为