# 平面直角坐标系中的直线 ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_0_1_2_1653_1182_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_0_1_2_1653_1182_0.jpg) 在本册教材的这一章和下一章中, 我们将学习解析几何的初步知识与方法. 解析几何的研究思路是通过引进坐标系, 建立“点”与“数” 之间的一一对应, 从而用代数的观点与方法解决几何问题. 几何中, 与直线相关的问题主要包括: 点与直线、直线与直线之间的位置关系, 以及由直线组成的平面图形的性质与度量. 虽然其中的许多问题我们并不陌生, 用以往学过的平面几何的方法也能解决, 但本章所采取的是一种新的思路和方法, 它具有一般性和普适性. 通过学习, 可以帮助我们理解解析几何的一些基本特点. ## 1.1 直线的倾斜角与斜率 设平面直角坐标系中有一条直线 $l$ ,我们如何确定该直线在坐标系中的位置并把它描述出来呢? 在平面直角坐标系中, 已经有了两条互相垂直的直线, 即两条坐标轴,我们只要能确定直线 $l$ 与其中一条坐标轴的相对位置,就能描述出该直线在坐标系中的位置. 不妨先设直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ,如图 1-1-1 所示. 将 $x$ 轴绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转到与 $l$ 重合时所转过的最小正角 $\theta$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角 (angle of inclination). 显然, $0 < \theta < \pi$ . 当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时, 规定倾斜角为 0,这样,直线 $l$ 的倾斜角的取值范围就可扩大为 $0 \leq \theta < \pi$ ,即 $\theta \in \lbrack 0,\pi )$ . 特别地,当倾斜角 $\theta = \frac{\pi }{2}$ 时,直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直. ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_215_617_290_293_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_215_617_290_293_0.jpg) 图 1-1-1 如果知道了直线 $l$ 的倾斜角以及它经过的一个确定的点,那么就准确地给出了直线 $l$ 在坐标系中的位置. 由于倾斜角难以直接用坐标表示出来, 而倾斜角的三角函数与坐标的关系更为密切. 为此,我们引进一个新的概念: 当直线 $l$ 的倾斜角 $\theta \neq \frac{\pi }{2}$ 时, 定义 $\tan \theta$ 为直线 $l$ 的斜率 (slope),常用字母 $k$ 表示,即 $k = \tan \theta$ ; 当 $\theta = \frac{\pi }{2}$ ,即 $l$ 与 $x$ 轴垂直时,我们说直线 $l$ 的斜率不存在. 我们来看如何用坐标表示一条直线的斜率. 设直线 $l$ 经过不同的两点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ . 当 ${x}_{1} = {x}_{2}$ 时,直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直 (图 1-1-2),此时,直线 $l$ 的倾斜角 $\theta = \frac{\pi }{2}$ , 斜率不存在. ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_563_1754_290_292_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_563_1754_290_292_0.jpg) 图 1-1-2 ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_872_1748_284_293_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_872_1748_284_293_0.jpg) 图 1-1-3 ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_1176_1748_292_293_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_1_1176_1748_292_293_0.jpg) 图 1-1-4 当 ${x}_{1} \neq {x}_{2}$ 时,不妨设 ${x}_{1} < {x}_{2}$ ,有以下 3 种情况: (1)若 ${y}_{1} < {y}_{2}$ ，则 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 为锐角. 如图 1-1-3，作直角三角形 ${ABC}$ ,可得 $k = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ . (2)若 ${y}_{1} = {y}_{2}$ ，则直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合，所以 $l$ 的倾斜角 $\theta = 0$ ,斜率也等于 0,这就是 (1) 结果中令 ${y}_{1} = {y}_{2}$ 所得的值. (3)若 ${y}_{1} > {y}_{2}$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 为钝角. 如图 1-1-4， 同样作直角三角形 ${ABC}$ ,则 $\angle {ABC} = \pi - \theta$ . 在直角三角形 ${ABC}$ 中,因为 $\tan \angle {ABC} = \frac{\left| CA\right| }{\left| CB\right| } = \frac{{y}_{1} - {y}_{2}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ ,所以 $\tan \left( {\pi - \theta }\right) = \; \frac{{y}_{1} - {y}_{2}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ ,由此得 $\tan \theta = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ ,即 $k = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ ,这与(1)中的结果相同. 综上所述, 可以得到: 在平面直角坐标系中, 经过不同的两点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \left( {{x}_{1} \neq {x}_{2}}\right)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $$ k = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}. $$ 例 1 已知直线 $l$ 经过点 $A\left( {-1, - 1}\right)$ 、 $B\left( {2,3}\right)$ ，求它的斜率与倾斜角. 解 设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ,倾斜角为 $\theta$ ,则 $$ k = \tan \theta = \frac{3 - \left( {-1}\right) }{2 - \left( {-1}\right) } = \frac{4}{3}, $$ 从而 $\theta = \arctan \frac{4}{3}$ . 例 2 求一次函数 $y = {kx} + b\left( {k \neq 0}\right)$ 所表示直线的斜率. 解 设一次函数 $y = {kx} + b\left( {k \neq 0}\right)$ 的图像是直线 $l$ . 在函数表达式中, $x$ 的值分别取 ${x}_{1} = 0$ 及 ${x}_{2} = 1$ ,得 ${y}_{1} = b$ 及 ${y}_{2} = k + b$ . 所以, $A\left( {0, b}\right)$ 与 $B\left( {1, k + b}\right)$ 是直线 $l$ 上的两点. 依据斜率公式, 得直线 $l$ 的斜率为 $$ \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}} = \frac{\left( {k + b}\right) - b}{1 - 0} = k. $$ 例 3 已知三点 $A\left( {-1,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3,4}\right) \text{ 、 }C\left( {x, y}\right)$ 共线,求点 $C$ 的坐标 $x$ 与 $y$ 所满足的关系式. 解 因为 $A\text{ 、 }B$ 两点的横坐标不同,所以直线 ${AB}$ 的斜率是 $$ k = \frac{4 - 2}{3 - \left( {-1}\right) } = \frac{1}{2}. $$ --- 一次函数 $y = \; {kx} + b\left( {k \neq 0}\right)$ 的一次项系数 $k$ 就是其对应直线的斜率. --- 又由题设知,点 $C$ 在直线 ${AB}$ 上,即 ${AB}$ 与 ${AC}$ 是同一条直线. 当点 $C$ 与点 $A$ 不重合时,用 $A\text{ 、 }C$ 两点的坐标表示斜率得 $$ k = \frac{y - 2}{x - \left( {-1}\right) } = \frac{y - 2}{x + 1}, $$ 此时 $x$ 与 $y$ 要满足的关系式是 $\frac{y - 2}{x + 1} = \frac{1}{2}$ ,变形得 $$ y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right) . $$ 当点 $C$ 与点 $A$ 重合时,点 $C$ 的坐标也满足上式. 所以, $x$ 与 $y$ 满足的关系式是 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ . ### 练习 1.1 1. 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角: (1) $P\left( {-2,2}\right)$ 、 $Q\left( {2, - 2}\right)$ ； (2) $P\left( {5,\sqrt{3}}\right)$ 、 $Q\left( {2,2\sqrt{3}}\right)$ . 2. 在平面直角坐标系中有一个边长为 1 的正方形 ${OABC}$ ,其中 $O$ 为坐标原点,点 $A$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上,点 $B$ 在第一象限. 求直线 ${OB}$ 和 ${AC}$ 的斜率. 3. 证明: 在平面直角坐标系中, 如果两条直线平行, 那么它们的倾斜角相等. ### 习题 1.1 #### A 组 ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_3_1191_1616_287_295_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_3_1191_1616_287_295_0.jpg) (第 1 题) 1. 如图,在平面直角坐标系中,直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 垂直,垂足为 $A$ , ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 与 $x$ 轴的交点分别为 $B\text{ 、 }C,\angle {ABC} = \frac{\pi }{6}$ . 试分别求直线 ${l}_{1}$ 、 ${l}_{2}$ 的倾斜角和斜率. 2. 求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角: (1) $P\left( {1,2}\right)$ 、 $Q\left( {2, - 1}\right)$ ； (2) $M\left( {2,1}\right)$ 、 $N\left( {a, - 2}\right)$ ，其中实数 $a$ 是常数. 3. 根据下列直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 的取值范围,计算斜率 $k$ 的取值范围: (1) $\theta \in \left\lbrack {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}}\right\rbrack$ ； ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_4_1175_351_272_261_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_4_1175_351_272_261_0.jpg) (第 5 题) (2) $\theta \in \left( {\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3}}\right)$ . 4. 已知三个不同的点 $A\left( {2, a}\right) \text{ 、 }B\left( {a + 1,{2a} + 1}\right) \text{ 、 }C\left( {-4,1 + a}\right)$ 在同一条直线上,求实数 $a$ 的值及该直线的斜率. 5. 如图,已知点 $A\left( {2,4}\right) \text{ 、 }B\left( {-1, - 1}\right) \text{ 、 }C\left( {4,1}\right)$ ,过点 $B$ 的直线 $l$ 与线段 ${AC}$ 相交. 求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围. #### B 组 1. 已知常数 $\theta \in \lbrack 0,\pi )$ ,试用 $\theta$ 表示经过 $P\left( {0,0}\right) \text{ 、 }Q\left( {\sin \theta ,\cos \theta }\right)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角. 2. 设直线 ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 的倾斜角分别为 ${\theta }_{1}\text{ 、 }{\theta }_{2}$ ,求证: ${l}_{1} \bot {l}_{2}$ 的充要条件是 $\left| {{\theta }_{1} - {\theta }_{2}}\right| = \frac{\pi }{2}$ . 3. 已知直线 $l$ 在平面直角坐标系中的斜率是 $k$ ,向量 $\overrightarrow{a}$ 在直线 $l$ 上. 求向量 $\overrightarrow{a}$ 在 $x$ 轴上的投影向量. ## 1.2 直线的方程 ### 1 几种特殊形式的直线方程 本章 1.1 节的例 3 中我们证明了与点 $A\left( {-1,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3,4}\right)$ 共线的点 $C\left( {x, y}\right)$ 的坐标一定满足关系式 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ . 反过来, 也容易验证: 如果点 $C\left( {x, y}\right)$ 的坐标满足关系式 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ , 那么点 $C\left( {x, y}\right)$ 一定与点 $A\left( {-1,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3,4}\right)$ 共线. 这就是说, 经过点 $A\left( {-1,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3,4}\right)$ 的直线 ${AB}$ 上的点正好是以方程 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ 的解作为坐标的点. 在这种情况下,我们说 “直线 ${AB}$ 的方程是 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ ”,或者说 “方程 $y - 2 = \frac{1}{2}\left( {x + 1}\right)$ 表示了直线 ${AB}$ ”. 可见,直线 ${AB}$ 的方程是一个关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程. 本节中我们将看到,任何直线的方程都是关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程,反过来,任何关于 $x$ 与 $y$ 的二元一次方程都表示一条直线. 而且, 这个方程实质上是唯一的, 即同一直线的不同方程通过简单变形可以互化. 然而, 不同形式的直线方程关注直线的不同几何要素, 在解决具体问题时也会有各自不同的作用. #### (1)直线的点斜式方程 现在我们讨论, 在平面直角坐标系中, 当直线的斜率存在时,如何通过直线上的一个点 $M$ 和直线的斜率 $k$ 来求直线的方程. ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_5_238_1773_244_268_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_5_238_1773_244_268_0.jpg) 图 1-2-1 如图 1-2-1,在平面直角坐标系中,设 $P\left( {x, y}\right)$ 是过点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 上的任意一点. 当点 $P\left( {x, y}\right)$ 与点 $M$ 不重合时,由 $k = \frac{y - {y}_{0}}{x - {x}_{0}}$ ,可得 $$ y - {y}_{0} = k\left( {x - {x}_{0}}\right) . $$ ① 当点 $P\left( {x, y}\right)$ 与点 $M$ 重合时,点 $P$ 的坐标就是 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ ,同样满足方程①. 这样,直线 $l$ 上任意一点的坐标 $\left( {x, y}\right)$ 都满足方程①. 反之,可以证明以方程①的解为坐标的点一定在这条直线 $l$ 上: 若点 $Q$ 的坐标 $\left( {{x}^{\prime },{y}^{\prime }}\right)$ 满足方程①,即 ${y}^{\prime } - {y}_{0} = k\left( {{x}^{\prime } - {x}_{0}}\right)$ 成立. 当 ${x}^{\prime } \neq {x}_{0}$ 时,直线 ${MQ}$ 经过点 $M$ 且斜率 ${k}_{MQ} = \frac{{y}^{\prime } - {y}_{0}}{{x}^{\prime } - {x}_{0}} = k$ , 于是直线 ${MQ}$ 与 $l$ 重合,从而点 $Q$ 在 $l$ 上; 当 ${x}^{\prime } = {x}_{0}$ 时,有 ${y}^{\prime } = {y}_{0}$ ,点 $Q$ 与点 $M$ 重合,点 $Q$ 也在 $l$ 上. 这就证明了方程①是经过定点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线的方程. 这种形式的直线方程叫做直线的点斜式方程. --- 本章 1.1 节中例 3 得到的方程就是一个点斜式方程. --- 在点斜式方程①中，如果把定点选成直线与 $y$ 轴的交点 $\left( {0, b}\right)$ ,那么方程改写为 $$ y = {kx} + b. $$ ② ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_6_1142_1054_288_278_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_6_1142_1054_288_278_0.jpg) 图 1-2-2 其中，数值 $b$ 称为该直线在 $y$ 轴上的截距 (图1-2-2). 当然，直线在 $y$ 轴上的截距本质上是确定了直线上的一点 $\left( {0, b}\right)$ ,所以给定直线的斜率和在 $y$ 轴的截距,就唯一地确定了这条直线. 方程②称为直线的斜截式方程. 当 $k \neq 0$ 时，它表示 $y$ 是 $x$ 的一次函数,这个函数图像也就是我们所讨论的直线. 当 $k = 0$ 时,该直线与 $x$ 轴平行或重合,其方程为 $y = b$ . 我们也可以定义直线在 $x$ 轴上的截距,它就是直线与 $x$ 轴交点 $\left( {a,0}\right)$ 的横坐标 $a$ (图 1-2-2). 如果直线与 $y$ 轴平行或重合,它的斜率与在 $y$ 轴上的截距都不存在,但此时直线与 $x$ 轴垂直,设垂足为 $\left( {a,0}\right)$ ,那么该直线在 $x$ 轴上的截距为 $a$ ,且直线上所有点的横坐标都是 $a$ ,从而直线的方程是 $x = a$ . 例 1 求倾斜角是 $\frac{2\pi }{3}$ 且在 $x$ 轴上的截距是 -3 的直线 $l$ 的点斜式方程. 解 因为 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是 -3,所以 $l$ 经过点 $A\left( {-3,0}\right)$ . 因为 $l$ 的斜率 $k = \tan \frac{2\pi }{3} = - \sqrt{3}$ ,所以 $l$ 的点斜式方程是 $y = \; - \sqrt{3}\left( {x + 3}\right)$ . 例 2 已知直线 $l$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 -2、 4, 求直线 $l$ 的方程,并判断点 $A\left( {2,6}\right)$ 是否在直线 $l$ 上. 解 因为 $l$ 在 $y$ 轴上的截距是 4 且斜率 $k$ 存在,所以可设 $l$ 的方程为 $y = {kx} + 4$ . 又因为 $l$ 经过点 $\left( {-2,0}\right)$ ,所以 $- {2k} + 4 = 0$ , 解得 $k = 2$ . 所以, $l$ 的方程为 $y = {2x} + 4$ . 因为 $6 \neq 2 \times 2 + 4$ ,所以点 $A\left( {2,6}\right)$ 不在直线 $l$ 上. ### 练习 1.2(1) 1. 求经过点 $P\left( {-2,3}\right)$ 且斜率为 -1 的直线 $l$ 的点斜式方程. 2. 求倾斜角是 $\frac{5\pi }{6}$ 且在 $x$ 轴上的截距为 -1 的直线 $l$ 的点斜式方程. 3. 求经过点 $A\left( {2,3}\right)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 的方程. 4. 已知直线 $l$ 经过点 $M\left( {-2, - 1}\right)$ 且在 $x$ 轴、 $y$ 轴上截距相等,求 $l$ 的方程. #### (2)直线的两点式方程 两点确定一条直线, 因此, 只要给定平面内两个点的坐标, 就可以写出过这两点的直线的方程. 如果两点的横坐标或纵坐标相同, 那么这条直线与某条坐标轴平行或重合, 这种情况前面已经讨论过了. 现在考虑经过两点 $M\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \text{ 、 }N\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ ,并且不与任一坐标轴平行或重合的直线 $l$ ,可知 ${x}_{1} \neq {x}_{2}$ ,且 ${y}_{1} \neq {y}_{2}$ ,直线 $l$ 的斜率是 $k = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ ,于是该直线的点斜式方程为 $y - {y}_{1} = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}\left( {x - {x}_{1}}\right)$ , 整理成关于两个坐标对称的形式, 得 --- 这就是本章 1.1 节中例 3 的解题过程。 --- $$ \frac{y - {y}_{1}}{{y}_{2} - {y}_{1}} = \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}. $$ ③ --- 直线的两点式方程也可以写成 $\left( {{x}_{2} - {x}_{1}}\right) \left( {y - {y}_{1}}\right) = \; \left( {{y}_{2} - {y}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{1}}\right) .$ 它对直线平行或重合于坐标轴的情形也适用. --- #### 方程③称为直线的两点式方程. 例 3 已知直线 $l$ 经过点 $A\left( {2,1}\right) \text{ 、 }B\left( {4,4}\right)$ ,求 $l$ 的方程. ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_7_215_1776_290_259_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_7_215_1776_290_259_0.jpg) 图 1-2-3 解 直接把点 $A\text{ 、 }B$ 的坐标代入直线的两点式方程,得 $$ \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - 2}{4 - 2} $$ 化简, $l$ 的方程可写为 $y = \frac{3}{2}x - 2$ . 例 4 如图 1-2-3, $\bigtriangleup {ABC}$ 三个顶点的坐标分别为 $A\left( {-2, - 2}\right) \text{ 、 }B\left( {5,0}\right) \text{ 、 }C\left( {-2,3}\right)$ . 分别求边 ${AC}$ 所在直线的方程与边 ${AB}$ 上的中线 ${CD}$ 所在直线的方程. 解 因为点 $A$ 与点 $C$ 的横坐标相等,所以 ${AC}$ 所在直线与 $x$ 轴垂直,从而边 ${AC}$ 所在直线的方程为 $x = - 2$ . 设点 $D$ 的坐标为 $\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ ,则 $\left\{ \begin{array}{l} {x}_{0} = \frac{-2 + 5}{2} = \frac{3}{2}, \\ {y}_{0} = \frac{-2 + 0}{2} = - 1. \end{array}\right.$ 所以, 点 $D$ 的坐标为 $\left( {\frac{3}{2}, - 1}\right)$ . 又因为点 $C$ 的坐标为 $\left( {-2,3}\right)$ ,所以 ${CD}$ 所在直线的两点式方程是 $\frac{y - 3}{-1 - 3} = \frac{x + 2}{\frac{3}{2} + 2}$ ,化简,得 $y = - \frac{8}{7}x + \frac{5}{7}$ . 所以， $\bigtriangleup {ABC}$ 中边 ${AB}$ 上的中线 ${CD}$ 所在直线的方程为 $y = - \frac{8}{7}x + \frac{5}{7}.$ 例 5 已知直线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A\text{ 、 }B$ 两个不同的点且 $\left| {OA}\right| = \left| {OB}\right|$ ,其中 $O$ 是坐标原点; 又点 $C\left( {1, - 2}\right)$ 在直线 $l$ 上. 求直线 $l$ 的方程. 解 设 $A\text{ 、 }B$ 两点的坐标分别为 $\left( {a,0}\right) \text{ 、 }\left( {0, b}\right)$ . 因为 $\left| {OA}\right| = \; \left| {OB}\right|$ ,所以 $b = \pm a$ 且 $a \neq 0$ . 当 $b = a$ 时,直线 $l$ 的方程为 $\frac{y - 0}{a - 0} = \frac{x - a}{0 - a}$ ,即 $y = - \left( {x - a}\right)$ . 因为点 $C\left( {1, - 2}\right)$ 在直线 $l$ 上,所以 $- 2 = - \left( {1 - a}\right)$ ,得 $a = - 1$ . 所以,直线 $l$ 的方程为 $y = - x - 1$ . 同理,当 $b = - a$ 时,可得直线 $l$ 的方程为 $y = x - 3$ . 所以,直线 $l$ 的方程为 $y = - x - 1$ 或 $y = x - 3$ . ### 练习 1.2(2) 1. 求经过点 $A\left( {-2,3}\right) \text{ 、 }B\left( {0,6}\right)$ 的直线 $l$ 的两点式方程. 2. 已知三个不同的点 $A\left( {3,1}\right) \text{ 、 }B\left( {a + 1,3}\right) \text{ 、 }C\left( {{2a} - 1,3 - a}\right)$ 都在一条直线 $l$ 上,求实数 $a$ 的值和直线 $l$ 的方程. 3. 在平面直角坐标系中, $O$ 是坐标原点. 已知 $A\text{ 、 }B$ 两点的坐标分别为 $\left( {4,0}\right)$ 、 $\left( {0,3}\right)$ ,分别求 $\bigtriangleup {ABO}$ 的三条边上的中线所在直线的方程. ### 2 直线的一般式方程 由前面的讨论可以看到, 不管哪种形式的直线方程都是关于 $x\text{ 、 }y$ 的二元一次方程,因此都可以化为如下二元一次方程的一般形式 $$ {ax} + {by} + c = 0\text{ ( }a\text{ 、 }b\text{ 不同时为零). } $$ ④ 反过来, 二元一次方程④是否都表示一条直线呢? 若 $b \neq 0$ ,方程④化为 $y = - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ ,它表示斜率为 $- \frac{a}{b}$ , 在 $y$ 轴上的截距为 $- \frac{c}{b}$ 的直线; 若 $b = 0$ ,则 $a \neq 0$ ,方程④化为 $x = - \frac{c}{a}$ ,它表示过点 $\left( {-\frac{c}{a},0}\right)$ 且与 $x$ 轴垂直的直线. 可见,只要 $a\text{ 、 }b$ 不同时为零,方程④都表示平面直角坐标系中的一条直线. 我们把方程④称为直线的一般式方程. 例 6 在平面直角坐标系中, 根据所给直线方程, 作出相应图形,并求出该直线的斜率和在 $y$ 轴上的截距: (1) ${l}_{1} : {{2y} + 1} = 0$ ； (2) ${l}_{2} : x + {2y} + 1 = 0$ . ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_9_217_1405_289_293_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_9_217_1405_289_293_0.jpg) 图 1-2-4 解 (1) 因为 ${l}_{1} : y = - \frac{1}{2}$ ,所以该直线过点 $B\left( {0, - \frac{1}{2}}\right)$ 且平行于 $x$ 轴 (图 1-2-4). 所以, ${l}_{1}$ 的斜率为 0 且在 $y$ 轴上的截距是 $- \frac{1}{2}$ . (2)在方程 $x + {2y} + 1 = 0$ 中，令 $y = 0$ ，得 $x = - 1$ ；令 $x = 0$ ， 得 $y = - \frac{1}{2}$ . 这就得到直线 ${l}_{2}$ 上两个不同的点 $A\left( {-1,0}\right) \text{ 、 }B\left( {0, - \frac{1}{2}}\right)$ , 连接 $A\text{ 、 }B$ 两点的直线即为直线 ${l}_{2}$ (图 1-2-4). 因为方程 $x + {2y} + 1 = 0$ 可化为 $y = - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ ,所以直线 ${l}_{2}$ 的斜率是 $- \frac{1}{2}$ ,在 $y$ 轴上的截距是 $- \frac{1}{2}$ . 例 7 已知直线 $l$ 的方程为 ${ax} + y + a + 1 = 0\left( {a \in \mathbf{R}}\right)$ ,求证: 无论 $a$ 取何值时,直线 $l$ 都经过一个定点,并写出该定点的坐标. 解 由 ${ax} + y + a + 1 = 0$ ,变形得 $y + 1 = - a\left( {x + 1}\right)$ . 这是直线 $l$ 的点斜式方程, $- a$ 是 $l$ 的斜率,点 $\left( {-1, - 1}\right)$ 是 $l$ 经过的定点. 所以，无论 $a$ 取何值时，直线 $l$ 都经过一个定点，该定点的坐标为 $\left( {-1, - 1}\right)$ . ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_10_1144_506_286_291_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_10_1144_506_286_291_0.jpg) 图 1-2-5 例 8 如图 1-2-5,直线 $l : \left( {m + 1}\right) x + {my} + 2 - m = 0$ 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限. 求实数 $m$ 的取值范围. 解 当 $m = 0$ 时,直线 $l$ 的方程为 $x = - 2$ ,它只经过第二、 第三象限,不符题意,所以 $m \neq 0$ . 于是,直线 $l$ 的方程可化为 $$ y = - \frac{m + 1}{m}x + \frac{m - 2}{m}. $$ 因为直线 $l$ 经过第一、第二与第四象限,所以其斜率小于 0, 且在 $y$ 轴上的截距大于 0,则 $$ \left\{ \begin{array}{l} - \frac{m + 1}{m} < 0, \\ \frac{m - 2}{m} > 0, \end{array}\right. $$ 解得 $m < - 1$ 或 $m > 2$ . 所以,实数 $m$ 的取值范围是 $\left( {-\infty , - 1}\right) \cup \left( {2, + \infty }\right)$ . ### 练习 1.2(3) 1. 求下列方程所表示直线的斜率与倾斜角: (1) $x = 1$ ； (2) $x + y - 1 = 0$ ； (3) $x + {2y} - 1 = 0$ ； (4) $y = 1$ . 2. 求证: 无论实数 $m$ 取何值,直线 $l : x + \left( {m + 1}\right) y + 1 = 0$ 都经过一个定点. 3. 已知直线 $l : {kx} + {2y} + 3 - k = 0$ 经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，求实数 $k$ 的取值范围. 例 9 已知点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)$ 与 $B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ 是直线 $l : {ax} + {by} + c = 0$ ( $a\text{ 、 }b$ 不同时为零) 上任意两点,且向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ . 求证: 向量 $\overrightarrow{n}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 垂直. 证明 因为点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)$ 与 $B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ 在直线 $l$ 上,所以 $a{x}_{1} + \; b{y}_{1} + c = 0$ 且 $a{x}_{2} + b{y}_{2} + c = 0$ . 两式相减,得 $a\left( {{x}_{1} - {x}_{2}}\right) + \; b\left( {{y}_{1} - {y}_{2}}\right) = 0$ ,即 $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ ,所以向量 $\overrightarrow{n}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 垂直. 例 9 中的向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 与直线 $l$ 上的任意一个向量都垂直. 一般地，与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量(normal vector). 于是，例 9 可以总结为如下结论: 以直线 $l$ 的一般式方程 ${ax} + {by} + c = 0$ ( $a\text{ 、 }b$ 不同时为零)的一次项系数为坐标的向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 是 $l$ 的一个法向量. 如果知道了直线 $l$ 上的一个点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 和 $l$ 的一个法向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ ,那么平面上一点 $P\left( {x, y}\right)$ 在直线 $l$ 上的充要条件是 $\overrightarrow{n} \bot \overrightarrow{MP}$ ,或用向量数量积写成 $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{MP} = 0$ . 因为向量 $\overrightarrow{MP} = \; \left( {x - {x}_{0}, y - {y}_{0}}\right)$ ,所以平面上一点 $P\left( {x, y}\right)$ 在直线 $l$ 上的充要条件变成了 $$ a\left( {x - {x}_{0}}\right) + b\left( {y - {y}_{0}}\right) = 0. $$ ⑤ 这又给出了直线 $l$ 的一个方程,这个方程称为直线的点法式方程, 它是一个几何意义明确、没有任何附加限制条件的直线方程. 只要令 $c = - a{x}_{0} - b{y}_{0}$ ,直线的点法式方程⑤就化归为一般式方程④了. 例10 已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 的三个顶点的坐标分别是 $A\left( {1,6}\right)$ 、 $B\left( {-1, - 2}\right)$ 与 $C\left( {6,3}\right)$ ,求边 ${BC}$ 上的高 ${AD}$ 所在直线的方程. 解 因为 ${AD} \bot {BC}$ ,所以向量 $\overrightarrow{BC} = \left( {7,5}\right)$ 是 ${AD}$ 所在直线的一个法向量; 又因为直线 ${AD}$ 经过点 $A\left( {1,6}\right)$ ,所以 ${AD}$ 所在直线的点法式方程是 $7\left( {x - 1}\right) + 5\left( {y - 6}\right) = 0$ . 化简,得 $\bigtriangleup {ABC}$ 的高 ${AD}$ 所在直线的方程为 ${7x} + {5y} - {37} = 0$ . 例 11 已知直线 $l$ 经过点 $P\left( {3,2}\right)$ ，且 $\overrightarrow{n} = \left( {m,1 - m}\right)$ 是它的一个法向量. 若 $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积是 2,求实数 $m$ 的值. 解 根据条件写出直线 $l$ 的点法式方程 $$ m\left( {x - 3}\right) + \left( {1 - m}\right) \left( {y - 2}\right) = 0. $$ 化简为 $$ {mx} + \left( {1 - m}\right) y - m - 2 = 0. $$ 如果 $m = 0$ 或 $m = 1$ ,直线 $l$ 与 $x$ 轴或 $y$ 轴平行,这样的直线无法与坐标轴围成三角形,所以 $m \neq 0$ 且 $m \neq 1$ . 在上述方程中分别令 $y$ 与 $x$ 等于零,求得直线 $l$ 在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距分别是 $\frac{m + 2}{m}$ 与 $\frac{m + 2}{1 - m}$ . 所以, $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积为 $$ \frac{1}{2} \times \left| \frac{m + 2}{m}\right| \times \left| \frac{m + 2}{1 - m}\right| = 2, $$ 解得 $m = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{3}$ 或 $m = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{3}$ . --- 如果 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 是直线 $l$ 的一个法向量, 那么,只要 $k$ 是非零实数, $k\overrightarrow{n} = \left( {{ka},{kb}}\right)$ 也是 $l$ 的法向量. --- ### 练习 1.2(4) 1. 写出下列直线的一个法向量: (1) ${2x} - {3y} + 1 = 0$ ； (2) ${3x} + {2y} + 1 = 0$ ； (3) $x + 3 = 0$ ； (4) $y = \frac{1}{2}x - 3$ . 2. 已知直线 $l$ 的方程是 $\left( {a - 3}\right) x + \left( {{2a} + 1}\right) y - 3 = 0$ ,它的一个法向量是 $\overrightarrow{n} = \left( {3,2}\right)$ . 求实数 $a$ 的值. 3. 根据下列条件,求直线 $l$ 的方程: (1) $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 -1，且 $l$ 的一个法向量是 $\overrightarrow{n} = \left( {-1,2}\right)$ ； (2) $l$ 经过点 $\left( {2,3}\right)$ ，且 $l$ 上的任何向量都与向量 $\overrightarrow{a} = \left( {1,2}\right)$ 平行. ### 习题 1.2 #### A 组 1. 已知直线 $l$ 经过点 $P\left( {3,5}\right)$ ，倾斜角为 $\alpha$ 且 $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ . 求直线 $l$ 的点斜式方程. 2. 已知直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 4,倾斜角为 $\alpha$ 且 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ . 求直线 $l$ 的斜截式方程. 3. 求下列直线的斜率与在 $x\text{ 、 }y$ 两坐标轴上的截距: (1) ${l}_{1} : {y + 1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}\left( {x + 1}\right)$ ；___ (2) ${l}_{2} : y = - {3x} + \sqrt{3}$ . 4. 已知直线 $l : y = {kx} + 2$ 经过点 $\left( {1, - 3}\right)$ . (1)求 $l$ 的倾斜角的大小； (2)求 $l$ 在 $x$ 轴上的截距. 5. 直线 $l$ 经过点 $P\left( {-2,1}\right)$ ,在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 $a\text{ 、 }b$ . 已知 $a + b = 4$ ,求直线 $l$ 的方程. 6. 根据给定条件,求下列直线的两点式方程: (1)直线 ${l}_{1}$ 经过点 $A\left( {2,0}\right)$ 、 $B\left( {3,7}\right)$ ； (2)直线 ${l}_{2}$ 与坐标轴的交点分别为 $\left( {3,0}\right) \text{ 、 }\left( {0, - 1}\right)$ . 7. 已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 的三个顶点的坐标分别为 $A\left( {3,8}\right) \text{ 、 }B\left( {3, - 2}\right) \text{ 、 }C\left( {-3,0}\right)$ . (1)求边 ${BC}$ 所在直线的方程； (2)求边 ${BC}$ 上的中线所在直线的方程. 8. 设直线 $l$ 在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距分别是 $a$ 与 $b$ ,且 $a$ 与 $b$ 均不为零. 求证: 直线 $l$ 的方程可以写成 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ . 9. 一个弹簧在弹性限度内挂 $4\mathrm{\;{kg}}$ 的物体时弹簧长度为 ${20}\mathrm{\;{cm}}$ ,挂 $5\mathrm{\;{kg}}$ 物体时弹簧长度为 ${21.5}\mathrm{\;{cm}}$ . 已知在弹性限度内所挂物体的质量 $x$ (单位: $\mathrm{{kg}}$ ) 与弹簧长度 $y$ (单位: $\mathrm{{cm}}$ ) 的关系可以用直线的方程表示，求该直线的方程，并求弹簧自身的长度. 10. 在平面直角坐标系中, 作出下列直线, 并求它们的斜率与倾斜角. (1) ${l}_{1} : {3x} - y - 2 = 0;$ (2) ${l}_{2} : {3x} + {2y} - 1 = 0.$ 11. 设直线 $l$ 的方程是 ${ax} + {by} + c = 0$ ，在下列条件下，求实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足的条件: (1) $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴均相交； (2) $l$ 经过第二、第三、第四象限. 12. 已知直线 $l : {ax} + \left( {4 - {2a}}\right) y - 3 = 0$ ，根据下列条件，求实数 $a$ 的值: (1) $l$ 经过点 $\left( {1,1}\right)$ ； (2) $l$ 在两个坐标轴上的截距相等. 13. 已知 $A\left( {7, - 4}\right) \text{ 、 }B\left( {-5,6}\right)$ 两点,求线段 ${AB}$ 的垂直平分线的点法式方程. 14. 已知直线 ${l}_{1} : {3kx} + \left( {k + 2}\right) y + 6 = 0$ ，直线 ${l}_{2} : {kx} + \left( {{2k} - 3}\right) y + 2 = 0$ . 若这两条直线的法向量互相垂直,求 $k$ 的值. #### B 组 1. 已知平行四边形 ${ABCD}$ 中,三个顶点的坐标分别为 $A\left( {1,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3,4}\right) \text{ 、 }C\left( {2,6}\right)$ . 分别求边 ${AD}\text{ 、 }{CD}$ 所在直线的方程. 2. 已知直线 $l$ 经过点 $P\left( {2, - 1}\right)$ ,与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A\text{ 、 }B$ 两点. 若 $2\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = \; \overrightarrow{0}$ ,求直线 $l$ 的方程. 3. 直线 $l : y = {kx} + b\left( {k\text{ 、 }b \in \mathbf{R}}\right)$ 与线段 ${AB}$ 相交，其中点 $A$ 为 $\left( {4,2}\right)$ ，点 $B$ 为 $\left( {1,5}\right)$ . (1)当 $b = - 1$ 时，求 $k$ 的取值范围; (2)当 $k = 1$ 时，求 $b$ 的取值范围. 4. 已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 中，两个顶点的坐标分别为 $A\left( {-2,1}\right)$ 、 $B\left( {4, - 3}\right)$ ，点 $G\left( {0,2}\right)$ 是此三角形的重心. 求边 ${BC}\text{ 、 }{AC}$ 所在直线的方程. 5. 若 $2{x}_{1} + 3{y}_{1} = 1,2{x}_{2} + 3{y}_{2} = 1$ ,且 ${x}_{1} \neq {x}_{2}$ . 求经过两点 $A\left( {x}_{1}\right.$ , $\left. {y}_{1}\right) \text{ 、 }B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ 的直线 $l$ 的方程. ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_13_1286_1640_149_146_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_13_1286_1640_149_146_0.jpg) (第 6 题) 6. 如图是一个 $\mathrm{W}$ 形的霓虹灯 (灯管宽度忽略不计),每边长都是 $2\mathrm{\;m}$ , 每相邻两边相交所成的锐角都是 ${30}^{ \circ }$ . 试建立适当的平面直角坐标系, 写出此霓虹灯的每条边所在直线在这个坐标系中的方程. 7. 证明: 直线 ${2x} + \left( {1 - \cos {2\theta }}\right) y - \sin \theta = 0(\theta \in \mathbf{R}$ 且不是 $\pi$ 的整数倍) 和两坐标轴围成图形的面积是定值. 8. 已知直线 $l : \left( {a - 1}\right) x + \left( {3 - {2a}}\right) y + a + 1 = 0$ . (1)若直线的斜率 $k \in \left\lbrack {-1,2}\right\rbrack$ ，求实数 $a$ 的取值范围； (2)求证:对任意实数 $a$ ，直线 $l$ 都经过一个定点. 9. 已知向量 $\overrightarrow{n} = \left( {5, - 1}\right)$ 是直线 $l$ 的一个法向量，在下列条件下求直线 $l$ 的方程: (1)在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距之和为 4 ； (2)与 $x$ 轴、 $y$ 轴围成的三角形面积为 20. 10. 已知 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ (其中 ${ab} \neq 0$ ) 是直线 $l$ 的一个法向量,试用 $a\text{ 、 }b$ 表示直线 $l$ 的倾斜角. 11. 我们把与直线上任意两点构成的向量均平行的非零向量称为该直线的方向向量. 求经过点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 且以 $\overrightarrow{d} = \left( {u, v}\right)$ 为方向向量的直线的方程. ## 1.3 两条直线的位置关系 ### 1 两条直线的相交、平行与重合 在平面几何中, 可依据公共点的个数判定两条直线的三种位置关系:如果两条直线无公共点，那么这两条直线平行；如果两条直线有且只有一个公共点, 那么这两条直线相交; 如果两条直线至少有两个不同的公共点, 那么这两条直线重合为一条直线, 即有无穷多个公共点. 但用平面几何方法来判断两条直线是否有公共点、有多少个公共点, 有时候并不是一件容易的事. 在解析几何中, 我们可以将上述几何问题转化为代数问题来解决, 一般性的方法如下: 在平面直角坐标系中, 已知两条直线: $$ {l}_{1} : {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0\left( {{a}_{1}\text{ 、 }{b}_{1}}\right. \text{ 不同时为零 })\text{ , } $$ $$ {l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0\left( {{a}_{2}\text{ 、 }{b}_{2}\text{ 不同时为零 }}\right) . $$ 如果这两条直线有公共点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ ,那么点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 的坐标要同时满足这两条直线的方程,即 $\left\{ \begin{array}{l} x = {x}_{0}, \\ y = {y}_{0} \end{array}\right.$ 是方程组 $$ \left\{ \begin{array}{l} {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0, \\ {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0 \end{array}\right. $$ ① 的解; 反过来,以方程组①的解为坐标的点也必是 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的公共点. 这样, 我们可以通过讨论方程组①的解的情况来判断两条直线的位置关系. 方程组①的解可分 3 种情况讨论: (1)若存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ,使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ 且 ${c}_{1} = \lambda {c}_{2}$ ,则方程组①的两个方程表示的是同一条直线，也就是说，直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合(此时方程组①有无数组解); (2)若存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ,使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ 但 ${c}_{1} \neq \lambda {c}_{2}$ ,把第二个方程两边同乘 $\lambda$ 后减去第一个方程,得到 $\lambda {c}_{2} - {c}_{1} = 0$ ,这个等式不可能成立,则方程组①无解,即直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 无公共点, 从而 ${l}_{1}//{l}_{2}$ ; (3)若不存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ,使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ ,这个条件等价于 ${a}_{1}{b}_{2} \neq {a}_{2}{b}_{1}$ ,此时可以求得方程组①的唯一解 $$ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{c}_{2}{b}_{1} - {c}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1}}, \\ y = \frac{{c}_{1}{a}_{2} - {c}_{2}{a}_{1}}{{a}_{1}{b}_{2} - {a}_{2}{b}_{1}}, \end{array}\right. $$ 说明直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 有唯一的公共点,即 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交. 总结一下: 给定两条直线 ${l}_{1} : {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0\left( {{a}_{1}\text{ 、 }{b}_{1}}\right.$ 不同时为零 $)$ , ${l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0\left( {{a}_{2}\text{ 、 }{b}_{2}\text{ 不同时为零 }}\right) ,$ 那么: ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合 $\Leftrightarrow$ 存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ,使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ , 且 ${c}_{1} = \lambda {c}_{2}$ ; ${l}_{1}//{l}_{2} \Leftrightarrow$ 存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ,使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ , 但 ${c}_{1} \neq \lambda {c}_{2}$ ; ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交 $\Leftrightarrow {a}_{1}{b}_{2} \neq {a}_{2}{b}_{1}$ . 如果 ${l}_{2}$ 的方程中三个系数 ${a}_{2}\text{ 、 }{b}_{2}$ 与 ${c}_{2}$ 均不为零,那么上述的充要条件可以写成更易于记忆的形式: ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合 $\Leftrightarrow \frac{{a}_{1}}{{a}_{2}} = \frac{{b}_{1}}{{b}_{2}} = \frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$ ; ${l}_{1}//{l}_{2} \Leftrightarrow \frac{{a}_{1}}{{a}_{2}} = \frac{{b}_{1}}{{b}_{2}} \neq \frac{{c}_{1}}{{c}_{2}};$ ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交 $\Leftrightarrow \frac{{a}_{1}}{{a}_{2}} \neq \frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$ . 还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否: 因为 $\overrightarrow{{n}_{1}} = \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right)$ 与 $\overrightarrow{{n}_{2}} = \left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right)$ 分别是 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的法向量, 所以上述第三个充要条件表明, ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交的充要条件是它们的法向量不平行,从而 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 平行或重合的充要条件是它们的法向量平行 (这个结论也可以从另外两个充要条件得出). 如果 ${b}_{1}$ 与 ${b}_{2}$ 均不为零,那么容易求出 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的斜率分别是 ${k}_{1} = - \frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$ 与 ${k}_{2} = - \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$ ,上述第三个充要条件又可以表明, ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交的充要条件是它们的斜率不相等,从而 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 平行或重合的充要条件是它们的斜率相等 (这也可以从另外两个充要条件得出). 用法向量或斜率表述的充要条件从几何上看也很直观. 例 1 判断下列两条直线的位置关系. 若相交, 求交点坐标. (1) ${l}_{1} : {0.5x} - y + 1 = 0,{l}_{2} : {3x} - {6y} + 8 = 0$ ； (2) ${l}_{1} : y = {2x} + 3,{l}_{2} : y = - {2x} + 1.$ 解(1)因为 $\frac{0.5}{3} = \frac{-1}{-6} \neq \frac{1}{8}$ ，所以 ${l}_{1}//{l}_{2}$ . (2)因为 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的斜率分别为 ${k}_{1} = 2,{k}_{2} = - 2$ ，则 ${k}_{1} \neq {k}_{2}$ ， 所以两条直线相交. 解方程组 $\left\{ \begin{array}{l} y = {2x} + 3, \\ y = - {2x} + 1, \end{array}\right.$ 得 $\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{2}, \\ y = 2. \end{array}\right.$ 所以，两条直线的交点坐标为 $\left( {-\frac{1}{2},2}\right)$ . 例 2 已知直线 ${l}_{1} : {mx} - {2y} + 1 = 0,{l}_{2} : x - \left( {m + 1}\right) y + \; 1 = 0$ ,求实数 $m$ 的取值范围,使得: (1) ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交; (2) ${l}_{1}//{l}_{2}$ ； (3) ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合. 解 因为 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交的充要条件是 $m\left\lbrack {-\left( {m + 1}\right) }\right\rbrack \neq 1 \times \left( {-2}\right)$ , 所以先解方程 $m\left\lbrack {-\left( {m + 1}\right) }\right\rbrack = 1 \times \left( {-2}\right)$ ,得 $m = - 2$ 或 $m = 1$ . 于是有: (1)当 $m \neq - 2$ 且 $m \neq 1$ 时， ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交. (2)当 $m = - 2$ 时，因为 $\frac{1}{m} = \frac{-\left( {m + 1}\right) }{-2} \neq \frac{1}{1}$ ，所以 ${l}_{1}//{l}_{2}$ . (3)当 $m = 1$ 时,因为 $\frac{1}{m} = \frac{-\left( {m + 1}\right) }{-2} = \frac{1}{1}$ ,所以 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合. ### 练习 1.3(1) 1. 判断下列两条直线的位置关系. 若相交, 求交点坐标. (1) ${l}_{1} : x + {3y} + 1 = 0,{l}_{2} : {3x} + 4 = 0$ ; (2) ${l}_{1} : x - {3y} + 1 = 0,{l}_{2} : y = \frac{1}{3}x + 4$ . 2. 已知直线 ${l}_{1} : \left( {a + 1}\right) x + y + a = 0,{l}_{2} : x + \left( {a + 1}\right) y - 2 = 0$ . 若 ${l}_{1}//{l}_{2}$ ,求实数 $a$ 的值. 3. 求经过直线 ${l}_{1} : x - y - 4 = 0$ 与 ${l}_{2} : {2x} - {3y} - 7 = 0$ 的交点,且与直线 ${l}_{3} : {2x} + \; y + 1 = 0$ 平行的直线 $l$ 的方程. ### 2 两条直线垂直的判定与夹角的求法 我们已经知道, 平面上两条相交直线交得的锐角或直角叫做这两条直线的夹角. 当两条直线的夹角为直角时, 称这两条直线垂直. 在平面直角坐标系中, 给定两条相交的直线 $$ {l}_{1} : {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0\left( {{a}_{1}\text{ 、 }{b}_{1}\text{ 不同时为零 }}\right) , $$ $$ {l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0\left( {{a}_{2}\text{ 、 }{b}_{2}\text{ 不同时为零 }}\right) . $$ 如何根据方程判定两条直线是否垂直呢? ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_18_1141_847_304_280_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_18_1141_847_304_280_0.jpg) 图 1-3-1 我们知道, $\overrightarrow{{n}_{1}} = \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right)$ 与 $\overrightarrow{{n}_{2}} = \left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right)$ 分别是直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的法向量. 由于直线与其法向量所在直线垂直 (图 1-3-1), 因此 ${l}_{1} \bot {l}_{2} \Leftrightarrow \overrightarrow{{n}_{1}} \bot \overrightarrow{{n}_{2}}$ ，再由必修课程 8.3 节的向量垂直的充要条件 $\overrightarrow{{n}_{1}} \bot \overrightarrow{{n}_{2}} \Leftrightarrow {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2} = 0$ ，我们得到 $$ {l}_{1} \bot {l}_{2} \Leftrightarrow {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2} = 0. $$ 特别地,当 ${b}_{1}{b}_{2} \neq 0$ 时,直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的斜率都存在,分别为 ${k}_{1} = - \frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$ 与 ${k}_{2} = - \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$ ,条件 ${a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2} = 0$ 可以改写为 $\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}} \cdot \frac{{a}_{2}}{{b}_{2}} =$ -1 , 即 ${k}_{1}{k}_{2} = - 1$ . 于是 $$ {l}_{1} \bot {l}_{2} \Leftrightarrow {k}_{1}{k}_{2} = - 1. $$ 例 3 已知直线 ${l}_{1} : x + {my} - 2 = 0$ 与 ${l}_{2} : \left( {m - 2}\right) x + \; {3my} + {2m} = 0$ 互相垂直,求实数 $m$ 的值. 解 由两条直线互相垂直的充要条件, 得 $$ \left( {m - 2}\right) + 3{m}^{2} = 0, $$ 解得 $$ m = \frac{2}{3}\text{ 或 }m = - 1. $$ 例 4 求经过点 $\left( {4,5}\right)$ 且与直线 $l : y = - \frac{1}{3}x + 2$ 垂直的直线 ${l}^{\prime }$ 的方程. 解 因为 $l$ 的斜率 $k = - \frac{1}{3}$ ,且 $l \bot {l}^{\prime }$ ,所以 ${l}^{\prime }$ 的斜率 ${k}^{\prime } = 3$ . 因为 ${l}^{\prime }$ 经过点 $\left( {4,5}\right)$ ,所以 ${l}^{\prime }$ 的点斜式方程是 $y - 5 = \; 3\left( {x - 4}\right)$ ,化简为 ${3x} - y - 7 = 0$ . 例 5 已知直角三角形 ${ABC}$ 的斜边 ${BC}$ 在 $x$ 轴上,且长度为 8,直角顶点 $A$ 的坐标是 $\left( {2,4}\right)$ . 求直角边 ${AB}$ 所在直线的方程. 解 根据条件可知,直角边 ${AB}$ 斜率存在且不为零. 不妨设此斜率为 $k$ ,则 ${AC}$ 所在直线的斜率为 $- \frac{1}{k}$ . 所以 ${AB}$ 与 ${AC}$ 所在的直线方程分别为 $y - 4 = k\left( {x - 2}\right)$ 与 $y - 4 = - \frac{1}{k}\left( {x - 2}\right)$ . 令 $y = 0$ ,得点 $B$ 与点 $C$ 的横坐标分别为 $2 - \frac{4}{k}$ 与 $2 + {4k}$ . 由 $\left| {BC}\right| = 8$ ,得 $\left| {{4k} + \frac{4}{k}}\right| = 8$ ,解得 $k = 1$ 或 $k = - 1$ . 所以,直角边 ${AB}$ 所在直线的方程为 $y = x + 2$ 或 $y = - x + 6$ . ### 练习 1.3(2) 1. 已知直线 ${l}_{1} : \left( {a - 2}\right) x + {ay} - 2 = 0$ 与 ${l}_{2} : \left( {1 - a}\right) x + \left( {a + 1}\right) y + 1 = 0$ 互相垂直， 求实数 $a$ 的值. 2. 求过点 $\left( {-1, - 1}\right)$ 且分别与下列直线垂直的直线方程: (1) $y = 2$ ； (2) $y = x$ ； (3) ${2x} + y + 2 = 0$ ； (4) $x\cos \theta + y\sin \theta = 1$ ， $\theta$ 为给定的实数. 如果 ${l}_{1} : {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0$ 与 ${l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0$ 是给定的两条相交直线,我们该如何求出它们的夹角 $\alpha$ 呢? 根据必修课程 8.3 节的向量夹角的余弦公式, 我们立即可以得到 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的法向量 $\overrightarrow{{n}_{1}} = \left( {{a}_{1},{b}_{1}}\right)$ 与 $\overrightarrow{{n}_{2}} = \left( {{a}_{2},{b}_{2}}\right)$ 的夹角 $\theta$ 的余弦 $$ \cos \theta = \frac{{a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2}}{\sqrt{{a}_{1}^{2} + {b}_{1}^{2}}\sqrt{{a}_{2}^{2} + {b}_{2}^{2}}}. $$ 因此，只要理清角 $\theta$ 与角 $\alpha$ 的关系，就能得出角 $\alpha$ 的余弦公式. 如图 1-3-2,设两条直线 (实线所示) 的夹角为 $\alpha$ ,不妨从夹角内部的一点分别作两条直线的一个法向量,法向量夹角为 $\theta$ . 两个法向量所在直线 (虚线所示) 和原来的两条直线围成了一个四边形,其中一组对角均是直角,另外一组对角是 $\alpha$ 与 $\theta$ 或者 $\alpha$ 与 $\pi - \theta$ . 由此可见 $\alpha + \theta = \pi$ 或者 $\alpha + \left( {\pi - \theta }\right) = \pi$ ,推出 $\alpha = \pi - \theta$ 或者 $\alpha = \theta$ . 这样, $\cos \alpha = \pm \cos \theta$ . 因为 $0 < \alpha \leq \frac{\pi }{2},\cos \alpha \geq 0$ ,所以 $\cos \alpha = \left| {\cos \theta }\right|$ . ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_20_334_645_597_292_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_20_334_645_597_292_0.jpg) 图 1-3-2 把这个一般的讨论用于直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的情况,则 ${l}_{1} : {a}_{1}x + \; {b}_{1}y + {c}_{1} = 0$ 与 ${l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦公式为 $$ \cos \alpha = \frac{\left| {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2}\right| }{\sqrt{{a}_{1}^{2} + {b}_{1}^{2}}\sqrt{{a}_{2}^{2} + {b}_{2}^{2}}}. $$ 例 6 求直线 ${l}_{1} : x + {3y} - 1 = 0$ 与 ${l}_{2} : y = {2x} + 7$ 的夹角的大小. 解 直线 ${l}_{2}$ 的一般式方程可写成 ${2x} - y + 7 = 0$ ,因此直线 ${l}_{1}$ 与直线 ${l}_{2}$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦值为 $$ \cos \alpha = \frac{\left| 2 - 3\right| }{\sqrt{1 + 9} \times \sqrt{4 + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{10}, $$ 于是 $\alpha = \arccos \frac{\sqrt{2}}{10}$ . 例 7 已知直线 ${l}^{\prime }$ 经过点 $P\left( {2,1}\right)$ ，与直线 $l : {x + {2y} + 1} = 0$ 夹角为 $\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$ . 求直线 ${l}^{\prime }$ 的方程. 解 设直线 ${l}^{\prime }$ 的一个法向量为 $\left( {a, b}\right)$ ,其中 $a\text{ 、 }b$ 不同时为零,则 ${l}^{\prime }$ 的点法式方程为 $a\left( {x - 2}\right) + b\left( {y - 1}\right) = 0$ . 根据夹角的余弦公式, 得 $$ \frac{\left| a + 2b\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \cdot \sqrt{{1}^{2} + {2}^{2}}} = \frac{\sqrt{5}}{5}, $$ 化简为 $3{b}^{2} + {4ab} = 0$ . 所以 $b = 0$ 或 $b = - \frac{4}{3}a$ ,此时 $a \neq 0$ . 把 $b = 0$ 或 $b = - \frac{4}{3}a$ 代入直线 ${l}^{\prime }$ 的方程，得 $x = 2$ 或 $3(x -$ 2) $- 4\left( {y - 1}\right) = 0$ . 所以直线 ${l}^{\prime }$ 的方程有两个,一个是 $x = 2$ ,另一个是 ${3x} - \; {4y} - 2 = 0.$ ### 练习 1.3(3) 1. 根据下列方程,求直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的夹角的大小: (1) ${l}_{1} : {3x} - {5y} + 1 = 0$ 与 ${l}_{2} : {2x} + y = 3$ ； (2) ${l}_{1} : y = {5x} - 3$ 与 ${l}_{2} : y = - {3x} + 2$ . 2. 已知直线 ${l}_{1} : \sqrt{3}x - y + 3 = 0$ 与直线 ${l}_{2} : y = {kx} + 3$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$ ,求实数 $k$ 的值. 3. 求经过点 $A\left( {4, - 3}\right)$ 且与直线 $l : x + y - 3 = 0$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$ 的直线 ${l}^{\prime }$ 的方程. ### 习题 1.3 #### A 组 1. 根据下列方程,判定直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的位置关系: (1) ${l}_{1} : {2x} - {3y} - 1 = 0,{l}_{2} : {4x} - {6y} - 2 = 0$ ； (2) ${l}_{1} : y = \frac{1}{3}x + 1,{l}_{2} : x - {6y} - 2 = 0$ ； (3) ${l}_{1} : \left( {\sqrt{5} - 1}\right) x - {2y} + 1 = 0,{l}_{2} : {2x} - \left( {\sqrt{5} - 1}\right) y - 2 = 0$ . 2. 已知直线 ${l}_{1} : {6x} + \left( {t - 1}\right) y - 8 = 0$ ，直线 ${l}_{2} : \left( {t + 4}\right) x + \left( {t + 6}\right) y - {16} = 0$ . 根据下列条件,求实数 $t$ 的取值范围: (1) ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交; (2) ${l}_{1}//{l}_{2}$ ； (3) ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合. 3. 已知两条直线 ${l}_{1} : \left( {t - 1}\right) x + {2y} - t = 0$ 和 ${l}_{2} : x + {ty} + t - 2 = 0$ ,且 ${l}_{1}//{l}_{2}$ . 求实数 $t$ 的值. 4. 已知平行四边形 ${ABCD}$ 中,一组对边 ${AB}\text{ 、 }{CD}$ 所在直线的方程分别为 ${ax} + {4y} = a + 2$ , $x + {ay} = a$ . 求实数 $a$ 的值. 5. 已知四边形 ${ABCD}$ 的四个顶点的坐标分别为 $A\left( {-1,2}\right) \text{ 、 }B\left( {3,4}\right) \text{ 、 }C\left( {3,2}\right) \text{ 、 }D\left( {1,1}\right)$ , 求证: 四边形 ${ABCD}$ 是梯形. 6. 已知直线 ${l}_{1} : \left( {k - 3}\right) x + \left( {5 - k}\right) y + 1 = 0$ 与直线 ${l}_{2} : 2\left( {k - 3}\right) x - {2y} + \left( {2 - k}\right) = 0$ 互相垂直,求实数 $k$ 的值. 7. 已知直线 $l$ 垂直于直线 ${l}^{\prime } : {2x} + {3y} - 4 = 0$ ，根据下列条件求 $l$ 的方程: (1) $l$ 经过点 $\left( {1,1}\right)$ ； (2) $l$ 与坐标轴围成的三角形的面积是 3 . 8. 已知等腰直角三角形 ${ABC}$ 的斜边 ${AB}$ 所在直线的方程为 ${3x} - y - 5 = 0$ ,直角顶点为 $C\left( {4, - 1}\right)$ . 求两条直角边所在直线的方程. 9. 根据下列方程,求直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的夹角的大小: (1) ${l}_{1} : x + {3y} + 2 = 0,{l}_{2} : {4x} + {2y} - 1 = 0$ ; (2) ${l}_{1} : {x + {2y} - 3} = 0,{l}_{2} : {x - y - 5} = 0$ ； (3) ${l}_{1} : {2x} - {3y} + 6 = 0,{l}_{2} : x - 5 = 0$ . 10. 若直线 $x + {my} + 5 = 0$ 与直线 $x + y + 1 = 0$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$ ,求实数 $m$ 的值. 11. 已知等腰直角三角形 ${ABC}$ 的直角边 ${BC}$ 所在直线的方程为 $x - {2y} - 6 = 0$ ,顶点 $A$ 的坐标为 $\left( {0,6}\right)$ . 分别求直角边 ${AC}$ 、斜边 ${AB}$ 所在直线的方程. #### B 组 1. 给定直线 ${l}_{1} : y = {ax} + b$ ,直线 ${l}_{2} : y = {bx} - a$ . 已知直线 ${l}_{1}$ 的倾斜角为 $\frac{3\pi }{4}$ ,且它与直线 ${l}_{2}$ 的交点落在直线 ${l}_{3} : {2x} + y - 2 = 0$ 上. 求实数 $b$ 的值. 2. 求证: 不论实数 $\lambda$ 取何值,直线 $l : {2x} + y - 4 + \lambda \left( {x - y + 2}\right) = 0$ 经过同一个点, 并求所有这些直线的公共点. 3. 已知集合 $A = \{ \left( {x, y}\right) \mid {{2x} - \left( {a + 1}\right) y - 1 = 0}\} , B = \{ \left( {x, y}\right) \mid {{ax} - y + 1 = 0}\}$ ,且 $A \cap B = \varnothing$ . 求实数 $a$ 的值. 4. 分别求经过直线 ${l}_{1} : {5x} + {2y} - 3 = 0$ 和 ${l}_{2} : {3x} - {5y} - 8 = 0$ 的交点，且与直线 $x + {4y} - 7 = 0$ 垂直、平行的直线的方程. 5. 已知 $\bigtriangleup {ABC}$ 的一个顶点为 $A\left( {3, - 4}\right)$ ,有两条高所在直线的方程分别是 ${7x} - \; {2y} - 1 = 0$ 与 ${2x} - {7y} - 6 = 0$ . 求 $\bigtriangleup {ABC}$ 三条边所在直线的方程. 6. 求直线 ${l}_{1} : x + y - 3 = 0$ 与直线 ${l}_{2} : {7x} - y - 5 = 0$ 夹角平分线的方程. 7. 一束光线经过点 $\left( {-2,1}\right)$ ,由直线 $l : y = x$ 反射后,经过点 $\left( {3,5}\right)$ 射出. 求反射光线所在直线的方程. ## 1.4 点到直线的距离 我们首先讨论直线 $l : {ax} + {by} + c = 0$ ( $a\text{ 、 }b$ 不同时为零) 外一点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 到这条直线的距离. 根据点到直线距离的定义, 如图 1-4-1,过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线,设垂足是 $Q\left( {{x}_{Q},{y}_{Q}}\right)$ ,则线段 ${PQ}$ 的长度就是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ . 因此,只要求出 ${PQ}$ 所在直线的方程,然后与 $l$ 的方程联立得到一个二元一次方程组,解这个方程组就可以得到点 $Q$ 的坐标,进而利用两点间的距离公式求出 ${PQ}$ 的长度. 这种方法的思路很清晰,但运算量比较大. 为了简便计算, 我们介绍另外一种方法. ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_23_216_514_290_294_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_23_216_514_290_294_0.jpg) 图 1-4-1 由直线 $l$ 的一般式方程知, $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 是 $l$ 的一个法向量, 所以 $\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{n}$ ,即 $\left| {\cos \langle \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{n}\rangle }\right| = 1$ ,从而 $$ d = \left| \overrightarrow{PQ}\right| = \frac{\left| \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{n}\right| }{\left| \overrightarrow{n}\right| } = \frac{\left| a\left( {x}_{Q} - {x}_{0}\right) + b\left( {y}_{Q} - {y}_{0}\right) \right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}} $$ $$ = \frac{\left| \left( a{x}_{Q} + b{y}_{Q}\right) - \left( a{x}_{0} + b{y}_{0}\right) \right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}. $$ 因为点 $Q$ 在 $l$ 上,所以 $a{x}_{Q} + b{y}_{Q} + c = 0$ ,即 $$ a{x}_{Q} + b{y}_{Q} = - c. $$ 所以, $d = \frac{\left| -c - \left( a{x}_{0} + b{y}_{0}\right) \right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}$ ,从而得到点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 到直线 $l : {ax} + {by} + c = 0$ 的距离公式 $$ d = \frac{\left| a{x}_{0} + b{y}_{0} + c\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}. $$ 当点 $P$ 在直线 $l$ 上时,上述公式仍然成立,此时 $d = 0$ . 例 1 根据下列条件,求点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ : (1) $P\left( {1,2}\right)$ ， $l : x + {2y} + 5 = 0$ ； (2) $P\left( {-\sqrt{3},3}\right)$ ， $l : y = \sqrt{3}x + 3$ . 解(1)由点到直线的距离公式, 得 $$ d = \frac{\left| 1 + 2 \times 2 + 5\right| }{\sqrt{{1}^{2} + {2}^{2}}} = 2\sqrt{5}. $$ (2)将直线 $l$ 的方程化为 $\sqrt{3}x - y + 3 = 0$ ，所以由点到直线的距离公式, 得 $$ d = \frac{\left| \sqrt{3} \times \left( -\sqrt{3}\right) + \left( -1\right) \times 3 + 3\right| }{\sqrt{{\left( \sqrt{3}\right) }^{2} + {\left( -1\right) }^{2}}} = \frac{3}{2}. $$ 例 2 求平行直线 ${l}_{1} : \sqrt{2}x + y + 1 = 0$ 与 ${l}_{2} : \sqrt{2}x + y + 4 = 0$ 之间的距离. 解 两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一点到另一条直线的距离. 为方便计算,我们在直线 ${l}_{1}$ 上取一个特殊点 $P\left( {0, - 1}\right)$ ,点 $P$ 到直线 ${l}_{2} : \sqrt{2}x + y + 4 = 0$ 的距离为 $$ d = \frac{\left| \sqrt{2} \times 0 + 1 \times \left( -1\right) + 4\right| }{\sqrt{2 + 1}} = \sqrt{3}. $$ 所以,直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 之间的距离为 $\sqrt{3}$ . 如图 1-4-2,对于两条平行线 ${l}_{1} : {ax} + {by} + {c}_{1} = 0$ 与 ${l}_{2} : {ax} + \; {by} + {c}_{2} = 0\left( {a\text{ 、 }b}\right.$ 不同时为零 $)$ ,我们可以采取同样的方法求它们之间的距离. 取 ${l}_{1}$ 上一点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ ,则 $a{x}_{0} + b{y}_{0} + {c}_{1} = 0$ . 点 $P$ 到 ${l}_{2}$ 的距离 $d = \frac{\left| a{x}_{0} + b{y}_{0} + {c}_{2}\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}$ . 由 $a{x}_{0} + b{y}_{0} + {c}_{1} = 0$ ,得 $a{x}_{0} + \; b{y}_{0} = - {c}_{1}$ ,所以 $d = \frac{\left| -{c}_{1} + {c}_{2}\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}$ . 也就是说: 平行线 ${l}_{1} : {ax} + \; {by} + {c}_{1} = 0$ 与 ${l}_{2} : {ax} + {by} + {c}_{2} = 0$ 的距离为 $$ d = \frac{\left| {c}_{1} - {c}_{2}\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}. $$ ![bo_d4slnhbef24c73be0pog_24_1131_964_312_296_0.jpg](images/bo_d4slnhbef24c73be0pog_24_1131_964_312_296_0.jpg) 图 1-4-2 例 3 已知直线 ${l}_{1} : y = \sqrt{2}x + 1$ ,直线 ${l}_{2}$ 与 ${l}_{1}$ 平行,且与 ${l}_{1}$ 的距离为 2 . 求直线 ${l}_{2}$ 的方程. 解 由题意,可设 ${l}_{2}$ 的方程为 $y = \sqrt{2}x + b\left( {b \in \mathbf{R}\text{ 且 }b \neq 1}\right)$ . 直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的一般式方程为 $$ {l}_{1} : \sqrt{2}x - y + 1 = 0\text{ 与 }{l}_{2} : \sqrt{2}x - y + b = 0. $$ 由两条平行直线之间的距离公式, 得 $$ \frac{\left| 1 - b\right| }{\sqrt{{1}^{2} + {\left( \sqrt{2}\right) }^{2}}} = 2. $$ 解得 $b = 2\sqrt{3} + 1$ 或 $b = - 2\sqrt{3} + 1$ . 所以,直线 ${l}_{2}$ 的方程为 $y = \sqrt{2}x + 2\sqrt{3} + 1$ 或 $y = \sqrt{2}x - 2\sqrt{3} + 1$ . ### 练习 1.4 1. 根据下列条件,求点 $M\left( {-2, - 1}\right)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ : (1) $l : x = 3$ ； (2) $l : y = 3$ ； (3) $l : {x + y} = {3;}$ (4) $l : y = {3x} - 5$ . 2. 在直角三角形 ${ABC}$ 中, $\angle A = \frac{\pi }{2},\left| {AB}\right| = 6,\left| {AC}\right| = 8$ . 求三角形的重心 $G$ 到斜边 ${BC}$ 所在直线的距离. ### 习题 1.4 #### A 组 1. 求点 $P\left( {2,3}\right)$ 到直线 $l$ 的距离: (1) $l : {3x} - {2y} = {13}$ ； (2) $l : y = - {2x} + 3$ . 2. 已知点 $A\left( {a,6}\right)$ 到直线 ${3x} - {4y} - 4 = 0$ 的距离等于 4,求实数 $a$ 的值. 3. 求下列两条平行线之间的距离: (1) ${l}_{1} : {2x} - {3y} + 1 = 0,{l}_{2} : {4x} - {6y} + 1 = 0$ ； (2) ${l}_{1} : y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + 1,{l}_{2} : \sqrt{3}x - {2y} + 1 = 0$ . 4. 已知直线 ${l}_{1} : {2x} - y + a = 0$ 与直线 ${l}_{2} : - {4x} + {2y} + 1 = 0$ 的距离为 $\frac{7\sqrt{5}}{10}$ ，求实数 $a$ 的值. #### B 组 1. 已知点 $A\left( {1,0}\right) \text{ 、 }B\left( {4, - 4}\right)$ . 若点 $A$ 与点 $B$ 到直线 $l$ 的距离都为 2,求直线 $l$ 的方程. 2. 已知点 $P$ 是直线 ${3x} - {4y} + 2 = 0$ 上任意一点,求点 $P$ 与点 $A\left( {3, - 1}\right)$ 之间距离的最小值. 3. 已知直线 $l$ 经过点 $P\left( {1,1}\right)$ 且与直线 ${l}_{1} : y = \sqrt{3}x + 1$ 和 ${l}_{2} : y = \sqrt{3}x + 3$ 分别交于点 $A$ 和点 $B$ . 若 $\left| {AB}\right| = \sqrt{2}$ ,求直线 $l$ 的方程. ## 课后阅读 ### 解析几何的诞生 文艺复兴以来，生产力的发展对科学技术提出了全新的要求. 到 16 世纪，对运动与变化的研究已成为自然科学的中心问题. 这迫切需要一种新的数学工具, 从而诞生了解析几何. 有别于传统的纯几何方法, 解析几何将数与形有机地结合起来, 形成一门新的学科. 它的基本思想是在平面上引进 “坐标” 的概念, 并借助于平面上的点和有序实数对之间所建立的一一对应关系, 将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来. 于是几何问题便可归结为代数问题, 反过来又可通过代数问题的研究发现新的几何结果. 借助于坐标来确定点的位置的思想在古代曾经出现过, 古希腊数学家阿波罗尼斯 (Apollonius)关于圆锥曲线性质的推导, 阿拉伯数学家通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究, 都蕴含着这种思想. 解析几何的建立主要归功于两位 17 世纪的法国数学家笛卡儿 (R. Descartes) 和费马 (P. de Fermat). 他们工作的出发点不同, 却殊途同归. 1637 年笛卡儿出版了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录，《几何学》是其中之一, 解析几何的发明就在这篇附录中. 笛卡儿的出发点是一个著名的古希腊数学问题: 帕普斯问题. 笛卡儿解决了一些特殊的情形, 由此建立起了历史上第一个斜坐标系. 在 《几何学》中, 笛卡儿也给出了直角坐标系的例子. 基于坐标系和曲线方程的思想, 笛卡儿还提出了一系列新颖的想法. 例如, 曲线的次数与坐标轴的选择无关, 利用曲线的方程表示求出两条不同曲线的公共点, 曲线的分类, 等等. 与笛卡儿不同, 费马工作的出发点是想恢复已失传的阿波罗尼斯的《论平面轨迹》, 为此, 他写成《平面与立体轨迹引论》(1629)一书，其中清晰地阐述了自己的解析几何思想. 费马在书中写道:“在最后的方程中出现两个未知量时，我们就得到一个轨迹，其中一个未知量的一端画出了一条直线或曲线. ”这就是说，用代数方法解几何问题时，最后得到含两个未知量的方程, 所得结果表示一轨迹 (直线或曲线). 因此, 费马以研究古希腊轨迹问题为目的, 以韦达(F. Viete)的符号代数为工具, 通过建立只含一条轴的坐标系, 将二元代数方程与几何曲线对应起来, 导引着解析几何的诞生. 解析几何的发明具有伟大的意义. 它使得原先以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学, 从而为微积分的创立搭起数学舞台; 它使得代数和几何融合为一体, 实现了几何图形的代数化; 经由代数和几何的相互转化, 它使数学家得以摆脱现实的束缚, 从三维空间进入高维空间，探索更深层次的概念. 解析几何为我们打开了一扇通往全新数学世界的大门. 在解析几何诞生的背后, 蕴藏诸多有趣的数学故事, 充分体现了数学的人文精神. ## 内容提要 1. 与平面直角坐标中直线有关的重要的量 (1)倾斜角:当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于一点 $A$ 时，将 $x$ 轴绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转到与 $l$ 重合时所转过的最小正角 $\theta$ 称为直线 $l$ 的倾斜角; 当 $l$ 平行于 $x$ 轴或与 $x$ 轴重合时, 规定倾斜角 $\theta = 0$ . 于是，倾斜角的取值范围为 $0 \leq \theta < \pi$ . (2)斜率:当直线 $l$ 不与 $x$ 轴垂直时，定义它的斜率为 $k = \tan \theta$ ，其中 $\theta$ 为 $l$ 的倾斜角; 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时,斜率不存在. 过两点 $A\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)$ 与 $B\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \left( {{x}_{1} \neq {x}_{2}}\right)$ 的直线的斜率是 $k = \frac{{y}_{2} - {y}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ . (3)截距:直线 $l$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标称为直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距；直线 $l$ 与 $x$ 轴交点的横坐标称为直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距. 2. 直线的各种形式的方程 (1)直线的点斜式方程:过点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线的方程是 $y - {y}_{0} = k\left( {x - {x}_{0}}\right)$ . (2)直线的斜截式方程:斜率为 $k$ 且在 $y$ 轴上的截距为 $b$ 的直线的方程是 $y = {kx} + b$ . (3)直线的两点式方程:经过两点 $M\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right)$ 、 $N\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right)$ 和 ${x}_{1}$ 写 $\left( {{y}_{1} \neq {x}_{2}\text{ 且 }{y}_{1} \neq {y}_{2}}\right)$ 的直线的方程是 $\frac{y - {y}_{1}}{{y}_{2} - {y}_{1}} = \frac{x - {x}_{1}}{{x}_{2} - {x}_{1}}$ . (4)直线的点法式方程:过点 $M\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 且一个法向量为 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ 的直线的方程是 $a\left( {x - {x}_{0}}\right) + b\left( {y - {y}_{0}}\right) = 0.$ (5)直线的一般式方程:直线一般形式的方程是 ${ax} + {by} + c = 0$ ，其中 $a$ 、 $b$ 不同时为零. 这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量 $\overrightarrow{n} = \left( {a, b}\right)$ . 3. 两条直线的位置关系 给定两条直线 ${l}_{1} : {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0$ 与 ${l}_{2} : {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0\left( {{a}_{1}\text{ 、 }{b}_{1}}\right.$ 不同时为零, ${a}_{2}\text{ 、 }{b}_{2}$ 不同时为零). (1)直线相交、平行与重合: ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交、平行或重合取决于方程组 $\left\{ \begin{array}{l} {a}_{1}x + {b}_{1}y + {c}_{1} = 0, \\ {a}_{2}x + {b}_{2}y + {c}_{2} = 0 \end{array}\right.$ 解的情况: ① ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合 $\Leftrightarrow$ 方程组有无数组解 $\Leftrightarrow$ 存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ，使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ 且 ${c}_{1} = \lambda {c}_{2}$ ； ② ${l}_{1}//{l}_{2} \Leftrightarrow$ 方程组无解 $\Leftrightarrow$ 存在 $\lambda \in \mathbf{R}$ ，使得 ${a}_{1} = \lambda {a}_{2},{b}_{1} = \lambda {b}_{2}$ 但 ${c}_{1} \neq \lambda {c}_{2}$ ； ③ ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交 $\Leftrightarrow$ 方程组有唯一的解 $\Leftrightarrow {a}_{1}{b}_{2} \neq {a}_{2}{b}_{1}$ . (2)两条直线垂直的充要条件: ${l}_{1} \bot {l}_{2} \Leftrightarrow {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2} = 0$ ; 如果两条直线的斜率 ${k}_{1}$ 与 ${k}_{2}$ 都存在,那么 ${l}_{1} \bot {l}_{2} \Leftrightarrow {k}_{1}{k}_{2} = - 1$ . (3)两条直线的夹角: ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 的夹角 $\alpha$ 的余弦公式为 $$ \cos \alpha = \frac{\left| {a}_{1}{a}_{2} + {b}_{1}{b}_{2}\right| }{\sqrt{{a}_{1}^{2} + {b}_{1}^{2}}\sqrt{{a}_{2}^{2} + {b}_{2}^{2}}}. $$ 4. 点到直线的距离:点 $P\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right)$ 到直线 ${ax} + {by} + c = 0\left( {a\text{ 、 }b}\right.$ 不同时为零)的距离为 $d = \frac{\left| a{x}_{0} + b{y}_{0} + c\right| }{\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}}.$ ## 复习题 ### A 组 1. 求直线 $\sqrt{2}x - {4y} + 5 = 0$ 的倾斜角. (用 arctan 表示) 2. 若直线 ${ax} + {2y} + 6 = 0$ 和直线 $x + a\left( {a + 1}\right) y + \left( {{a}^{2} - 1}\right) = 0$ 互相垂直，求实数 $a$ 的值. 3. 直线 $x - y + 1 = 0$ 上一点 $P$ 的横坐标是 3,若该直线绕点 $P$ 逆时针旋转 ${90}^{ \circ }$ 得到直线 $l$ ,求直线 $l$ 的方程. 4. 设直线 $x - {ay} - 4 = 0$ 与直线 $y = - {2x} + 4$ 的夹角为 $\arccos \frac{2\sqrt{5}}{5}$ ,求实数 $a$ 的值. 5. 已知 $\alpha \in \left\lbrack {0,\frac{\pi }{2}}\right)$ ,求直线 $x\cos \alpha + \sqrt{3}y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围. 6. 求过点 $\left( {3, - 2}\right)$ 且在 $x$ 轴、 $y$ 轴上截距相等的直线的方程. 7. 已知点 $P\left( {1,1}\right)$ 到直线 $x + {ay} - 2 = 0$ 的距离为 1，求实数 $a$ 的值. 8. 已知平行四边形 ${ABCD}$ 中,边 ${AB}$ 所在直线的方程为 $x + y - 1 = 0$ ,边 ${AD}$ 所在直线的方程为 ${3x} - y + 4 = 0$ . (1)求点 $A$ 的坐标； (2)若点 $C$ 的坐标为 $\left( {3,3}\right)$ ，分别求边 ${BC}$ 与 ${DC}$ 所在直线的方程. 9. 已知直线 ${l}_{1} : x + {my} + 6 = 0,{l}_{2} : \left( {m - 2}\right) x + {3y} + {2m} = 0$ ,求实数 $m$ 的取值范围, 使得: (1) ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 相交; (2) ${l}_{1} \bot {l}_{2}$ ； (3) ${l}_{1}//{l}_{2}$ ； (4) ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 重合. 10. 已知直线 $l$ 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为 $\frac{49}{2}$ . 求直线 $l$ 的方程. 11. 在 $\bigtriangleup {ABC}$ 中,边 ${AB}\text{ 、 }{AC}$ 上的高所在直线的方程分别为 ${2x} - {3y} + 1 = 0$ 与 $x + y = 0$ , 点 $A$ 的坐标为 $\left( {1,2}\right)$ . 求边 ${BC}$ 所在直线的方程. 12. 已知直线 $l$ 垂直于直线 ${3x} + {4y} - 9 = 0$ ,点 $A\left( {2,3}\right)$ 到直线 $l$ 的距离为 1 . 求直线 $l$ 的方程. 13. 已知三条直线 ${l}_{1} : {ax} + {by} + 4 = 0,{l}_{2} : \left( {a - 1}\right) x + y + b = 0,{l}_{3} : x + {2y} + 3 = 0$ . (1)若 ${l}_{1} \bot {l}_{2}$ 且 ${l}_{1}$ 经过点 $\left( {-1,1}\right)$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值； (2)若 ${l}_{1}//{l}_{2}//{l}_{3}$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值. #### B 组 1. 已知过点 $\left( {0, - 2}\right)$ 且具有斜率 $k$ 的直线 $l$ 与以点 $A\left( {3,1}\right)$ 和 $B\left( {-2,5}\right)$ 为端点的线段 ${AB}$ 相交,求实数 $k$ 的取值范围. 2. 已知两条直线 ${l}_{1} : y - x = 0,{l}_{2} : y = {ax}$ ,其中 $a \in \mathbf{R}$ . 当这两条直线的夹角在 $\left( {0,\frac{\pi }{12}}\right)$ 内变化时,求实数 $a$ 的取值范围. 3. 直线 $l$ 过原点且平分平行四边形 ${ABCD}$ 的面积,若此平行四边形的两个顶点为 $B\left( {1,4}\right) \text{ 、 }D\left( {5,0}\right)$ ,求直线 $l$ 的方程. 4. 求直线 ${l}_{1} : {3x} - {2y} - 6 = 0$ 关于直线 ${l}_{2} : {2x} - {3y} + 1 = 0$ 对称的直线 ${l}_{3}$ 的方程. 5. 已知动点 $M\left( {a, b}\right)$ 在直线 ${3x} + {4y} - {15} = 0$ 上,求 $\sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}}$ 的最小值. 6. 已知两条平行直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 分别过点 ${P}_{1}\left( {1,0}\right)$ 与点 ${P}_{2}\left( {0,5}\right) ,{l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 之间的距离为 $d$ . 求 $d$ 的最大值,并指出此时 ${l}_{1}\text{ 、 }{l}_{2}$ 的方程. 7. 已知直线 $l$ 经过点 $C\left( {2,1}\right)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于点 $A$ 、点 $B, O$ 是坐标原点. (1)当 $\bigtriangleup {AOB}$ 的面积最小时，求直线 $l$ 的方程； (2)当 $\left| {CA}\right| \cdot \left| {CB}\right|$ 取最小值时，求直线 $l$ 的方程，并求此最小值. ### 拓展与思考 1. 作出方程 $\left| x\right| + \left| y\right| = 1$ 所表示的图形,并求该图形围成的区域的面积. 2. 给定直线 ${l}_{1} : y = {k}_{1}x + {b}_{1}$ 与 ${l}_{2} : y = {k}_{2}x + {b}_{2}$ ,求证: 如果直线 ${l}_{1}$ 与 ${l}_{2}$ 不互相垂直,那么它们的夹角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha = \left| \frac{{k}_{1} - {k}_{2}}{1 + {k}_{1}{k}_{2}}\right|$ . 3. 已知直线 ${l}_{1} : {4x} + y = 4,{l}_{2} : {mx} + y = 0,{l}_{3} : {2x} - {3my} = 4$ . 当 $m$ 为何值时,它们不能围成三角形? 4. 点到直线的距离是该点到直线上任意一点距离的最小值. 如果把一个给定点到线段上任意一点的距离的最小值定义为该点到该线段的距离,试求点 $P\left( {1,1}\right)$ 到线段 $l : x - \; y - 3 = 0\left( {3 \leq x \leq 5}\right)$ 的距离.