例题 1
例 1 判断下列两条直线的位置关系. 若相交, 求交点坐标.
(1) ；
(2)
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 1.3
教师整合版 / 沪教版高中数学
两条直线的位置关系.
选择性必修第一册
第1章平面直角坐标系中的直线 · 保留教材主线与原题
两条直线的位置关系
教材与正式教参整合
1 两条直线的相交、平行与重合
在平面几何中, 可依据公共点的个数判定两条直线的三种位置关系:如果两条直线无公共点，那么这两条直线平行；如果两条直线有且只有一个公共点, 那么这两条直线相交; 如果两条直线至少有两个不同的公共点, 那么这两条直线重合为一条直线, 即有无穷多个公共点. 但用平面几何方法来判断两条直线是否有公共点、有多少个公共点, 有时候并不是一件容易的事.
在解析几何中, 我们可以将上述几何问题转化为代数问题来解决, 一般性的方法如下:
在平面直角坐标系中, 已知两条直线:
如果这两条直线有公共点 ,那么点 的坐标要同时满足这两条直线的方程,即 是方程组
①
的解; 反过来,以方程组①的解为坐标的点也必是 与 的公共点. 这样, 我们可以通过讨论方程组①的解的情况来判断两条直线的位置关系.
方程组①的解可分 3 种情况讨论:
(1)若存在 ,使得 且 ,则方程组①的两个方程表示的是同一条直线，也就是说，直线 与 重合(此时方程组①有无数组解);
(2)若存在 ,使得 但 ,把第二个方程两边同乘 后减去第一个方程,得到 ,这个等式不可能成立,则方程组①无解,即直线 与 无公共点, 从而 ;
(3)若不存在 ,使得 ,这个条件等价于 ,此时可以求得方程组①的唯一解
说明直线 与 有唯一的公共点,即 与 相交.
总结一下: 给定两条直线
不同时为零 ,
那么:
与 重合 存在 ,使得 , 且 ;
存在 ,使得 , 但 ;
与 相交 .
与 重合 ;
与 相交 .
还有其他一些量可以简单地刻画两条直线相交与否:
例题 2
例 2 已知直线 ,求实数 的取值范围,使得:
(1) 与 相交;
(2) ；
(3) 与 重合.
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解 因为 与 相交的充要条件是 , 所以先解方程 ,得 或 . 于是有:
(1)当 且 时， 与 相交.
(2)当 时，因为 ，所以 .
(3)当 时,因为 ,所以 与 重合.
练习 1.3(1)
练习1.3(1) · 1
- 判断下列两条直线的位置关系. 若相交, 求交点坐标.
(1) ;
(2) .
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- (1)相交于点 . (2)平行.
练习1.3(1) · 2
- 已知直线 . 若 ,求实数 的值.
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- 或 .
练习1.3(1) · 3
- 求经过直线 与 的交点,且与直线 平行的直线 的方程.
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2 两条直线垂直的判定与夹角的求法
在平面直角坐标系中, 给定两条相交的直线
如何根据方程判定两条直线是否垂直呢?
图 1-3-1
特别地,当 时,直线 与 的斜率都存在,分别为 与 ,条件 可以改写为 -1 , 即 . 于是
例题 3
例 3 已知直线 与 互相垂直,求实数 的值.
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例题 4
例 4 求经过点 且与直线 垂直的直线 的方程.
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例题 5
例 5 已知直角三角形 的斜边 在 轴上,且长度为 8,直角顶点 的坐标是 . 求直角边 所在直线的方程.
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解 根据条件可知,直角边 斜率存在且不为零. 不妨设此斜率为 ,则 所在直线的斜率为 . 所以 与 所在的直线方程分别为 与 . 令 ,得点 与点 的横坐标分别为 与 .
由 ,得 ,解得 或 .
所以,直角边 所在直线的方程为 或 .
练习 1.3(2)
练习1.3(2) · 1
- 已知直线 与 互相垂直， 求实数 的值.
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练习1.3(2) · 2
- 求过点 且分别与下列直线垂直的直线方程:
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ， 为给定的实数.
如果 与 是给定的两条相交直线,我们该如何求出它们的夹角 呢?
根据必修课程 8.3 节的向量夹角的余弦公式, 我们立即可以得到 与 的法向量 与 的夹角 的余弦
因此，只要理清角 与角 的关系，就能得出角 的余弦公式.
如图 1-3-2,设两条直线 (实线所示) 的夹角为 ,不妨从夹角内部的一点分别作两条直线的一个法向量,法向量夹角为 . 两个法向量所在直线 (虚线所示) 和原来的两条直线围成了一个四边形,其中一组对角均是直角,另外一组对角是 与 或者 与 . 由此可见 或者 ,推出 或者 . 这样, . 因为 ,所以 .
图 1-3-2
把这个一般的讨论用于直线 与 的情况,则 与 的夹角 的余弦公式为
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例题 6
例 6 求直线 与 的夹角的大小.
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例题 7
例 7 已知直线 经过点 ，与直线 夹角为 . 求直线 的方程.
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解 设直线 的一个法向量为 ,其中 不同时为零,则 的点法式方程为 .
根据夹角的余弦公式, 得
化简为 . 所以 或 ,此时 .
把 或 代入直线 的方程，得 或 2) .
所以直线 的方程有两个,一个是 ,另一个是
练习 1.3(3)
练习1.3(3) · 1
- 根据下列方程,求直线 与 的夹角的大小:
(1) 与 ；
(2) 与 .
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- (1) . (2) .
练习1.3(3) · 2
- 已知直线 与直线 的夹角为 ,求实数 的值.
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- 或 .
练习1.3(3) · 3
- 求经过点 且与直线 的夹角为 的直线 的方程.
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- 或 .
习题 1.3
A 组
习题1.3A · 1
- 根据下列方程,判定直线 与 的位置关系:
(1) ；
(2) ；
(3) .
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1.(1)重合. (2)相交. (3)相交.
习题1.3A · 2
- 已知直线 ，直线 . 根据下列条件,求实数 的取值范围:
(1) 与 相交;
(2) ；
(3) 与 重合.
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2.(1)t ≠ 8 且 . (2) . (3)
习题1.3A · 3
- 已知两条直线 和 ,且 . 求实数 的值.
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- 或 .
习题1.3A · 4
- 已知平行四边形 中,一组对边 所在直线的方程分别为 , . 求实数 的值.
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习题1.3A · 5
- 已知四边形 的四个顶点的坐标分别为 , 求证: 四边形 是梯形.
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- 证明略.
习题1.3A · 6
- 已知直线 与直线 互相垂直,求实数 的值.
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- 或 .
习题1.3A · 7
- 已知直线 垂直于直线 ，根据下列条件求 的方程:
(1) 经过点 ；
(2) 与坐标轴围成的三角形的面积是 3 .
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- (1) .
习题1.3A · 8
- 已知等腰直角三角形 的斜边 所在直线的方程为 ,直角顶点为 . 求两条直角边所在直线的方程.
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习题1.3A · 9
- 根据下列方程,求直线 与 的夹角的大小:
(1) ;
(2) ；
(3) .
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- (1) . (2) . (3) .
习题1.3A · 10
- 若直线 与直线 的夹角为 ,求实数 的值.
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习题1.3A · 11
- 已知等腰直角三角形 的直角边 所在直线的方程为 ,顶点 的坐标为 . 分别求直角边 、斜边 所在直线的方程.
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- 直角边 所在直线的方程为 ; 斜边 所在直线的方程为 或
B 组
习题1.3B · 1
- 给定直线 ,直线 . 已知直线 的倾斜角为 ,且它与直线 的交点落在直线 上. 求实数 的值.
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- 或 .
习题1.3B · 2
- 求证: 不论实数 取何值,直线 经过同一个点, 并求所有这些直线的公共点.
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- 证明略,所有这些直线的公共点是 .
习题1.3B · 3
- 已知集合 ,且 . 求实数 的值.
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习题1.3B · 4
- 分别求经过直线 和 的交点，且与直线 垂直、平行的直线的方程.
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- 与直线 垂直、平行的直线的方程分别为 .
习题1.3B · 5
- 已知 的一个顶点为 ,有两条高所在直线的方程分别是 与 . 求 三条边所在直线的方程.
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- 边 所在直线的方程分别为 ,
习题1.3B · 6
- 求直线 与直线 夹角平分线的方程.
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习题1.3B · 7
- 一束光线经过点 ,由直线 反射后,经过点 射出. 求反射光线所在直线的方程.