直线的方程.

例 1 求倾斜角是 且在 轴上的截距是 -3 的直线 的点斜式方程.

例 2 已知直线 在 轴、 轴上的截距分别为 -2、 4, 求直线 的方程,并判断点 是否在直线 上.

1. 求经过点 且斜率为 -1 的直线 的点斜式方程.

2. 求倾斜角是 且在 轴上的截距为 -1 的直线 的点斜式方程.

3. 求经过点 且垂直于 轴的直线 的方程.

4. 已知直线 经过点 且在 轴、 轴上截距相等,求 的方程.

例 3 已知直线 经过点 ,求 的方程.

图 1-2-3

例 4 如图 1-2-3, 三个顶点的坐标分别为 . 分别求边 所在直线的方程与边 上的中线 所在直线的方程.

例 5 已知直线 与 轴、 轴分别交于 两个不同的点且 ,其中 是坐标原点; 又点 在直线 上. 求直线 的方程.

1. 求经过点 的直线 的两点式方程.

2. 已知三个不同的点 都在一条直线 上,求实数 的值和直线 的方程.

3. 在平面直角坐标系中, 是坐标原点. 已知 两点的坐标分别为 、 ,分别求 的三条边上的中线所在直线的方程.

例 6 在平面直角坐标系中, 根据所给直线方程, 作出相应图形,并求出该直线的斜率和在 轴上的截距:

(1) ；

(2) .

图 1-2-4

例 7 已知直线 的方程为 ,求证: 无论 取何值时,直线 都经过一个定点,并写出该定点的坐标.

例 8 如图 1-2-5,直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限. 求实数 的取值范围.

1. 求下列方程所表示直线的斜率与倾斜角:

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) .

2. 求证: 无论实数 取何值,直线 都经过一个定点.

3. 已知直线 经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，求实数 的取值范围.

例 9 已知点 与 是直线 ( 不同时为零) 上任意两点,且向量 . 求证: 向量 与 垂直.

例10 已知 的三个顶点的坐标分别是 、 与 ,求边 上的高 所在直线的方程.

例 11 已知直线 经过点 ，且 是它的一个法向量. 若 与坐标轴围成的三角形的面积是 2,求实数 的值.

1. 写出下列直线的一个法向量:

(1) ； (2) ；

(3) ；

(4) .

2. 已知直线 的方程是 ,它的一个法向量是 . 求实数 的值.

3. 根据下列条件,求直线 的方程:

(1) 在 轴上的截距为 -1，且 的一个法向量是 ；

(2) 经过点 ，且 上的任何向量都与向量 平行.

1. 已知直线 经过点 ，倾斜角为 且 . 求直线 的点斜式方程.

2. 已知直线 在 轴上的截距为 4,倾斜角为 且 . 求直线 的斜截式方程.

3. 求下列直线的斜率与在 两坐标轴上的截距:

(1) ；___

(2) .

4. 已知直线 经过点 .

(1)求 的倾斜角的大小；

(2)求 在 轴上的截距.

5. 直线 经过点 ,在 轴、 轴上的截距分别为 . 已知 ,求直线 的方程.

6. 根据给定条件,求下列直线的两点式方程:

(1)直线 经过点 、 ；

(2)直线 与坐标轴的交点分别为 .

7. 已知 的三个顶点的坐标分别为 .

(1)求边 所在直线的方程；

(2)求边 上的中线所在直线的方程.

8. 设直线 在 轴与 轴上的截距分别是 与 ,且 与 均不为零. 求证: 直线 的方程可以写成 .

9. 一个弹簧在弹性限度内挂 的物体时弹簧长度为 ,挂 物体时弹簧长度为 . 已知在弹性限度内所挂物体的质量 (单位: ) 与弹簧长度 (单位: ) 的关系可以用直线的方程表示，求该直线的方程，并求弹簧自身的长度.

10. 在平面直角坐标系中, 作出下列直线, 并求它们的斜率与倾斜角.

(1)

(2)

11. 设直线 的方程是 ，在下列条件下，求实数 、 、 满足的条件:

(1) 与 轴、 轴均相交；

(2) 经过第二、第三、第四象限.

12. 已知直线 ，根据下列条件，求实数 的值:

(1) 经过点 ；

(2) 在两个坐标轴上的截距相等.

13. 已知 两点,求线段 的垂直平分线的点法式方程.

14. 已知直线 ，直线 . 若这两条直线的法向量互相垂直,求 的值.

1. 已知平行四边形 中,三个顶点的坐标分别为 . 分别求边 所在直线的方程.

2. 已知直线 经过点 ,与 轴、 轴分别交于 两点. 若 ,求直线 的方程.

3. 直线 与线段 相交，其中点 为 ，点 为 .

(1)当 时，求 的取值范围;

(2)当 时，求 的取值范围.

4. 已知 中，两个顶点的坐标分别为 、 ，点 是此三角形的重心. 求边 所在直线的方程.

5. 若 ,且 . 求经过两点 , 的直线 的方程.

6. 如图是一个 形的霓虹灯 (灯管宽度忽略不计),每边长都是 , 每相邻两边相交所成的锐角都是 . 试建立适当的平面直角坐标系, 写出此霓虹灯的每条边所在直线在这个坐标系中的方程.

(第 6 题)

7. 证明: 直线 且不是 的整数倍) 和两坐标轴围成图形的面积是定值.

8. 已知直线 .

(1)若直线的斜率 ，求实数 的取值范围；

(2)求证:对任意实数 ，直线 都经过一个定点.

9. 已知向量 是直线 的一个法向量，在下列条件下求直线 的方程:

(1)在 轴、 轴上的截距之和为 4 ；

(2)与 轴、 轴围成的三角形面积为 20.

10. 已知 (其中 ) 是直线 的一个法向量,试用 表示直线 的倾斜角.

11. 我们把与直线上任意两点构成的向量均平行的非零向量称为该直线的方向向量. 求经过点 且以 为方向向量的直线的方程.