复习题A · 1
- 从字母 中任取两个,求取到字母 的概率.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION chapter-end-12
教师整合版 / 沪教版高中数学
章末阅读、内容提要与复习题.
必修第三册
第12章概率初步 · 保留教材主线与原题
章末阅读、内容提要与复习题
教材与正式教参整合
预知与预期
概率论是研究随机现象的一门学问, 它作为学问大概有 300 年的历史, 其公理化还不到 100 年，但在现代的科学和生活中都越来越重要，不过我们要认识到概率论所能做的只是限于随机性的量化研究, 即能预期 (expect) 而不能预知 (foresee).
以天气预报为例，从古代开始，人类就尝试预报天气，流传有很多的民间谚语，如 "早晨棉絮云，午后必雨淋"。但这些谚语只是一些经验积累，并不可靠. 现在，人类应用气象学建立模型, 利用现代统计方法与强大的计算能力来预测未来一天至数天的晴雨、气温、风向、风速等天气信息，其准确率比之过去大幅度提高，但依然只能是预期而无法预知. 人类对于随机现象的探索注定是一个长期的过程.
概率在医学中的应用
在医学上，判断一种药物对治疗某种疾病是否有效，是一个极为严肃的事情，不可以随意下结论. 怎么验证一种药物对某类疾病是有效的呢? 从专业的角度说, 先要从病理和药理入手分析与研究, 说明这种药物用于治疗该疾病在理论上是有根据的. 但即使理论上无懈可击, 药物在上市之前还需进行严格的临床试验, 并应用概率中的随机化思想检验其有效性.
对于这个试验群体,用 表示该群体中服用药物的病人组, 表示试验结束后该群体中达到某种治疗效果(包括应具有的药物安全性)的病人组. 若 、 两组符合得好，就说明这种药物有效. 说明 两组符合得好的关键指标是两个比值(即频率或者经验概率):(1)服用这种药物的病人中达到疗效的比值；(2)达到疗效的病人中服用这种药物的比值. 在这两个比值都充分大(超过预先设定的标准)时， 与 两组就符合得比较好，由此就可以断言这种药物对治疗该疾病是有效果的, 而且其具体效果还可以通过这两个比值来加以量化.
上述试验可称之为大样本随机双盲试验, 简称双盲试验. 每种药物在上市使用之前都需要通过双盲试验, 才能说明它在某种设定的科学标准下是安全有效的.
双盲试验的要点在于尽可能地"剔除主观因素". 它是一种通用的科学方法, 能有效地辨别真伪, 提高人的认知能力, 对它的认识和理解也因而是一种基本的科学素养.
内容提要
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概率论是研究随机现象的工具.
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随机现象的所有可能结果组成的集合称为样本空间.
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随机事件对应样本空间的一个子集.
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概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量.
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古典概率模型是满足下面两个条件的随机试验:(1)有限多结果；(2)等可能性.
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古典概率
- 概率的性质
(1)必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0；
(2)事件的概率是 0 与 1 之间的一个数；
(3)可加性:如果事件 不同时发生，那么
(4) .
-
伯努利大数定律:多次独立地重复一个随机试验，事件发生的频率趋向于概率。
-
事件的独立性:两独立事件同时发生的概率是各自发生的概率的乘积.
复习题
A 组
复习题A · 2
- 现有 5 根细木棍, 长度 (单位: ) 分别为 1、3、5、7、9, 从中任取 3 根. 求能搭成一个三角形的概率.
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复习题A · 3
- 将 2 本不同的英语书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 求 2 本英语书相邻的概率.
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复习题A · 4
- 从编号分别为 1、2、3、4、5、6 的 6 个大小与质地相同的小球中随机取出 3 个, 求恰有 2 个小球编号相邻的概率.
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复习题A · 5
- 袋中装有大小与质地相同的 5 个球, 其中红色球 3 个, 标号分别为 1、2、3; 蓝色球 2 个, 标号分别为 1、2 . 从袋中任取 2 个球, 求这 2 个球颜色不同且标号之和不小于 4 的概率.
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复习题A · 6
- 袋中装有大小与质地相同的 5 个球, 其中白球 3 个, 黑球 2 个, 从中一次摸出 2 个球.
(1)写出该随机试验的一个等可能的样本空间；
(2)求摸出来的 2 个球都是白球的概率；
(3)求摸出来的 2 个球颜色不同的概率.
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6.(1)设3个白球分别为 个黑球分别为 , (2) . (3) .
复习题A · 7
- 对某工厂生产的产品质量进行抽查, 数据如下表所示.
| 抽查件数 | 50 | 100 | 200 | 300 | 500 |
| 合格件数 | 47 | 95 | 192 | 285 | 478 |
根据上表所提供的数据, 问: 合格品的概率约为多少? (结果保留两位小数)
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- 0.95 .
复习题A · 8
- 射击队某选手命中环数的概率如下表所示.
| 命中环数 | 10 | 9 | 8 | 7 |
| 概率 | 0.32 | 0.28 | 0.18 | 0.12 |
该选手射击一次，求:
(1)命中 9 环或 10 环的概率;
(2)至少命中 8 环的概率；
(3)命中不足 8 环的概率.
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- (1) 0.60 . (2) 0.78 . (3) 0.22 .
B 组
复习题B · 1
- 某学生做两道选择题, 已知每道题均有 4 个选项, 其中有且只有一个正确答案. 该学生随意填写两个答案, 求两个答案都选错的概率.
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【编辑补写】
两道题的选项对共有 种等可能结果，每道题有3个错误选项，故都错的结果有 种，所求概率为 。
复习题B · 2
- 盒子中有标号为 1、2、3 的 3 个大小与质地相同的球, 随机地取 1 个球, 放回后再取 1 个球, 把这 2 个球对应的号码按照取的先后顺序组成一个两位数. 求个位数与十位数不相同的概率.
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【编辑补写】
按先后顺序共有 种等可能结果。十位确定后，个位有2种不同的选择，故符合条件的结果有 种，所求概率为 。
复习题B · 3
- 一个盒子中装有 4 张卡片，卡片上分别写有数字 1、2、3、4 . 现从盒子中随机抽取卡片.
(1)若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率；
(2)若第一次抽取 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求两次抽取的卡片上数字之和大于 7 的概率.
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【编辑补写】
(1)一次抽取3张共有4种等可能组合：，和依次为 。其中2种的和大于7，所求概率为 。
(2)有放回抽取，按先后顺序共有 种等可能结果。两数之和大于7仅有 一种，故所求概率为 。
复习题B · 4
- 盒子中有散落的黑白棋子若干粒,已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是 ,从中取出 2 粒都是白子的概率是 . 问: 从中任意取出 2 粒恰好是同一颜色的概率是多少?
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【编辑补写】
若仅按互斥事件加法公式作形式运算，“两粒都是黑子”与“两粒都是白子”的并是“同一颜色”，于是得到原题预期值 。
【编辑校注：原题数据存在模型冲突】在通常的有限盒中不放回任取两粒的模型下，实际上不存在满足这两个概率条件的黑白棋子数量，不能把上面的形式运算值当作可实现模型的概率。
设黑、白棋子数分别为 ，总数为 。因两种同色事件的概率均为正，故 ，从而 。同色概率应为
由 得 ，因此
最后一个不等式等价于 。但题设相加所得 ，矛盾。
综上， 是题设数值相加的预期形式答案；原题的两项概率不能同时来自所描述的有限黑白棋子盒。此处保留原题与预期值，并标明数据冲突，不擅改任一分数。
拓展与思考
拓展与思考 · 1
- 社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答, 但是被采访者常常不愿意如实做出应答. 1965 年, 华纳 (Stanley L. Warner) 发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法. 华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个, 而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题, 在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的. 这样，应答者将乐意如实地回答问题, 因为只有他自己知道回答的是哪个问题. 例如, 在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验:袋中放有 1 黑 1 白两个大小与质地相同的小球， 运动员从中随意摸出 1 个小球. 无关紧要的问题是: 你摸出的小球是白色的吗? 而敏感的问题是: 你服用过兴奋剂吗? 然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币, 如果出现正面, 就回答第一个问题, 否则回答第二个问题. 假设用这个方法调查了 200 名运动员, 得到 56 个"是"的回答, 请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂.
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- 掷硬币出现正面的概率为 ,大约有 100 人回答了第一个问题; 又摸得白球的概率为 ,所以在回答第一个问题的 100 人中大约有 50 人回答“是”,因此 6 人回答 “是”的人服用过兴奋剂. .
拓展与思考 · 2
- 在一次知识竞赛中,假设 四人独立答题,且答对的概率分别为
如果将 组成一组与 比赛,且 三人中有一人答对即算该组答对,那么哪一方答对的概率大?
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- 如果 三人答对的题目不重复,即彼此互斥,那么 ,所以 三人组队胜. 如果 三人答对的题目有重复,那么三人组队未必能胜.