练习12.1(1) · 1
- 判断下面哪些是随机现象, 哪些是确定性现象, 并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子.
(1)明天太阳升起；
(2)明天上海局部地区下雨；
(3)明年小明又大一岁；
(4)小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯.
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- (1)确定性现象. (2)随机现象. (3)确定性现象. (4)随机现象.
确定性现象:铁块扔水池中会下沉；冬天的平均气温低于夏天的平均气温.
随机现象: 小汽车老化发生自燃; 明天数学考试李明得第一名.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 12.1
教师整合版 / 沪教版高中数学
随机现象与样本空间.
必修第三册
第12章概率初步 · 保留教材主线与原题
随机现象与样本空间
教材与正式教参整合
概率初步
随机现象无处不在, 且与我们的生活息息相关. 它看似没有规律, 但实际上隐含着深刻的规律. 概率论就是研究随机现象背后所蕴藏的规律的数学理论. 它在现代社会中变得越来越重要, 在数学中的地位也越来越高. 在这一章中，我们将理解概率的意义，学习求解简单的概率问题. 尽管所涉及的数学实际上是相当初等的, 但第一次接触随机现象, 真正理解起来可能并不容易, 和学习以往的内容不同, 不仅要换一种思路, 而且要换一套语言.
1 随机现象
概率是描述一个随机现象中某事件发生的可能性 (或者机会)大小的一种度量. 要理解概率，首先要理解随机现象或者随机性.
先看几个生活中常见的例子:
-
向上抛掷一枚硬币. 能够确定的是, 因为重力的作用, 它必定会落在地面上. 但是究竟哪一面朝上, 却是无法预知的.
-
在车流不大的高速公路上, 两地相距 . 上午 8 时从 地出发,以 的速度去往 地,那么我们可以肯定地说, 上午 9 时可以到达. 但如果上午 8 时从上海人民广场出发去上海浦东国际机场，由于市内堵车，我们很难准确预测什么时间可以到达.
-
如果将 1 万元存到某银行，年利率为 3%，那么一年后的利息收入必是 300 元. 但如果将此 1 万元买该银行的股票，那么一年后的收益却是不确定的.
-
人随着年龄增长慢慢变老, 这是确定无疑的. 但是观察 60 岁左右的人，会发现其衰老的程度很不一样，呈现出随机性.
由于随机性的存在, 我们无法准确地预测在一个随机现象中会出现什么样的结果, 然而, 对于随机现象, 我们是不是完全束手无策了呢? 答案是否定的. 尽管我们无法确切预测到结果, 但对出现某一结果的可能性大小还是有预期的, 而且通常可以得到其估计值. 例如, 抛掷一枚硬币, 人们对于可能出现的两种状态有相同的期待,也就是说两个面各自出现的可能性都是 ; 如果多次抛掷硬币, 人们会期待两个面出现的次数应该是差不多的. 又如, 我们虽然不能确切地知道明天是否会下雨, 但是借助气象研究, 气象台可以通过公布降雨概率, 对明天下雨的可能性大小作出预期, 供公众参考. 这说明, 人们相信随机现象中还是存在某种规律的, 找出这种规律就是概率论所要研究的目标.
概率描述随机现象中某些结果出现的可能性大小.
费马 (P. de Fermat, 1601-1665), 法国数学家，正式职业是律师. 费马与帕斯卡在 1654 年 7-10 月有 7 封关于分奖金问题的书信来往, 开启了概率论的研究.
帕斯卡 (B. Pascal, 1623 —1662), 法国数学家、 物理学家.
两人下棋,每局两人获胜的可能性一样. 某一天两人要进行一场三局两胜的比赛, 最终胜者赢得 100 元奖金. 第一局比赛 胜,后因为有其他要事而中止比赛. 问: 怎么分 100 元奖金才公平?
尽管 胜了第一局,但结果依然是不确定的, 都有胜的机会. 但因为 已胜一局,所以如果比赛继续下去, 胜的可能性更大. 因此, 按照最终取胜的可能性大小 (也就是概率) 比例进行分配是大家认可的一个公平分配方案, 从而问题归结于如何计算 各自取胜的概率.
历史上很多人考虑过这个问题，包括费马、帕斯卡、惠更斯 (C. Huygens)等, 他们从不同的角度得到了同样的答案, 说明该问题背后有着某种规律. 这些规律引起了数学家的兴趣, 由此开启了对概率论的研究.
现在, 你也来想一想, 看能否像 300 多年前的数学家那样运用对概率的直觉来回答这个问题. 等学完这一章, 我们再来解答这个问题.
练习 12.1(1)
练习12.1(1) · 2
- 仿照正文中的例子分析下面两句话里含有怎样的随机性.
(1)今年冬天一定会下雪；
(2)今年我要参加高考，应该能考上大学.
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2.(1)冬天存在下雪的可能性,本身就具有随机性. 而今年冬天是否下雪更无法预知,具有随机性. (2)参加高考能否正常发挥或者超水平发挥是无法事先预知的, 具有随机性.
2 样本空间与事件
学习概率论, 首先要学会概率论的一套语言. 由于概率论中的很多术语直接使用生活中的语言, 在学习的时候要格外注意它们在概率论与生活中使用时的语义区别, 其中最重要的三个术语是样本空间、事件与概率.
考察一个随机现象 ,首先要观察其中有哪些可能出现的结果.
样本空间中的基本事件须是互斥的， 即任何两个均不会同时发生.
例题 1
例 1 写出下面随机试验的样本空间:
(1)抛掷一枚硬币，观察朝上的面；
(2)掷一颗骰子(每一面上分别标注数字 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的小正方体), 观察朝上的点数;
按照习惯，在说到掷硬币或骰子时, 我们总是观察朝上的面和点数.
(3)从装有标号为 1、2、3 的三个球的袋子中依次取两个球 (第一次取出的球不再放回)，观察标号，考虑标号顺序；
(4)从装有标号为 1、2、3 的三个球的袋子中依次取两个球 (第一次取出的球不再放回), 观察标号, 不考虑标号顺序;
考虑标号顺序是指不同的顺序表示不同的结果, 例 如, (1，2)与(2，1)是两个不同的结果. 在不考虑顺序的情况下， (1,2)与(2,1)是一样的.
(5)连续掷一颗骰子，直到点数 6 出现为止，观察掷的次数；
(6)向一面墙随机掷飞镖，观察其落点.
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解(1)将抛掷一枚硬币出现的两个可能结果——正面或反面朝上，分别简记作 、 ，那么样本空间是
(2)用朝上的点数来表示结果, 那么样本空间是
(3)用符号(1，2)表示第一次摸出 1 号球而第二次摸出 2 号球, 那么样本空间就是
(4)如果不考虑顺序，那么(1，2)与(2，1)是同一个结果， 所以
其中 表示一次摸出 1 号球而另一次摸出 2 号球.
(5)如果第一次就掷到点数 6，那么结果是 1 ；如果前 次不是点数 6,而第 次是点数 6,那么结果是 . 所以,此时样本空间是所有的正整数, 它是一个无限的集合.
(6) 样本空间是墙面上所有的点的集合，也是无限的.
前四个例子，还有生活中的许多例子，如抽牌、摸球、抽签等, 可能出现的结果都是有限的, 即样本空间只有有限个元素; 而后两个例子中的样本空间则有无限个元素.
对于一个随机现象, 我们经常会关注其中某件事情发生的可能性有多大. 例如, 抛掷一枚硬币, 出现正面的可能性有多大; 从上海人民广场出发, 一小时内到达上海浦东国际机场的可能性有多大, 等等. 这件事情在数学中称为事件 (event), 或称为随机事件, 而在样本空间确定之后, 事件实际上可以看作样本空间的一个子集，如例 2 所示.
例题 2
例 2 掷一颗骰子，写出下列事件相应的样本空间的子集:
(1)点数 6 没有出现；
(2)出现偶数；
(3)点数不超过 2.
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解 已知样本空间是 .
(1)点数 6 没有出现这个事件，实际上是指点数 1、2、3、 4、5 之一出现,此事件即为 ,它是 的补集.
(2)出现偶数这个事件，实际上是指点数2、4、6之一出现,此事件就是子集 .
(3)点数不超过 2 这个事件，实际上是指点数 1 或者 2 出现, 此事件就是子集 .
一个事件对应于样本空间的一个子集, 即满足事件所述条件的所有基本事件的集合. 如果其中某个基本事件发生, 就说该事件发生.
例题 3
例 3 掷两颗骰子, 试表示其样本空间以及掷出的两个点数都是偶数这个事件所对应的子集.
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解 将两颗骰子分别称为第一骰子和第二骰子, 且考虑标号顺序. 若它们的点数分别为 和 ,则记作 . 那么样本空间就是
注意基本事件与事件之间的区别, 基本事件是样本空间中的元素, 而事件是样本空间的某个子集.
其中包含 36 个基本事件.
两个点数都是偶数这个事件所对应的集合是
在一个随机试验中, 有两个特别的事件. 一个必然发生, 称为必然事件,它对应的子集就是样本空间 ,即所有基本事件的集合; 另外一个必然不发生, 称为不可能事件, 对应的子集是空集 . 它们统称为确定事件, 其余的称为不确定事件.
必然事件就是必然会发生的事件，而不可能事件就是不可能发生的事件.
例题 4
例 4 写出抛掷两枚硬币的样本空间.
注意:对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同, 样本空间也不同, 如例 4 所示.
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解 抛掷两枚硬币, 如果对它们进行区分, 如分别标上白和黑两种颜色,就可以用两个顺序的字母表示结果. 例如, 表示白的硬币是正面, 黑的硬币是反面. 那么样本空间是
如果不去刻意区分这两枚硬币, 那么就只看到 3 个结果: 两个正面, 一个正面一个反面, 两个反面. 所以, 样本空间是
注意:我们现在虽然还没有正式地从数学上定义概率, 但可以从直观的角度使用这个名词.
这里要注意两点:第一，样本空间是由观察问题的角度而确定的; 第二, 尽管从不同的角度观察随机现象会影响样本空间的呈现, 但不影响其中事件发生的可能性大小, 也就是概率. 以例 4 为例, 直观上, 大家都知道第一个样本空间中的 4 个结果的概率均为 ,而第二个样本空间中的三个结果的概率则依次是 、 .
练习 12.1(2)
练习12.1(2) · 1
- 按某个观察角度，写出下面随机现象的一个样本空间:
(1)抛掷 3 枚硬币；
(2)将 3 个不同颜色的球放入 3 个不同的容器中，但每个容器最多放 1 个球。
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1.(1) ,共 8 个元素. (2)设三个小球分别用标号 表示,三个容器分别用 表示, 如果放置的结果是 1 号球在 容器、 2 号球在 容器、 3 号球在 容器,那么用 123 来表示, 其他类似.
练习12.1(2) · 2
- 掷一颗骰子，写出样本空间及与下列事件相对应的基本事件子集:
(1)1 没有出现； (2)出现奇数； (3)点数超过 2 .
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练习12.1(2) · 3
- 从两男两女四人中随机选出两人,
(1)写出样本空间；
(2)写出两人恰好是一男一女这个事件所对应的子集.
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习题 12.1
A 组
习题12.1A · 1
- 判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？
(1)在空地上抛一石块，石块会下落；
(2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话；
(3)买一张福利彩票，会中奖.
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【编辑补写】
(1)是确定的事件（必然事件）；(2)(3)是不确定的事件（随机事件）。在通常地面环境下石块必下落；是否接到推销电话、彩票是否中奖事先不能确定。
习题12.1A · 2
- 抛掷 100 枚同一类型且质地均匀的硬币, 下面的陈述哪些是正确的, 哪些是错误的?
(1)全部出现正面向上是不可能的；
(2)至少有 1 枚出现正面向上是必然的；
(3)出现 50 枚正面向上、50 枚正面向下是不确定的.
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2.(1)错误. 出现全部正面向上是一个随机现象. (2)错误. 至少 1 枚正面向上是一个随机现象. (3)正确. 这是一个随机现象.
习题12.1A · 3
- 从装有红、白、黑三种颜色的小球各 1 个的袋子中任取 2 个小球, 写出这个随机试验的样本空间.
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- 红白,红黑,白黑 .
习题12.1A · 4
- "一名学生一次掷 3 颗骰子，3 颗都掷得点数 6"的事件是 ( )
A. 不可能事件； B. 必然事件;
C. 可能性较大的随机事件; D. 可能性较小的随机事件.
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- D.
B 组
习题12.1B · 1
- 下列哪些是不确定的事件?
(1)学生甲明天竞选班长成功；
(2)两支足球队明天比赛，主场队取胜；
(3)若集合 满足 ,则 .
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1.(1)(2)是不确定的事件.
习题12.1B · 2
- 一个口袋中有大小与质地相同的 1 个白球、 2 个黑球、3 个红球, 从中任取 2 个球, 观察球的颜色. 写出样本空间及与下列事件相应的基本事件子集:
(1)含有白球; (2)至少含有 1 个黑球.
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习题12.1B · 3
- 两个男生、两个女生随机站一排,
(1)写出样本空间；
(2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集；
(3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集.