复习题A · 1
- 求下列函数的最小正周期:
(1) ; (2) .
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【编辑补写／校订】
(1) ；(2) 。相位平移和非零振幅不改变最小正周期。
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION chapter-end-7
教师整合版 / 沪教版高中数学
章末阅读、内容提要与复习题.
必修第二册
第7章三角函数 · 保留教材主线与原题
章末阅读、内容提要与复习题
教材与正式教参整合
| 三角函数 | 正弦函数 | 余弦函数 | 正切函数 |
| 定义域 | |||
| 值域 | [-1,1] | ||
| 最大值 | 1 | 1 | 无 |
| 最小值 | -1 | -1 | 无 |
| 最小正周期 | |||
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 单调增区间 | |||
| 单调减区间 | 无 | ||
| 图像 | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d5205277aajc73fu465g_32.jpg?x=371&y=1066&w=333&h=146&r=0"/> | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d5205277aajc73fu465g_32.jpg?x=734&y=1065&w=320&h=151&r=0"/> | <img src="https://cdn.noedgeai.com/bo_d5205277aajc73fu465g_32.jpg?x=1089&y=1061&w=346&h=161&r=0"/> |
复习题
A 组
复习题A · 2
- 判断下列函数的奇偶性, 并说明理由:
(1) ; (2) ；
(3) ； (4) .
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(1) 偶函数，定义域为 ，。
(2) 奇函数，定义域为 ，关于原点对称，且 。
(3) 偶函数，定义域为 ，关于原点对称，且 。
(4) 非奇非偶。，不可能是奇函数； 而 ，也不是偶函数。
复习题A · 3
- 已知 . 求 的值.
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复习题A · 4
- 求下列函数的单调区间:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
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复习题A · 5
- 作出函数 的大致图像.
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令 ，取 ，得到一周期内五个关键点：
按正弦曲线平滑连接，并以 为周期向左右延伸。图像振幅为2，最小正周期为 ，相当于将 的图像向左平移 。
复习题A · 6
- 已知函数 的振幅是 3,最小正周期是 ,初始相位是 . 求这个函数的表达式.
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复习题A · 7
- 求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时所有 的值:
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
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- (1)因为 ,且 ,所以此函数的最大值为 0,此时 ；最小值为 ,此时 .
(2)因为 ,从而 ,所以函数 的最大值为 1,此时 ; 其最小值为 -1,此时
(3)因为 ,且 ,所以此函数的最大值为 3,此时 ; 最小值为 -1,此时 .
(4)因为 ,从而 ,所以函数 的最大值为 1,此时 ; 最小值为 ,此时
复习题A · 8
- 某实验室一天的温度 (单位:℃)随时间 (单位:h)的变化近似满足函数关系
(1)求实验室一天中的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温？
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- (1) . 因为 , ,从而 ,所以该函数的最大值为 12,此时 ; 最小值为 8,此时 . 因此,最大温差为 .
(2)由题意,有 ,即 ,而 ,所以 ,解得 ,从而 10 时到 18 时这段时间需要降温.
B 组
复习题B · 1
- 求函数 的最小正周期.
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- 因为 ,所以其最小正周期为 .
复习题B · 2
- 在 内,求使 成立的 的取值范围.
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- 在同一平面直角坐标系中画出 及 的图像. 由图像可知,使 成立的 的取值范围是 .
复习题B · 3
- 求下列函数的最大值,并求出取得最大值时所有 的值:
(1)
(2) .
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复习题B · 4
- 若函数 (其中常数 是小于 1 的正数) 在区间 上的最大值是 , 求 的值.
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- 因为 ,且 ,可知 ,从而 在 上为严格增函数. 因此当 时,该函数取得最大值,有 ,
复习题B · 5
- 如图，摩天轮上一点 距离地面的高度 关于时间 的函数表达式为 . 已知摩天轮的半径为 ,其中心点 距地面 ,摩天轮以每 30 分钟转一圈的方式做匀速转动,而点 的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出 关于 的函数表达式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,点 有多长时间距离地面超过 ?
*6. 说明: 用上一章 6.3 节给出的记号 arcsin 与 arccos(见第 45 页), 可以定义函数
验证:
(1)函数 与函数 互为反函数；
(2)函数 与函数 互为反函数.
*7. 把上题的记号略作推广: 对实数 , 若实数 使得 ,则记 ; 类似地,对实数 ,若实数 使得 ,则记 . 说明: 经过推广的记号 arcsin 与 ,定义了函数 与 .
函数 、 与 分别称为反正弦函数、反余弦函数与反正切函数. 这些函数统称为反三角函数.
验证:
(1)函数 与函数 ) 互为反函数;
(2)函数 与函数 互为反函数.
*8. 对 与 做类似的工作.
(第 5 题)
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- ( 1 )由题意,有 ,最小正周期 ,于是 ,故有 . 因为当 时, ,于是 ,而 ,从而 . 所以, (米) 关于 (分钟) 的表达式为 .
(2)由题意,有 ,即 . 只需考虑第一周的情况,此时 ,从而 ,解得 . 所以在摩天轮转动的一圈内,有 10 分钟的时间点 距离地面超过 85 米.
- 6-*8. 证明略.
拓展与思考
拓展与思考 · 1
- 定义在区间 上的函数 的图像与 的图像的交点为 ,过点 作垂直于 轴的垂线 ,其垂足为 . 设直线 与 的图像交于点 , 求线段 的长.
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- 由图像可知,线段 的长就是 的值,而 满足的条件是 ,即 ,即 . 因为 ,所以线段 的长为 .
拓展与思考 · 2
- 已知定义在 上的偶函数 的最小正周期为 2,当 时, .
(1)求当 时函数 的表达式；
(2)若函数 与函数 的图像恰有 7 个不同的交点，求 的值.
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拓展与思考 · 3
- 如图，有一块边长为3m的正方形铁皮 ，其中阴影部分 是一个半径为 的扇形. 设这个扇形已经腐蚀不能使用, 但其余部分均完好. 工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在 与 上的矩形铁皮 ,使点 在弧 上. 设 ,矩形 的面积为 .
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)求 的最大值及 取得最大值时 的值.
(第 3 题)