向量的应用.

解 由 ,可知

因为 ,故

这个公式称为线段的定比分点公式.

特别地,当 时, 为线段 的中点,其坐标为

这个公式称为线段中点公式.

解 如图 8-4-1,由于点 是 的重心,因此 与 的交点 是 的中点,于是点 的坐标为 ,

设 的坐标为 ,因为 ,所以由上述定比分点公式, 得

整理, 得

这就是 重心 的坐标.

于是有 ,即 且 ,故 是平行四边形.

证明 ( 1 )如图 8-4-3,设 . 我们有 ,于是

所以 .

(2)因为

所以 .

2. 证明: 由图可知, ,于是 . 因此, .

3. .

解 记 ,则

若将题中向量 的模 看作是一个 的函数,则这个例子体现了向量在函数中的应用. 同学们也不妨思考一下，如果不借助于向量方法, 那么如何求得点 的坐标?

设 是直线 上随着小狗跑动而动态变化的点,则 可写成 的形式, 是实数. 问题转化为: 确定 的值,使向量 的模 取到最小值,此时向量 的终点 即为小狗离小明最近的位置.

如果 为 使得 ,即 ,那么向量 的模取到最小值. 于是, 要满足 ,即 ,故

从而 ,最终推出 的坐标是

因此,当其在点 时,离小明最近.

证明 如图 8-4-5,建立平面直角坐标系,并设 是单位圆上的任意两点,而角 与 都是顶点在原点 、始边为 轴正半轴的角,其终边分别落在 与 上. 考虑向量

又由于 ,我们得到

另一方面, 用向量的坐标表示来计算数量积, 我们有

综上所述,

解 设两根绳子的拉力分别是 与 ,则它们的合力 与物体的重力大小相等、方向相反,即 是垂直向上、模为 的向量,这里 是重力加速度.

以 与 的公共作用点为原点,以 为 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 如图 8-4-6(2) 所示.

令 ,则

因为 ,所以

解得 .

综上所述,这两根绳子所提供的拉力分别约为 和 143.5 N.

1.(1) . (2) 焦耳.

2. 当点 的坐标是 时, 取到最小值.

1. .

2. .

3. 证明略, 提示: 利用向量的数量积及其相关性质.

4. 证明略, 提示: 综合运用向量的线性运算和数量积的相关知识.

5. 证明: 设 ,则 . 再设 ,于是

类似地,可求得 ,从而有 .

因此, 四边形 BMDN 是平行四边形.

1. 证明略, 提示: 运用向量的概念和线性运算及其性质.

2. 证明略,提示: ,进而利用 8.4 节例 4 的思路即可获证.

3. 证明: 构造向量 ,则由 ,可知 ,从而有 . 当取等号时,与 均为正数,且 ” 矛盾,因此 .

此题亦可借助于其他的方式构造向量来求证.

4. 证明: 设 ,则 ,进而可求出 和 . 再利用已知 是一个正方形验证 即可.

5. 证明: 设此平行四边形为 ,记 ,进而将所求的向量写成 和 的线性组合. 不妨与 8.4 节例 1 中的定比分点公式相比较.