向量的应用.

例 1 已知 是直线 上一点,且 为实数,且 的坐标分别为 . 求点 的坐标 .

例 2 已知 三个顶点 的坐标分别是 ,求此三角形重心 的坐标.

图 8-4-1

例 3 证明: 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

已知 如图 8-4-2,设四边形 的对角线 交于点 ,且 .

求证 是平行四边形.

图 8-4-2

例 4 在 中,设 ,记 的面积为 .

(1)求证: ；

(2)设 . 求证:

图 8-4-3

1. 已知坐标平面上三个点 与 ,求 的面积.

2. 如图,已知 分别是 的中点. 求证: .

(第 2 题)

3. 已知平面上 两点的坐标分别是 是直线 上的一点,且 . 求点 的坐标.

例 5 如图 8-4-4,平面上 三点的坐标分别是 . 已知小明在点 处休憩,有只小狗沿着 所在直线来回跑动. 问: 其在什么位置时,离小明最近?

图 8-4-4

例 6 用向量方法证明:

我们要求出 的余弦). 注意到交换 与 不影响要证明的公式,可以假设从 旋转到 的最小正角就是 . 这个角与角 有相同的始边与终边,于是

图 8-4-5

例 7 将质量为 的物体用两根绳子悬挂起来,如图 8-4-6(1)，两根绳子与铅垂线的夹角分别为 与 . 求它们分别提供的拉力的大小. (结果精确到 )

图 8-4-6

1. 已知两个力 (单位: ) 与 的夹角为 ,其中 . 某质点在这两个力的共同作用下,由点 移动至点 (单位: ).

(1)求 ；

(2)求 与 的合力对质点所做的功.

2. 已知平面上三点 、 、 的坐标分别是 、 、 ， 为直线 上的一动点. 问: 在什么位置时, 取到最小值?

1. 已知平面上 两点的坐标分别是 为直线 上一点,且 . 求点 的坐标.

2. 已知 的三个顶点 的坐标分别是 ,求此三角形的面积.

3. 用向量方法证明三角形的余弦定理.

4. 菱形是四条边都相等的四边形. 用向量方法证明菱形的对角线互相垂直.

5. 如图,已知 是平行四边形 的对角线 上的两点,且 . 求证: 是平行四边形.

(第 5 题)

1. 证明: 三角形的三条中线相交于一点.

2. 已知平面上不共线的三点 与 ,求证: 的面积 .

3. 已知 均为正数,且 . 求证: .

4. 已知 是正方形, 是 边的中点,点 在对角线 上,且 3 : 1. 求证: .

5. 用向量方法证明: 把一个平行四边形的一个顶点和两条不过此顶点的边的中点分别连线, 则这两条连线三等分此平行四边形的一条对角线.